函数与导数中任意性和存在性问题探究
命题人:闫霄 审题人:冯昀山
一、相关结论:
结论1:min [,],()[()]x a b f x m f x m ?∈>?>; 结论2:max [,],()[()]x a b f x m f x m ?∈<; 结论3:max [,],()[()]x a b f x m f x m ?∈>?>; 结论4:min [,],()[()]x a b f x m f x m ?∈<;
结论5:1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>;【如图一】 结论6:1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>;【如图二】 结论7:1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>;【如图三】 结论8:1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>;【如图四】
结论9:1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空;
结论10:1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域是()g x 的值域的子集
【例题1】:已知两个函数232()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈;
(1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立,求实数k 的取值范围; (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立,求实数k 的取值范围; (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立,求实数k 的取值范围;
解:(1)设32()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,(1)中的问题可转化为:[3,3]x ∈-时,()0h x ≥恒成立,即min [()]0h x ≥。
'2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+;当x 变化时,'(),()h x h x 的变化情况列表如下:
因为(1)7,(2)20h k h k -=+
=-,
所以,由上表可知min [()]45h x k =-,故k-45≥0,得k ≥45,即k ∈[45,+∞).
小结:①对于闭区间I ,不等式f(x)
②此题常见的错误解法:由[f(x)]max ≤[g(x)]min 解出k 的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max ≤[g(x)]min ”只是原题的充分不必要条件,不是充要条件,即不等价. (2)根据题意可知,(2)中的问题等价于h(x)= g(x)-f(x) ≥0在x ∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max ≥0.
由(1)可知[h(x)]max = k+7,因此k+7≥0,即k ∈[-7,+∞). (3)根据题意可知,(3)中的问题等价于[f(x)]max ≤[g(x)]min ,x ∈[-3,3].
由二次函数的图像和性质可得, x ∈[-3,3]时, [f(x)]max =120-k. 仿照(1),利用导数的方法可求得x ∈[-3,3]时, [g(x)]min =-21. 由120-k ≥-21得k ≥141,即k ∈[141,+∞). 说明:这里的x 1,x 2是两个互不影响的独立变量.
从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“?x ”恒成立,还是“?x ”使之成立,同时还要看清不等式两边是同一个变量,还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜..
【例题2】:(2010年山东理科22) 已知函数1()ln 1()a
f x x ax a R x
-=-+-∈; (1) 当1
2
a ≤
时,讨论()f x 的单调性; (2)设2
()24
g x x b x =-+,当1
4
a =时,若对1(0,2)x ?∈,2[1,2]x ?∈,使12()()f x g x ≥,求实数
b 的取值范围;
解:(1)(解答过程略去,只给出结论)
当a ≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;
当a=
21
时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当0 (1,)a -+∞; (2)函数的定义域为(0,+∞), f '(x )=x 1-a+21x a -=-2 21x a x ax -+-,a=41时,由f '(x )=0可得x 1=1,x 2=3. 因为a= 41∈(0,2 1),x 2=3?(0,2),结合(1)可知函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,所以f(x) 在(0,2)上的最小值为f(1)= -2 1 . 由于“对?x 1∈(0,2),?x 2∈[1,2],使f(x 1) ≥g(x 2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不 大于f(x) 在(0,2)上的最小值f(1)= -2 1 ”. (※) 又g(x)=(x -b)2+4-b 2, x ∈[1,2],所以 ① 当b<1时,因为[g(x)]min =g(1)=5-2b>0,此时与(※)矛盾; ② 当b ∈[1,2]时, 因为[g(x)]min =4-b 2≥0,同样与(※)矛盾; ③ 当b ∈(2,+∞)时,因为[g(x)]min =g(2)=8-4b. 解不等式8-4b ≤- 21,可得b ≥817. 综上,b 的取值范围是[8 17 ,+∞). 二、相关类型题: 类型一:直接求最值(往往需带参讨论) 例3: 类题: 例4:类题: 类型二:分离常数法求最值 例5: 类题: 例6: 类题: 类型三:先进行变形简化,再求最值 例7: 类题:类型四:分离常数法+罗比达法则 洛必达法则简介: 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) () lim0 x a f x → =及() lim0 x a g x → =; (2)在点a的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0; (3) () () lim x a f x l g x → ' = ' , 那么 () () lim x a f x g x → = () () lim x a f x l g x → ' = ' 。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1)() lim0 x f x →∞ =及() lim0 x g x →∞ =; (2)0 A ?>,f(x) 和g(x)在() ,A -∞与() ,A+∞上可导,且g'(x)≠0; (3) () () lim x f x l g x →∞ ' = ' , 那么 () () lim x f x g x →∞ = () () lim x f x l g x →∞ ' = ' 。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) () lim x a f x → =∞及() lim x a g x → =∞; (2)在点a 的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0; (3)() ()lim x a f x l g x →'=', 那么 () ()lim x a f x g x →=() () lim x a f x l g x →'='。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: ○1将上面公式中的x→a,x→∞换成x→+∞,x→-∞,x a + →,x a - → 洛必达法则也 成立。 ○ 2洛必达法则可处理00,∞∞ ,0?∞,1∞,0 ∞,00,∞-∞型。 ○ 3在着手求极限以前,首先要检查是否满足00,∞∞ ,0?∞,1∞,0 ∞,00,∞-∞型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。 ○ 4若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。 例8:(2010年全国新课标理)设函数2 ()1x f x e x ax =---。 (1) 若0a =,求()f x 的单调区间; (2) 若当0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围 原解:(1)0a =时,()1x f x e x =--,'()1x f x e =-. 当(,0)x ∈-∞时,'()0f x <;当(0,)x ∈+∞时,'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少,在(0,)+∞单调增加 (II )'()12x f x e ax =-- 由(I )知1x e x ≥+,当且仅当0x =时等号成立.故 '()2(12)f x x ax a x ≥-=-, 从而当120a -≥,即1 2 a ≤ 时,'()0 (0)f x x ≥≥,而(0)0f =, 于是当0x ≥时,()0f x ≥. 由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠.从而当1 2 a >时, '()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--, 故当(0,ln 2)x a ∈时,'()0f x <,而(0)0f =,于是当(0,ln 2)x a ∈时,()0f x <. 综合得a 的取值范围为1,2? ?-∞ ??? 原解在处理第(II )时较难想到,现利用洛必达法则处理如下: 另解:(II )当0x =时,()0f x =,对任意实数a,均在()0f x ≥; 当0x >时,()0f x ≥等价于2 1 x e x a x --≤ 令()2 1 x e x g x x --=(x>0),则322()x x xe e x g x x -++'=, 令()()220x x h x xe e x x =-++>,则()1x x h x xe e '=-+,()0x h x xe ''=>, 知()h x '在()0,+∞上为增函数,()()00h x h ''>=;知()h x 在()0,+∞上为增函数, ()()00h x h >=;()0g x '∴>,g(x)在()0,+∞上为增函数。 由洛必达法则知,00, 故1 2 a ≤ 综上,知a 的取值范围为1,2? ?-∞ ?? ?。 类题1:例4及其类题,例7及其类题,以下示范例7解法 解法二:原解在处理第(II )时非常难想到,现利用洛必达法则处理如下: (II )由题设可得,当0,1x x >≠时,k< 2 2ln 11x x x +-恒成立。 令g (x)= 2 2ln 11x x x +-(0,1x x >≠),则()() () 22221ln 121x x x g x x +-+'=?-, 再令()() 22 1ln 1h x x x x =+-+(0,1x x >≠),则()1 2 l n h x x x x x '=+-,()212ln 1h x x x ''=+- ,易知() 2 1 2ln 1h x x x ''=+-在()0,+∞上为增函数,且()10h ''=;故当(0,1)x ∈时,()0h x ''<,当x ∈(1,+∞)时,()0h x ''>; ∴()h x '在()0,1上为减函数,在()1,+∞上为增函数;故()h x '>()1h '=0 ∴()h x 在()0,+∞上为增函数 ()1h =0 ∴当(0,1)x ∈时,()0h x <,当x ∈(1,+∞)时,()0h x > ∴当(0,1)x ∈时,()0g x '<,当x ∈(1,+∞)时,()0g x '> ∴()g x 在()0,1上为减函数,在()1,+∞上为增函数 由洛必达法则知()2 1 1 1 ln 1ln 12121210221lim lim lim x x x x x x g x x x →→→+?? =+=+=?-+= ?--?? ∴0k ≤,即k 的取值范围为(-∞,0] 解:应用洛必达法则和导数 当(0,)2x π∈时,原不等式等价于3sin x x a x ->. 记3sin ()x x f x x -=,则43sin cos 2'()x x x x f x x --=. 记()3sin cos 2g x x x x x =--,则'()2cos sin 2g x x x x =+-. 因为''()cos sin cos (tan )g x x x x x x x =-=-, '''()sin 0g x x x =-<,所以''()g x 在(0,)2π上单调递减,且''()0g x <, 所以'()g x 在(0,)2π上单调递减,且'()0g x <.因此()g x 在(0,)2π 上单调递减, 且()0g x <,故4()'()0g x f x x =<,因此3 sin ()x x f x x -=在(0,)2π上单调递减. 由洛必达法则有 3200000sin 1cos sin cos 1 lim ()lim lim lim lim 3666x x x x x x x x x x f x x x x →→→→→--=====, 即当0x →时,1 ()6g x →,即有1()6f x <. 故 16a ≥时,不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π ∈恒成立. 通过以上例题的分析,我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足: ① 可以分离变量; ②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性; ③出现“00 ”型式子. 类题2:若不等式3sin x x ax >-对于(0, )2 x π ∈恒 成立,求a 的取值范围. 订正:例3答案: 1 [,0) 2 - 例8答案: 1 (,] 2 -∞ 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题: 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数a 的取值范围为( ) A.021 C.a>2 1 D.a>-2 答案:C 解析:∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增,∴1-2a<0,即a>2 1 . 2.已知函数f (x )=x 2+2x +a ln x ,若函数f (x )在(0,1)上单调,则实数a 的取值范围是( ) A .a ≥0 B .a <-4 C .a ≥0或a ≤-4 D .a >0或a <-4 答案:C 解析:∵f ′(x )=2x +2+a x ,f (x )在(0,1)上单调, ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1) 上恒成立,即2x 2+2x +a ≥0或2x 2+2x +a ≤0在(0,1)上恒成立, 所以a ≥-(2x 2+2x )或a ≤-(2x 2+2x )在(0,1)上恒成立.记g (x )=-(2x 2+2x ),0 导数中的恒成立和存在性问题 技巧传播 1.恒成立问题的转化:()a f x >恒成立max ()a f x ?>;()a f x ≤恒成立min ()a f x ?≤; 2.能成立问题的转化:()a f x >能成立min ()a f x ?>;()a f x ≤能成立max ()a f x ?≤; 3.恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立()a f x ?>的解集为R ()()a f x M M a f x C M >???≤?在上恒成立在上恒成立 ; 另一转化方法:若x D ∈,()f x A ≥在D 上恰成立,等价于()f x 在D 上的最小值min ()f x A =, 若x D ∈,()f x B ≤在D 上恰成立,则等价于()f x 在D 上的最大值max ()f x B =; 4.设函数()f x 、()g x ,对任意的1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≥,则min min ()()f x g x ≥; 5.设函数()f x 、()g x ,对任意的1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≤,则max max ()()f x g x ≤; 6.设函数()f x 、()g x ,存在1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≥,则max min ()()f x g x ≥; 7.设函数()f x 、()g x ,存在1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≤,则min max ()()f x g x ≤; 8.若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像上方; 9.若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像下方; 利用导数求函数的单调区间 一学习目标: 1结合实例,找出函数的单调性与导数的关系; 2会利用导数研究函数的单调性,会求简单函数的单调区间。 二重点、难点: 重点:求函数的单调区间. 难点:求含参数函数的单调区间。. 三教材分析 本节课主要对函数单调性求法的学习; 它是在学习导数的概念的基础上进行学习的,同时又为导数的应用学习奠定了基础,所以他在教材中起着承前启后的重要作用;(可以看看这一课题的前后章节来写) 它是历年高考的热点、难点问题 四教学方法 开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 五教学过程 预习学案: 1.函数单调性的定义是什么?函数的单调区间怎样求? 2.讨论以下问题 (1)求函数y=x的导数,判断其导数的符号; (2)求函数y=x2的导数,判断其导数的符号. 3.根据上述问题,思考导数的符号与函数的单调性之间的关系,并加以总结: 设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导: 如果在(a,b)内,______________,则f(x)在此区间是增函数; 如果在(a,b)内,______________,则f(x)在此区间是减函数. 4.根据上述总结,思考一下,函数在某个区间上是单调递增函数,是不是其导数就一定大于零呢?如果函数在某个区间上是单调递减函数,是不是其导数就一定小于零?能否举个例子说明一下? 小测验: 1.当0>x 时,()x x x f 4+ =的单调减区间 2.函数53 123++-=x x y 的单调增区间为_______________,单调减区间为______________. 利用导数求函数的单调区间(讲授学案)——冯秀转 题型:求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间; (1)x x y 23+= (2)()221 ln x x x f -= 注意:求函数单调区间时必须先考虑函数的定义域. (小结)求函数单调区间的步骤: 练习:求()x e x x f 2=的单调区间。 利用导数研究恒成立、存在性与任意性问题一、利用导数研究不等式恒成立问题 [典例]设f(x)=e x-a(x+1). (1)若?x∈R,f(x)≥0恒成立,求正实数a得取值范围; (2)设g(x)=f(x)+a ex ,且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)就是曲线y=g(x)上任意两点, 若对任意得a≤-1,直线AB得斜率恒大于常数m,求m得取值范围、[解](1)因为f(x)=e x-a(x+1), 所以f′(x)=e x—a、 由题意,知a>0, 故由f′(x)=e x-a=0, 解得x=lna。 故当x∈(-∞,ln a)时, f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(ln a,+∞)时, f′(x)>0,函数f(x)单调递增、 所以函数f(x)得最小值为f(lna)=e ln a—a(ln a+1)=-a ln a。 由题意,若?x∈R,f(x)≥0恒成立, 即f(x)=e x—a(x+1)≥0恒成立, 故有—alna≥0, 又a>0,所以ln a≤0,解得0<a≤1、 所以正实数a得取值范围为(0,1]. (2)设x1,x2就是任意得两个实数,且x1<x2。 则直线AB得斜率为k=g x2-g x1 x2-x1 , 由已知k>m, 即g x2—g x1 x2-x1 >m. 因为x2—x1>0, 所以g(x2)-g(x1)>m(x2—x1), 即g(x2)—mx2〉g(x1)-mx1. 因为x1 利用导数研究函数的单调性 一、选择题 1.函数f (x )=x ln x ,则( ) A.在(0,+∞)上递增 B.在(0,+∞)上递减 C.在? ? ???0,1e 上递增 D.在? ? ???0,1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=ln x +1,令f ′(x )>0得x >1 e , 令f ′(x )<0得0 解析由y=f′(x)的图象知,y=f(x)在[-1,1]上为增函数,且在区间(-1,0)上增长速度越来越快,而在区间(0,1)上增长速度越来越慢. 答案 B 5.设函数f(x)=1 2 x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值 范围是( ) A.(1,2] B.(4,+∞] C.[-∞,2) D.(0,3] 解析∵f(x)=1 2 x2-9ln x,∴f′(x)=x- 9 x (x>0), 当x-9 x ≤0时,有0 用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师:范永德 一、第一段:点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 (1)理解)0(0(x)f <>'时,f(x)在0x x =附近单调性; (2)掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题:用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页,进行自主学习。(约10分钟) 二、第二段:合作探究、启发点拨 1、探究1:怎样从导数的几何意义,判断)0(0(x)f <>'时,f(x)在0x x =附近单调性?点拨:以直代曲 探究2:用导数求函数单调性的步骤 点拨:(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>',判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性,写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x 解:f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)>0,解得:2 1712171+->-- 一、 恒成立与存在性 函不等式恒成立问题的转化技巧 (1)()a f x ≥(或()a f x ≤)恒成立?()max a f x ≥(或()min a f x ≤); (2)()a f x ≥(或()a f x ≤)有解?()min a f x ≥(或()max a f x ≤); (3) ()()f x g x ≥恒成立?()min 0F x ≥((其中()()()F x f x g x =-(),也可证其加强命题 ()()min max f x g x ≥ (4)()()f x g x ≥有解?()max 0F x ≥(其中()()()F x f x g x =-). (5) ()()f m g n ≥恒成立?()()min max f x g x ≥ (6)()a f x =有解,则a 的范围是()f x 的值域 1. 恒成立常见处理方法 (1) 参变分离 若对任意的0x >,恒有()ln 10x px p ≤->,则p 的取值范围是((((() A . (]0,1((((B .()1,+∞((((C .()0,1(((D .[)1, +∞ 【答案】D 【解析】 法一:最值理论 ()ln 10h x x px =-+≤恒成立 令()()1'00px h x x x -=>=,则1 0x p =>, 故()h x 在110, ,,p p ???? ↑+∞↓ ? ?? ??? , 故只需1ln 0h p p ?? =-≤ ??? ,故1p ≥ 法二:分离参数 ()ln 1x p g x x +≥ =,令()2ln '0x g x x -==,则1x =,()()0,1,1,↑+∞↓ 故 ()11p g ≥= 法三:二级结论 ln 1x x ≤-恒成立,则当1p ≥时,ln 11x x px ≤-≤- 法四:特殊值探路 ()ln 10x px p ≤->对于0x ?>恒成立 当1x =时,1p ≥ 又11ln px x x -≥-≥成立 【考点】恒成立(最值理论,分类参数均可) 已知函数()(x e f x mx e x =-为自然对数的底数),若()0f x >在(0,)+∞上恒成立,则实数m 的取值范围是((((() A .(,2)-∞(((( B .2 (,)4e -∞((((C .(,)e -∞((((D .2,4e ??+∞ ??? 【解答】解:若()0f x >在(0,)+∞上恒成立, 则2x e m x <在(0,)+∞恒成立, 令2()x e h x x =,(0)x >, 3 (2)()x e x h x x -'=, 令()0h x '>,解得:2x >, 令()0h x '<,解得:02x <<, 故()h x 在(0,2)递减,在(2,)+∞递增, 故()min h x h =(2)2 4 e =, 故2 4e m <, 故选:B . 【考点】分离参数 3.3.1《函数的单调性与导数》教学案 教学目标: 1.了解可导函数的单调性与其导数的关系; 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,对多项式函数一般不超过三次; 教学重点: 利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点: 利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程: 一.创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用. 二.新课讲授 1.问题:图3.3-1(1),它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像,图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即()h t 是增函数.相应地,'()()0v t h t =>. (2) 从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少,即()h t 是减 函数.相应地,'()()0v t h t =<. 2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系. 如图3.3-3,导数'0()f x 表示函数()f x 在 点00(,)x y 处的切线的斜率. 在0x x =处,'0()0f x >,切线是“左下右上”式的, 1.3.1函数的单调性与导数 [学习目标] 1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次). 知识点一函数的单调性与其导数的关系 在区间(a,b)内函数的导数与单调性有如下关系: 思考以前,我们用定义来判断函数的单调性,在假设x1<x2的前提下,比较f(x1)与f(x2)的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易,如何利用导数来判断函数的单调性? 答案根据导数的几何意义,可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系,如果切线的斜率大于零,则其倾斜角是锐角,函数曲线呈上升的状态,即函数单调递增;如果切线的斜率小于零,则其倾斜角是钝角,函数曲线呈下降的状态,即函数单调递减. 知识点二利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求出函数的导数f′(x). (3)解不等式f′(x)>0,得函数的单调递增区间;解不等式f′(x)<0,得函数的单调递减区间. 知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化较快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 如图,函数y =f (x )在(a,0)和(0,b )内的图象“陡峭”,在(-∞,a )和(b ,+∞)内的图象“平缓”. 题型一 利用导数确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. (1)f (x )=3x 2-2ln x ;(2)f (x )=x 2·e - x ; (3)f (x )=x +1x . 解 (1)函数的定义域为D =(0,+∞).∵f ′(x )=6x -2x ,令f ′(x )=0,得x 1=33,x 2=- 3 3(舍去),用x 1分割定义域D ,得下表: ∴函数f (x )的单调递减区间为? ???0, 33,单调递增区间为??? ?3 3,+∞. (2)函数的定义域为D =(-∞,+∞).∵f ′(x )=(x 2)′e - x +x 2(e - x )′=2x e - x -x 2e - x =e - x (2x -x 2),令f ′(x )=0,由于e - x >0,∴x 1=0,x 2=2,用x 1,x 2分割定义域D ,得下表: ∴f (x )的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2). (3)函数的定义域为D =(-∞,0)∪(0,+∞). ∵f ′(x )=1-1 x 2,令f ′(x )=0,得x 1=-1,x 2=1,用x 1,x 2分割定义域D ,得下表: 小题快练 1.(2013全国Ⅰ卷理)设曲线1 1 x y x +=-在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2 B .12 C .1 2 - D .2- 2.(2013全国Ⅰ卷改编)设函数2 )1()(x e x x f x --=,则函数()f x 的单调递增区间 为 ,单调递减区间为 . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表: 右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. 3.(2013湖北理)若f(x)=2 1ln(2)2 x b x - ++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是(C ) A.[-1,+∞] B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1) 4.已知函数x bx ax x f 3)(2 3 -+=在1±=x 处取得极值. (1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数f (x )的极大值还是极小值; (2)过点)16,0(A 作曲线y= f (x )的切线,求此切线方程. (1)解:323)(2-+='bx ax x f ,依题意,0)1()1(=-'='f f ,即 ?? ?=--=-+. 0323, 0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(2 3 -+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ,得1,1=-=x x . 若),1()1,(∞+--∞∈Y x ,则0)(>'x f ,故 f (x )在)1,(--∞上是增函数, f (x )在),1(∞+上是增函数. 若)1,1(-∈x ,则0)(<'x f ,故f (x )在)1,1(-上是减函数. 所以,2)1(=-f 是极大值;2)1(-=f 是极小值. (2)解:曲线方程为x x y 33 -=,点)16,0(A 不在曲线上. 设切点为),(00y x M ,则点M 的坐标满足03 003x x y -=. 因)1(3)(2 00-='x x f ,故切线的方程为))(1(3020 0x x x y y --=- 注意到点A (0,16)在切线上,有 )0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得83 0-=x ,解得20-=x . 所以,切点为)2,2(--M ,切线方程为0169=+-y x . 利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点: 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 (1)若 ,则()f x 在(),a b 上单调递增; (2)若 ,则()f x 在(),a b 上单调递减; (3)若 ,则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. (1)()ln f x x e x =+ (2)2 1()ln 2 f x x x =- (3)()()3x f x x e =- (4)()2x f x e x =- (5)()3ln f x x x =+ (6)ln ()x f x x = (7)2()(0)1 ax f x a x =>+ (8)32333()x x x x f x e +--= 2、讨论下列函数的单调性. (1)()ln (1),f x x a x a R =+-∈ (2)3(),f x x ax b a R =--∈ (3)2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ (4)32(),,f x x ax b a b R =++∈ (5)2()(22),0x f x e ax x a =-+> (6)2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ (7)2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> (8)221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈ 3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. (1)确定a 的值; (2)若()()x g x f x e =,讨论函数()g x 的单调性. 4、设2()(5)6ln ,f x a x x a R =-+∈,曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. (1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间. 5、(2016全国卷2节选)讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性, 并证明当0x >时,(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性. 用导数研究函数的恒成立与存在问题 1.已知函数23()2ln x f x x x a = -+,其中a 为常数. (1)若1a =,求函数()f x 的单调区间; (2)若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数,求a 的取值范围. 2.已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈,'()f x 是()f x 的导函数。 (1)当2a =时,对于任意的[1,1]m ∈-,[1,1]n ∈-,求()()f m f n '+的最小值; (2)若存在0(0,)x ∈+∞,使0()f x >0,求a 的取值范围。 3.已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. (1)若2=a ,求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程; (2)求)(x f 的单调区间; (3)设22)(2 +-=x x x g ,若对任意1(0,)x ∈+∞,均存在[]1,02∈x ,使得)()(21x g x f <, 求实数a 的取值范围. 4.(2016届惠州二模)已知函数()22ln f x x x =-+. (Ⅰ)求函数()f x 的最大值; (Ⅱ)若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点. ①求实数a 的值; ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数),不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立,求实数k 的取值范围. 5.已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈. (1)当1a =时,01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤,求实数m 的取值范围; (2)若在区间1(,)+∞,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方,求实数a 的取值范围. 利用导数研究函数的单调性问题 浙江省湖州中学 李连方 一.学情分析 本人任教的两个班级均侧文,数学基础较薄弱.学生已基本掌握利用导数对常系数的单调区间求解,但是对含参数单调性问题常常一筹莫展,找不到分类的标准或者分类不合理、不完整. 二.教学目标 用导数讨论函数的单调性,是运用导数解决函数的极值、函数的最值的基础,所以本节复习课首先要让学生理解函数单调性和导数的关系,会用导数讨论含参函数的单调性,让学生理解含参函数单调性问题实质是解不等式问题,而解不等式问题实质是根的问题.其次,逐步使学生意识到要合理准确地分类讨论问题,体会到分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要地对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结论,然后综合各类结果得到整个问题的解答,其实质是“化整为零,各个击破,再积零为整”.在分类讨论时,时刻注意:一要分类对象确定,标准统一;二要不重复,不遗漏;三要分层次,不越级讨论. 三.教学重点和难点 本节课的教学重点是能使学生明确产生分类讨论的标准,能合理、准确和完整地进行分类讨论.本节课的教学难点是分类标准难以把握,本节课试图从方程的根的角度来突破难点. 四.教学设计 【例1】(《创计新设》第42页)已知函数2()ax f x x e -=?,a R ∈. (Ⅰ)当=1a 时,求函数()y f x =的图象在点()()1,1f --处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数()y f x =的单调性. 分析:(Ⅰ)略;(Ⅱ)由题意得() 2()2ax f x x ax e -'=-?, 其中22=0x ax -根为0x =或2x a = ()0a ≠. ①当=0a 时,若0x <,则()0f x '<;若0x >,则()0f x '>. 所以当=0a 时,函数f (x )在区间()0-∞,上为减函数,在区间()0+∞,上为增函数. ②当0a >时,当0x <或2x a >时,()f x ';当20x a <<时,()f x '. 所以函数()y f x =在区间()0-∞,与2 +a ??∞ ???,上为减函数,在20a ?? ???,上为增函数. 【设计意图】1.让学会认识到函数的单调性、函数的单调区间和极值等问题,最终归结到判断()f x '的符号问题上,而()0f x '>或()0f x '<,最终可转化为解不等式问题.若含参数,则含参数的不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题; 2.让学生体会解不等式实质在解不等式对应的方程的根. 【例2】(2008年浙江省高考试题改编)已知a 是实数,函数())f x x a = -. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间; 分析:函数的定义域为[0)+∞,, 用导数求函数的单调区间——含参问题 一、问题的提出 应用导数研究函数的性质:单调性、极值、最值等,最关键的是求函数的单调区间,这是每年高考的重点,这也是学生学习和复习的一个难点。其中,学生用导数求单调区间最困难的是对参数分类讨论。尽管学生有分类讨论的意识,但是找不到分类讨论的标准,不能全面、准确分类 二、课堂简介 请学生求解一下问题,写出每一题求单调区间的分类讨论的特点。 例1、 求函数R a a x x x f ∈-= ),()(的单调区间。 解:定义域为),0[+∞ ,23)('x a x x f -=令,0)('=x f 得,3 a x = (1) 0≤a ,0)('≥x f 恒成立,)(x f 在),0[+∞上单调递增; (2) 0>a ,令0)('>x f 得∴> 3a x )(x f 在)3,0[a 上单调递减,在),3 [+∞a 上单调递增。 所以,当0≤a 时,)(x f 在),0[+∞上单调递增;当0>a 时,)(x f 在)3 ,0[a 上单调递减,在),3 [+∞a 上单调递增。 分类讨论特点:一次型,根3 a 和区间端点0比较 例2、 求函数R a x a ax x x f ∈+-+-=,1)1(2131)(23的单调区间。 解:定义域R ),1)](1([1)('2---=-+-=x a x a ax x x f 令,0)('=x f 得1,121=-=x a x (1) 211>>-a a 即,令0)('>x f 得∴<->11x a x 或)(x f 在)1,(-∞上单调递增,)1,1(-a 上单调递减,),1(+∞-a 上单调递增。 (2) 21 1==-a a 即,0)('≥x f 恒成立,所以)(x f 在R 上单调递增。 (3) 211<<-a a 即,令0)('>x f 得∴>-<11x a x 或)(x f 在)1,(--∞a 上单调递增,)1,1(-a 上单调递减,),1(+∞上单调递增。 所以,当2>a 时,)(x f 在)1,(-∞上单调递增,)1,1(-a 上单调递减,),1(+∞-a 上单调 《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1,第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后,结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法,例题的选择有梯度,由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式,再解关于含参数的问题,最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性;会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性,并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用,形成初步的知识体系,培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 (一)知识与技能目标: 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间; 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 (二)过程与方法目标: 1、通过本节的学习,掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力,数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 (三)情感、态度与价值观目标: 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结, 2、培养学生的探索精神,渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识,让学生有创新的机会,充分体验成功的喜悦,开发了学生的自我潜能。(四)教学重点,难点 教学重点:利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点:探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用,以及学生前期预备基础,应注重理解函数单调性与导数的关系,进行合理的推理,引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法,无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题,注意分类讨论点的确认,灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学,强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用,培养学生的探究精神,提高语言表达和概括能力, 第07讲:导数中的双变量存在性和任意性问题的处理 【知识要点】 在平时的数学学习和高考中,我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题,学生由于对于这类问题理解不清,很容易和不等式的恒成立问题混淆,面对这类问题总是感到很棘手,或在解题中出现知识性错误. 1、双存在性问题 “存在...),(1b a x ∈,存在..),(2d c x ∈,使得)()(21x g x f <成立”.称为不等式的双存在性问题,存在..),(1b a x ∈,存在..),(2d c x ∈,使得)()(21x g x f <成立,即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值......)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一个函数值.....小.,即max min )()(x g x f <.(见下图1) “存在..),(1b a x ∈,存在..),(2d c x ∈,使得)()(21x g x f >成立”,即在区间),(b a 内至少有...一个值...)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一个函数值.....大,即min max )()(x g x f >.(见下图2) 2、双任意性问题 “任意..),(1b a x ∈,对任意..的),(2d c x ∈,使得)()(21x g x f <成立” 称为不等式的双任意性问题. 任意..),(1b a x ∈,对任意..的),(2d c x ∈,使得)()(21x g x f <成立,即)(x f 在区间),(b a 任意一个值.....)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意.. 一个函数值都要小,即max min ()()f x g x <. “任意..),(1b a x ∈,对任意..的),(2d c x ∈,使得)()(21x g x f >成立”,即)(x f 在区间),(b a 内任意一... 导数讨论含参函数的单调性 【思想方法】 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈?∈?> 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 【典例讲解】 例1 讨论x a x x f +=)(的单调性,求其单调区间 解:x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号)I )当0≤a 时,)0(0)('≠>x x f 恒成立,此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数,即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -≠>或)0(0)(', a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或,此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调 增函数,)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数,即)(x f 的增区间为),(a --∞和 ),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结:1、先求函数的定义域, 2、求导函数(化为乘除分解式,便于讨论正负), 3、先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况, 4、再讨论有增有减的情况(导函数有正有负,以其零点分界), 5、注意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性,求其单调区间 解:x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I )当0≥a 时,)0(0)('>>x x f 恒成立,此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数, 即)(x f 的增区间为),0(+∞,不存在减区间; II) 当0?>>)0(0)(';a x x x f -<><0)0(0)(' 此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数,)(x f 在),0(a -是单调减函数, 即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -. 例2.讨论x ax x f ln )(+=的单调性 解:x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('>+=+ =x x ax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号) 第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值 【套路秘籍】 一.函数的单调性 在某个区间(a ,b )内,如果f ′(x )>0,那么函数y =f (x )在这个区间内单调递增;如果f ′(x )<0,那么函数y =f (x )在这个区间内单调递减. 二.函数的极值 (1)一般地,求函数y =f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )=0,当f ′(x 0)=0时: ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0,右侧f ′(x )<0,那么f (x 0)是极大值; ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0,右侧f ′(x )>0,那么f (x 0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x ); ②求方程f ′(x )=0的根; ③考查f ′(x )在方程f ′(x )=0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值. 三.函数的最值 (1)在闭区间[a ,b ]上连续的函数f (x )在[a ,b ]上必有最大值与最小值. (2)若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,则f (a )为函数的最小值,f (b )为函数的最大值;若函数f (x )在[a ,b ]上单调递减,则f (a )为函数的最大值,f (b )为函数的最小值. 【套路修炼】 考向一 单调区间 【例1】求下列函数的单调区间: (1)3 ()23f x x x =-; (2)2 ()ln f x x x =-. (3))f (x )=2x -x 2. 【答案】见解析 【解析】(1)由题意得2 ()63f x x '=-. 令2 ()630f x x '=->,解得2x <- 或2 x >. 当(,2x ∈-∞- 时,函数为增函数;当)2 x ∈+∞时,函数也为增函数. 令2 ()630f x x '=-<,解得22x - <<.当(22 x ∈-时,函数为减函数.导数与函数的单调性练习题
导数中的恒成立和存在性问题
利用导数求函数的单调区间
利用导数研究存在性与任意性专题
利用导数研究函数的单调性
用导数求函数的单调性
导数压轴题型第6讲 恒成立与存在性问题(mathtype WORD精编版)
《3.3.1函数的单调性与导数》教学案
高中数学选修2-2函数的单调性与导数
利用导数研究函数的单调性和极值(答案)
(完整版)利用导数研究函数的单调性(超好复习题型)
用导数研究函数的恒成立与存在性问题-答案
利用导数研究函数的单调性问题
(完整版)用导数求函数的单调区间含参问题
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
高考数学热点难点突破技巧第讲导数中的双变量存在性和任意性问题
导数讨论含参函数的单调性
专题2.13 利用导数求函数的单调性、极值、最值(解析版)