圆周运动的多解问题

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匀速圆周运动的多解问题

匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其一做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动。因此，依据等时性建立等式求解待求量是解答此类问题的基本思路。特别需要提醒同学们注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，以下几例运算结果中的自然数“n”正是这一考虑的数学外化。

例1：如图1所示，直径为d 的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的子弹速度为v ，并沿直径匀速穿过圆筒。若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？

解析：子弹穿过圆筒后作匀速直线运动，当它再次到达圆筒壁时，若原来的弹孔也恰好运动到此处，则圆筒上只留下一个弹孔。在子弹运动位移为d 的时间内，圆筒转过的角度为，其中即2n ππ+n =0123，，，…，

d v n =+2ππω

解得角速度为：ωππ

=

+=20123n d

v n ()，，，… 例2：质点P 以O 为圆心做半径为R 的匀速圆周运动，如图2所示，周期为T 。当P 经过图中D 点时，有一质量为m 的另一质点Q 受到力F 的作用从静止开始作匀加速直线运动。为使P 、Q 两质点在某时刻的速度相同，则F 的大小应满足什么条件？

解析：速度相同包括大小相等和方向相同。由质点P 的旋转情况可知，只有当P 运动到圆周上的C 点时P 、Q 速度方

向才相同。即质点P 应转过周（），经历的时间()n +3

4

n =0123，，，… t n T n =+

=()()()34

01231，，，… 质点P 的速度v R T

=

22π()

在同样的时间内，质点Q 做匀加速直线运动，速度应达到v ，由牛顿第二定律及速度公式得 v =

F m

t ()

3 联立以上三式，解得：F mR n T n =

+=84301232

π()()

，，，…

m

e 例3：如图3所示，在同一竖直面内A 物体从a 点做半径为R 的匀速圆周运动，同时B 物体从圆心O 处自由落下，要使两物体在b 点相遇，求A 物体的角速度。

解析：A 、B 两物体在b 点相遇，则要求A 从a 匀速转到b 和B 从O 自由下落到b 用的时间相等。 A 从a 匀速转到b 的时间t n T n 134342=+=+(()πω

()

n =0123，，，… 例4：如图4所示，半径为R 的水平圆盘正以中心O 为转轴匀速转动，从圆板中心O 的正上方h 高处水平抛出一球，此时半径OB 恰与球的初速度方向一致。要使球正好落在B 点，则小球的初速度及圆盘的角速度分别为多少？

解析：要使球正好落在B 点，则要求小球在做平抛运动的时间内，圆盘恰好转了n 圈（）。n =123，，… 对小球：h gt =12

12()

R v t

=02()

对圆盘：21233n t n πω==()

()

，，… 联立以上三式：解得：ωπ=?

=n g

h

n 2123()，，… v R

g h

02=