数学归纳法的应用

数学归纳法的应用

姓名甘国优指导教师赵慧炜

中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力．

关键词：数学归纳法；步骤;证明方法．

Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application．

Key words：Mathematical induction; Steps ; Proof.

引言

演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法，他有着其他方法所不能代替的作用，也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件：①当1

n=时，这个命题为正确的（奠基），②当n k

=时，这个命题也为正确的．推出当+1

n k

=时，这个命题也为正确的（递推）．通过“递推”链接，实现从特殊到一般的转化，抽象的进行数学归纳.首先我们要了解归纳法与数学归纳法的思想，由思想转换为思路来解决实际问题.当然我们在中学所学习的比较浅显，因此需要进行整理疏通总结，并学以致用其思想，在应用数学归纳法时所需的一些问题进行整理,了解数学归纳法在中学代数及几何问题方面的应用更深刻总结数学归纳法的重难点及解题技巧，选取典型例题来体现这一思想，抓住其最基本的步骤并掌握数学归纳法的证明方法．

1 数学归纳法的概论

数学常用证明方法

数学是门极其注重学习方法的学科,数学恒等式的证明使这些方法体现的完美无缺，而常用的数学证明方法有以下几种；

演绎推理

由一般推理到特殊的推理方法称为演绎推理，又叫演绎法．

归纳推理

由特殊到一般的推理方法称为归纳推理法，又叫归纳法．其中归纳法又分为完全归纳法与不完全归纳法．

完全归纳法

探讨事物的全部特殊情况后得出一般结论的推理方法称为完全归纳法，又叫枚举法．

不完全归纳法

由某类事物中一部分事物所具有的某种属性，推出此类事物全部都具有这种属性的归纳推理方法称为不完全归纳法．

数学归纳法

数学归纳法证明是与自然数N有关的命题的一种特殊方法．（在高中数学中常用来证明不等式成立和数列通项公式成立）

数学归纳法的定义

数学归纳法定义: 是一种先得出首个例子的正确性,再通过递推的方式证明命题是否正确的一种方法．它是以考察特殊、个别的情况后作出的判断作为基础.再从这些个别情况的判断归纳出一般的结论,也可以说,它是从特殊到一般的推理方法.即当n=1正确时,若在n=k正确的情况下,n=k+l也是正确的,便可递推下去.虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证,但事实上,这种递推就已经把所有自然数都验证了,这种方法就是数学归纳法.

2 数学归纳法的背景与原理

背景

数学归纳法最早的痕迹可以在古希腊时代和印度的著作中找到丝缕痕迹，如欧几里德素数无限的证明中和印度婆什迦罗的“循环方法”都可以找到这种痕迹．有资料和数据表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经比较清晰、广泛地使用了数学归纳法中归纳推理．而数学归纳法真正明确使用的是意大利数学家、天文学家和工程师莫洛里科斯，而他也尚未对数学归纳法证明中的归纳奠基和归纳推理两个步骤进行清楚的阐述．真正清楚数学归纳法证明这两步的应是17世纪的数学家帕斯卡，最早是他将数学归纳法的证明用两步确定下来.而“数学归纳法”名称是英国数学家提出的, 并由英国教科书作者普遍使用并推广．数学归纳法的严格建立，是对无穷概念有较深刻的认识和数的理论充分发展后才得以完成．十七世纪后，数学归纳法有了明晰的框架，后来发展出了最小数原理、第一和第二数学归纳法、递减归纳法、螺旋归纳法、倒推纳法、跳跃归纳法、双重甚至多重归纳法等多种形式的数学归纳法．至1889年意大利数学家皮亚诺发表《算术原理新方法》，给出自然数的公理体系，使数学归纳法有了一个合理、准确的理论基础．

归纳法的逻辑是指从有限的特殊事例推出一般性结论的推理方法，从肯定全体对象中的有限的个别事物到肯定全体对象．但数学归纳法并不具备这些特性．演绎法是由一般到具体结论的推理方法，演绎推进的前提必然蕴涵结论。从数学归纳法的推理过程来考察，还是从它的理论根据来考察，数学归纳法本质上都是一种演绎法。现代美国数学家波利亚有这样评论“数学归纳法”：“归纳法是通过对

特例进行观察和综合后以发现一般规律的过程.它仅在数学中用以证明某类定理．从名称上看，二者有联系, 但二者在逻辑方面的联系很少。而两者之间还有某种实际联系；我们常把两种方法一起使用．”

原理

所有数学都始于计数，计数就是把要计数的对象集合与几个起始自然数1,2,3,4,5...一一对

应的过程.我们用N表示自然数这个无限集合，自然数N的一个基本性质是良序性，下面将对自然数的良序性进行形式化的论述，并且把它作为一个关于N的公理.对于任何系统，公理是无需证明即为真的命题.为了对一个系统（这里指自然数）进行推理，首先需要对该系统做一些假设.尽管这些基本的假设常常不容易一眼就看出，但它应该是“合理的”和“显而易见为真的”.良序原理：自然数集N的每个非空子集都有一个最小元素.

显而易见，自然数N的任何子集都可以通过列出实际元素的方式给定，即使对

于不易直接定义的集合，该定理依然有效.例如，当x和y可取任意整数时，考虑1228

+所表示的所有自然数集合.从定义看该集合的范围并不明显，但是根据x y

良序原理，由于该集合非空（注意这很重要），集合中必有一个通过该方式表示的最小自然数.（当然，求具体的最小自然数的值是另外一回事.注意良序原理保证有一个最小数存在，但绝对没说如何去计算它.）

从数学归纳法的发现、发展到应用；从数学归纳法理论基础到实际教学；从数学归纳法的逻辑基础到学生学习数学归纳法时遇到的心理问题。要清楚相关知识又何止这些呢实际上,只有清楚了解每一个知识点的来龙去脉和每一个知识点的应用范围,以及每一个知识点的所以然,方能更好去解决问题．

3 数学归纳法的步骤

数学归纳法的步骤,若把需证明的命题记作ｐ(n),那么数学归纳法的步骤为:

(1) 证明当n=1时,p(n=1)成立．

(2)假设n=k(*

∈且k≥0)时,命题成立,即p(k)成立.证明当n=k+1时命题也成立．

k N

(3)根据(1)、(2) 当k≥0且*

∈时,即p(n)成立．

k N

运用数学归纳法证题时, 以上这三个步骤是必不可少的, 步骤(1)时是正确的奠基步骤,称之为归纳基础, 步骤(2)反应了递推关系,即命题的正确性具有传递性作用．步骤(3)是将步骤(1)与步骤(2)组合完成数学归纳法中递推的全部过程,所以三个步骤必不可少．

4 易错分析

刚刚接触数学归纳法时容易出现对步骤把握不清的现象,下面针对几种常见错误进行分析．

弄不清n k=到1

=+时的式子变化

n k

例1:用数学归纳法证明: (1)(2)(n+n)=213(21)

n

L L,从“k”到

++??-

n n n

“1

k+”左端需增乘的代数式为：

A .2(21)k + B.2(1)k + C.211k k ++ D.231

k k ++ 错误解法：n k =时，式子左端(1)(2)()(1)(2)(3)2k k k k k k k k +++=+++L L ，1n k =+时，式子左端为(1)(2)(11)k k k k +++++L 故选B ．

分析：1n k =+时，左端第一个因式也有所变化，不能简单地看后面的因式． 正确解法：当n k =时，左端为(1)(2)2k k k ++L 为从1k +到2k 连续整数的乘积．

运用数学归纳法时忽略了n k =时的假设条件．

例2:用数学归纳法证明：*n N ∈时， 1111335(21)(21)21n n n n +++=??-?++L 错解：

(1)当n=1时，左边=11133

=?,右边=13,等式成立． (2)假设(1n k k =≥，*k N ∈)时，等式成立．即

1111335(21)(21)21

k k k k +++=??-?++L 则当1n k =+时，

11111335(21)(21)(21)(23)

k k k k ++++??-?++?+L =11111111(1233521212123

k k k k -+-++-+--+++L ) =11(1)223k -+=12(1)1

k k +++. 所以1n k =+时，等式成立

综上所述 当*n N ∈时，1111335(21)(21)21

n n n n +++=??-?++L 成立 分析：在证明1n k =+等式成立时，没有用到归纳假设

正解：

(1)当1n =时，左边=113?=13

=右边，等式成立． (2)假设(1n k k =≥，*k N ∈)时，等式成立，

121(21)(23)k k k k ++++=(23)1(21)(23)k k k k ++++=2231(21)(23)k k k k ++++=123k k ++=12(1)1

k k +++.

所以1n k =+时，等式也成立.

综上所述，对一切*n N ∈，1111335(21)(21)21

n n n n +++=??-?++L 都成立． 数学归纳法要运用“归纳假设”，没有“归纳假设”的证明不是数学归纳法． 5 运用数学归纳法的典型例题

例3:用数学归纳法证明：

tan tan 2tan 2tan3tan(1)tan()n n αααααα+++-g g L g =

*tan()(tan

n n n N α-∈，2)n ≥ 分析：本题第一步的验证要取2n =，在第二步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的和角公式．

证明：(1)当2n =时， 右边=tan 22tan αα-=2221tan α--=222tan 1tan αα

-=tan tan 2ααg =左边 则等式成立.

(2)假设当n k =时，等式成立，即

tan tan 2tan 2tan3αααα++g g tan(1)tan()k k αα+-L g =

tan()tan k k αα-. =tan()tan k αα+[]tan(1)tan()(1)tan (1)k k k k k αααα+--++-=tan(1)(1)tan k k αα

+-+. 点评：本题在第(2)步的证明过程中使用了正切和差角的变形形式，即1tan(1)tan()k k αα++g =[]

tan(1)tan()tan (1)k k k k αααα+-+-.因此在用数学归纳法证明三角命题时，应针对1n k =+时命题的特征，合理地选择和使用三角公式．证明三角恒等式时,常动用有关三角知识、三角公式及三角的变换法.

例4:求证: 11112446682(22)n n ++++=???+L *()4(1)

n n N n ∈+ 证明:(1)当n=1时,等式左边=

11248=? ,右边= 114(11)8=?+,等式成立. (2) 假设*()n k k N =∈时等式成立,即

11112446682(22)k k ++++=???+L *()4(1)

n n N n ∈+ 由(1)和(2)可知*()n N ∈等式均成立．

6 中学数学中数学归纳法的用途

在讨论涉及正数无限性的问题时数学归纳法是一种及其重要的方法,在中学数学中它的作用和地位可以用三个方面来体现:(1)中学数学中的许多重要结论,如等

比数列的的通项公式前n 项和公式、等差数列与,二项公式定理等等都可以用数学归纳法加以证明. 而完全归纳法得到的一些与自然数有关的数学命题,也常应用数学归纳法来证明它们的正确性．(2)运用数学归纳法可以证明许多数学问题.既可以开阔眼界,又可以受到推理论证的训练.对于一些用常规的分析终合法不好证明的题,用数学归纳法往往会得到一些意想不到的好结果．(3) 在进一步学习数学时数学归纳法会经常用到,因此掌握这种方法可以为今后的高等数学的学习打下一个良好的基础.

7 数学归纳法在几何方面的应用

数学归纳法在几何中的意义

归纳法是由特殊得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性是依靠个别结论的正确性．所以数学归纳法的实质是证明命题对于一切自然数都是真命题．它在本质是与数的概念联系在一起的，所以数学归纳法可以应用到数学的各个分支，在几何中也不例外．

数学归纳法是用于证明与自然数n 有关命题的正确性方法．它的操作步骤简单、明确，证明过程一般可分以下两个步骤:

1.对于命题有意义的最小值，直接验证命题是正确的．

2.证明如果命题对任一自然数成立，那么论断必然成立．

数学归纳法在几何中的应用

应用数学归纳法作计算

例5：平面上有圆心在同一直线上的半圆，其中任意两个都相交，且都在直线的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧

解:设半圆的交点最多将半圆分成若干段圆弧，如下图所示.

图1 图2

图3

容易发现

222(2)42,(3)93,(4)164.f f f ======

由此可以猜测n 个半圆互相分成圆弧段最多有2()(2)f n n n =≥

证明:由题意知

(1)当n=2时，结论成立.

(2)假设当n=k 时，结论成立，（平面内满足条件的k 个半圆互相分成的圆

弧最多有2()f k k =.）那么当n=k +1时，第k+1个半圆与原k 个半圆均相交，可获得最多圆弧段，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k 个半圆中每个半圆的某一段圆弧都一分为二，这样就多出了k 条圆弧;而原k 个半圆又把第k+1个半圆分成了k+1段圆弧，这样又多出了 k+1条圆弧．

故 22(1)1(1)f k k k k k +=+++=+．

这就是说，当n=k+1时结论也成立．

根据(1) 和(2) 可知，满足条件的 n 个半圆被所有交点最多分成 2n 段圆弧． 8 结 论

数学归纳法主要针对一些与自然N 的相关命题,所以在证明和自然数N 有关的恒等式子中有着不可替代的作用,用数学归纳法证明数学问题时,要注意它的两个步骤必不可少,第一步命题递推的基础,第二步是命题递推的依据,也是证明的关键和难点,同时,数学归纳法的证题步骤和格式是数学归纳法的特征,如n=k 时的假设是第二步证明n=k+1的“已知”,证明时一定要用到它,否则就不是数学归纳法,在证明n=k+1时命题成立,要用到一些技巧,如:一凑假设,二凑结论,不等式的放缩、等价转化、拆项、加减项等，但这些解题技巧需在实践中不断积累和总结,证明三角恒等式时常用到有关三角公式、三角知识以及三角的转换等.通过这些变换可更简单便捷的让命题得证.总的来说记住三句话：“递推基础不可少，归纳假设要用到，写结论时莫忘掉”,我们这样才可以较好的运用数学归纳法.数学归纳法是一种重要的数学证题方法,更是中学数学的重难点知识之一,它在开阔眼界,训练推理能力等诸多方面有着很大的帮助.在中学数学中,数学归纳法对于许多重要的结论,如等比数列的的通项公式与前n 项和公式、二项公式定理以及差数列等,都可以用数学归纳法加以证明,这样既可以加深对教材的熟悉又可以加深知识的理解.当然不仅在中学数学中,在学习高等数学的过程中,数学归纳法也是一种不可缺少的方法。同时借助数学归纳法进行几何教学，便于学生一步步理解命题的内涵，进而容易找到 n 与 n+1 的关系，这样可以准确地解决问题。数学归纳法在几何教学中的应用，不仅让学生从感知上了解认识几何，而且深刻地理解到一个命题从个体（特殊）到普遍（一般）规律的证明过程，同时培养了学生归纳﹑演绎推理﹑总结等能力．

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