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第二章 4.1导数的加法与减法法则

第二章 4.1导数的加法与减法法则
第二章 4.1导数的加法与减法法则

§4 导数的四则运算法则

4.1 导数的加法与减法法则

[学习目标]

1.理解导数的加法与减法法则的推导方法.

2.掌握导数的加法与减法法则.

3.会利用导数的加法与减法法则进行简单导数计算.

[知识链接]

利用导数的和(差)公式进行导数运算的前提条件是什么?

答 应用的前提条件是:①必须是有限个函数和(差)的形式;②其中每个函数的导数都存在且利用公式能容易求出.

[预习导引]

1.导数的加法与减法法则

(1)符号语言

①[f (x )+g (x )]′=f ′(x )+g ′(x ).

②[f (x )-g (x )]′=f ′(x )-g ′(x ).

(2)文字语言

两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差).

2.两个函数和差的求导法则的推广

(1)[af (x )±bg (x )]′=af ′(x )±bg ′(x )(a ,b 为常数).

(2)[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n (x )]′=f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x ).

要点一 直接利用法则求导数

例1 求下列函数的导数:

(1)y =x ? ??

??1+2x +2x 2;

(2)y =1+sin x 2cos x 2;

(3)y =x ? ??

??x 2+1x +1x 3; (4)y =(x +1)? ??

??1x -1. 解 观察式子的特点,可以先化简再求导. (1)∵y =x +2+2x ,∴y ′=1-2x 2.

(2)∵y =1+sin x 2cos x 2=1+12sin x ,∴y ′=12

cos x . (3)∵y =x ? ??

??x 2+1x +1x 3=x 3+1+1x 2,∴y ′=3x 2-2x 3. (4)∵y =(x +1)? ????1x -1=-x +1x

, ∴y ′=(-x )′+? ??

??1x ′=-12-12

=-12x ?

????1+1x . 规律方法 对一个函数求导时,要紧扣导数运算法则,联系基本初等函数的导数公式,在不利于直接应用导数公式时,可适当运用代数、三角恒等变换手段,对函数进行化简,然后求导.这样可以减少运算量,优化解题过程.

跟踪演练1 求下列函数的导数:

(1)y =15x 5-43x 3+3x +2;

(2)y =sin 4x 4+cos 4x 4.

解 (1)y ′=? ??

??15x 5-43x 3+3x +2′ =? ????15x 5′-? ??

??43x 3′+(3x )′+(2)′=x 4-4x 2+3. (2)∵y =? ??

??sin 2x 4+cos 2x 42-2sin 2x 4cos 2x 4 =1-12sin 2x 2=1-12·1-cos x 2=34+14cos x ,

∴y ′=-14sin x .

要点二 求导法则的逆向应用

例2 已知f ′(x )是一次函数,x 2·f ′(x )-(2x -1)·f (x )=1对一切x ∈R 恒成立,求f (x )的解析式.

解 由f ′(x )为一次函数可知,f (x )为二次函数,设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f ′(x )=2ax +b ,把f (x ),f ′(x )代入关于x 的方程得x 2(2ax +b )-(2x -1)·(ax 2+bx +c )=1,即(a -b )x 2+(b -2c )x +c -1=0,又该方程对一切x ∈R 恒成立,所以??? a -b =0,

b -2

c =0,

c -1=0,解得??? a =2,b =2,c =1,

所以f (x )=2x 2+2x +1.

规律方法 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题,然后利用已知条件解出所设未知数,进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式,特别是已知具有某些特征的函数.

跟踪演练2 设y =f (x )是二次函数,方程f (x )=0有两个相等的实根,且f ′(x )=2x +1.求y =f (x )的函数表达式.

解 ∵f ′(x )=2x +1,

∴f (x )=x 2+x +c (c 为常数),

又∵方程f (x )=0有两个相等的实根,即x 2+x +c =0有两个相等的实根,Δ=12

-4c =0,即c =14,

∴f (x )的表达式为f (x )=x 2+x +14.

要点三 导数的应用

例3 已知函数f (x )=x 3+x ,求函数在点(2,10)处的切线方程.

解 f ′(x )=(x 3+x )′=(x 3)′+(x )′=3x 2+1.

∴f ′(2)=3×22+1=13.

∴所求切线的斜率是13.

∴切线方程为y -10=13(x -2),

即13x -y -16=0.

∴所求切线的方程是13x -y -16=0.

规律方法 导数的几何意义是曲线的切线的斜率,对较复杂函数的求导,可利用导数公式和运算法则.

跟踪演练3 已知函数f (x )=sin x +cos x ,求曲线y =f (x )在x =π4处的切线方程.

解 ∵f ′(x )=(sin x +cos x )′

=(sin x )′+(cos x )′=cos x -sin x ,

∴f ′? ??

??π4=cos π4-sin π4=0. ∴曲线y =f (x )在x =π4处的切线斜率为0.

又f ? ??

??π4=2,∴所求切线方程为y = 2.

1.函数f (x )=sin x +x 的导数是( )

A .f ′(x )=cos x +1

B .f ′(x )=cos x -1

C .f ′(x )=-cos x +1

D .f ′(x )=-cos x +x

答案 A

2.曲线y =x 3-3x 2+1在点(1,-1)处的切线方程为( )

A .y =3x -4

B .y =-3x +2

C .y =-4x +3

D .y =4x -5 答案 B

解析 ∵y ′=3x 2-6x ,

∴曲线在点(1,-1)处的切线斜率为-3.

∴切线方程为y =-3x +2.

3.已知f ′(1)=13,则函数g (x )=f (x )+x 在x =1处的导数为________. 答案 14

解析 g ′(x )=f ′(x )+1,

∴g ′(1)=f ′(1)+1=14.

4.过原点作曲线y =e x 的切线,则切点坐标为________.

答案(1,e)

解析∵(e x)′=e x.设切点坐标为(x0,e x0),则过该切点的切线斜率为e x0,令=

e x0e x0-0

x0-0

.即x0·e x0=e x0

∴x0=1.∴切点坐标为(1,e).

1.导数公式和导数的运算法则是计算导数的重要工具.

2.利用导数解决曲线的切线问题要分清所给点是否是切点.

一、基础达标

1.下列结论不正确的是()

A.若y=3,则y′=0

B.若f(x)=3x+1,则f′(1)=3

C.若y=-x+x,则y′=-

1

2x

+1

D.若y=sin x+cos x,则y′=cos x+sin x

答案 D

解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解.D项,∵y=sin x+cos x,∴y′=(sin x)′+(cos x)′=cos x-sin x.

2.函数y=x-(2x-1)2的导数是()

A.3-4x B.3+4x

C.5+8x D.5-8x

答案 D

解析y=x-(4x2-4x+1)=-4x2+5x-1,

y′=-8x+5.

3.曲线f(x)=x3+x-2在P0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为()

A.(1,0) B.(2,8)

C.(1,0)和(-1,-4) D.(2,8)和(-1,-4)

答案 C

解析 ∵f ′(x 0)=3x 20+1=4,∴x 0=±1.

4.曲线f (x )=x 2+bx +c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx +y +c =0间的距离是( ) A.24 B.22 C.322 D. 2

答案 C

解析 因为曲线过点(1,2),

所以b +c =1,

又f ′(1)=2+b ,由题意得2+b =-b ,

∴b =-1,c =2.

所以所求的切线方程为y -2=x -1,

即x -y +1=0,

故两平行直线x -y +1=0和x -y -2=0的距离为

d =|1+2|2

=322. 5.过点P (-1,2)且与曲线f (x )=3x 2-4x +2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是______________________________.

答案 2x -y +4=0

解析 易求f ′(x )=6x -4,f ′(1)=2.

∴所求直线的斜率k =2.

则直线方程为y -2=2(x +1),

即2x -y +4=0.

6.某物体做直线运动,其运动规律是s =t 2+3t (t 的单位是s ,s 的单位是m),则

它在第4 s 末的瞬时速度应该为________________________.

答案 71316 m/s

解析 ∵s ′=2t -3t 2,

∴v =s ′(4)=8-316=71316 (m/s).

7.已知函数f (x )=2x +x 2-x ,求f ′(1),f ′(4).

解 f ′(x )=(2x +x 2-x )′=(2x )′+(x 2)′-x ′

=2x ln 2+2x -1,

∴f ′(1)=2ln 2+1,

f ′(4)=24·ln 2+2×4-1=16ln 2+7.

二、能力提升

8.函数y =2x 2-x x +3x -2x

的导数为( ) A.x ? ????3+1x 2+1 B.x ? ??

??3-1x 2-1 C.x ? ????3-1x 2+1 D.x ? ??

??3+1x 2-1 答案 D

解析 ∵y =-x +3-,

=3x +1

x x -1=x ? ????3+1x 2-1. 9.设函数f (x )=g (x )+x 2,曲线y =g (x )在点(1,g (1))处的切线方程为y =2x +1,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处切线的斜率为( ) A .4 B .-14 C .2 D .-12

答案 A

解析 依题意得f ′(x )=g ′(x )+2x ,

f ′(1)=

g ′(1)+2=4.

10.(2013·江西)设函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x +e x ,则f ′(1)=________. 答案 2

解析 令t =e x ,则x =ln t ,所以函数为f (t )=ln t +t ,即f (x )=ln x +x ,所以f ′(x )=1x +1,即f ′(1)=11+1=2.

11.已知抛物线y =ax 2+bx +c 过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y =x -3相切,求a 、b 、c 的值.

解 因为y =ax 2+bx +c 过点(1,1),

所以a +b +c =1.

y ′=2ax +b ,

曲线在点(2,-1)处的切线的斜率为4a +b =1.

又曲线过点(2,-1),

所以4a +2b +c =-1.

由??? a +b +c =1,

4a +b =1,

4a +2b +c =-1,

解得??? a =3,

b =-11,

c =9.

所以a 、b 、c 的值分别为3、-11、9.

12.已知函数f (x )=ax -6x 2+b

的图像在点M (-1,f (-1))处的切线方程为x +2y +5=0.求函数y =f (x )的解析式.

解 由M (-1,f (-1))在x +2y +5=0上得

-1+2f (-1)+5=0,即f (-1)=-2.

即-a -61+b

=-2,① 又f ′(x )=a (x 2+b )-2x (ax -6)(x 2+b )2.由f ′(-1)=-12得 a (1+b )+2(-a -6)(1+b )2=-12.② 由①②得a =2,b =3,

∴函数f (x )的解析式为f (x )=2x -6x 2+3

. 三、探究与创新

13.设函数f (x )=ax -b x ,曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x -4y -12

=0.

(1)求f (x )的解析式;

(2)证明:曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.

(1)解 由7x -4y -12=0得y =74x -3.

当x =2时,y =12,

∴f (2)=12,①

又f ′(x )=a +b x 2,

∴f ′(2)=74,②

由①,②得????? 2a -b 2=12,

a +

b 4=74.

解之得???

a =1

b =3

. 故f (x )=x -3x . (2)证明 设P (x 0,y 0)为曲线上任一点,

由y ′=1+3x 2知

曲线在点P (x 0,y 0)处的切线方程为

y -y 0=? ??

??1+3x 20(x -x 0), 即y -? ????x 0-3x 0=? ??

??1+3x 20(x -x 0). 令x =0得y =-6x 0

,从而得切线与直线x =0的交点坐标为? ????0,-6x 0. 令y =x 得y =x =2x 0,从而得切线与直线y =x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).

所以点P (x 0,y 0)处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形面积为12????

??-6x 0||2x 0=6.

故曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形的面积为定

值,此定值为6.

高等数学公式导数基本公式

高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=, , ,  a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高中数学知识点精讲精析 导数的加法与减法法则

4.1 导数的加法与减法法则 1.如果函数u (x )、v (x )均为可导函数,则有 [ u (x )±v (x ) ]ˊ= u ˊ(x ) ± v ˊ(x ) 2.导数的基本公式 (1)幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数还是幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数。这四类函数的导数仍是同类函数,而对数函数和反三角函数的导数是代数函数。 (2)正弦、正切、反正弦、反正切的导数带正号;余弦、余切、反余弦、反余切的导数带负号。 (3)正弦与正切的导数分别是余弦与正割的平方;余弦与余切的导数分别是正弦与余割的平方但要加负号。 (4)反正弦与反余弦的导数仅差一负号;反正切与反余切的导数也仅差一负号。 (5)双曲正弦、双曲余弦、双曲正切的导数带正号。 3.对求导公式作如下两点说明: (1) 求导公式})]([{'x f ?表示函数)]([x f ?对自变量x 的导数,即 })]([{'x f ?=x x f d )]([d ?, (2) 求导公式)]([x f ?'表示函数)]([x f ?对函数)(x ?的导数,即 )]([x f ?'=) (d )]([d x x f ??. 1.已知函数),2()(3 1)(,2)1(31)(23+∞-=+-=在区间且x f kx x g x k x x f 上为增函数. (1)求k 的取值范围; (2)若函数)()(x g x f 与的图象有三个不同的交点,求实数k 的取值范围. 【解析】

(1)由题意x k x x f )1()(2+-='……………… 因为),2()(+∞在区间x f 上为增函数 所以),2(0)1()(2+∞≥+-='在x k x x f 上恒成立,…… 即2,1>≤+x x k 又恒成立 所以1,21≤≤+k k 故…… 当k=1时,),2(1)1(2)(22+∞∈--=-='x x x x x f 在恒大于0, 故),2()(+∞在x f 上单增,符合题意. 所以k 的取值范围为k ≤1.……… (2)设3 12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h 令10)(==='x k x x h 或得……… 由(1)知k ≤1, ①当k=1时,)(,0)1()(2x h x x h ≥-='在R 上递增,显然不合题意… ②当k<1时,x x h x h 随)(),('的变化情况如下表: ……………………11分 由于)()(,02 1x g x f k 与欲使>-图象有三个不同的交点, 即方程)()(x g x f = 也即0)(=x h 有三个不同的实根

基本初等函数的导数公式及运算法则

课时授课计划

教师活动 教学过程: 一?创设情景 2 1 四种常见函数y=c、y = x、y =x、y —的导数公式及应用 :■?新课讲授 学生活动学生自行预习

(二)导数的运算法则导数运算法则 1. 〔f(X)土g(x)i = f'(x) ±g'(x) 2. [f(x) g(x)]' = f'(x)g(x)±f(x)g'(x) I f (x) I f (x) g (x) - f (x) g (x) / . . 3. = ——(g(x)HO) ]g(x) 一[g(x)f (2)推论:lcf(x) I - Cf'(x) (常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数) 三.典例分析 例1 .假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5% ,物价p (单位:元)与时间t (单位:年)有如下函数关系p(t) = p0(1 - 5%亍,其中p0 为t = 0时的物价.假定某种商品的p0 = 1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 解:根据基本初等函数导数公式表,有p'(t) =1.0“ In 1.05 所以p (10) =1.0510|n1.05 : 0.08 (元/年) 因此,在第10个年头,这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨. 例2?根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1) y = x3 -2x 3 (2) y 1 1 (3) y = x sin x ln x; (4)y (5)y (6)y 4x 1 -ln x 1 l n x (2 x2—5 x + 1) e x / 、sin x—xcosx (7) y =-------------------------- cosx +xsin x 通过预习自行完成 在老师的指导下独立完成后面几道题

(完整版)第二章.导数和微分答案解析

第二章 导数与微分 一 导数 (一) 导数的概念(见§2.1) Ⅰ 内容要求 (ⅰ)理解导数的概念及其几何意义,了解函数的可导性与连续性之间的关系。 (ⅱ)了解导数作为函数变化率的实际意义,会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 (ⅰ)用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1. 用导数定义求证下列导数公式,并记忆下列公式(每题4分) (1)0)(='C (2)21 )1(x x - =' (3)x x 21)(=' (4)x x sin )(cos -=' (5)a a a x x ln )(=' (6)1 )(-='μμμx x (ⅱ)确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2.(6分)求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解:x y 1' = ,1)1(' ==k y ,所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3.(6分)求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解:4 3 x y =,41 ' 43-=x y ,4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ,即4 143+=x y (ⅲ)科技中一些量变化率的导数表示 4.填空题(每题4分) (1)若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =,则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T (2)若某地区t 时刻的人口数为)(t N ,则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 (ⅰ)分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 (1)(7分)|sin |x y =

常见导数公式

常见导数公式: ① C'=0(C为常数函数); ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*); ③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = - sinx; (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx ④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx ⑤ (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数) (Inx)' = 1/x(ln为自然对数) (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 另外就是复合函数的求导: ①(u±v)'=u'±v' ②(uv)'=u'v+uv' ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2 后面这些高中用不到,但是多掌握点遇到时就可以直接写出来,不用再换算成常见函数来求解, (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) 1、x→0,sin(x)/x →1 2、x→0,(1 + x)^(1/x)→e x→∞ ,(1 + 1/x)^(1/x)→ 1 (其中e≈2.7182818... 是一个无理数)

基本初等函数的导数公式表

导数基本知识汇总试题 基本知识点: 知识点一、基本初等函数的导数公式表(须掌握的知识点) 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'() (n 为正整数) 3、 ln =x x a a a '() =x x e e '() 4、ln =a long x x a 1'() 5、ln =x x 1 '() 6、sin cos =x x '() 7、 cos sin =-x x '() 8、=-x x 211'() 知识点二:导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±() 2、 =u v uv v u '''+() 3、(=Cu Cu '' ) 4、u -v =u v u v v 2'''() 知识点三:利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ,()f x '>0,则()f x 在此区间是增区间,(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ,()f x '<0,则()f x 在此区间是减区间,(,)a b 为()f x 的单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数; (1)y x 15= (2) )-y x x 3=≠0( (3))y x x 54=0 ( (4))y x x 23=0 ( (5))-y x x 23 =0 ( (6)y x 5=

(7)sin y x = (8)cos y x = (9)x y =2 (10)ln y x = (11)x y e = 2、求下列函数在给定点的导数; (1)y x 1 4= ,x =16 (2)sin y x = ,x π =2 (3)cos y x = ,x π=2 (4)sin y x x = ,x π =4 (5)3y x = ,11 28(,) (6)+x y x 2=1 ,x =1 (7)y x 2 = ,,24()

2第二章 导数与微分答案

第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1.填空题. (1) ()'f 0= 0; (2) (2, 4) (3) 1 . (4) =a 2 ,=b -1 . 2.选择题. (1)B ; (2)B ; (3) C ; (4)D ; (5) B ; (6)B 3.解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度,由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4.设()? x 在x a =处连续,()()()f x x a x =-?, 求()'f a ;若)(||)(x a x x g ?-=,()x g 在x a =处可导吗? 解(1)因为()? x 在x a =处连续, 故)()(lim a x a x ??=→,所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ (2)类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时,()0)(' ==a a g ?;当()0≠a ?时,())(' ' a g a g -+≠, 故这时()x g 在x a =处不可导。 5.求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道,所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .

导数公式及其运算法则

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(两课时) 学习目标 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则,学会用法则求一些函数的导数; 2.理解两个函数的积的导数法则,学会用法则求乘积形式的函数的导数. 3.复合函数的分解,求复合函数的导数. 一、预习与反馈(预习教材P 14~ P 19,找出疑惑之处) 复习1:常见函数的导数公式: (1) '____C =(C 为常数);(2)()'________n x =, n ∈N +;(3)(sin )'_______x =; (4)(cos )'_______x =; (5)()'________x e =; (6)()'_________x a =; (7)(ln )'______x =; (8) e x x a a log 1)'(log = 复习2:根据常见函数的导数公式计算下列导数 (1)6y x = (2 )y = (3)21y x = (4 )y = 新知 1.可导函数的四则运算法则 法则1 '[()()]____________.u x v x ±=(口诀:和与差的导数等于导数的和与差). 法则2 [()()]____________u x v x '=. (口诀:前导后不导,后导前不导,中间是正号) 法则3 ()[]_______________(()0)() u x v x v x '=≠(口诀:分母平方要记牢,上导下不导,下导上不导,中间是负号)

例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数3123y x x x =-++导数. 变式:( 1)2log y x =; (2)2x y e =; (3)522354y x x x =-+-; (4)3cos 4sin y x x =- 例2求下列函数的导数: (1)32log y x x =+; (2)n x y x e = (3)y=2e -x 2. 复合函数: 1.定义:一般地,对于两个函数y =f (u )和()u g x =,如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数,那么这个函数为函数 和 的复合函数,记住 2.复合函数的求导法则 复合函数(())y f g x =的导数和函数y =f (u ),()u g x =的导数间的关系式为 ,即y 对x 的导数等于 的乘积。 例。3 求下列函数的导数: (1)2(23)y x =+; (2)1x y e -+=; (3)sin()y x π?=+

导数与微分练习题答案

高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一.填空题 1.若)(0x f '存在,则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在,h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米),则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5(米/秒) 5.曲线x y cos =上点( 3π,2 1 )处的切线方程为03 123=- -+π y x ,法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系, 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1.设0)0(=f ,且)0(f '存在,则x x f x ) (lim 0→= [ B ] (A ))(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导,a ,b 为常数,则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] (A ))(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] (A )充分但不是必要 (B )必要但不是充分 (C )充分必要 (D )即非充分也非必要 4.设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3,则点M 的坐标为 [ B ] (A )(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)

常用的基本求导公式

1.基本求导公式 ⑴ 0)(='C (C 为常数)⑵ 1)(-='n n nx x ;一般地,1)(-='αααx x 。 特别地:1)(='x ,x x 2)(2=',21 )1(x x -=',x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(;一般地,)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln =';一般地,)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2.求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x ),g (x )均在点x 可导,则有:(Ⅰ))()())()((x g x f x g x f '±'='±; (Ⅱ))()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'=',特别)())((x f C x Cf '='(C 为常数); (Ⅲ))0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ,特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3.微分 函数()y f x =在点x 处的微分:()dy y dx f x dx ''== 常用的不定积分公式 (1) ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3 ,2,),1( 114 3 32 21αααα ; (2) C x dx x +=?||ln 1 ; C e dx e x x +=?; )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ; (3)??=dx x f k dx x kf )()((k 为常数) 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x ),v (x )在[a ,b ]上具有连续导数)(),(x v x u '',则

导数加法与减法法则讲义

§4导数的四则运算法则 4.1 导数的加法与减法法则 [学习目标] 1.理解导数的加法与减法法则的推导方法. 2.掌握导数的加法与减法法则. 3.会利用导数的加法与减法法则进行简单导数计算. [知识链接] 利用导数的和(差)公式进行导数运算的前提条件是什么? 答应用的前提条件是:①必须是有限个函数和(差)的形式;②其中每个函数的导数都存在且利用公式能容易求出. [预习导引] 1.导数的加法与减法法则 (1)符号语言 ①[f(x)+g(x)]′ =f′(x)+g′(x). ②[f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x). (2)文字语言 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差).2.两个函数和差的求导法则的推广 (1)[a f(x)±b g(x)]′=a f′(x)±b g′(x)(a,b为常数). (2)[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±f n(x)]′=f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x). 要点一直接利用法则求导数 例1求下列函数的导数: (1)y=x1+2 x+ 2 x2 ();

(2)y =1+s i n x 2c o s x 2;(3)y =x x 2+1x +1x 3() ;(4)y =(x +1) 1x -1().解观察式子的特点,可以先化简再求导. (1)∵y =x +2+2x ,∴y ′=1-2x 2.(2)∵y =1+s i n x 2c o s x 2=1+12s i n x ,∴y ′=12 c o s x .(3)∵y =x x 2+1x +1x 3() =x 3+1+1x 2,∴y ′=3x 2-2x 3.(4)∵y =(x +1)1 x -1()=-x +1x ,∴y ′=(-x )′+ 1x ()′=-12-12=-12x 1+1x ().【规律方法】 对一个函数求导时,要紧扣导数运算法则,联系基本初等函数的导数公式,在不利于直接应用导数公式时,可适当运用代数、三角恒等变换手段,对函数进行化简,然后求导.这样可以减少运算量,优化解题过程.跟踪演练1求下列函数的导数: (1)y =15x 5-43x 3+3x +2;(2)y =s i n 4x 4+c o s 4x 4 .解(1)y ′=15x 5-43x 3+3x +2() ′=15x 5()′-43x 3() ′+(3x )′+(2)′=x 4-4x 2+3.

(完整版)第二章导数与微分(答案)

x 第二章导数与微分 (一) f X 0 X f X 0 I x 0 X 3 .函数f x 在点x 0连续,是f x 在点x 0可导的(A ) 5. 若函数f x 在点a 连续,则f x 在点a ( D ) C . a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是(D ) A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于(A ) A . 8 B . 12 C . -6 D . 6 8.设y e f x 且fx 二阶可导,则y ( D ) A . e f x B f X r e f f X £ £ f X 丄 2 x C . e f x f x D . e f x 9.若 f x ax e , x 0 在x 0处可导,则a , b 的值应为 b sin2x, (A ) A .左导数存在; B .右导数存在; C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ,当自变量x 由x 0改变到 X o x 时,相应函数的改变量 f x 0 x B . f x 0 x C . f x 0 X f X 0 f X 。 x 2 .设f x 在x o 处可,则lim f X 0 B . X o C . f X 0 D . 2 f X 0 A .必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C .充分必要条件 既不充分也不必要条件 4.设函数y f u 是可导的,且u x 2 ,则 d y ( C ) x 2 B . xf x 2 C . 2 2 2xf x D . x f x D .有定义

10?若函数f x 在点X o 处有导数,而函数 g x 在点X o 处没有导数,则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处(A ) A ?一定都没有导数 B ?—定都有导数 C .恰有一个有导数 D ?至少一个有导数 11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数,则Fx g x 在 x o 处(D ) 13 . y arctg 1 ,贝U y x A .一定都没有导数 B . 一定都有导数 C .至少一个有导数 D .至多一个有导数 12.已知F x f g x ,在 X X 。处可导,则(A ) g x 都必须可导 B . f x 必须可导 C . g x 必须可导 D . x 都不一定可导

第二章导数与微分 高等数学同济大学第六版

第二章 导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学,研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分,是现代数学许多分支的基础,是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯(1820-1895)曾指出:“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕,撼人心灵,是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材(本部分内容详见光盘). 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期,但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节 导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起,欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展,形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲,正处在资本主义萌芽时期,生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题,迫切要求力学、天文学等基础科学的发展,而这些学科都是深刻依赖于数学的,因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中,下列三类问题导致了微分学的产生: (1) 求变速运动的瞬时速度; (2) 求曲线上一点处的切线; (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度,即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发,莱布尼茨从第二个问题出发,分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系 讲解提纲: 一、 引例: 引例1:变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-;

基本函数求导公式

基本函数求导公式

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导,且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则

隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点),(0 0y x P 的 某一邻域内具有连续的偏导数,且0),(0 =y x F ,, ),(00≠y x F y ,则方程),(y x F =0在点),(0 y x 的某一邻域内 恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =,它满足条件) (00 x f y =,并有 y x F F dx dy -= (2) 公式(2)就是隐函数的求 导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入,得恒等式 ))(,(≡x f x F , 其左端可以看作是x 的一个复合函数,求这个函数的全导数,由于恒等式两端求导后仍然恒等,即得 ,0=??+??dx dy y F x F 由于y F 连续,且0),(0 ≠y x F y ,所以存在(x 0,y 0)的一个

导数公式及其运算法则

§122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (两课时) 学习目标 1. 理解两个函数的和(或差)的导数法则,学会用法则求一些函数的导数; 2. 理解两个函数的积的导数法则,学会用法则求乘积形式的函数的导数 3. 复合函数的分解,求复合函数的导数 . 一、预习与反馈(预习教材P l4~ P l9,找出疑惑之处) 复习1:常见函数的导数公式: cosx)' ________ ; (5) (e x )' ________ ; ⑹(a x )' 1 ⑺(l nx)' ________ ; (8) (log a x)' log a e x 复习2:根据常见函数的导数公式计算下列导数 新知 1. 可导函数的四则运算法则 法则1 [u(x) v(x)]' ______________ . ( 口诀:和与差的导数等于导数的和与差 ). 法则2 [u(x)v(x)] ____________ . ( 口诀:前导后不导,后导前不导,中间是正号 ) 法则3 [凹] __________________ ( v(x) 0)( 口诀:分母平方要记牢,上导下不导,下 v(x) (1) C' _______ (C 为常数);(2) (x n )' n € N +; (3) (sin x)' ______ 6 (1)y x (2) y - x

导上不导,中间是负号) 1 例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y x 3 2x 丄3导数. x 变式:(1) y log 2x ; 例2求下列函数的导数: (1) y x 3 log 2 x ; 2. 复合函数: 1. 定义:一般地,对于两个函数y =f (u )和u g(x)如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数, 那么这个函数为函数 _________ 和 ______________ 的复合函数,记住 _____________________ 2. 复合函数的求导法则 复合函数y f(g(x))的导数和函数y =f (u ), u g(x)的导数间的关系式 为 ________________ ,即y 对x 的导数等于 _________________ 的乘积。 例。3求下列函数的导数: 2 x 1 (1) y (2x 3) ; ( 2) y e ; (3) y sin( x ) x (2) y 2e ; (3) y 2x 5 3x 2 5x 4; (4) y 3cosx 4sin x (3)y=2e -x

导数与微分导数概念

第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ,求y ' 2.求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=,求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ,求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在? 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ,用定义证明)(x f 在点0=x 处连续,但不可导。

8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ,为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值? 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =,求y ' 2.求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3.求函数y =x 2ln x 的导数y '

4.求函数x x y ln =的导数y ' 5.求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=,求y ' 7. n b ax f y )]([+=,求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =,求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=,求y ' 10.求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=,求y ''

第二章导数与微分试题及答案

第二章 导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 2002 00(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在,按导数定义观察下列极限,指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim (0'()f x -); ⑵ ()=→?x x f x 0lim ('(0)f ), 其中()()存在;且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim (02'()f x ). 3. 求下列函数的导数: ⑴ ='=y x y ,4则3 4x ⑵ ='=y x y ,32则132 3 x - ⑶ ='=y x y ,1 则32 12x -- ⑷ = '=y x x y ,53则115165x 4. 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方 上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)223y x π- =-- 2(1)03 y +-+=

法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在? 又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;

基本导数公式

基本导数公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x '= ⑿()1log ln x a x a '= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '= 微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x = ⑿()1log ln x a d dx x a = ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x = + ⒃()21arccot 1d x dx x =-+ 微分运算法则 ⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udv d v v -??= ??? 基本积分公式 ⑴kdx kx c =+? ⑵11x x dx c μμ μ+=++? ⑶ln dx x c x =+? ⑷ln x x a a dx c a =+? ⑸x x e dx e c =+? ⑹cos sin xdx x c =+? ⑺sin cos xdx x c =-+? ⑻ 221sec tan cos dx xdx x c x ==+?? ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+?? ⑽21arctan 1dx x c x =++?

常用的基本求导公式

常用的基本求导公式 Revised by Petrel at 2021

1.基本求导公式 ⑴0)(='C (C 为常数)⑵1 )(-='n n nx x ;一般地,1 )(-='αααx x 。 特别地:1)(='x ,x x 2)(2 =',2 1 )1(x x - =',x x 21)(='。 ⑶x x e e =')(;一般地,)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷x x 1)(ln = ';一般地,)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2.求导法则⑴四则运算法则 设f (x ),g (x )均在点x 可导,则有:(Ⅰ))()())()((x g x f x g x f '±'='±; (Ⅱ))()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'=',特别)())((x f C x Cf '='(C 为常数); (Ⅲ))0)(( ,) ()()()()())()(( 2 ≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ,特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3.微分函数()y f x =在点x 处的微分:()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 (1)?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ; (2)C x dx x +=?||ln 1;C e dx e x x +=?;)1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ; (3)? ?=dx x f k dx x kf )()((k 为常数) 5、定积分 ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵分部积分法 设u (x ),v (x )在[a ,b ]上具有连续导数)(),(x v x u '',则 6、线性代数 特殊矩阵的概念

基本初等函数的导数公式及运算法则教案

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 一.教学目标: 1.熟练掌握基本初等函数的导数公式; 2.掌握导数的四则运算法则; 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二.教学重点难点 重点:基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 难点: 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 三.教学过程: (一).创设情景 复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x = 、y = 用 (二).新课讲授 1(1)基本初等函数的导数公式表

(2)根据基本初等函数的导数公式,求下列函数的导数. (1)2y x =与2x y = (2)3x y =与3log y x = 2.(1 推论:[]' '()()cf x cf x = (常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数) 提示:积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. (2)根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1)323y x x =-+(2)sin y x x =?;(3)2(251)x y x x e =-+?;(4)4 x x y =; 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的. ② 求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心. 四.典例精讲 例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p (单位:元)与时间t (单位:年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+,其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 分析:商品的价格上涨的速度就是函数关系()(15%)t p t =+的导数。 解:根据基本初等函数导数公式表,有'() 1.05ln 1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln 1.050.08p =≈(元/年)

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