四年级奥数第五讲-等差数列(二)-教师版
第五讲等差数列（二）
解题方法
某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
例题1小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页？
提示根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。
解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页）
答：这本书共有1470页。
引申
1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？
解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个)答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。
2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个？
答: （25+63）×20÷2=880（个）
3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?
答：这个等差数列共有29项。
例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
提示：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。
解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。
项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:
3+4+5+…+9+10
=(3+10)×8÷2
=13×8÷2
=52(根)。
答：这堆钢管一共有52根。
引申
1、一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知
最下面一层有70根。一共有多少根圆木？
答案：2485根。
2、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?
解:如果把图中最上端的一个三角形看做第一层,与第一层紧相连的3个三角形(2个向上的三角形,一个向下的三角形)看做第二层,那么这个图中一共有10层三角形。
不难看出,这10层三角形每层所需火柴棒根数,自上而下依次为:3,6,9,…,3×10。
它们成等差数列,且首项为3,公差为3,项数为10。
求火柴的总根数,也就是求这个等差数列各项的和。
即: 3+6+9+…+30
=(3+30) ×10÷2
=33×5
=165(根)
答：这个大的等边三角形中一共要放165根火柴棒。
3、用相同的小立方体摆成如图所示的形状,如果共摆成10层,那么最下面有多少个小立方体?
答案：55个
例题3 有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
提示：开第一把锁时，如果不凑巧，试了49把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试49次，同理，开第二把锁至多需要48次，开第三把锁至多需试47次，…，等打开第49把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
解：根据以上分析,可以把本题转化为求一个等差数列的和，
即49+48+47+…+2+1
=(49+1)×49÷2
=1225(次)
答：至多要试1225次。
引申
1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?
解：59+58+57+…+2+1=(59+1)×59÷2=1770(次)
2、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了?
答:一共有8把锁的钥匙搞乱了。
3、一辆公共汽车有66个座位,空车出发后,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,依次类推,第几站后,车上坐满乘客?
答：第11站后，车上坐满乘客。
例题4四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？
提示：假设45位同学排成一队，第1位同学一次与其他同学握手，一共握了44次，第2位同学因与第1位同学已握手，只需要与另外43位同学握手，一共握了43次，这样第3位同学只需与另外的42位同学握手，…，依次类推。握手的次数分别为：44,43,42，…，3,2,1，这样应用等差数列求和公式即可解答。
解：根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和
即44+43+42+…+3+2+1
=（44+1）×44÷2
=990（次）
答：同学们共握了990次手。
引申
1、学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？
答案: 15+14+13+…+3+2+1=（15+1）×15÷2=120（场）
2、在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？
解：根据题意，一共有48+5=53（人）参加了这次晚会。所以，一共握手的次数为：52+51+50+…+3+2+1=（52+1）×52÷2=1378（次）
答：一共握了1378次手。
3、一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次。如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人？
解：设共有n人参加了聚会，因为要求参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，所以一共握手（n-1）+（n-2）+…+2+1=n×（n-1）÷2，因为共握手28次，所以n×（n-1）÷2=28，即n×（n-1）=56.又因为n是正整数，通过计算，可知8×7=56，n=8，所以参加聚会的共有8人。
答：参加聚会的共有8人。
Class: Name:
( )1. Good morning! !
A.Morning !
B.Hello !
C.Hi !
( )2. Nice to see you again ! .
A.How are you ?
B.Nice to see you , too .
C.How do you do ?
( )3.Good night,mom !
A.Night !
B.Good night !
C.Good evening .
( )4.How do you do ?
A.How are you ?
B.Fine,thanks .
C.How do you do ?
( )5.How many story books do you have ?
A.I have 10.
B.I can see 10.
C.Thirty yuan.
( )6.Do you have new teachers?
A.Yes,we do .
B.Yes,we don’t.
C.Yes,we have .
( )7.Who’s your art teacher ?
A.Mr Zhu.
B.Miss Zhu.
C.He’s tall.
( )8.What’s he like?
A.He’s tall and strong .
B.Yes,he is.
C.Mr Zhu.
( )9.Is your English teacher young?
A.No,she isn’t.
B.Yes,she is .
C.No,she is.
( )10. ? Her name is Chen Jie.
A.What’s your name ?
B.What’s she name ?
C.What’s her name ? ( )11. ? I like Chinese,math and English.
A.What classes do you like?
B.What do you like?
C.What are you like ? ( )12. ? We have English and P.E.
A.What do you have on Mondays ?
B.What do you have ?
C.What do you have on Monday?
( )13. ? It’s Monday.
A.What is it today ?
B.What day is it today ?
C.What day is today ? ( )14. ? I watch TV and do my homework.
A.What do you do ?
B.What do you do in Mondays?
C.What do you do on Sundays ?
( )15.May I have a look ?
A.Sure.Here you are .
B.Look !
C.Here you are . ( )16.Our math teacher is Canada.
A.from
B.in
C.at
( )17.I three new teachers.
A.has
B.am
C.have
( )18.What’s Chinese teacher like ?
A.you
B.your
C.you’re
( )19.My P.E.teacher is thin.
A.too
B.so
C.very
( )20.There are days in a week.
A.six
B.seven
C.eight
( )21.There are month(月)in a year(年).
A.ten
B.eleven
C.twelve
( )22.I often watch TV Saturday .
A.on
B.in
C.at
( )23.I like P.E. I don’t lime music.
A.but
B.and
C.so
( )24.This is apple. It is red apple. A.a , a B.an,an C.an, a
( )25.What do you like ?
A.classes
B.class
C.class’s
六年级英语测试题
Class: Name:
( )1. How are you ?
A.Fine,thanks.
B.Yes,it is.
C.How are you ?
( )2. Nice to meet you !
A.Fine,thank you.
B.OK.
C.Nice to meet you ,too !
( )3. How do you go to school ?
A.I go to Canada by plane.
B.I go to school by bike.
C.What about you ? ( )4. How do you go to the USA ?
A.I usually go to school by bus.
B.I go to England by ship.
C.I go by plane. ( )5. ? My home is near the post office.
A. Where is your home ?
B.OK.
C.See you then!
( )6. See you at 2 o’clock.
A.See you then !
B.The fifth floor.
C.It’s easy.
( )7. ? You can go by the No.15 bus.
A.It’s not far.
B. How can I get to Zhongshan Park ?
C.Sure.
( )8. Where is the hospital?
A.Next to the cinema.
B.Thank you .
C.You’re welcome.
( )9. Excuse me ,is there a cinema near here ?
A.Yes,there is .
B.No,it’s not far.
C.It’s near the post office.
( )10.? ? It’s near the post office.
A.Yes,there is .
B.No,it’s not far.
C. Where is the library?
( )11. ? It’s next to the hospital.
A. Where is the cinema ,please ?
B.Is it far ?
C.Go straight.
( )12. How can I get to the hospital ?
A.It’s next to the hospital.
B.You can go by the No.201 bus.
C.Thank you. ( )13.Thank you .
A.Thank you .
B.OK.
C.You’re welcome.
( )14. How can I get to the museum?
A.Go straight.Then turn left.
B.Thank you .
C.It’s east of the cinema . ( )15. Where is the post office ?
A.Go straight.Then turn left.
B.Thank you .
C.It’s east of the cinema . ( )16. What are you going to do this evening ?
A.I’m going to the cinema .
B.I go to school on foot.
C.Yes,it is.
( )17. Is it far ?
A.No,it is .
B.Yes , it is .
C.Yes,it isn’t.
( )18. do you go to school ?
A.What
B.Where
C.How
( )19. I go to school bike.
A.on
B. by
C.get
( )20. Can I go foot ?
A.by
B.at
C.on
( )21.How can I to the post office ?
A.near
B. get
C.for
( )22. me.
A. Excuse
B. How
C.next
( )23. birthday to you !
A. After
B.Happy
C.First
( )24. The hospital is the left.
A. at
B.in
C.on
( )25. is the bookstore ?
A.Where
B.How
C.When
四年级英语测试题
Class: Name:
( )1.Good afternoon !
A.Hello!
B.Hi !
C.Afternoon !
( )2.Nice to see you again !
A.How are you ?
B.Hello !
C.Nice to see you , too. ( )3.Good night,moom !
A.Good evening !
B.Good night !
C.Night !
( )4.How are you ?
A.Fine,thank you .
B.I am 10.
C.Nine .
( )5.How do you do ?
A.Fine ,Thank you .
B.How are you ?
C.How do you do ?
( )6.How old are you ?
A.How are you ?
B.I am 11.
C.I have 11.
( )7. ? I have 23.
A.How many books do you have ?
B.How many books can you see?
C.How many book do you have ?
( )8. ? I can see 6.
A.How many lights do you have ?
B.How many lights can you see ?
C.How many light can you see ?
( )9.May I have a look ?
A.Sure.Here you are .
B.Look!
C.Sure.Here are you .
( )10. ? 50 yuan.
A.How much is this schoolbag ?
B.How many is this schoolbag ?
C.How much are this schoolbag ?
( )11.Where’s my seat ?
A.It’s near the door.
B.It’s on the door.
C.It’s under the door. ( )12.Let’s clean the desks and chairs.
A.All right !
B.Hello !
C.It’s nice .
( )13.What’s this ?
A.There is a board .
B.It’s a bee.
C.It’s bee.
( )14. ? My name is Mike.
A.Here are you ?
B.What’s your name ?
C.How do you do ? ( )15.Who’s the inventor of paper ?
A.Chinese people.
B.Oh! Great !
C.Hello!
( )16.I a student. You a teacher.
A.am ,am
B.are, are
C.am, are
( )17.This a boy.His name Zhang Peng.
A.is, is
B.am , is
C.is , are
( )18.Let clean the fish bowl.
A.I
B. me
C.my
( )19.This is apple.It is red apple .
A.an ,an
B.a, a
C.an, a
( )20.We a new classroom.
A.are
B.have
C.has
( )21.There a bee in our classroom.
A. is
B.are
C.am
( )22. have a new schoolbag. schoolbag is heavy.
A.I , my
B.I ,My
C.My , I
( )23.Put your English book your head.
A.at
B.in
C.on
( )24.There many books in the desk.
A.am
B.is
C.are
( )25.How many do you have ? A.pencil B.pencils C.pencils. 三年级英语测试题
Class: Name:
( )1.当向别人打招呼时，应该说：
A.Hello.
B.Good morning . ( )2.How are you ? 的正确答语是： https://www.wendangku.net/doc/b67642560.html, B.I’m fine,thank you . ( )3.当想知道别人的名字时，应该说： A.What’s your name ? B.See you. ( )4.字母K的小写是：
A.k
B.
( )5.Nice to meet you 的意思是:
A.见到你很高兴。
B.你好吗？
( )6.向别人告别时，应该说：
A.Good bye!
B.Hi.
( )7.Jenny is a
A.boy
B.girl
( )8.Li Ming is a
A.boy
B.girl
( )9.Jenny lives in
A.Canada.
B.China.
( )10.字母P的大写是：
A.P
B.q
( )11.当向别人说谢谢时，应该说：
A.Nice to meet you .
B.See you later.
( )12.早上好的正确答语是：
A.Good morning .
B.See you later.’
( )13.What’s this ？It’s a
A.desk
B.book
( )14.This is a
A.teacher
B.Danny
( )15.This is a boy.What’s name ?
A.his
B.her
五年级奥数一半模型教师版
五年级奥数一半模型教 师版 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
一半模型 知识结构 一、三角形当中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。 在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2 ?? ??? 特别地如图2，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2 ? 在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2 二、平行四边形中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2， 平行四边行的面积公式S=底×高 所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！
同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半： ?? ?? ?? 【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。是打“√”，不是打“×”。 （）（）（）（） （）（） 三、梯形中的一半模型 在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。 如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2 ? 如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。
? 四、任意四边形中的一半模型 如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2 ? 【能力提升】
【 巩固练习】 【例1】如图，已知长方形ABCD 的面积为 24平方厘米，且线段EF,GH 把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。 24÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。 6×4÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 例题精讲 4
四年级奥数找规律数列数表专题
数列与数表 一、知识与方法归纳 1、等差数列的有关知识. （1）通项公式:末项=首项+(项数-1) ×公差 （2）项数=(末项-首项)÷公差+1 （3）求和公式:和=(首项+末项) ×项数÷2 2、本讲主要包括两部分内容：规律较复杂的数列以及简单的数表 二、经典例题 例1.1，100，2，98，3，96，2 ，94，1，92，2 ，90，3 ，88，2，86，1， 84，…，0。请观察数列的规律并回答一下问题： （1）这个数列中有多少项是2？ （2）这个数列所有项的总和是多少？ 解： 例2. 1，2，3，4, 4, 5, 6, 7，7, 8，9 ，10，…，97, 98, 99, 100.请观察数列的规律并回答一下问题： （1）这个数列一共有多少个数？ （2）50在数列中是第几个数？ 解： 体验训练1 1, 2, 2， 4， 3， 6， 1， 8， 2， 10， 3， 12，…，100.观察数列的规律，请问：（1）数列中有多少个2？ （2）数列中所有数的总和是多少？ 解：
例3．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数。从这列数中取出连续的50个数，它们的和最大是多少？ 解： 例4. 如图所示，将从5开始的连续自然数按规律填入下面的数阵中，请问： （1）123应该排在第几列？ 第1列 第2列 第3列 … （2）第2行、第20列的数是多少？ 5 10 15 … 6 11 16 … 7 12 17 … 8 13 18 … 9 14 19 … 解： 体验训练2 将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问： （1）66在第几行、第几列？ （2）第33行、第4列的数是多少？ 解： *例5.如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：
五年级奥数等量代换教师版
1、五年级奥数等量代换教师版 2、通过等量代换思想学习图文算式,培养学生的逆向思维和发散思维 3、在代换中锻炼学生的分析问题能力和推理判断能力 生活中有很多相等的量,如平衡的天平、平衡的跷跷板两边的重量相等.我们可以根据这些相等的关系进行推理,进而可以等量代换,找到答案.这一节课我们就引导学生来学习等量代换中推理的方法,让学生能对较复杂的物体进行代换,在代换的过程中培养学生的思维能力. 模块一、看的见的等量代换 【例 1】看下图,右边要站几只小鸟跷跷板才能平衡. 【考点】等量代换 【难度】1星 【题型】解答 【解析】1只小兔的重量等于6只鸟的重量,右边要放6只鸟,跷跷板才能保持平衡. 【答案】6 【巩固】下图中第三个盘子应放几个小方块才能保持平衡? 【考点】等量代换 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 1个香蕉的重量=3个方块的重量,右边要放3个方块天平才能保持平衡. 【答案】3 【巩固】下图中0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个兄弟玩跷跷板,8和6先坐在一头,让哪两个兄弟坐在另一头,才能使跷跷板平衡？ 知识精讲 教学目标 等量代换
【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答 【解析】右边8+6=14,左边只能放9和5,9+5=14. 【答案】14 【巩固】一个苹果等于（）个草莓. 【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答 【解析】一个苹果等于4个草莓. 【答案】4 【巩固】第三个盘子应放几个玻璃球才能保持平衡． 【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答 【解析】第三个盘子应放6个玻璃球才能保持平衡． 【答案】6个 【巩固】巳知＝60克,求＝？克． 【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答 【解析】从左边的图可得：3个白球=2个黑球的重量,也就是等于6060120 +＝（克）,120340 ÷=（克）,所以每个白球的重量等于40克．从右图可得：1个正方体=4个白球的重量,一个白球的重量等于40克,1个正方体的重量就是：?=（克）． 404160 【答案】160克 【巩固】第三个盘子应放几个玻璃球才能保持平衡？
最新人教版小学五年级奥数题
《五年级奥数题》 1.推理问题： ABCDE五人进行乒乓球单循环赛，此赛进行一段时间之后，对已赛的场次做一个小统计，a赛4场，b赛3场，c赛2场，d赛1场，这时e赛了几场？到此赛结束还需要几场比赛？ 2.盈亏问题 妈妈买回一筐苹果，按计划天数数，如果每天吃5个，则多出45个苹果，如果每天吃7个则有少了9个苹果，问妈妈买了多少个苹果？ 3.鸡兔同笼问题（1） 小红在电视中得知新疆地区发生了雪灾，她想把平时节约的零花钱全部捐给灾区的小朋友，数了数，二角的纸币比五角的纸币多42张，可按钱数反而是五角的比二角的多6元，另外还有80元的硬币，问小红一共捐了多少钱？ (2)数学竞赛抢答题共10道，规定答对一道得15分，答错一道倒扣10分（不答按答错计算）小明回答了所有的问题，结果共得100分，问答对和答错各几道？ （3）某农民养鸡兔若干只，已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔的脚多16只。鸡和兔各有多少只？
（4）某班50名同学为灾区人民捐款，平均每个女同学捐8元，每个男同学捐5元，已知全班女同学共比男同学多捐101元，求这个班男、女生个多少人？（设男女生各25人） （5）有面值分别为十元、五元、二元的人民币34张，共值178元，十元的张数和五元的张数同样多，十元、五元、和二元的人名币各多少张？（假设都是二元的） （6）一群公猴、母猴和小猴共38只，每天共摘桃266个，已知每只公猴每天摘桃10个，一只母猴每天摘桃8个，一只小猴每天摘桃5个，已知公猴比母猴少4只，那么这群猴子中，小猴有多少只？（假设公猴和母猴一样多） 4植树问题 有48名学生在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有几个学生？ 5、有一个两位数，十位数字是个位数字的3倍，如果把这个两位的两个数字对调位置，组成一个新的两位数，已知这两个两位数的差是54，求原来的两位数？ 6、如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为对称数，例如33 242 1661 30803 等都是对称数，求在1---1000中共有多少个对称数？ 7、有一个三位数，如果把数字6添在它前面可以得到一个四位数，添在它的后面也可以得到一个四位数，这两个四位数的差是1611.求原来的三位数。
四年级奥数等差数列练习题-含答案
等差数列巩固练习 求项数、末项练习题 1、在等差数列 2、4、6、8中，48是第几项？168是第几项？ 24；84 2、已知等差数列5,8,11…，求出它的第15项和第20项。 47；62 3、按照1、 4、7、10、13…，排列的一列数中，第51个数是多少？ 151 4、数列3、12、21、30、39、48、57、66…… 1）第12个数是多少？102 2）912是第几个数？102 5、已知数列2、5、8、11、14……，53应该是其中的第几项？ 18 6、在等差数列5、10、15、20中，155是第几项？350是第几项？ 31；70 7、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项？第60项是多少？ 101；237 8、在等差数列6、13、20、27……中，第几个数是1994？ 285
求和练习题 9、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75+76＝（） 2911 10、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126+128＝（） 4160 11、1＋2＋3＋4＋……＋2016＋2017＝（） 2035153 12、有一个数列：6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是多少？ 20400 13、3＋7＋11＋ (99) 1683 14、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个 数列的和。 185450 15、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。 1127 16、（2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999）＝（） 1000 17、1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60＝ 570
五年级奥数进制的计算教师版
1. 五年级奥数进制的计算教师版 2. 会将十进制数转换成多进制； 3. 会将多进制转换成十进制； 4. 会多进制的混合计算； 5. 能够判断进制. 一、数的进制 1.十进制： 我们常用的进制为十进制,特点是“逢十进一”。在实际生活中,除了十进制计数法外,还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制,八进制,十六进制等。 2.二进制： 在计算机中,所采用的计数法是二进制,即“逢二进一”。因此,二进制中只用两个数字0和 1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……,二进制数也可以写做展开式的形式,例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”,乘法口诀是：零零得零,一零得零,零一得零,一一得一。 注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。 3.k 进制： 一般地,对于k 进位制,每个数是由0,1,2,,1k -（） 共k 个数码组成,且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ,1k ,2k ,．如二进位制的计数单位是02,12,22,,八进位制的计数单位是08,18,28,． 4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式 1110110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=?+?++?+（） 十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=++ +； 二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++； 为了区别各进位制中的数,在给出数的右下方写上k ,表示是k 进位制的数 如：8352（）,21010（）,123145（）,分别表示八进位制,二进位制,十二进位制中的数． 5.k 进制的四则混合运算和十进制一样 先乘除,后加减；同级运算,先左后右；有括号时先计算括号内的。 二、进制间的转换： 一般地,十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数,一直除到被除数小于k 为止,余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来,k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开,然后按十进制数相加即可得结果． 知识点拨 教学目标 5-8-1.进制的计算
小学五年级奥数讲义(教师版)30讲全
小学奥数基础教程(五年级) 第1讲数字迷(一) 第16讲巧算24 第2讲数字谜(二) 第17讲位置原则 第3讲定义新运算(一) 第18讲最大最小 第4讲定义新运算(二) 第19讲图形得分割与拼接 第5讲数得整除性(一) 第20讲多边形得面积 第6讲数得整除性(二) 第21讲用等量代换求面积 第7讲奇偶性(一) 第22讲用割补法求面积 第8讲奇偶性(二) 第23讲列方程解应用题 第9讲奇偶性(三) 第24讲行程问题(一) 第10讲质数与合数第25讲行程问题(二) 第11讲分解质因数第26讲行程问题(三) 第12讲最大公约数与最小公倍数(一) 第27讲逻辑问题(一) 第13讲最大公约数与最小公倍数(二) 第28讲逻辑问题(二) 第14讲余数问题第29讲抽屉原理(一) 第15讲孙子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理(二) 第1讲数字谜(一) 数字谜得内容在三年级与四年级都讲过,同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。数字谜涉及得知识多,思考性强,所以很能锻炼我们得思维。 这两讲除了复习巩固学过得知识外,还要讲述数字谜得代数解法及小数得除法竖式问题。 例1 把+,-,×,÷四个运算符号,分别填入下面等式得○内,使等式成立(每个运算符号只准使用一次):(5○13○7)○(17○9)=12。 分析与解:因为运算结果就是整数,在四则运算中只有除法运算可能出现分数,所以应首先确定“÷”得位置。 当“÷”在第一个○内时,因为除数就是13,要想得到整数,只有第二个括号内就是13得倍数,此时只有下面一种填法,不合题意。(5÷13-7)×(17+9)。 当“÷”在第二或第四个○内时,运算结果不可能就是整数。 当“÷”在第三个○内时,可得下面得填法:(5+13×7)÷(17-9)=12。 例2 将1～9这九个数字分别填入下式中得□中,使等式成立:□□□×□□=□□×□□=5568。 解:将5568质因数分解为5568=26×3×29。由此容易知道,将 5568分解为两个两位数得乘积有两种:58×96与64×87,分解为一个两位数与一个三位数得乘积有六种: 12×464, 16×348, 24×232, 29×192, 32×174, 48×116。
四年级奥数巧妙求和(一)
巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？ 练习: 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？ 2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习: 1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？ 2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。 3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习: 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
练习: 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270 例5：计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99) 练习: 用简便方法计算下面各题。 （1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994） （2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999) （3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998) 例6:如果一个等差数列第4项为21，第6项为33，求他的第8项。（1）一个等差数列的第5项是19，第8项是61，求他的第11项。。（2）如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，求他的第12项。（3）如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，求他的第110项。
五年级奥数长方体与正方体(二)教师版
五年级奥数长方体与正方体（二） 教师版 如右图,长方体共有六个面(每个面都是长方形),八个顶点,十二条棱． c b a H G F E D C B A ①在六个面中,两个对面是全等的,即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体． ③正方体是各棱相等的长方体,它是长方体的特例,它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ,那么：26S a =正方体,3V a =正方体． 长方体与正方体的体积 立体图形 示例 体积公式 相关要素 长方体 V abh = V Sh = h 、b 、a 三要素： h 、S 二要素： 正方体 3 V a = V Sh = a 一要素： h 、S 二要素： 不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法 例题精讲 长方体与正方体（二）
③先补后去法 ④实际操作法 ⑤画图建模法 【例 1】一个长方体的棱长之和是28厘米,而长方体的长宽高的长度各不相同,并且都是整厘米数,则长方体的体积等于立方厘米。 【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空 【关键词】希望杯, 6年级,第16题,6分 【解析】由题意知长、宽、高的和为2847 ÷=,又根据题意长、宽、高各不相同,且是整数,所以只能是1、2、4,所以体积为8立方厘米 【答案】8 【例 2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆,从正面看到的视图是图（a）,从左向右看到的视图是图（b）,从上向下看到的视图是图（c）,则这堆木块最多共有 ___________块。 【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空 【关键词】希望杯,4年级,初赛,8题 【解析】对于图c来说,每个小方块都摞了2层,最多有6块。 【答案】6 【例 3】一根长方体木料,体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米,高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样,这根木料的体积要比0.078立方米 多多少? 【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答 【关键词】小数报,决赛 【解析】0.078(1.30.3)0.2 ÷?=(米)． 0.2米=2分米． ??-=(立方米)． 1.30.30.30.0780.039 所以这根木料的高是2分米；算错后,这根木料的体积比0.078立方米多0.039立方 米． 【答案】0.039 【例 4】如图,两个同样的铁环连在一起长28厘米,每个铁环长16厘米。8个这样的铁环依此连在一起长厘米。 【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,复赛,第10题,4分 【解析】两个铁环连在一起,重叠的部分长16×2-28＝4厘米,8个这样的铁环依此连在一起长16×8-4×7＝100厘米。 【答案】100 【例 5】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱,并用尼龙编织条(如图所示)在三
五年级奥数 行程 环形跑道 教师版
本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用： 路程和=相遇时间×速度和 路程差=追及时间×速度差 二、解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 环线型 同一出发点 直径两端 同向：路程差 nS nS +0.5S 相对(反向)：路 程和 nS nS-0.5S 【例 1】一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每 分钟走66米，麻雀每分钟走59米．经过几分钟才能相遇? 例题精讲 知识框架 环形跑道
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】黄莺和麻雀每分钟共行6659125 +=（千米），那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即500(6659)5001254 ÷+=÷=（分钟）． 【答案】4分钟 【巩固】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而 行。在他们第10次相遇后，王老师再走米就回到出发点。 【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆ 【题型】填空 【解析】几分钟相遇一次：480÷（55＋65）=4（分钟） 10次相遇共用：4×10=40（分钟） 王老师40分钟行了：55×40=2200（米） 2200÷480=4（圈）……280（米） 所以正好走了4圈还多280米，480－280=200（米） 答：再走200米回到出发点。 【答案】200米 【例 2】上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑4米，(1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多 少米？(2)小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆ 【题型】解答
四年级奥数 等差数列
第3讲等差数列 一、知识点： 1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 3、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）?项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+公差?（项数-1） 首项=末项-公差?（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项?项数 二、典例剖析： 例（1）在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？ 答案：共有67个数，第201个数是603 练一练：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？ 答案: 第48项是286，508是第85项例（2 ）全部三位数的和是多少？ 答案：全部三位数的和是494550 练一练：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。 答案: 1000 例（3）求自然数中被10除余1的所有两位数的和。 答案：和是459 练一练：求不超过500的所有被11整除的自然数的和。
答案: 11385 例（4）求下列方阵中所有各数的和： 1、2、3、4、……49、50； 2、3、4、5、……50、51； 3、4、5、6、……51、52； …… 49、50、51、52、……97、98； 50、51、52、53、……98、99。 答案：这个方阵的和是125000 练一练： 求下列方阵中100个数的和。 0、1、2、3、……8、9； 1、2、3、4、……9、10； 2、3、4、5、……10、11； …… 9、10、11、12、……17、18。 答案: 900 例（5）班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。若一共扳了105次，那么共有多少男生参加了这项比赛? 答案：有15个男生参加了比赛 练一练：从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？ 答案： 625种 例（6）若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？ 答案：最外圈有102人，最内圈有12人 练一练：若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304人，最外圈有几人？ 答案： 52人 巩固练习三： 一、填空题（每小题5分） 1、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003
(完整版)小学五年级奥数教学计划
五年级奥数教学计划 一、指导思想 奥数活动是一项全面培养学生能力、尤其是数学兴趣的活动。现在越来越多的人已经意识到学习奥数的重要性，奥数曾经一度被人误认为是孩子的负担，而今却变成了提高孩子思考能力，改善孩子思维方式的好武器。应当说，这样的认识对小学奥数教学的健康发展和小学数学教学的健康发展都是有利的。基于这样的认识，在奥数不至于冲击正常的数学教学秩序的情况下，奥数教学可以提升小学生的品质和提高教师的教学水平的积极作用。 二、活动目标 1、以培养学生的数学思想为目标 所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。在小学阶段，数学思想主要有符号思想、集合思想、类比思想、分类思想、替换思想、方程与函数思想、数形结合思想、转化思想、统筹及最优化思想、建模思想等。《小学数学新课程标准》提出：“学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。”因此，小学奥数培训应该着重数学思想的培养，应该以这些思想为目标进行奥数内容的选择和培训。 2、以发展学生的数学思维能力为基础 思维活动的强弱，决定一个人的思维品质。而数学思维能力则是指人们从事数学活动时所必需的各种能力的综合，其中数学思维能力是核心。数学教学的核心是促进学生思维的发展。奥数培训必须以发展学生的数学思维为基础，教师要千方百计地通过学生学习数学知识，全面揭示数学思维过程，启迪和发展学生思维，将知识发生、发展过程与学生学习知识的心理活动统一起来。教师要依据学生的思维特征、认知规律，让学生多动脑、动手、动口，给学生主动研究、探索、分析、归纳、推理和判断等数学活动的时空，学会数学的逻辑性、有序性、最优化、假设与验证等思维方法，从而发展学生的数学思维能力，为以后更高阶段的学习奠定坚实的基础。 3、以提高学生的学习兴趣为出发点 兴趣是人对客观事物的一种积极的认识，在数学教学中，兴趣是学生学习的强大动力。必须通过许多途径去提高学生的学习兴趣，以激发他们的学习动机。因而奥数培训就要创造机会让孩子体验成功感，感受数学学习的乐趣。其次可以通过一些生活或数学小故事，让孩子感受到奥数与生活密切相关，奥数能解决生活中的实际问题，增长人们的智慧。另外，奥数培训还要讲究适时地引导点拨。由于奥数学习的内容有一定难度，学生在找不到解题方法时会感到沮丧，容易产生厌学的情绪。这个时候老师就要及时地帮助他们，通过一些巧妙的方法演算或点拨，让孩子领悟到数学的奥妙，体验到成功的莫大喜悦，从而坚定学习信念。 4、加强学生非智力因素的培养 奥数的学习除了对智力、思维发展有很多促进作用以外，对孩子们的非智力因素也有很大帮助。由于小学奥数的培训对象年龄小，意志品质等较差，对非智力因素的培养效果更明显。同时，非智力因素也很大程度上影响奥数学习的成效。所以奥数教学要重视学生的学习习惯(包括审题、验算等)、学习态度(细心、专心等)和意志力的培养，使学生在奥数学习中获得良好心理品质的发展。 三、实施措施 （一）坚持系统科学的分阶段训练 小学阶段是少年儿童智力，特别是逻辑思维发展非常重要的启蒙阶段。根据小学不同阶段学生的特点和思维规律，系统科学设计教法，能最大限度开发少年儿童智力。 1、低年级培训应以兴趣培养为前提。低年级的孩子以直观形象思维为主，兴趣容易转移，
五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).教师版
一、 排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出 m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ． 根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成： 步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法； 步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； …… 步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种) 方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ?-?-??-+L （）（）（） ，即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘． 二、 排列数 一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-????L （ ）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫知识结构 排列组合
四年级奥数-等差数列
等差数列 一、知识点： 1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 3、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）?项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+公差?（项数-1） 首项=末项-公差?（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项?项数 二、典例剖析： 例（1）在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？ 分析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。 （2）根据公式：末项=首项+公差?（项数-1） 解：项数=（201-3）÷3+1=67 末项=3+3?（201-1）=603 答：共有67个数，第201个数是603 练一练：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？ 答案: 第48项是286，508是第85项 例（2 ）全部三位数的和是多少？ 分析：：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、 (998) 999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。 解：（100+999）?900÷2 =1099?900÷2 =494550 答：全部三位数的和是494550。 练一练：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。 答案: 1000
五年级奥数溶液浓度问题(一)教师版
五年级奥数溶液浓度问题（一）教 师版 2、浓度三角的应用 3、会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解 4、利用方程解复杂浓度问题 浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密,就知识点而言它包括小学所学2个重点 知识：百分数,比例。 一、浓度问题中的基本量 溶质：通常为盐水中的“盐”,糖水中的“糖”,酒精溶液中的“酒精”等 溶剂：一般为水,部分题目中也会出现煤油等 溶液：溶质和溶液的混合液体。 浓度：溶质质量与溶液质量的比值。 二、几个基本量之间的运算关系 1、溶液=溶质+溶剂 2、=100%=100%+??溶质溶质浓度溶液溶质溶液 三、解浓度问题的一般方法 1、寻找溶液配比前后的不变量,依靠不变量建立等量关系列方程 2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度) 形象表达：A B =甲溶液质量乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差 注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角,浓度三角与十字交叉法实 质上是相同的．浓度三角的表示方法如下： 知识精讲 教学目标 溶液浓度问题（一）
::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-z z-y x-z 乙溶液浓度y % 甲溶液浓度x % 混合浓度z% 3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法． 利用十字交叉即浓度三角进行解题 （一） 简单的溶液浓度问题 【例 1】 某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸 发50克水得到,那么这种溶液的食盐浓度为多少？ 【考点】溶液浓度问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 两种配置溶液共含食盐40×15%+60×10%=12克,而溶液质量为40+60-50=50克,所以 这种溶液的浓度为12÷50=24%. 【答案】24% 【巩固】 一容器内有浓度为25％的糖水,若再加入20千克水,则糖水的浓度变为15％,问这 个容器内原来含有糖多少千克？ 【考点】溶液浓度问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 100100207.51525??÷-= ??? 。所以原来含有糖7.5千克 【答案】7.5 【巩固】 现有浓度为10％的盐水8千克,要得到浓度为20％的盐水,用什么方法可以得到, 具体如何操作？ 【考点】溶液浓度问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 10％的盐水8千克可以配出20％的盐水810%20%4?÷=千克,需要去掉844 -=水。所以需蒸发掉4千克水,溶液的浓度变为20％。 【答案】蒸发掉4千克水 【例 2】 有浓度为20％的盐水300克,要配制成40％的盐水,需加入浓度为70％的盐水多少 克？ 【考点】溶液浓度问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 将两种溶液的浓度分别放在左右两侧,重量放在旁边,配制后溶液的浓度放在正下方, 用直线相连；（见图1） 例题精讲
四年级奥数等差数列应用
等差数列的应用 课前预习 从1到100万 大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了. 据说他在十岁的时候，老师出了一个题目：1+2+3+……+99+100的和是多少？ 老师刚把题目说完，小高斯就算出了答案：这100个数的和是5050. 原来，小高斯是这样算的：依次把这100个数的头和尾都加起来，即1+100，2+99，3+98，……，50+51，共50对，每对都是101，总和就是101×50=5050. 现在请你算一道题：从1到1000000这100万个数的数字之和是多少？ 注意：这里说的“100万个数的数字之和”，不是“这100万个数之和”.例如，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数的数字之和就是1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2=51. 请你先仔细想想小高斯用的方法，会对你算这道题有启发. 知识框架 一、 等差数列的相关公式 （1） 三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、 、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、 、(46、47、48)，注意等 差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法． ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100+++ +++ 11002993985051= ++++++++共50个101 （）（）（）（）101505050=?=
五年级奥数分数应用题(一)教师版
1. 五年级奥数分数应用题（一）教师版 2.准确找到量所对应的率,利用量÷对应率＝单位“1”解题 3.抓住不变量,统一单位“1” 一、知识点概述： 分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题,一方面它是在整数应用题上的延续和深化,另一方面,它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时,分析中数量之间的关系,准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键． 关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量,我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”,进行对比分析。在几个量中,关键也是要找准单位“1”和对应的百分率,以及对应量三者的关系 例如：（1）a 是b 的几分之几,就把数b 看作单位“1”． （2）甲比乙多1 8 ,乙比甲少几分之几？ 方法一：可设乙为单位“1”,则甲为19188+=,因此乙比甲少191 889 ÷=. 方法二：可设乙为8份,则甲为9份,因此乙比甲少1 199 ÷=. 二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数 在同一整体中,部分数和总数作比较关系时,部分数通常作为比较量,而总数则作为标准量,那么总数就是单位“1”。 例如： 我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数,我国人口是部分数,世界人口就是单位“1”。 解答题关键：只要找准总数和部分数,确定单位“1”就很容易了。 （二）、两种数量比较 分数应用题中,两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句,有的则没有“比”字,而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中,比后面的那个数量通常就作为标准量,也就是单位“1”。 例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”）, 解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候,我们通常找到分率,看“占”谁 知识点拨 教学目标 分数应用题（一）
四年级奥数等差数列
等差数列 知识导航 1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 3、常用公式 等差数列的总和 末项= 首项+公差 （项数-1） 精典例题 例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项? 模仿练习 （1）有一个数列:2,6,10,14,…,104,这个数列共有多少项? （2）有一个数列:5,8,11,…,98,这个数列共有多少项 例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 模仿练习 （1）求等差数列2,5,8,11,…的第100项是多少？ （2）求1,5,9,13,…的第3O项是多少？
例3：计算2+4+6+8+…+98的和。 思路点拨总和=(首项+末项)×项数÷2 模仿练习 （1）计算1+2+3+4+…+58+59的和。（2）5+10+15+20+? +190+195的和。 练习 1.等差数列2,5,8,11,…的第100项是什么数。 2.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少？ 3 (1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002) 4小强读一本书，第一天读了20页，以后每天都比前一天多读2页，最后一天读了88页正好读完。这本书共多少页？ 5一个剧场设有20排座位，前一排比后一排少10个座位，第一排有50个座位，这个剧场共有多少个座位?
五年级奥数植树问题(一)教师版
五年级奥数植树问题（一）教 师版 2．掌握空心方阵和实心方阵的变化规律． 3．几何图形的设计与构造 一、植树问题分两种情况： （一）不封闭的植树路线. ① 若题目中要求在植树的线路两端都植树,则棵数比段数多1. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1+=全长÷株距1+ 全长=株距?(棵数1-) 株距=全长÷(棵数1-) ② 如果题目中要求在路线的一端植树,则棵数就比在两端植树时的棵数少1,即棵数与 段数相等. 全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距?棵数； 棵数=段数=全长÷株距； 株距=全长÷棵数. ③ 如果植树路线的两端都不植树,则棵数就比②中还少1棵. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1-=全长÷株距1-. 株距=全长÷(棵数1+). 全长=株距?(棵数+1) （二）封闭的植树路线. 在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树,因为头尾两端重合在一起,所以种树的棵数等于分成的段数. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距. 二、解植树问题的三要素 （1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数, 只要知道这三个要素中任意两个要素,就可以求出第三个． 知识点拨 教学目标 5-1-3.植树问题（一）
三、方阵问题 （1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别. （2）每边的个数＝总数÷41+”； （3）每向里一层每边棋子数减少2； （4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法,及每层个数的变化规律。 【例 1】 大头儿子的学校旁边的一条路长400米,在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树, 一共能种几棵树？ 【考点】直线上的植树问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 从图上可以看出,每隔4米种一棵树,如果20米长的路的一边共种了6棵树,这是因 为我们首先要在这条路的一端种上一棵,就是说种树的棵树要比间距的个数多1,所以列式为：400÷4+1=101（棵）. 【答案】101棵 【巩固】 在一条长240米的水渠边上植树,每隔3米植1棵。两端都植,共植树多少棵？ 【考点】直线上的植树问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 2403181÷+=（棵） 【答案】81棵 【例 2】 一条马路长200米,在马路两侧每隔4米种一棵树,则一共要种树___________棵。 【考点】直线上的植树问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯,4年级,1试 【解析】 考察植树问题,200÷4=50（段）,（50+1）×2=102 【答案】102 【例 3】 一条公路的一旁连两端在内共植树91棵,每两棵之间的距离是5米,求公路长是多 少米？ 【考点】直线上的植树问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 根据植树问题得到：()9115450-?=（米） 【答案】450米 【例 4】 贝贝要去外婆家,他家门口有一根路灯杆,从这根杆开始,他边走边数,每50步有一 根路灯杆,数到第10根时刚好到外婆家,他一共走了_____步． 【考点】直线上的植树问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】走美杯,3年级,初赛 【解析】 他从家门口的电线杆开始走,到第10根电线杆的时候刚好走了9段,每段需要走50 步,所以共走的步子为：509=450?（步） 【答案】450步 【例 5】 校门口放着一排花,共10盆．从左往右数茉莉花摆在第6,从右往左数,月季花摆在 第8, 一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间．算一算,一串红花一共有多少 例题精讲
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