【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线整合
专题--圆锥曲线高考题研究
2011-7．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的
实轴长的2倍，则C 的离心率为（）
A
B C ．2
D ．3
2011-14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 。过F 1的直线交于C ,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。 2011-20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中， 已知点A （0，-1），B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，
MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．
（I ）求C 的方程；
（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．
2010-（12）已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为
（A ）
22136x y -= （B ） 22145x y -= （C ） 22
163x y -= （D ）22
154
x y -= 2010-(15)过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程为 . 2010-(20)（本小题满分12分）
设12,F F 分别是椭圆E:22
221x y a b
+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相较于A,B 两点，
且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. （Ⅰ)求E 的离心率；
（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程
2009-（4）双曲线
2
4
x
-
2
12
y
=1的焦点到渐近线的距离为（）
（A）（B）2 （C（D）1
2009-（13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线 的方程为_____________.
2009-（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OP
OM
=λ，求点M的轨迹方程，
并说明轨迹是什么曲线。
2008-11、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和
取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A. （
4
1
，－1） B. （
4
1
，1） C. （1，2） D. （1，－2）
2008-14、过双曲线
22
1916
x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为______________
2008-20、（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为
F 1、F 2。F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25
||3
MF =。
（1） 求C 1的方程；
（2） 平面上的点N 满足12MN MF MF =+，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若
OA ·OB =0，求直线l 的方程。
1. 2011. 山东高考 已知动直线l 与椭圆C: 22
132
x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ
的面积OPQ S ?=
2
,其中O 为坐标原点.（Ⅰ）证明2212x x +和22
12y y +均为定值;Ⅱ）设线段PQ 的中点为
M ，求||||OM PQ ?的最大值（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得2
ODE ODG OEG S S S ???===
?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.
知识解析1、分析第1问：解析几何中常见的设而不求来思考问题，简化运算。设而不求的根据就是直线与圆锥曲线方程联立方程组的二次方程，运用韦达定理： x 1+x 2=－b a , x 1x 2= c
a
2212x x +212212)(x x x x -+=，不难看出联立直线方程和椭圆方程转化为关于x 的二次方程，应用韦达定
理计算2212x x +的值，同理可求22
12
y y +，
注意直线方程的中对斜率的讨论，以免漏解。2、（知识点1）
弦长公式：|y y |)k 1
1(|x x |k 1)y y ()x x |AB |212
212
221221-+
=-+=-+-=）（
（，其中)y ,x (B ),y ,x (A 2211，k 是直线AB 的斜率3、分析第2问：直线与圆锥曲线交点弦中点问题处理：设而不
求方法。直线方程b kx y +=与圆锥曲线12
2=+ny mx 相交，设相交两点为),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 的中点为),(00y x P ，则联立直线方程与圆锥曲线方程得012)(2
2
2
=-+++nb knbx x nk m ，由韦达定理得221022nk m bnk x x x +-=+=
，2
00nk
m bm
b kx y +=+= 4、注意P 、Q 、M 三点坐标关系，联系第1问解决会简化运算。5、求最值在大脑里要有这些意识：①建
立某个参数的函数求最值，②利用均值不等式求最值6、第3问比较难一些，难在如何应用第1问的结论，
难在对条件ODE ODG OEG S S S ???===
补充例题
椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q。
(I)当|CD | = 3
2
2
时，求直线l的方程；
(II)当点P异于A、B两点时，求证：OP OQ
?为定值。
知识解析
1、（分析第1问）本问是一个基础试题，关键是对一些基本的数学式子、文字语言理解，结合图形求解，
难点在运算上。处理如下①快速求出椭圆方程，②|CD | = 3
2 2
方程形式：“过其焦点F(0，1)的直线l”表明选用斜截式直线方程。
2、（分析第2问）OP OQ
?的运算用坐标运算，当然运算中必有一个参数，于是选择直线CD的斜率k了，关键求P、Q的坐标，P点坐标求得比较容易，Q点坐标主要求横坐标，于是求直线AC、BD 的方程，剩下就是计算了。
3、小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，
2.2011. 湖南高考 原题再现
如图7，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32
，x
轴被
曲线2
2:C y x b =- 截得的线段长等于1C 的长半轴长。 （Ⅰ）求1C ，2C 的方程；
（Ⅱ）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B,直线MA,MB 分别与1C 相交与D,E. （i ）证明：MD ME ⊥；
(ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S .问：是否存在直线l ,使得
21S S =32
17
?请说明理由。 知识解析
1、分析第1问：属于基础题，不难求得，第一问强化基础知识落实，重在识记和运算能力的考查。
2、（知识点）处理圆锥曲线中垂直的方法有：①当两条直线的斜率都存在时，两条垂直直线的斜率互为负倒数：121-=?k k ，②构造直角三角形，抓住直角三角形的几何特点建立等量关系：勾股定理。③直接用向量运算：NA →·NB →
0)y y )(y y ()x x )(x x (0N B N A N B N A =--+--?=3、（分析第2问）①第1小问：证明MD ⊥ME ，就是证明MA MB ⊥，这样就是抛物线内的一个常见问题。②第2小问：抓住第1小问结论，直线MA ，MB 的方程可以用一个参数k 设出方程，分别与抛物线、椭圆联立求得A 、B 、C 、D 坐标，表示△MAB,△MDE 的面积12,S S ，建立
121732
S S =方程，其中只有参数k 了，看看是否有解就可以了4、（知识点）三角形面积公式：S=12（底×高）和S=1
2bcsinA ，选择哪个在于分析解决问题的需要而定，一般来说直角三角形选用S=1
2（底×高）5、本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．
补充例题
如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12
42
2=+y x 的顶点，
过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，
垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k
（2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 知识解析
1、求斜率的基本方法：①求直线的倾斜角；②求直线上不同的两点；③求直线的方向向量；④求出该直线的方程。
2、分析第1问：不难看出选用斜率求法的第②中方法，因为直线PA 过原点，再求MN 的中点即可
3、分析第2问：求点到直线的距离，求点P 坐标和直线AB 方程.
4、处理圆锥曲线中垂直的方法有：
①当两条直线的斜率都存在时，两条垂直直线的斜率互为负倒数：121-=?k k ， ②构造直角三角形，抓住直角三角形的几何特点建立等量关系。
③直接用向量运算：0))(())((0=--+--?=?P B P A P B P A y y y y x x x x
5、本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知
识，考查运算求解能力和推理论证能力
江西2011-9．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－33，33)
B ．(－
33，0)∪(0，3
3
) C ．[－
33，33
]
D ．(－∞，－
33)∪(3
3
，＋∞)
江西2011-14．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，1
2)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，
B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是____． 江西2011-20．(本小题满分13分)
P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直
线PM ，PN 的斜率之积为1
5
.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC ＝
λOA ＋OB ，求λ的值．
四川2011-10．在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )
A ．(－2，－9)
B ．(0，－5)
C ．(2，－9)
D ．(1，－6)
四川2011-14．双曲线x 264－y 2
36＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么点P 到左准线的距离是
__________．
天津2011-11．已知抛物线C 的参数方程为?
????
x ＝8t
2y ＝8t ，(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的
焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.
天津2011-18．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1、F 2分别为
x 2y 2
(1)求椭圆的离心率e ；
(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点．满足AM ·BM ＝－2，求点M 的轨迹方程．
浙江2011-8．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2
－y 2
4＝1有公共的焦点，
C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )
A ．a 2＝13
2
B ．a 2＝13
C ．b 2＝1
2
D ．b 2＝2
浙江2011-17．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2
＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A ―→＝5F 2B ―→，
则点A 的坐标是________．
浙江21．(15分)已知拋物线C 1：x 2＝y ，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M .
(1)求点M 到拋物线C 1的准线的距离；
(2)已知点P 是拋物线C 1上一点(异于原点)．过点P 作圆C 2的两条切线，交拋物线C 1于A ，B 两点．若过M ，P 两点的直线l 垂直于直线AB ，求直线l 的方程．
重庆2011-8．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形
ABCD 的面积为( )
A ．5 2
B ．10 2
C ．15 2
D ．20 2
重庆20．(本小题满分12分，(Ⅰ)小问4分，(Ⅱ)小问8分．)如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝
2
2
，一条准线的方程为x ＝2 2. (Ⅰ)求该椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设动点P 满足：OP ＝OM ＋2ON ，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－1
2.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．
2011-7．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的
实轴长的2倍，则C 的离心率为（b ）
A 2
B 3
C ．2
D ．3
2011-14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，离心率为
2
2
。过F 1的直线交于C ,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为
22
1168
x y += 。 2011-20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中， 已知点A （0，-1），B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，
MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．
（I ）求C 的方程；
（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值． (20）解：
(Ⅰ)设M(x ，y)，由已知得B(x ，-3)，A(0，-1).
所以MA =（-x ，-1-y ）， MB =(0，-3-y)， AB =(x ，-2).
再由题意可知（MA +MB ）? AB =0， 即（-x ，-4-2y ）? (x ，-2)=0.
所以曲线C 的方程式为y=14
x 2
-2. (Ⅱ)设P(x 0，y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点，因为y '=12x ，所以l 的斜率为1
2x 0
因此直线l 的方程为0001()2
y y x x x -=-，即2
000220x x y y x -+-=。
则O 点到l
的距离2
d =
.又2
00124
y x =
-，所以
2
014
12,2x d +==≥
当2
0x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.
2010-（12）已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB
的中点为N(-12,-15),则E 的方程为
（A ）
22136x y -= （B ） 22145x y -= （C ） 22
163
x y -= （D ）22
154
x y -= 12．【答案】B
【解析】由已知条件易得直线l 的斜率为1FN
k k ==，设双曲线方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，
1122(,),(,)A x y B x y ，则有22
1122
22
2222
11
x y a b x y a b ?-=????-=??，两式相减并结合121224,30x x y y +=-+=-得，21221245y y b x x a -=-，从而22415b a
=，即2245b a =，又229a b +=，解得22
4,5a b ==，故选B ．
【技巧点拨】圆锥曲线的中点弦问题常用点差法进行推理分析, 此类设而不求法在简便计算中经常使用. 2010-(15)过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程为 . 15．【答案】2
2
(3)2x y -+=
【解析】设圆的方程为2
2
2
()()x a y b r -+-=，则根据已知条件得
222
222
2(4)(1)3(2)(1)02a b r a a b r b r r ?
?-+-==????-+-=?=????=??=??
． 【技巧点拨】利用圆的标准方程及方程组思想方法是求解圆方程的通法, 此法较应用几何直观的方法运算较繁,因此在解题时要注意策略的选择. 2010-(20)（本小题满分12分）
设12,F F 分别是椭圆E:22
221x y a b
+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相较于A,B 两点，
且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. （Ⅰ)求E 的离心率；
（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程
20. 【解题指导】(1)利用直线与椭圆的位置关系可以计算得弦长公式,从而得出基本量间的关系式.
(2)利用中点坐标及斜率公式可以计算得基本量的值,从而得出椭圆的标准方程.
【规律总结】直线与椭圆的位置处理方法是一种通法,其唯一的不足之处是计算量较大,另外多变量也是此类问题难度较大的一个特征, 从整体上把握各个变量间的关系, 进行适当的调控是此类问题的解题策略. （20）解：
（Ⅰ）由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+，得43
AB a =
. l 的方程为y x c =+
，其中c =设1122(,),(,)A x y B x y ，则A ，B 两点坐标满足方程组2222,1.
y x c x y a
b =+??
?+=??
化简得2
2
2
2
2
2
2
()2()0a b x a cx a c b +++-=，则222212122
222
2()
,.a c a c b x x x x a b a b --+==++ 因为直线AB 斜率为1
，所以21AB x =
-=得222
443ab a a b
=+，故22
2a b =，所以E
的离心率2
c e a ===.
2009-（4）双曲线24x -2
12
y =1的焦点到渐近线的距离为（a ）
（A ）3 （B ）2 （C 3 （D ）1
2009-（13）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为y x =_____________. 2009-（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在s 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OP
OM
=λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （20）解:
(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c ，，由已知得
1,4,37
a c a c a c -=?==?
+=?解得，所以椭圆C 的标准方程为22
1167x y += （Ⅱ）设(,)M x y ，其中[]4,4x ∈-。由已知
22
2
OP OM
λ=及点P 在椭圆C 上可得2222
9112
16()
x x y λ+=+。 整理得2
2
2
2
(169)16112x y λλ-+=，其中[]4,4x ∈-。 （i ）34
λ=
时。化简得2
9112y = 所以点M 的轨迹方程为47
44)y x =-≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段。
（ii ）3
4
λ≠时，方程变形为
22
22
111211216916x y λλ+=-，其中[]4,4x ∈-
当3
04
λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44x -≤≤的部分。 当
3
14
λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44x -≤≤的部分； 当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆；
2008-11、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和
取得最小值时，点P 的坐标为（ a ） A. （
4
1
，－1） B. （
4
1
，1） C. （1，2） D. （1，－2）
2008-14、过双曲线
22
1916
x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为___
32
15
___________ 2008-20、（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为
F 1、F 2。F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25
||3
MF =。
（3） 求C 1的方程；
（4） 平面上的点N 满足12MN MF MF =+，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若
OA ·OB =0，求直线l 的方程。
20．解：
（Ⅰ）由2C ：2
4y x =知2(10)F ，
． 设11()M x y ，，M 在2C 上，因为253MF =
，所以1513x +=，得12
3
x =
，13y =．
M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是22
224
8193 1.a b b a ?+=?
??=-?
， 消去2b 并整理得 4
2
93740a a -+=，解得2a =（1
3
a =不合题意，舍去）．故椭圆1C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）由12MF MF MN +=知四边形
12MF NF 是平行四边形，其中心为坐标原点O ， 因为l MN ∥，所以l 与OM 的斜率相同，
故l
的斜率32k ==
设l 的方程为6()y x m =-．由2234126()x y y x m ?+=??=-??，
，
消去y 并化简得22916840x mx m -+-=．
设11()A x y ，，22()B x y ，，12169
m
x x +=，212849m x x -=．
因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=．121212126()()x x y y x x x m x m +=+--
2
121276()6x x m x x m =-++22841676699m m m m -=-+21
(1428)09
m =-=．
所以2m =±．此时22
(16)49(84)0m m ?=-?->，故所求直线l 的方程为63y x =
-，或
623y x =+
2007-6（c ）
2007-13（3）
2007-19
1. 2011. 山东高考 原题再现
已知动直线l 与椭圆C: 22132
x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ?6其
中O 为坐标原点.（Ⅰ）证明2212x x +和22
12y y +均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ?的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得6
ODE ODG OEG S S S ???===
若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.
知识解析
1、分析第1问：解析几何中常见的设而不求来思考问题，简化运算。设而不求的根据就是直线与圆锥曲线方程联立方程组的二次方程，运用韦达定理： x 1+x 2=－b a , x 1x 2= c
a
2212x x +212212)(x x x x -+=，不难看出联立直线方程和椭圆方程转化为关于x 的二次方程，应用韦达定
理计算2212x x +的值，同理可求22
12
y y +，
注意直线方程的中对斜率的讨论，以免漏解。
2、（知识点1）弦长公式：
|y y |)k 1
1(|x x |k 1)y y ()x x |AB |212
212
221221-+
=-+=-+-=）（（， 其中)y ,x (B ),y ,x (A 2211，k 是直线AB 的斜率
3、分析第2问：直线与圆锥曲线交点弦中点问题处理：设而不求方法。
直线方程b kx y +=与圆锥曲线12
2=+ny mx 相交，设相交两点为),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 的
得221022nk m bnk x x x +-=+=
，2
0nk m bm
b kx y +=+= 4、注意P 、Q 、M 三点坐标关系，联系第1问解决会简化运算。
5、求最值在大脑里要有这些意识：①建立某个参数的函数求最值，②利用均值不等式求最值
6、第3问比较难一些，难在如何应用第1问的结论，难在对条件ODE ODG OEG S S S ???===难在综合分析、处理、整理内在的联系。 真题全解 （I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，
所以2121,.x x y y ==- 因为11(,)P x y 在椭圆上，
因此22
11132
x y += ①又因为OPQ S ?=
所以11||||x y ?= ②
由①、②得11||| 1.x y =
=此时222212
123,2,x x y y +=+= （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+
由题意知m 0≠，将其代入22
132
x y +=，得222(23)63(2)0k x kmx m +++-=， 其中2
2
2
2
3612(23)(2)0,k m k m ?=-+->即2232k m +>
…………（*）
又2121222
63(2),,2323km m x x x x k k
-+=-=++
所以||PQ == 因为点O 到直线
l
的距离为
d =
所以
1
||
2OPQ
S PQ d ?=?223k =
+
2
|23m k =+又OPQ S ?=整理得22322,k m +=且符合（*）式， 此时22
22
21
2
121222
63(2)
()2()23,2323km m x x x x x x k k
-+=+-=--?=++
222222
121212222(3)(3)4() 2.333
y y x x x x +=-+-=-+=
综上所述，2222
12123;2,x x y y +=+=结论成立。
（II ）解法一：
（1）当直线l 的斜率不存在时，由（I
）知11|||||2||2,OM x PQ y ==
==
因此||||22OM PQ ?=
?= （2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知123,22x x k m
+= 2221212222
2212122222
22
2222222
332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),(23)y y x x k k m k m m m m m
x x y y k m OM m m m m k m m PQ k k m m
++-+1
=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++
所以22
22111||||(3)2(2)2OM PQ m m ?=?-??+ 2222
211
(3)(2)11
3225(
).24
m m m m =-
+-++≤= 所以5||||2OM PQ ?≤
，当且仅当2211
32,m m m
-=+=即时，等号成立. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5
.2
解法二：因为222222
121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-
2222
12122[()()]
10.
x x y y =+++=
所以
224||||10
2|||| 5.
25
OM PQ OM PQ +?≤==即
5
||||,
2
OM PQ ?≤当且仅
当
2||||OM PQ == 因此 |OM|·|PQ|的最大值为5
.2
（III ）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G
，使得2
ODE ODG OEG S S S ???===
证明：假设存在1122(,),(,),(,)2
ODE ODG OEG D u v E x y G x y S S S ???===满足， 由（I ）得
222222222222
12121212222222121212123,3,3;2,2,2,
3; 1.
25
,,,,,1,
2
u x u x x x v y v y y y u x x v y y u x x v y y +=+=+=+=+=+=======±±解得因此只能从只能从中选取
因此D ，E ，G 只能在6
(1)2
±
±这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点， 与6
ODE ODG OEG S S S ???===
矛盾，所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G.
补充例题
椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l 与
椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q 。 (I)当|CD | =
3
22
l 的方程； (II)当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP OQ ? 为定值。
知识解析 1、（分析第1问）本问是一个基础试题，关键是对一些基本的数学式子、文字语言理解，结合图形求解，难点在运算上。处理如下①快速求出椭圆方程，②|CD | =
3
22
方程形式：“过其焦点F(0，1)的直线l ”表明选用斜截式直线方程。
2、（分析第2问）OP OQ ?的运算用坐标运算，当然运算中必有一个参数，于是选择直线CD 的斜率k 了，关键求P 、Q 的坐标，P 点坐标求得比较容易，Q 点坐标主要求横坐标，于是求直线AC 、BD 的方程，剩下就是计算了。
3、小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力， 试题全解
（Ⅰ）因椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为22
221(0)y x a b a b
+=>>，
由已知得1b =，1c =，所以2
2a =，则椭圆方程为2
2
12
y x +=．
直线l 垂直于x 轴时与题意不符．
设直线l 的方程为1y kx =+，联立2
21,2
1,y x y kx ?+
=???=+?
得22(2)210k x kx ++-=， 设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则
22244(2)8(1)0k k k ?=++=+>，12222k x x k +=-
+，12
21
2
x x k =-+，
||CD =．
，解得k =
所以直线l
的方程为1y =+
或1y =+． （Ⅱ）直线l 垂直于x 轴时与题意不符．
设直线l 的方程为1y kx =+（0k ≠且1k ≠±），所以P 点的坐标为1
(,0)k -．
设11(,)C x y ，22(,)D x y ，由（Ⅰ）知12222k x x k +=-
+，12
21
2
x x k =-+， 直线AC 的方程为：11(1)1y y x x =++，直线BD 的方程为：22(1)1
y
y x x =--，
方法一： 联立方程1
12
2(1),1
(1),
1
y y x x y y x x ?
=+?+?
?
?=-?+?
设00(,)Q x y ，解得122121120
12211221(1)
1(1)(1)(1)
(1)(1)(1)1(1)y x y x y x y x x y x y x y x y x -+
+++-==-+---+， 不妨设12x x >，则
211202112(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
kx x kx x x kx x kx x ++++-=
++-+-12122112122()()
()()2kx x x x k x x k x x x x +++-=
++-+
2222k k ---=
k ==- 因此Q 点的坐标为0(,)k y -，又1(,0)P k
-，∴
1()()01OP OQ k k ?=-?-+=． 故OP OQ ?为定值． 方法二：
2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳
【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾
股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤：
2020年高考数学圆锥曲线小题精选
圆锥曲线小题精选 1．圆()22 :4M x m y -+=与双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的两条渐近线相切于A 、B 两点，若AB =C 的离心率为（ ） A ．3 B C ．2 D ．3 2．已知双曲线()22 22:1,0x y C a b a b -=>的左右焦点为12,F F ，过2F 作x 轴的垂线与C 相交于,A B 两点，1F B 与y 轴相交于D ．若1AD F B ⊥，则 b a 为（ ） A ．2 B C D ．1 3．已知双曲线C ：22 221(,0)x y a b a b -=>的左、右焦点为1F ，2F ，直线l :1y x =+与双曲线C 相交于A ，B 两点，12AF F △，12BF F △的重心分别为G ，H ，若以GH 为直径的圆过原点，则 2211a b -=（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12 - 4．已知椭圆C ：22 22x y a b +=1（a ＞b ＞0），F 1，F 2为椭圆的左右焦点，过F 2的直线交椭圆与A 、B 两点，∠AF 1B ＝90°，2223AF F B =u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 5．已知直线(),0y kx m k =+<与抛物线2:8C y x =及其准线分别交于A ,B 两点,F 为 抛物线的焦点,若2,FA AB =u u u r u u u r 则m 等于（ ） A B ．C ．D ．6．已知双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,,F F 过F 2的直线与双曲线左、右两支分别交于点A ，B ，若1ABF ?为等边三角形，则双曲线E 的渐近线方程为（ ） A ．y = B ．y = C ．y =± D ．,y =±
高考数学一轮复习专题突破训练圆锥曲线
圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲
7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y
高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义
高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0
高考数学圆锥曲线专题复习
圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.
2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.
高考数学圆锥曲线大题集大全
高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1
4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是 椭圆22 154 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== 设P （x ，y ），则1),1(),1(2 221-+=--?---=?y x y x y x PF 35 1 1544222+=-- +x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3； 当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不 存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y 由方程组22 22221(54)5012520054 (5)x y k x k x k y k x ?+ =?+-+-=??=-? ，得 依题意220(1680)0k k ?=-><< ，得 当5 5 55< <- k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4 5252,455022 2102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4 520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 圆锥曲线小题狂练一 1若直线l ：y ＝kx +1与曲线c ：x ＝ 12+y 只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 . 2 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 A ．2 B ．3 C. 115 D. 3716 3、曲线[]214(2,2)y x x =+-∈-与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，k 的取值范 围是（ ） A 、5(0, )12 B 、11(,)43 C 、5(,)12+∞ D 、53(,)124 4、如果实数x,y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么x y 的最大值是（ ） A ．21 B ．33 C ．23 D ．3 5 若直线x+y ﹣m=0与曲线 有公共点，则m 所的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 6 已知圆和圆的公共弦长为 ，则实数a 的值为 _________ ． 7已知AC ，BD 为圆O ：x 2+y 2=4的两条互相垂直的弦，垂足为 ．则四边形 ABCD 的面积的取值范围是 _________ ． 8不论k 为何实数，直线l ：y=kx+1恒过的定点坐标为 _________ 、若该直线与圆x 2+y 2﹣2ax+a 2﹣2a ﹣4=0恒有交点，则实数a 的取值范围是 _________ ． 9 若关于x 的方程： 有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围： _________ ． 10已知两点M （﹣2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足 =0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（ ） A ． y 2=8x B ． y 2=﹣8x C ． y 2=4x D ． y 2=﹣4x 圆锥曲线的综合问题 [知识能否忆起] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1 －x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. [小题能否全取] 1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 23＝1 B.y 23 －x 2 ＝1 C.34x 2－3 8 y 2＝1 D.34y 2－3 8 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2，c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3. 故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离及点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （41，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11 c a ＜ 2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离及P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．9 2 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8， A B C D - 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 第六节 圆锥曲线综合 考纲解读 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2.会处理动曲线（含直线）过定点的问题. 3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题. 4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究 从内容上看，预测2015年高考主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题. 从形式上看，以解答题为主，难度较大. 从能力要求上看，要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量. （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法. （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法. 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点). （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. （3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围. 题型归纳及思路提示 题型150 平面向量在解析几何中的应用 思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面. （1）用向量的数量积解决有关角的问题.直角?0a b =,钝角?0a b <(且,a b 不反向), 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） 椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆 的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应 于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）高考数学圆锥曲线综合题题库1 含详解
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