(人教版)九年级数学下第28章《锐角三角函数》单元训练(含答案)
精品“正版”资料系列，由本公司独创。旨在将“人教版”、”苏教版“、”北师
大版“、”华师大版“等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和
检测题分享给需要的朋友。
本资源创作于2020年8月，是当前最新版本的教材资源。包含本课对应
内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。
第28章锐角三角函数专项训练
专训1“化斜为直”构造直角三角形的方法名师点金：
锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解．
无直角、无等角的三角形作高
1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．
(第1题)
有直角、无三角形的图形延长某些边
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
(第2题)
有三角函数值不能直接利用时作垂线
3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin∠BCD＝1
3
，求tan A
的值．
(第3题)
求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝1
2
∠BAC，求tan∠
BPC的值．
(第4题)
专训2巧用构造法求几种特殊角的三角函数值名师点金：
对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算．
巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值
1．求sin15°，cos15°，tan15°的值．
巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值
2．求tan22.5°的值．
巧用折叠法求67.5°角的三角函数值
3．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求出67.5°角的正切值．
(第3题)
巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值4．求sin18°，cos72°的值．
巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值
5．求sin75°，cos75°，tan75°的值．
专训3应用三角函数解实际问题的四种常见问题名师点金：
在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键．
定位问题
1．某校兴趣小组从游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求
此时游轮与望海楼之间的距离BC.(3取1.73，结果保留整数)
(第1题)
坡坝问题
2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F 处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度 .(结果精确到1米，参考
数据：2≈1.414，3≈1.732)
(第2题)
测距问题
3．一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B，C间的距离是60千米，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C 的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离．(结果保留根号)
测高问题
4．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．
(1)求斜坡CD的高度DE；
(2)求大楼AB的高度．(结果保留根号)
(第4题)
专训4利用三角函数解判断说理问题
名师点金：
利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题：其关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际问题．
航行路线问题
1．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
(第1题)
工程规划问题
2．A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心、45千米为半径的圆，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路．问连接A，B两市的高速公路会穿过风景区吗？请说明理由．
(第2题)
拦截问题
3．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离．(结果不取近似值)
(第3题)
台风影响问题
4．如图所示，在某海滨城市O附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200 km的海面P处，并以20 km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为60 km，且圆的半径以10 km/h的速度不断扩大．
(1)当台风中心移动 4 h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到________km；当台风中心移动t(h)时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到____________km.
(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否会侵袭这座海滨城市？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
(第4题)
专训5三角函数在学科内的综合应用
名师点金：
1.三角函数与其他函数的综合应用：此类问题常常利用函数图象与坐标轴的交点构造直角三角形，再结合锐角三角函数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标．
2．三角函数与方程的综合应用：主要是与一元二次方程之间的联系，利用方程根的情况，最终转化为三角形三边之间的关系求解．
3．三角函数与圆的综合应用：主要利用圆中的垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角关系转化为同一直角三角形的边角关系求解．4．三角函数与相似三角形的综合应用：此类问题常常是由相似得成比例线段，再转化成所求锐角的三角函数．
三角函数与一次函数的综合应用
1．如图，直线y＝kx－1与x轴、y轴分别交于B，C两点，tan∠OCB＝1 2 .
(1)求点B的坐标和k的值；
(2)若点A(x，y)是直线y＝kx－1上的一个动点(且在第一象限内)，在点A 的运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式．
(第1题)
三角函数与二次函数的综合应用
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴直线x ＝1交x轴于点B，连接EC，AC，点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
(1)求点A的坐标及抛物线对应的函数解析式；
(第2题)
(2)如图，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
三角函数与反比例函数的综合应用
3．如图，反比例函数y＝k
x
(x＞0)的图象经过线段OA的端点A，O为原点，
作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB＝3 2 .
(1)求k的值；
(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y＝k
x
(x＞0)
的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE对应的函数解析式；
(3)若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论，并说明理由．
(第3题)
三角函数与方程的综合应用
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.已知a，b是关于x 的一元二次方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，且9c＝25a sin A.
(1)试判断△ABC的形状；
(2)△ABC的三边长分别是多少？
5．已知关于x的方程5x2－10x cosα－7cosα＋6＝0有两个相等的实数根，求边长为10 cm且两边所夹的锐角为α的菱形的面积．
三角函数与圆的综合应用
6．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心、CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF FD＝4 3.
(1)求证：点F是AD的中点；
(2)求cos∠AED的值；
(3)如果BD＝10，求半径CD的长．
(第6题)
7．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD 于N.
(1)求证：∠ADC＝∠ABD；
(2)求证：AD2＝AM·AB；
(3)若AM＝18
5
，sin∠ABD＝
3
5
，求线段BN的长．
(第7题)
三角函数与相似三角形的综合应用
8．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连接FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF，BE，且BE⊥FG.
(1)求证：BF＝BG；
(2)若tan∠BFG＝3，S△CGE＝63，求AD的长．
(第8题)
专训6全章热门考点整合应用
名师点金：
本章主要学习锐角三角函数的定义，锐角三角函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．其主要考点可概括为：2个概念，1个运算，2个应用，2个技巧．
2个概念
概念1：锐角三角函数
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的三个三角函数值．
(第1题)
概念2：解直角三角形
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝3
5
，D是BC上一点，DE⊥AB
于点E，CD＝DE，AC＋CD＝9，求BE，CE的长．
(第2题)
1个运算——特殊角的三角函数值与实数运算
3．计算：
(1)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°；
(2)1
4
tan245°＋
1
sin230°
－3cos230°＋
tan45°
cos60°
－
sin40°
cos50°
.
2个应用
应用1：解直角三角形在学科内应用
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP＝a.
(1)当点P在线段BC上时(点P与点B，C都不重合)，试用含a的代数式表示CE的长；
(2)当a＝3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；
(3)当tan∠PAE＝1
2
时，求a的值．
(第4题)
应用2：解直角三角形的实际应用
5．如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A 在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1 200 m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．
(1)线段BQ与PQ是否相等？请说明理由．
(2)求A，B间的距离(参考数据cos41°≈0.75)．
(第5题)
6.如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)
(第6题)
2个技巧
技巧1：“化斜为直”构造直角三角形解三角形的技巧
7．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝
3
2
，AC＝23，求AB的长．
(第7题)
技巧2：“割补法”构造直角三角形求解的技巧
8．如图所示，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥AB，CD⊥BC，AB＝303，BC＝503，求四边形ABCD的面积．(要求：用分割法和补形法两种方法求解)
(第8题)
答案
专训1
1．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tan B＝x·tan60°＝3x. 在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，
∴∠CAD＝90°－∠C＝45°，
∴∠C＝∠CAD，∴CD＝AD＝3x.
∵BC＝1＋3，∴3x＋x＝1＋3，
解得x＝1，即BD＝1.
在Rt△ABD中，∵cos B＝BD AB ，
∴AB＝
BD
cos B
＝
1
cos60°
＝2.
(第1题)
(第2题) 2．解：如图，延长BC，AD交于点E.
∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°.
在Rt△ABE中，BE＝
AB
tan E
＝
2
tan30°
＝23，
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2，
∴DE＝EC·cos30°＝2×
3
2
＝ 3.
∴S
四边形ABCD ＝S Rt
△ABE
－S Rt
△ECD
＝
1
2
AB·BE－
1
2
CD·ED＝
1
2
×2×23－
1
2
×1×3＝
33
2
.
点拨：本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不难想到延长BC，AD交于点E，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．
3．解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E. ∵点D是AB的中点，∴AD＝DB.
又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD≌△BED，∴CD＝DE，AC＝BE.
在Rt△CBE中，sin∠BCE＝BE
BC
＝
1
3
，∴BC＝3BE.
∴CE＝BC2－BE2＝22BE，
∴CD＝1
2
CE＝2BE＝2AC.
∴tan A＝CD
AC
＝
2AC
AC
＝ 2.
方法点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键．
(第3题)
(第4题)
4．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝1
2
BC＝
1
2
×8＝4，∠BAE＝
1
2
∠BAC.
∵∠BPC＝1
2
∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE.
在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝AB2－BE2＝52－42＝3，
∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝BE
AE
＝
4
3
.
专训2
1．解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，延长CA到D，使AD＝AB，则∠D＝15°，设BC＝a，则AB＝2a，AC＝3a，∴AD＝2a，CD＝(2＋3)a.
在Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝a2＋（7＋43）a2＝(6＋2)a.
∴sin15°＝sin D＝BC
BD
＝
a
（6＋2）a
＝
6－2
4
；
cos15°＝cos D＝CD
BD
＝
（2＋3）a
（6＋2）a
＝
6＋2
4
；
tan15°＝tan D＝BC
CD
＝
a
（2＋3）a
＝2－ 3.
(第1题)
(第2题)
2．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延长CA到D，使DA＝AB，则∠D＝22.5°，设AC＝BC＝a，则AB＝2a，∴AD＝2a，DC＝(2＋1)a，
∴tan22.5°＝tan D＝BC
CD
＝
a
（2＋1）a
＝2－1.
3．解：∵将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，
∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝45°÷2＝22.5°，
∴∠FAB＝67.5°.
设AB＝x，则AE＝EF＝2x，
∴tan∠FAB＝tan67.5°＝FB
AB
＝
2x＋x
x
＝2＋1.
4．解：如图，作△ABC，使∠BAC＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC 于D点，过点A作AE⊥BC于E点，设BC＝a，则BD＝AD＝a，易得△ABC∽△
BCD，∴AB
BC
＝
BC
CD
，∴
AB
a
＝
a
AB－a
，
即AB2－a·AB－a2＝0，∴AB＝5＋1
2
a(负根舍去)，
∴sin18°＝sin∠BAE＝BE
AB
＝
5－1
4
，
cos72°＝cos∠ABE＝BE
AB
＝
5－1
4
.
(第4题)
(第5题)
5．解：方法1：利用第1题的图形求解．易知∠CBD＝75°，
∴sin75°＝CD
BD
＝
（2＋3）a
（6＋2）a
＝
6＋2
4
，
cos75°＝BC
BD
＝
a
（6＋2）a
＝
6－2
4
，
tan75°＝CD
BC
＝
（2＋3）a
a
＝2＋ 3.
方法2：如图，作△ABD，使∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，延长BD到C，使DC＝DA，过B作BE⊥AC于E，则∠BAE＝75°，设AD＝DC＝a，则AC＝2a，BD
＝
3
3
a，AB＝
23
3
a，∴BC＝BD＋CD＝
?
?
?
?
?
3
3
＋1a.则CE＝BE＝BC·sin45°＝
6＋32
6
a，∴AE＝AC－CE＝
32－6
6
a，∴sin75°＝sin∠BAE＝
BE
AB
＝
32＋6
6
a
23
3
a
＝
6＋2
4
，
cos75°＝cos∠BAE＝
AE
AB
＝
6－2
4
，
tan75°＝tan∠BAE＝
BE
AE
＝2＋ 3.
专训3
(第1题)
1．解：根据题意可知AB＝300 m.
如图所示，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.在Rt△ADB中，因为∠BAD＝30°，所以BD＝
1
2
AB＝
1
2
×300＝150(m)．在Rt△CDB中，因为sin∠DCB＝
BD
BC
，所以BC＝
BD
sin∠DCB
＝
150
sin60°
＝
300
3
≈173(m)．
答：此时游轮与望海楼之间的距离BC约为173 m.
点拨：本题也可过C作CD⊥AB于D，由已知得BC＝AC，则AD＝
1
2
AB＝150 m，所以在Rt△ACD中，AC＝
AD
cos30°
＝
150
3
2
≈173(m)．所以BC＝AC≈173 m.
2．解：在Rt△ABE中，∠
BEA＝90°，∠BAE＝45°，BE＝20米，
∴AE＝20米．
在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，∠F＝30°，BE＝20米，
∴EF＝
BE
tan30°
＝
20
3
3
＝203(米)．
∴AF＝EF－AE＝203－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(米)．
AF的长度约是15米．
3．解：分两种情况：
(1)如图①，在Rt△BDC中，CD＝30千米，BC＝60千米．
∴sin B＝CD
BC
＝
1
2
，∴∠B＝30°.
∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.
∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°，
∴DP＝
CD
tan∠CPD
＝
30
tan60°
＝103(千米)．
在Rt△ADC中，∵∠A＝45°，
∴AD＝DC＝30千米．
∴AP＝AD＋DP＝(30＋103)千米．
(第3题)
(2)如图②，同理可求得DP＝103千米，AD＝30千米．
∴AP＝AD－DP＝(30－103)千米．
故交叉口P到加油站A的距离为(30±103)千米．
点拨：本题运用了分类讨论思想，针对P点位置分两种情况讨论，即P可能
在线段AB上，也可能在BA的延长线上．
4．解：(1)在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，
∴DE＝1
2
DC＝2米；
(第4题)
(2)如图，过点D作DF⊥AB，交AB于点F，则∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，
∴∠DBF＝45°，即△BFD为等腰直角三角形，设BF＝DF＝x米，
∵四边形DEAF为矩形，
∴AF＝DE＝2米，即AB＝(x＋2)米，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴BC＝
AB
cos30°
＝
x＋2
3
2
＝
2x＋4
3
＝
3（2x＋4）
3
(米)，
∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝2BF＝2x米，DC＝4米，
根据勾股定理得：2x2＝（2x＋4）2
3
＋16，
解得：x＝4＋43或x＝4－43(舍去)，
则大楼AB的高度为(6＋43)米．
专训4
1．解：若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．理由如下：如图，过点C作CD⊥AM于点D.
依题意，知AB＝24×30
60
＝12(海里)，
∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.
在Rt△DBC中，tan∠CBD＝tan60°＝CD BD ，
初三数学圆的专项培优练习题含答案
初三数学圆的专项培优练习题（含答案） ?EB 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三 2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆 的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． 第二十一章二次根式 1.二次根式:式子 a≥0叫做二次根式。 2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式,因被开方数中含有4是可开得尽方的因数,又如 , ,..都不是最简二次根式,而 , ,5 , 都是最简二次根式。 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式,因为 2 , 3 ,它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。如与 ,a+ 与a- , - 与 + ,互为有理化因式。 二次根式的性质: 1. a≥0是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即: 2aa≥0; 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即 |a| 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即 ? (a ≥0,b≥0)。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即 (a≥0,b0)。 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变,即(≥0,≥0)。 说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,、都是非负数; (2)(≥0,≥0)可以推广为(≥0,≥0); (≥0,≥0,≥0,≥0)。 (3)等式(≥0,≥0)也可以倒过来使用,即(≥0,≥0)。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合,可以对一些二次根式进行化简。2. 二次根式的除法 两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,即(≥0,>0)。 说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,≥0,在分母中,因此>0; (2)(≥0,>0)可以推广为(≥0,>0,≠0); (3)等式(≥0,>0)也可以倒过来使用,即(≥0,>0)。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合,可以对一些二次根式进行化简。? 3. 最简二次根式 (1)被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式; (2)被开方数中不含分母。 21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式? 注:判断几个二次根式是否为同类二次根式,关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式,再观察它们的被开方数是否相同。? (2)合并同类二次根式:合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似,系数相加减,二次根号及被开方数不变。? 2. 二次根式的加减? (1)二次根式的加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式分别合并。? (2)二次根式的加减法与多项式的加减法类似,首先是化简,在化简的基础上去括号再合并同类二次根式,同类二次根式相当于同类项。? 一般地,二次根 九年级下册人教版数学 知识点归纳 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 第二十二单元二次函数一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如 2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数， a≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类 似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实 数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式 二次函数的基本形式()2 y a x h k =-+的性质： a 的 绝对 值越 大， 抛物 线的 开口 越 小。 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标() h k ，； ⑵保持抛物线2 y ax =的形状不变，将其顶点平移到() h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y+ + =2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，c bx ax y+ + =2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或 c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式， 后者通过配方可以得到前者，即 2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点 ()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的 点()2h c ， 、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两 组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =- 时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称 轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =- 时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()() y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以 化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 九年级讲义目录 专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题） （3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式. a ,x 2= a 2 2 2 数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式： ax + bx + c = 0(a ≠ 0). 其中， ax 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一 次项系数； c 是常数项。知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） ） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一 般地，对于形如 x =a(a ≥ 0) 的方程，根据平方根的定义可解得 x 1= . （2） ） 直接开平方法适用于解形如 x 2=p 或(mx+a)2 =p(m ≠ 0) 形式的方程， 如果 p ≥0，就可以利用直接开平方法。 （3） ） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） ） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平 方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （第2题图） A D C B P N M l 九年级数学培优练习题 1、二次函数542 +-=x x y 中，已知1≤x ≤4，则y 的取值围是 。 2、如图，正方形ABCD 的边长与等腰直角三角形PMN 的腰长均 为4cm ，且AB 与MN 都在直线l 上，开始时点B 与点M 重合. 让正方形沿直线向右平移，直到A 点与N 点重合为止，设正方 形与三角形重叠部分的面积为y(cm 2 )，MB 的长度为x(cm)，则 y 与x 之间的函数关系的图象大致是 【 】 3、若抛物线2 (1)y x b x c =+-+经过点(12)P b --，，则b c +的值为 ；如果 3b =，则此条抛物线的顶点坐标为 。 4、如图， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ． （1）点 （填M 或N ）能到达终点； （2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值围，当t 为何值时，S 的值最大； x 九年级数学培优练习题 1、如图，直线MN 和EF 相交于点O ，∠EOF ＝60°，AO ＝2，∠AOE ＝20°。设点A 关于EF 的对称点是B ，点B 关于MN 的对称点是C ，则A 、C 两点间的距离为 。 2、如图，在直角坐标系中，A 点的坐标为（3，0），B 点坐标为（0，4），把线段AB 绕原点顺时针方向旋转，使AB 与y 轴平行，则A 点的坐标为 。 3、抛物线bx x y 23 22 +- =与x 轴的两个不同交点是O 、A ，顶点B 在直线x y 33=上，则关于△OAB 是 三角形。 4、如图，从等边三角形ABC 一点P 向三边作垂线，PQ ＝6，PR ＝8，PS ＝10，则△ABC 的面积是 。 5、如图①，OABC 是一放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4. （1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标； （2）图②，若AE 上有一动点P （不与A 、E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（0＜t ＜5），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N .求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A 、M 、E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M 的坐标. A M N O F E 反比例函数 一.知识框架 二．知识概念 1.反比例函数：形如y ＝x k （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k 1-=kx y x k y 1 = 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x 。对称中心是：原点 3.性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小； 当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 一元二次方程 二.知识概念 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。 （1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． （2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． 介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更 为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例 说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如 的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 （3）一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时， ?将a、b、c代入式子x= 24 2 b b ac a -±- 就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰 好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 第二十六章 二次函数 [本章知识要点] 1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决 简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是： 02≠-m m ． 解 若函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02 ≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ． 因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2 的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些 第二十一章 单元测试题 班级_________ 姓名___________成绩： 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．化简32的结果是（ ） (A)25 (B)24 (C)23 (D)26 2．计算3÷6的结果是（ ） (A)2 1 (B)26 (C)23 (D)2 3．计算18(-)8÷2的结果是（ ） (A) 2 1 (B)2 (C)22 (D)42 4．下列各组二次根式化简后，被开方数相同的一组是（ ） ((A)93和 (B)3 1 3和 (C)318和 (D)2412和 5．下列运算错误的是（ ） (A)2×3=6 (B) 21 =2 2 (C)22+23=25 (D)2 21(）—=1-2 6. 下列二次根式中，x 的取值范围是2≥x 的是（ ） A ．2－x B ．x+2 C ．x －2 D ．1x －2 二、填空题（每小题3分，共30分） 7．计算64=__________. 12．计算2 )32(=_________ 8．计算2 10 =___________ 14．如2 m =4，则m=__________ 9．在直角坐标系中，点A （-6,2）到原点的距离是__________ 10．计算36a ÷ 2 a 的结果是____________ 11．在a 、2a b 、1x +、21x +、3中一定是二次根式的个数有______个． 12. 当x = 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 。 13. 化简82-的结果是_____________ 14. 计算：2 3·= 15. 实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：2 1(2)______a a -+-=． 16. 已知三角形底边的边长是6cm,面积是12cm 2 ,则此边的高线长 ． 三、解答题（4×8=32分） 17．计算 (1)3×23 (2)2+8 (3)27×32÷6 (4)(4+3)(4-3) 第二十一章 二次根式 1、一个正数有两个平方根；在实数范围内，负数没有平方根。 2、一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 3、a （a ≥0）是一个非负数.当a 为带分数是，要把a 改写成假分数，即5322要写成538 4、二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0）， 2a =a （a ≥0） 5、用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 6、二次根式的乘法规定：a ×b =ab （a ≥0,b ≥0） 7、二次根式的除法规定：b a =b a （a ≥0,b ＞0） 8、最简二次根式条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 9、二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 12、二次根式除法没有分配率，任何非零数的零次幂都是1，（ab ）m =a m b m 第二十二章 一元二次方程 1、 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2、 一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0),其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 3、 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 4、 解一元二次方程的方法： （1） 直接开方法：如果方程能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p(p ≥0)的形式，那么可得x=p ±或mx+n=p ± （2） 配方法：步骤：第一步，把方程化成一般形式（二次项系数是1）；第二步，把常数项移到方程的右边；第三步，配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式，即（x-k ）2=h(h ≥0)；第五步，用直接开平方法解方程。 （3） 公式法：Δ=b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的判别式。当Δ＞0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个相 人教版数学九年级下册教学计划 教师_______日期_______ 本学期是九年义务教育的终结期也是初中学习的关键时期，教学任务非常艰巨。因此，要完成教学任务，必须紧扣教学大纲，结合教学内容和学生实际情况，把握好重点、难点，努力把本学期的任务圆满完成。九年级毕业班总复习的教学时间紧，任务重，要求高，如何提高数学总复习的质量和效益，是每位毕业班数学教师必须要解决的问题。下面特制定以下教学学习及复习计划。 一、学情分析进入初三以来，通过多次集体备课讨论，我们初三数学组 感到压力很大。从、考成绩来看，和兄弟学校差不多，高分可能偏多，但其中应有不少水分，不能光看数据；二是随着知识的深入，临近毕业，学生之间的学习差异越来越大，有些学生坚持不住，成绩出现很大的滑坡，这些都为我们的正常教学带来很不利的影响。上学期虽然涌现了一批学习刻苦，成绩优异的优秀学生，但后进学生因数学成绩十分低下，厌学情绪非常严重，基本放弃对数学的学习了。部分中等学生对前面所学的一些基础知识记忆不清，掌握不牢等，这都是这学期我们急需解决的问题。 二、教学内容分析 本期教学进程主要分为新课教学和总复习教学两个阶段 新课教学共分两章。 第二十八章《锐角三角函数》分为两节，第一节主要学习正弦、 余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的 边角关系和解直角三角形的内容。第二十九章《投影与视图》分为三 节，主要内容包括：投影的基础知识；视图、三视图等概念，课题学 习：制作立体模型。 总复习是本期教学的一个重点。通过系统的总复习使学生全面熟悉 初中数学教学内容，在牢固掌握基础知识的前提下，能娴熟的运用所 学知识分析问题和解决问题。 九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析 一、反比例函数 1．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”． （1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由； （2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围； （3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”， 理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1， ∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大， ∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1， ∴﹣1≤y1﹣y2≤1， 即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数” （2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a， ∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1）， ∴顶点坐标为：（1，a﹣1）， 又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上， ∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a， ∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”， ∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即， ∴0≤a≤1 （3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4， ∵y= +2x﹣4 人教版九年级数学下册单元试卷 目录 第二十六章卷（1） 第二十六章卷（2） 第二十六章卷（3） 第二十六章卷（4） 第二十七章卷（1） 第二十七章卷（2） 第二十七章卷（3） 第二十七章卷（4） 第二十八章卷（1） 第二十八章卷（2） 第二十八章卷（3） 第二十八章卷（4） 第二十九章卷（1） 第二十九章卷（2） 第二十九章卷（3） 第二十九章卷（4） 人教版九年级数学下册第二十六章单元测试卷（1）一、填空题 1．u与t成反比，且当u=6时，t=，这个函数解析式为u=． 2．反比例函数y=的图象经过点（﹣2，﹣1），那么k的值为． 3．函数和函数的图象有个交点． 4．反比例函数的图象经过（﹣，5）、（a，﹣3）及（10，b）点，则k=，a=，b=． 5．若反比例函数y=（2k﹣1）的图象在二、四象限，则k=．6．已知y﹣2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x的函数关系式为．7．函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而． 8．如图是反比例函数y=的图象，那么k与0的大小关系是k0． 9．反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点MP 垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是． 10．是y关于x的反比例函数，且图象在第二、四象限，则m 的值为． 二、选择题 11．下列函数中，y与x的反比例函数是（） A．x（y﹣1）=1 B．y=C．y=D．y= 12．已知反比例函数的图象经过点（a，b），则它的图象一定也经过（）A．（﹣a，﹣b）B．（a，﹣b）C．（﹣a，b）D．（0，0） 13．如果反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣4），那么函数的图象应在（）A．第一，三象限B．第一，二象限C．第二，四象限D．第三，四象限14．若y与﹣3x成反比例，x与成正比例，则y是z的（） A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定 15．函数y=的图象经过点（﹣4，6），则下列各点中在y=的图象上的是（）A．（3，8） B．（﹣4，﹣6）C．（﹣8，﹣3）D．（3，﹣8） 16．正比例函数y=kx与反比例函数y=在同一坐标系中的图象为（）A．B． C．D． 17．在同一直角坐标平面内，如果y=k1x与没有交点，那么k1和k2的关系一定是（） A．k1＜0，k2＞0 B．k1＞0，k2＜0 C．k1、k2同号D．k1、k2异号 18．已知变量y和x成反比例，当x=3时，y=﹣6，那么当y=3时，x的值是（）A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 19．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大致是（）A．B．C．D． 初中数学知识点总结（精华） 第一章 有理数 1、有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的 相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 . 4、.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意： 绝对值的几何意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或??? 最新人教版九年级数学下册教案全册 正弦和余弦（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实． （二）能力训练点 逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． （三）德育渗透点 引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 二、教学重点、难点 1．重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实． 2．难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论． 三、教学步骤 （一）明确目标 1．如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米？ 2．长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少？ 3．若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？ 4．若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度？ 前两个问题学生很容易回答．这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识．但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用．同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来． 通过四个例子引出课题． （二）整体感知 1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值． 学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值．程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长． 2．请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的．大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？ 这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知． （三）重点、难点的学习与目标完成过程 1．通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”．但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃．对于这个问题，部分学生可能能解决它．因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成． 2．学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导： 1 / 9 人教版九年级数学第二学期26.1反比例函数培优训练 一、单选题 1．若点(1,2)-在反比例函数(0)k y k x = ≠的图象上，那么下列各点在此图象上的是( ) A ．(1,2)-- B ．(1,2) C ．(1,2)- D ．(4,1)- 2．已知反比例函数2y x =- ，下列结论不正确的是 A ．图象必经过点(-1,2) B ．y 随x 的增大而增大 C ．图象在第二、四象限内 D ．若x ＞1，则y ＞-2 3．在函数()0k y k x =<的图象上有()11,A y ，()21,B y -，()32,B y -三个点，则下列各式中正确的是（ ） A ．123y y y << B ．132y y y << C ．321y y y << D ．231y y y << 4．当0x <时，反比例函数2y x =-的图象（ ） A ．在第一象限，y 随x 的增大而减小 B ．在第二象限，y 随x 的增大而增大 C ．在第三象限，y 随x 的增大而减小 D ．在第四象限，y 随x 的增大而减小 5．已知反比例函数y =，当1＜x ＜3时，y 的最小整数值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．如图，已知点P 在反比例函数k y x = 上，PA x ⊥轴，垂足为点A ，且AOP ?的面积为4，则k 的值为（ ） A ．8 B ．4 C ．8- D ．4- 7．若正比例函数y=﹣2x 与反比例函数y= k x 图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（ ） A ．（2，﹣1） B ．（1，﹣2） C ．（﹣2，﹣1） D ．（﹣2，1） 人教版九年级数学上册单元测试题全套 第二十一章测试卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是() A．ax2＋2＝x(x＋1) B．x2＋1 x＝3 C．x2＋2x＝y2－1 D．3(x＋1)2＝2(x＋1) 2．如果2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，那么常数k的值为() A．1 B．2 C．－1 D．－2 3．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是() A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3 C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5 4．方程x2－42x＋9＝0的根的情况是() A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根 C．无实根D．以上三种情况都有可能 5．等腰三角形的两边长为方程x2－7x＋10＝0的两根，则它的周长为() A．12 B．12或9 C．9 D．7 6．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行(或列)吗？设增加了x行(或列)，则列方程得() A．(8－x)(10－x)＝8×10－40 B．(8－x)(10－x)＝8×10＋40 C．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40 D．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋40 7．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则?ABCD的周长为() A．4＋2 2 B．12＋6 2 C．2＋2 2 D．4＋22或12＋62 8．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是() 9．在直角坐标系xOy中，已知点P(m，n)，m，n满足(m2＋1＋n2) (m2＋3＋n2)＝8，则OP的长为() A. 5 B．1 C．5 D.5或1 10．如图，某小区规划在一个长为40 m，宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使每块草坪(阴影部分)的面积都为144 m2，则路的宽为() A．3 m B．4 m C．2 m D．5 m 二、填空题(每题3分，共30分) 11．方程(x－3)2＋5＝6x化成一般形式是__________________，其中一次项系数是________． 12．三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长为________________． 13．已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则(a＋b)2 023的值为________． 14．若关于x的一元二次方程2x2－5x＋k＝0无实数根，则k的最小整数值为________． 15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x21－x22＝10，则a＝________． 16．对于任意实数a，b，定义f(a，b)＝a2＋5a－b，如f(2，3)＝22＋5×2－3，若f(x，2)＝4，则实数x的值是________． 人教版数学九年级下册 第二十六章二次函数 (1) 26．1二次函数及其图像 (1) 26．2用函数观点看一元二次方程 (6) 26．3实际问题与二次函数 (6) 第二十七章相似 (6) 27．1图形的相似 (6) 27．2相似三角形 (7) 27．3位似 (7) 第二十八章锐角三角函数 (8) 28．1锐角三角函数 (8) 28．2解直角三角形 (10) 第二十九章投影与视图 (12) 29．1 投影 (12) 29．2 三视图 (12) 第二十六章二次函数 26．1二次函数及其图像 二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ；顶点式 y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax∧２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式； 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ； 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。 牛顿插值公式（已知三点求函数解析式） y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x -x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距) 求根公式 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式）（如右图） 求根的方法还有因式分解法和配方法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。人教版九年级数学 知识点总结
九年级下册人教版数学知识点归纳
人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)
最新人教版九年级数学上册知识点总结史上最全
九年级数学培优练习题
人教版初中数学九年级知识点总结
人教版九年级数学下册：全套教案
人教版九年级上册数学单元测试卷(全册)
人教版九年级上册数学公式
最新人教版数学九年级下册全册教案
九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析
人教版九年级数学下册全套单元试卷
人教版初中九年级下数学知识点总结
最新人教版九年级数学下册教案全册
人教版九年级数学下册 26.1反比例函数培优训练(含答案)
人教版九年级数学上册单元测试题
人教版数学九年级下册知识点
- 九年级数学培优辅差计划2020
- 人教版初中数学中考初三培优训练含答案
- 九年级数学培优《圆》专题训练
- 北师大版九年级数学 反比例函数 培优专题训练(附答案)
- 人教版 九年级数学 22.3 实际问题与二次函数 培优训练(含答案)
- 九年级数学培优训练习(有答案)
- 初三数学培优练习题
- 九年级数学培优补差计划
- 初中九年级数学培优训练专题
- 初三数学反比例函数的专项培优练习题附答案.doc
- 九年级数学培优
- 初三数学培优训练
- 九年级数学培优练习题
- 最新(师)九年级数学培优《圆》专题训练
- (生)九年级数学培优《圆》专题训练.doc
- 人教版九年级上册数学培优体系讲义
- 初三数学(上)培优训练题
- 人教版九年级数学下册 26.1反比例函数培优训练(含答案)
- 最新九年级数学培优教程整理篇(全)
- (生)九年级数学培优《圆》专题训练