浙江省绍兴一中2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年浙江省绍兴一中高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分

1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x﹣1≤0}，则A∩B=（）

A．（﹣1，1] B．（﹣1，1）C．?D．[﹣1，2]

2．D是△ABC边AB上的中点，记=，=，则向量=（）

A．B．C．D．

3．若a＜b＜0，则下列不等式不成立的是（）

A．B．2a＞2b C．|a|＞|b|D．a3＜b3

4．等差数列{a n}中，前n项的和为S n，若a7=1，a9=5，那么S15等于（）

A．90 B．45 C．30 D．（45，2）

5．已知tanθ=2，则sin（2θ+）的值是（）

A．B．C．D．

6．若关于x的不等式|x+2|+|x﹣a|＜5有解，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣7，7）B．（﹣3，3）C．（﹣7，3）D．?

7．将自然数按照表的规律排列，如第2行第3列的数是8，则第2015行第2016列的数是（）

A．2015×2016+3 B．2015×2016+2 C．2015×2016+1 D．2015×2016

8．等差数列{a n}的公差d∈（0，1），且，当n=10时，数列{a n}

的前n项和S n取得最小值，则首项a1的取值范围为（）

A．B．C．

D．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分32分

9．已知向量=（1，x），=（x，3），若与共线，则||=；若⊥，则

||=．

10．关于x的不等式|2x+3|≥3的解集是．

11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣40，a6+a10=﹣10，则S8=．12．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比

为．

13．设点（x，y）在不等式组所表示的平面区域上，若对于b∈[0，1]时，不

等式ax﹣by＞b恒成立，则实数a的取值范围是．

14．数列{a n}的前n项和是S n，若数列{a n}的各项按如下规则排列：

，…若存在正整数k，使S k＜100，S k+1≥100，则a k=，k=．

15．若，则S的整数部分是．

三、解答题：本大题共4小题，满分44分

16．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2（n∈N*）．

（1）求数列{a n}通项公式；

（2）求数列的前n项和T n．

17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣c=b．

（I）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长l的取值范围．

18．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．

（1）试求f（x）的值域；

（2）设g（x）=（a＞0），若对任意s∈[1，+∞），t∈[0，+∞），恒有g（s）

≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．

19．已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k，b k+1，b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由；

（3）已知当n∈N*且n≥6时，（1﹣）n＜（）m，其中m=1，2，…，n，求满足等式

3n+4n+…+（n+2）n=（a n+3）的所有n的值．

2015-2016学年浙江省绍兴一中高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分

1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x﹣1≤0}，则A∩B=（）

A．（﹣1，1] B．（﹣1，1）C．?D．[﹣1，2]

【考点】交集及其运算．

【分析】化简集合A、B，利用定义求出A∩B即可．

【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），

B={x|x﹣1≤0}=（﹣∞，1]，

∴A∩B=（﹣1，1]．

故选：A．

2．D是△ABC边AB上的中点，记=，=，则向量=（）

A．B．C．D．

【考点】向量的线性运算性质及几何意义．

【分析】根据向量的加减的几何意义即可求出．

【解答】解：∵D是△ABC边AB上的中点，

∴==，

∵=，

∴=﹣=﹣，

故选：C．

3．若a＜b＜0，则下列不等式不成立的是（）

A．B．2a＞2b C．|a|＞|b|D．a3＜b3

【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．

【分析】根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论．【解答】解：∵a＜b＜0，

∴ab＞0，

∴，即，故A成立；

y=2x为增函数，2a＜2b，故B不成立；

﹣a＞﹣b＞0，即|a|＞|b|，故C成立；

y=x3为增函数，故a3＜b3，故D成立，

故选：B

4．等差数列{a n}中，前n项的和为S n，若a7=1，a9=5，那么S15等于（）

A．90 B．45 C．30 D．（45，2）

【考点】数列的求和．

【分析】根据a n为等差数列a7=1，a9=5，可以求出通项公式，再利用等差数列前n项和公式进行求解；

【解答】解：∵等差数列{a n}中，设公差为d，

∵a7=1，a9=5，

∴a1+6d=1，a1+8d=5，

解得d=2，a1=﹣11，a15=a1+14d=17

∴S15==45，

故选B．

5．已知tanθ=2，则sin（2θ+）的值是（）

A．B．C．D．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】由已知，利用两角和的正弦函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求，即可计算求值得解．

【解答】解：∵tanθ=2，

∴sin（2θ+）=sin2θcos+cos2θsin=（sin2θ+cos2θ）=×

=×==．故选：D．

6．若关于x的不等式|x+2|+|x﹣a|＜5有解，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣7，7）B．（﹣3，3）C．（﹣7，3）D．?

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】求出|x+2|+|x﹣a|的最小值，解|a+2|＜5，从而求出a的范围即可．

【解答】解：∵|x+2|+|x﹣a|≥|x+2﹣x+a|=|a+2|，

若|x+2|+|x﹣a|＜5有解，

则|a+2|＜5，解得：﹣7＜x＜3，

故选：C．

7．将自然数按照表的规律排列，如第2行第3列的数是8，则第2015行第2016列的数是（）

A．2015×2016+3 B．2015×2016+2 C．2015×2016+1 D．2015×2016

【考点】归纳推理．

【分析】先由表中的数据规律可知，第2015行中共有2015个，则上起第2015行，左起第2016列的数是在第2016行第2016列的数的上面的一个数，结合等差数列的通项可求．【解答】解：表中的每行的第一个数构成的数列记为{a n}

则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5…a2015﹣a2014=2×2014﹣1

以上式子叠加可得，a2015=2015×2013+2

由表中的数据规律可知，第2015行中共有2015个

∵第2016行的第一个数为2016×2014+2

∵第2016行的数是以2016×2014+2为首项，1为公差的等差数列，且横行有2016个数，该数是2016×2014+2+2015

则上起第2015行，左起第2016列的数是在第2016行第2016列的数的上面的一个数

即2016×2014+2+2015+1=2016×2014+2016+2=2016×2015+2

故选B．

8．等差数列{a n}的公差d∈（0，1），且，当n=10时，数列{a n}的前n项和S n取得最小值，则首项a1的取值范围为（）

A．B．C．

D．

【考点】数列与三角函数的综合；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．

【分析】利用三角函数的降幂公式将条件=﹣1转化为：

=﹣sin（a3+a7），再利用和差化积公式转化，求得sin（a7﹣a3）=1，从

而可求得等差数列{a n}的公差d=，

再由即可求得首项a1的取值范围．

【解答】解：∵{a n }为等差数列，

=﹣1，

∴=﹣1，

∴

=﹣sin （a 3+a 7），

由和差化积公式可得：×（﹣2）sin （a 7+a 3）?sin （a 7﹣a 3）=﹣sin （a 3+a 7）， ∵sin （a 3+a 7）≠0，

∴sin （a 7﹣a 3）=1，

∴4d=2k π+∈（0，4）

∴k=0，

∴4d=

，d=

． ∵n=10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值，

∴

即

，

∴﹣

≤a 1≤﹣

．

故选D ．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分32分

9．已知向量=（1，x ），=（x ，3），若与共线，则||= 2 ；若⊥，则||= 3 ． 【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．

【分析】直接利用向量平行垂直的充要条件列出方程，以及向量的模计算即可．

【解答】解：∵向量=（1，x ），=（x ，3），与共线， ∴1×3=x 2，

∴x=±，

∴||===2，

∵⊥， ∴x +3x=0， ∴x=0，

∴||==3，

故答案为：2，3

10．关于x的不等式|2x+3|≥3的解集是（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞）．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】去掉绝对值号求出不等式的解集即可．

【解答】解：∵|2x+3|≥3，

∴2x+3≥3或2x+3≤﹣3，

解得：x≥0或x≤﹣3，

故不等式的解集是（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞），

故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞）．

11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣40，a6+a10=﹣10，则S8=﹣180．

【考点】等差数列的通项公式．

【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出

S8．

【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣40，a6+a10=﹣10，

∴，

解得a1=﹣40，d=5，

∴S8==8×（﹣40）+28×5=﹣180．

故答案为：﹣180．

12．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．

【考点】等比数列的性质．

【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．

【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，

∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），

解．

故答案为

13．设点（x，y）在不等式组所表示的平面区域上，若对于b∈[0，1]时，不

等式ax﹣by＞b恒成立，则实数a的取值范围是a＞4．

【考点】简单线性规划的应用．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

b=0时，ax＞0，∴a＞0；

b≠0时，y＜x﹣1．

a＜0时，不成立；

a＞0时，B（1，3）在y=x﹣1的下方即可，

即3＜﹣1，解得a＞4b，

∵0＜b≤1，

∴a＞4．

综上所述，a＞4．

14．数列{a n}的前n项和是S n，若数列{a n}的各项按如下规则排列：

，…若存在正

整数k，使S k＜100，S k+1≥100，则a k=，k=203．

【考点】归纳推理．

【分析】由数列项的特点，构建新数列b n，表示数列中每一组的和，则b n=是个等差数列，

记b n的前n项和为T n，利用等差数列的和知道T19=85，T20=105，利用S k＜100，S k+1≥100，可得k值，即得答案．

【解答】解：由题意可得，分母为2的有一个，分母为3的有2个，分母为4的有3个，分母为5的有4个，分母为6的有5个，…

把原数列分组，分母相同的为一组，发现他们的个数是1，2，3，4，5…

构建新数列b n，表示数列中每一组的和，则b n=是个等差数列，记b n的前n项和为T n，利用等差数列的和知道T19=85，T20=105，

所以a k定在，，…，中，

又因为S k＜100，S k+1＞100，

所以T19++…+＜100，T19++…++＞100

故第k项为a k=．k=1+2+…+20+13=203，

故答案为：，203．

15．若，则S的整数部分是1998．

【考点】有理数域．

【分析】S=1++++…+=1++

+…+＜1+2×（++…+）=1999；

即S＜1999；同理有S=1++++…+=1++

+…+＞1+2×（++…+）

=1+2×[（﹣）+（﹣）…+（﹣）+（﹣）]

=1+2×（﹣）＞1998．即1998＜S＜1999；进而可得答案．

【解答】解：S=1++++…+

=1+++…+

＜1+2×（++…+）

=1+2×[（﹣1）+（﹣）+…+（﹣）]

=1+2×（﹣1+）

=1+2×

=1+2×[（﹣）+（﹣）…+（﹣）+（﹣）]

=1+2×（﹣）＞1998．

则1998＜S＜1999

所以不超过S的最大整数为1998．

故答案为：1998．

三、解答题：本大题共4小题，满分44分

16．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2（n∈N*）．

（1）求数列{a n}通项公式；

（2）求数列的前n项和T n．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）根据题意和，分别列出式子化简、验证后求出a n；

（2）由（1）化简，利用裂项相消法和等差数列的前n项和公式求出前n项和T n．

【解答】解：（1）由题意得，S n=n2（n∈N*），

当n=1时，a1=S1=1，

当n≥2时，，

当n=1时也符合上式，则a n=2n﹣1；

（2）由（1）得，，

∴

=．

17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣c=b．

（I）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长l的取值范围．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，将sinB=sin（A+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出cosA的值，即可确定出角A的大小；

（Ⅱ）由a，sinA的值，利用正弦定理表示出b与c，进而表示出l，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域确定出范围即可．

【解答】解：（I）由acosC﹣c=b得：sinAcosC﹣sinC=sinB，

又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

∴sinC=﹣cosAsinC，

∵sinC≠0，

∴cosA=﹣，

又0＜A＜π，

∴A=；

（II）由正弦定理得：b==2sinB，c=2sinC，

l=a+b+c=3+2（sinB+sinC）=3+2 [sinB+sin（A+B）]=3+2（sinB+cosB）=3+2

sin（B+），

∵A=，∴B∈（0，），

∴B+∈（，），

∴sin（B+）∈（，1]，

则△ABC的周长l的取值范围为（6，3+2]．

18．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．

（1）试求f（x）的值域；

（2）设g（x）=（a＞0），若对任意s∈[1，+∞），t∈[0，+∞），恒有g（s）

≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．

【考点】函数恒成立问题；绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．

【分析】（1）利用绝对值三角不等式化简求解即可．

（2）通过对a讨论函数g（x）的最小值与函数f（x）的最大值，然后求解a 的范围即可．【解答】解：（1）∵||x+2|﹣|x﹣1||≤|（x+2）﹣（x﹣1）|=3

∴﹣3≤|x+2|﹣|x﹣1|≤3，∴f（x）的值域为[﹣3，3]

（2）g（x）==ax+﹣3，

当a≥3时，g（x）是增函数，g（x）min=a，

当a∈（0，3）时，g（x）min=2﹣3，

∵，f（t）max=3，

由题意知g（s）min≥f（t）max，

①当0＜a＜3时，，此时a无解，

②当a≥3时，a≥3恒成立，

综上，a≥3．

19．已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k，b k+1，b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由；

（3）已知当n∈N*且n≥6时，（1﹣）n＜（）m，其中m=1，2，…，n，求满足等式

3n+4n+…+（n+2）n=（a n+3）的所有n的值．

【考点】数列递推式．

【分析】（1）利用递推关系、“累乘求积”即可得出．

（2）假设存在k（k≥2，k∈N），使得b k，b k+1，b k+2成等比数列，可得

b k?b k+2=．b n=lna n=lnn．（n≥2），利用基本不等式的性质、对数的运算性质即可得出．

（3）由（1）得等式，可化为3n+4n+…+（n+2）n=（n+3）

n，即，化为

．当n≥6时，，

可得当n≥6时，3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n，当n=1，2，3，4，5时，经验算即可得出结论．

=﹣，∴=（n≥2）．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n

﹣1

∴a n=××…×

=×…××1

=n．

∵a1=1，也符合上式．

∴数列{a n}的通项公式为a n=n（n∈N*）．

（2）假设存在k（k≥2，k∈N），使得b k，b k+1，b k+2成等比数列，

则b k?b k+2=．

∵b n=lna n=lnn．（n≥2），

∴b k?b k+2=lnk?ln（k+2）＜=＜=[ln

（k+1）]2=．

这与b k?b k+2=矛盾．

∴不存在k（k≥2，k∈N），使得b k，b k+1，b k+2成等比数列．

（3）由（1）得等式，可化为3n+4n+…+（n+2）n=（n+3）

n，

即，

∴．

∵当n≥6时，，∴，，…，

，

∴

．

∴当n≥6时，3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n

当n=1，2，3，4，5时，经验算n=2，3时等号成立，

∴满足等式的所有n=2，3．

2016年8月19日