初中数学-变量之间的关系

变量之间的关系

第一节用表格表示变量之间的关系

知识点一变量、自变量、因变量、常量的定义

一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量成为变量. 如果有两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，两一个变量也有唯一的一个数值与其对应，那么，通常前一个变量叫自变量，后一个变量叫做因变量. 在变化过程中数值始终不变的的那个量叫做常量.

注意：

（1）常亮与变量往往是相对的，相当于某个变化过程.

（2）在某一变化过程中，可能有一个或几个常量，不可能没有变量，也不可能只有一个变量，一般有两个变量.

知识点二自变量与因变量的区别与联系

自变量与因变量共同存在于一个变化过程中，它们既有区别又有联系.

因变量随自变量的变化情况：

知识点三从表格中获取信息对变化趋势进行初步预测

借助表格可以表示两个变量之间的关系.

表示两个变量之间关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量，从表格中发现因变量随自变量变化存在一定的规律——或者增加或者减少或者呈规律性的起伏变化，从而利用变化趋势对结果作出预测.

用列表法表示两个变量之间的关系时，表格只能提供自变量与因变量对应的部分数据，不能全面反映两个变量之间的关系，想要知道表格中没有出现的自变量与因变量的对应数据，需要对表格中的数据进行分析，从已知部分数据中观察变量的变化规律并依此估计未在表格中出现的数据.

例题1. 某人要在规定时间内加工100个零件，则工作效率y与时间t之间的关系中，下列说法正确的是（）A.y，t和100都是变量 B.100和y都是常量

C.y和t是变量

D.100和t都是常量

练习1. 下表是某报纸公布的世界人口数情况：

上表中的变量是（）

A.仅有一个，是年份

B.仅有一个，是人口数

C.有两个变量，一个是人口数，另一个是年份

D.一个变量也没有

在这三个量中，__________是常量，__________是自变量，__________是因变量.

练习4. 在利用太阳能热水器给水加热的过程中，热水器里水的温度随所晒太阳光时间的长短而变化，这个问题中因变量是（）

A.太阳光的强弱

B.热水器里水的温度

C.所晒太阳光的时间

D.热水器

练习5. 一个圆柱的高h为10 cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中（）

A．r是因变量，V是自变量B．r是自变量，V是因变量

C．r是自变量，h是因变量D．h是自变量，V是因变量

练习6. 明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（）。

A ： 明明

B ： 爷爷

C ： 时间

D ： 电话费

练习7. 2012年1—12月某地大米的平均价格如下表所示，其中自变量是_________，因变量是_________；当自变量等于_________时，因变量的值最小为_________.

上表中___________是自变量， __________是因变量.照此规律可以发现，当气温x 为__________℃时，声速y 达到346 m/s.

练习1. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm ）与所挂的物体的重量x （kg ）间有下面的关系：

下列说法不正确的是（

）

A.x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量

B.物体质量每增加1 kg ，弹簧长度y 增加0.5 cm

C.y 与x 的关系表达式是x y 5.0

D.所挂物体质量为7 kg 时，弹簧长度为13.5 cm

设鸡的质量为 x 千克，烤制时间为 t 分，则当 x ＝ 3.2 千克时， t ＝（ ）

A.140分

B.138 分

C.148 分

D.160 分

练习3. 赵先生手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表（如下）：

下列说法中错误的是（）

A.赵先生的身高增长速度总体上先快后慢

B.赵先生的身高在21岁以后基本不长了

C.赵先生的身高从0岁到12岁平均每年增高12.5 cm

D.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高5.1 cm

练习4. 小明和他爸爸做了一个实验，小明由一幢245米高的楼顶随手放下一只苹果，由他爸爸测量有关数据，得到苹果下落的路程和下落的时间之间有下面的关系：

下列说法错误的是（）

A.苹果每秒下落的路程不变

B.苹果每秒下落的路程越来越长

C.苹果下落的速度越来越快

D.可以推测，苹果下落7秒后到达地面

练习5. 如图，圆柱的高是3 cm，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生了变化. （1）在这个变化中，自变量是__________，因变量是__________；

（2）当底面半径由1 cm变化到10 cm时，圆柱的体积增加了__________cm3.

练习6. 父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了下面的表格.

根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答.

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?

（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的?

（3）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗?

练习7. 在烧水时，水温达到100 ℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”试验时记录的数据：

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?

（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的?

（3）时间每推移2 min，水的温度如何变化?

（4）时间为8 min时，水的温度为多少?你能得出时间为9 min时水的温度吗?

（5）根据表格，你认为时间为16 min和18 min时水的温度分别为多少?

（6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水?

练习8. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：min）之间有如下关系（其中0≤x≤20）：

（注：接受能力值越大，说明学生的接受能力越强）

（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?

（2）当提出概念所用时间是10 min时，学生的接受能力是多少?

（3）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为多少时，学生的接受能力最强?

（4）从表格中可知，当提出概念所用时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强?当提出概念所用时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低?

练习9. 在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧多长？不挂重物时呢？

（3）若所挂重物为7千克时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？

练习10. 金融危机虽然给世界各国带来不小的冲击，但某公司励精图治，决定投资开发新项目，通过考察确定有6个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表：

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?

（2）如果投资一个4亿元的项目，那么其年利润预计有多少?

（3）如果要预计获得0.9千万元的年利润，投资一个项目需要多少资金?

（4）如果该公司可以拿出10亿元进行多个项目的投资，可以有几种投资方案?哪种方案年利润最大?最大是多少?

第二节 用表达式表示变量之间的关系

知识点一 用表达式表示两个变量之间的关系

用来表示自变量与因变量之间的关系的数学式子称为表达式，表达式是表示变量之间关系的另一种方法. 例如，若正方形的边长为x ，面积为y ，则2

x y =. 2

x y =这个表达式就是表示两个变量之间的对应关系，其中x 是自变量，y 是因变量.

提示：

（1）表示两个变量之间关系的表达式的特征：①表达式是等式；①表达式的左边是因变量，右边是关于自变量的代数式；①表达式中只含有自变量和因变量两个变量，其他是常量.

（2）写变化过程中的两个变量的表达式，实际上是根据题意中的等量关系列出方程，然后两方程变形为表达式的形式.

（3）用表格和表达式表示两个变量之间的关系有各自的优缺点：①用表格表示变量之间的关系能直接的得到变量之间某些具体的对应值，但不能反映变量的整体情况；①用表达式表示变量之间的关系简洁明了，便于分析计算，但需要通过计算才能得到所需结果.

知识点二 根据表达式求值

根据表达式求值实际上就是求代数式的值，比如2

3x y =，y 的值就是2

3x 的值. 因此我们可以利用代数式的值的方法来求值，即当2=x 时，12432332

2

=?=?==x y .

例题1. 有一本书，每20页厚1cm ，从第一页到第x 页的厚度为y cm ，则（ ）

汽油后汽车行驶的路程为x （km ），邮箱中剩油量为y （L ），则y 与x 之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（

）

A.x y 12.0=，0＞x

B.x y 12.060-=，0＞x

C.x y 12.0=，5000≤≤x

D.x y 12.060-=，5000≤≤x

练习2. 已知圆柱的高为3 cm ，当圆柱的底面半径r （cm ）由小变大时，圆柱的体积V （cm 3）随之变化，则V 与r 的关系式是（ ）

A ．V=πr 2

B ．V=3πr 2

C ．V=

3

1πr 2

D ．V=9πr 2

下列用数量x 表示售价y 的表达式中，正确的是（

）

A.y=8x+0.3

B.y=（8+0.3）x

C.y=8+0.3x

D.y=8+0.3+x

例题2. A.-2

B.-1

C.1

D.3

练习1. 在关系式43+=x y 中，当自变量7=x 时，因变量y 的值是（ ） A.1

B.7

C.25

D.31

练习2. 某地海拔高度h 与温度T 的关系可用T=21-6h 来表示（其中温度单位为℃，海拔高度单位为km ），则该地区某海拔高度为2 000 m 的山顶上的温度为（ ）

A ．15 ℃

B ．9 ℃

C ．3 ℃

D ．7 ℃

练习3. 一个长方体的体积为12 cm 3，当底面积不变，高增大时，长方体的体积发生变化，若底面积不变，高变为原来的3倍，则体积变为（）

A.12 cm3

B.24 cm3

C.36 cm3

D.48 cm3

2

7919

练习5. 如图，若输入x的值为-5，则输出的结果为（）

A.-6

B.-5

C.5

D.6

练习6. 一段导线，在0℃时的电阻为2欧，温度每增加1℃，电阻增加0.008欧，那么电阻R（欧）与温度t（℃）的关系式是（）

A.R=0.008t

B.R=2+0.008t

C.R=2.008t

D.R=2t+0.008

练习7. 汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式及自变量的取值范围是（）

A.s＝120－30t（0≤t≤4）

B.s＝30t（0≤t≤4）

C.s＝120－30t（t＞0）

D.s＝30t（t＝4）

练习8. 已知△ABC的底边BC上的高为8 cm，当它的底边BC从16 cm变化到5 cm时，△ABC的面积（）

A.从20 cm2变化到64 cm2

B.从64 cm2变化到20 cm2

C.从128 cm2变化到40 cm2

D.从40 cm2变化到128 cm2

练习9. 如图，梯形的上底长是5 cm ，下底长是11 cm.当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化.

（1）在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是____________； （2）梯形的面积y （cm 2）与高x （cm ）之间的关系式为____________；

（3）当梯形的高由10 cm 变化到1 cm 时，梯形的面积由____________变化到____________.

练习10. 圆柱的高是10cm ，圆柱底面圆的半径为rcm ，圆柱的侧面展开图的面积为Scm 2. 圆柱侧面展开图的面积S 与圆柱底面圆的半径r 之间的表达式是____________________.

练习11. 夏天高山上的气温从山脚起每升高100 m 降低0.7①，已知山脚下的气温是23①，则气温y （①）与上升的高度x （m ）之间的关系式为__________；当x ＝500时，y ＝__________；当y ＝16时，x ＝__________. 练习12. 某市的出租车收费按里程计算，3 km 内（含3 km ）收费5元，超过3 km ，每增加1 km 加收1元，则路程3 x 时，车费y （元）与x （km ）之间的关系式是____________________．

练习13. 有一种粗细均匀的电线，为了确定其长度，从一捆上剪下1 m ，称得它的质量是0.06 kg. （1）写出这种电线长度与质量之间的表达式；

（2）如果一捆电线剪下1 m 后的质量为b kg ，请写出这捆电线的总长度.

练习14. 某市出租车车费标准如下：3 km 以内（含3 km ）收费8元；超过3 km 的部分每千米收费1.6元. （1）写出应收费y （元）与出租车行驶路程x （km ）之间的关系式（其中x≥3）. （2）小亮乘出租车行驶4 km ，应付多少元？

（3）小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？

练习15. 如图，在三角形ABC中，底边BC=4 cm，高AD=3 cm，E为AD上一动点，当点E从点D向点A 运动时，△BEC的面积发生了变化.

（1）在这个变化过程中，哪些量是变量，哪些量是常量？

（2）如果设DE的长为x （cm），△BEC的面积为y（cm2），怎样用含x的式子表示y？

练习16. 自行车每节链条的长度为2.5 cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm.

（1）观察图形，填写下表：

（2）如果x节链条的长度为y（cm），那么y与x之间的关系式是什么?

（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少?

练习17. 某超市为方便顾客购买，将瓜子放入包装袋内出售，其质量x（kg）与售价y（元）之间的关系如

（1）观察表格，写出y与x之间的关系式.

（2）买8 kg这种瓜子需花费多少元?

（3）用100元去买这种瓜子，最多能买多少千克?

练习18. 大陆相关部门于2008年8月1日起对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售．某经销商销售了台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：

设当单价从38元/千克下调了x元时，销售量为y千克；

（1）写出y与x间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；

（2）如果凤梨的进价是20元/千克，某天的销售价定为30元/千克，问这天的销售利润是多少？

练习19. 如图，将长为50 cm，宽为10 cm的长方形白纸粘合起来，黏合部分宽为2 cm.

（1）求5张白纸黏合后的长度；

（2）设x张白纸黏合后的长度为y cm，写出y与x的关系式，并求出当x＝10时，y的值.

练习20. 已知：功率×做功时间=力×位移。设功率为P（瓦），做功时间为t（秒）。一辆拖车用9000牛的力把一辆陷在水沟里的汽车拖出6米，所用时间为t秒。

（1）求P关于t的函数关系式；

（2）如果这辆拖车只用6秒，就把这辆陷在水沟里的汽车拖出6米，问拖车的功率是多少千瓦？

（3）如果改用功率为 1.44千瓦的拖车用同样的力把这辆陷在水沟里的汽车拖出6米，则需要多少时间

第三节用图像表示变量之间的关系

知识点一用图像表示变量之间的关系

1. 用图像表示变量之间的关系的方法叫图象法，它是表示变量之间关系的第三种方法.

2. 用图像表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.

3. 要从图像中获取信息，我们必须结合具体情境理解图像上的点所表示的意义. 理解图像上的某一点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示那个变量；二要看该点所在的水平方向、竖直方向的位置，这样才能得到该点的准确意义. 通常过图像上的一点向横轴做垂线，其垂足表示的数据就是自变量的一个区直，然后过该点再向纵轴做垂线，其垂足表示的数据就是与自变量的值对应的因变量的值.

4. 读图像时，应注意横、纵坐标的对应值和图像变化中的两个变量存在的对应关系，善于观察变化的趋势.

5. 图像法的特点是形象、只管，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，其不足是由图像法难以得到准确的对应值.

6. 描述变量之间关系的方法：表格、表达式、图象. 它们的特点如下：

知识点二速度与时间图像解读

横轴表示时间，纵轴表示速度. 如图所示，

①从左向右上升的线代表物体从速度0开始加速运动.

①与横轴平行的线代表物体匀速运动.

①从左向右下降且与t轴相交的线代表物体减速运动到停止.

提示：在速度与时间的图像中反映的是速度与随时间变化的情况，不能误认为真实的行驶轨迹.

知识点三路程与时间图像解读

横轴表示时间，纵轴表示路程. 如图所示，

①自左向右上升的线代表物体匀速运动.

①与横轴平行的线代表物体停止运动.

①自左向右下降且与横轴相交的线代表物体反向运动直至回到原地.

曲线型图象表示的变量间关系

例题1. 用固定的速度往如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是（）

A. B. C. D.

练习1. 如图是某市2012年某天的气温随时间变化的图象，那么这天（）

A.最高气温是10℃，最低气温是2℃

B.最高气温是10℃，最低气温是-2℃

C.最高气温是6℃，最低气温是-2℃

D.最高气温是6℃，最低气温是2℃

练习2. 如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（）

A.凌晨4时气温最低为﹣3℃

B.14时气温最高为8℃

C.从0时至14时，气温随时间增长而上升

D.从14时至24时，气温随时间增长而下降

练习3. 已知某函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：

（1）确定自变量的取值范围；

（2）求当x=-4，-2，4时，y的值是多少？

（3）求当y=0时，x的值是多少？

（4）当x取何值是，y的值最大？当x取何值时，y的值最小？

（5）当x的值在什么范围时，y随x的增大而增大？当x的值在什么范围时，y随x的减小而减小？

练习4. 用一水管向某容器内持续注水，设单位时间内注入的水量保持不变；在注水过程中，表示容器内水深h与注水时间t的关系有如图所示的A，B，C，D四个图象，它们分别与E，F，G，H四种容器中的其中一种相对应，请你把相对应容器的字母填在下面的横线上.

A→____________；B→____________；C→____________；D→____________.

练习5. 下图是某地在一天中气温随时间变化的图象，根据图象回答问题：

（1）最高气温与最低气温分别是多少?

（2）什么时间气温最高?什么时间气温最低?

（3）什么时间内气温是上升的?

（4）什么时间内气温是下降的?

折线形图象表示的变量间的关系

例题2. 小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间关系的大致图象是（）

A. B. C. D.

练习1. 星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60 min后回到家。图中的折线段OA—AB—BC是她出发后所在位置离家的距离y（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（）

练习2. 折线图描述了某地某日的气温变化情况。根据图中信息，说法错误的是（）

A.4：00气温最低

B.6：00气温为24℃

C.14：00气温最高

D.气温是30℃的时刻为16：00

练习3. 如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知：日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润. 下列结论错误的是（）

A.第24天的销售量为200件

B.第10天销售一件产品的利润是15元

C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等

D.第30天的日销售利润是750元

练习4. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）

A.乙前4秒行驶的路程为48米

B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒

C.两车到第3秒时行驶的路程相等

D.在4至8秒内甲车的速度都大于乙车的速度

练习5. 如图，正方形ABCD的边长为2 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止。设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）

初中数学资料-变量与函数教案

14.1.1变量与函数 教材：人教版八年级上 教学目标 1．引导学生在探索实际问题中的数量关系和变化规律中，自主建构常量和变量的概念、函数的定义，渗透函数的三种表示法． 2．引导学生例举、研讨，体会“变化与对应”的思想，深化对函数概念实质的认识，体验函数是研究运动变化的重要数学模型，激发学习兴趣和学习积极主动性． 3．培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力． 教学重点 变量、函数概念 教学难点 建立函数概念 教学方法和教学手段 借助多媒体信息技术的运用，由具体实例逐步过度到抽象定义 教学过程 活动一：通过实例揭示常量和变量的概念 1．已知水绘园的门票的价格是50元/人. （1）2个人进去，需_______元; 3个人进去, 需_______元; 5个人进去, 需_______元. （2）在这个变化过程中，变化的量是___________，没变化的量是_________. （3）设进去的人有x个，需要门票总费用为y元,则用x的代数式表示y为_______; 2.如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm(弹力范围内）,怎样用含重物质量m（单位：kg）的式子表示受力后的弹簧长度l（单位：cm）？

挂1kg重物时弹簧长度 1×0.5＋10＝10.5（cm） 挂2kg重物时弹簧长度 2×0.5＋10＝11（cm） 在这变化的过程中，变化的量是_________，没变化的量是_____________. l=0.5m+10 下面请我们同学仿照上面的例子，举出几个变化的过程，并说出哪些是变化的量？哪些是没变化的量？ 变量的定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量； 常量的定义：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫常量。 活动二：提供实例，引导学生分析变化过程中的数量关系和变化规律，渗透函数概念的实质，为概括函数定义奠定基础 1.汽车在公路上行驶. (1)若汽车以v=80km/h的速度匀速行驶，则路程s（km）与时间t（h)的关系式为___________； (2)若汽车从南通匀速开往如皋，路程s=55km.用v（km/h）表示速度时间t （h)为_______. 2.我国体育健儿近7届奥运会奖牌数统计表 看表格回答：(1) 在这个变化过程中有哪几个变量？ (2) 当x=23时，y=?当x=27时，y=? … 3.本市某一天内的气温变化示意图

(北师大版)初中数学《变量之间的关系》单元测试1

第四章 变量之间的关系 单元测试 一、填空题 1．表示变量之间关系的常用方法有__________，__________，___________． 2．已知变量s 与t 的关系式是2235t t s -=，则当2=t 时，____=s ． 3．亮亮拿6元钱去邮局买面值为0.80元的邮票，买邮票所剩钱数y （元）与买邮票的枚数x （枚）的关系式为_______，最多可以买_________枚． 4．“日落西山”是我们每天都要面对的自然变换，就你的理解，_________是自变量，________是因变量． 二、选择题 5．水池中原有3升水，现每分钟向池内注1升，则水池内水量Q （升）与注水时间t （分）之间关系的图象大致为（ ） 6．弹簧挂重物后会伸长，测得弹簧长度y （cm ）最长为20cm ，与所挂物体重量x （kg ）间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 … y 8 8.5 9 9.5 10 … 下列说法不正确的是（ ） A ．x 与y 都是变量，x 是自变量，y 是因变量 B ．所挂物体为6kg ，弹簧长度为11cm C ．物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cm D ．挂30kg 物体时一定比原长增加15cm 7．对关系式x y 2 13-=的描述不正确的是（ ） A ．当x 看作自变量时，y 就是因变量 B ．随着x 值的增大，y 值变小

C．在非负数范围内，y可以最大值为3 3 D．当0 y时，x的值为 2 三、解答题 8．如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象． （1）此变化过程中，__________是自变量，_________是因变量．（2）甲的速度________乙的速度（大于、等于、小于） （3）6时表示________ （4）路程为150km，甲行驶了____小时，乙行驶了_____小时．（5）9时甲在乙的________（前面、后面、相同位置） （6）乙比甲先走了3小时，对吗？__________

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第8讲 由常量数学到变量数学

第八讲由常量数学到变量数学 数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期． 函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法． 在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题． 【例题求解】 【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为． 思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x 的方程． 注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有： (1)利用几何计算求； (2)通过解析式求； (3)解由解析式联立的方程组求． 【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后， 继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的 函数关系，大致是下列图象中的() 思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高0 h． 注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．

人教版数学八年级下册 19.1.1 变量与函数 教案

19.1.1数量与函数 一、教学目标： 1、了解函数的概念 2、会求函数自变量的取值范围 学习重点： 概括并理解函数概念中的单值对应关系 二、教学过程 【复习导入】：上一节课，我们学习了常量和变量，什么是变量，什么是常量？生：变量：数值发生变化的量 常量：数值始终不变的量 问题：购买一些作业本，单价为0.5元/本，总价y元随作业本数x变化，指出其中的常量与变量，并用含有x的式子表示y 生：常量是0.5 变量是：X 和 y 式子表示为：Y=0.5x 【合作探究】 问题1、下面各题的变化过程中 （1）、每个问题中各有几个变量？ （2）、同一个问题中的变量之间有什么联系？ 1、汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h 解:存在两个变量，表示两个变量之间的关系式 S = 60 t S 随着 t 的变化而变化，s 是怎样随着 t 的变化而变化呢，能用数值加以说明吗？ 师生活动 小结： 当 _____确定一个值时，_____就随之确定一个值。

2、每张电影票的售价为10元，如果第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310 张票,三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入y元，y的值随着x的值的变化而变化吗？ （2）y=10x 当 x 取定一个值，y 有唯一确定的值与之对应 3、你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的面积s分别为多少？s的值随r的值的变化而变化吗？ （3）S =πr 2 当 r 取定一个值时，s 有唯一确定值与之对应 4、用10 m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？ （4）y = 5－x 当 x 取定一个值时，y 有唯一确定的值与之对应 师生活动： 归纳：1 每个变化的过程中都存在着（）变量 2 两个变量互相联系，当其中一个变量确定一个值时，另一个变量也（）。 问题2（1）下图是体检时的心电图．其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？ （2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数 可以记作两个变量x与y，对于表中每一个确定的年份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗？ 师生活动：引导学生说出（1）中时间与生物电流的对应关系，（2）中年份与人口数之间的对应关系，体会变量之间的的单值对应关系。 【教师精讲】 函数的定义： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数． 如果当x =a 时，对应的y =b， 那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值 （注：一一对应，即一个自变量x的值，只能对应一个函数y值。） 【分组讨论】 上面四个问题中哪些是自变量,哪些是自变量的函数？ 【探究与讨论】 下列各式中，ｘ是自变量，请判断ｙ是不是ｘ的函数？ 1.y＝ 2x

人教版八年级数学《变量与函数》武建伟

八年级下册课题：变量与函数(1)课时：1 知识链接学习目标：1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念; 一、创设情境 在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题. 问题1如图是某地一天内的气温变化图. 2. 了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系 或者说 300000 学法指导 ⑵波长I越大，频率f就越小. 问题4圆的面积随着半径的增大而增大. 如果用r表示圆的半径, S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S= ________ . 利用这个关系式，试求出半径为 1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、 半径r(c m) 1.52 2.6 3.2■1 V ■■■ 圆面积/曲)■1 fl ? 3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下 表： .解S= n r. 半径1 1.52 2.6 3.2■ ■ ■ 圆面积&(cm2) 3 147.06512.5621.226432.1536■ ■ ■ 由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就 (1) 这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一 时刻，说出这一时刻的气温. (2) 这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (3) 这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐 降低？解⑴这天的6时、10时和14时的气温分别为—1C、2 C、5C; (2) 这一天中，最高气温是5C.最低气温是—4C; (3) 这一天中，3时?14时的气温在逐渐升高.0时?3时和14时?24 时的气温在逐渐降低. 从图中我们可以看到，随着时间t (时)的变化，相应地气温T(C ) 也随 之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？ 二、探究归纳 问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002 7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率： . 口 . 冋 圆的半径越大，它的面积就越大. 在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某 些变化规律?这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一 些数值会发生变化的量?例如问题1中，刻画气温变化规 律的量是时间t和气温T,气温T随着时间t的变化而变化，都会取不 同的数值?像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变 量. 上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相 关.一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如y,对于x的 每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说 它们 自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.表示函数关系的方法通 常有三种： (1)解析法，如问题3中的f = 存期X三月;六月年二年三年五年 年利率尹旳 1.71001.89001 9S002.2500 2.52002.7900 观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的. 解 随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长. 300000 ，问题 4 中的S=n 2r, l 这些表达式称为函数的关系式. ⑵列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表. (3) 图象法，如问题1中的气温曲线.问题的研究过程中，种量，它的取值 始终保持不变，我们称之为常量，如问题3中的 300 000，问题4中的n等. 三、实践应用 例1下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高 还有 波长?(m)30050060010001500 频率烬Hz)1000600500300200 问题3收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为 单位标刻的.下面是一些对应的数值： 观察上表回答： (1)波长I和频率f数值之间有什么关系？ ⑵波长I越大，频率f就____________ . 解(1) I与f的乘积是一个定值，即 lf= 300 000, 解(1)平均身高是146.1cm ; (2) 约从14岁开始身高增加特别迅速； (3) 反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的 关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量. 例2写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量： (1) 圆的周长C与半径r的关系式； (2) 火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s (千米)和 所用时间t (时)的关系式； (3) n边形的内角和S与边数n的关系式. 解(1) C = 2n , 2n是常量，r、C是变量； (2) s= 60t, 60是常量，t、s是变量； (3) S= (n —2) X 180, 2、180 是常量，n、S是变量. 四、交流反思 1. 函数概念包含： (1) 两个变量； (2) 两个变量之间的对应关系. 2. 在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始 终保持不变的量，叫做常量.例如x和y，对于x的每一个值，y都 有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量. 函数关系三种表示方法： (1) 解析法； (2) 列表法； (3) 图象法. 3. 年龄姐(岁)7S g10111213141516n 男生平均身 髙 115.41183122.2126 51296135.514).414(5.1154B162.916$ (1) 从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗： (2) 该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加？ (3) 上表反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个 是因变量？ 五、检测反馈 1. 举3个日常生活中遇到的函数关系的例子. 2. 分别指出下列各关系式中的变量与常量： (1) 三角形的一边长5cm,它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm) 5 的关系式是S=2h ； 2 (2) 若直角三角形中的一个锐角的度数为a则另一个锐角 H度)与a间的关系式是3= 90 —a ； (3) 若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买 报纸的总价y (元)与x间的关系是：y= ax. 写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量： (1) 每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y (元)与学生数n (个)的关系； (2) 计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n (个)与单 价a (元)的关系. 4. 填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑.若 用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y 关于x的函数关系式.

人教版初中数学变量之间的关系(含答案)-

暑假专题——变量之间的关系 教学目标： 使学生能够从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息，解决一些实际问题，从而培养分析问题和解决问题的能力。 二. 重点、难点 从表格、关系式、图象中获取信息，解决一些实际问题是本节的重点与难点。 知识点归纳总结： 1. 因变量随自变量的变化而变化; . 【典型例题】 例1.小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图像。 （1）根据图像回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ （2）求小明出发两个半小时离家多远？ （3）求小明出发多长时间距家12千米？ 解：（1）小明到达离家最远的地方需3小时，此时离家30千米

例2.某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/小时、100千米/小时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示： 注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费。 （1）设该批发商待运的海产品有x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），试求y1与x的函数关系和y2与x的函数关系； （2）通过计算说明当待运的海产品有100吨时，选择哪种货运公司更省钱？ 解： （2）把x＝100分别代入y1与y2 ∴选择铁路货运公司更省钱。 例3. 某计算机商店销售计算机，经统计每台售价9000元，每天销售20台，而降价销售则销量增加，每台每降价300元，日销量增加一台，设日销量增加x台，日销售额为y元。 （1）写出y与x之间的关系式； （2）计算日销量增加5台时，日销售额的值。 解： （2）把x＝5代入得 例4. 如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时 间变化的图象，根据图象解答下列问题：

变量间的相关关系同步练习题

变量间的相关关系同步练习题 1. 下列两个变量具有相关关系的是（ ） A. 正方体的体积与边长 B. 人的身高与体重 C. 匀速行驶车辆的行驶距离与时间 D. 球的半径与体积 2. 两个变量成负相关关系时，散点图的特征是（ ） A. 点散布在从左下角到右上角的区域内 B. 点散布在某带形区域内 C. 点散布在某圆形区域内 D. 点散布在从左上角到右下角的区域内 3. 由一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ），得到回归方程a bx y +=∧ ，那么下面说法不正确的是（ ） A. 直线a bx y +=∧ 必经过点（x ，y ） B. 直线a bx y +=∧至少经过点（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）中的一个点 C. 直线a bx y +=∧的斜率为 ∑∑==--n 1 i 2 2i n 1 i i i x n x y x n y x D. 直线a bx y +=∧ 和各点（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）的偏差 ()[]∑=+-n 1 i 2 i i a bx y 是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线 4. 若施化肥量x （单位：kg ）与水稻产量y （单位：kg ）的回归方程为250x 5y +=∧ ，则当施化肥量为80kg 时，预计水稻产量为___________。 5. 相关关系与函数关系的区别是___________。 （1）作出这些数据的散点图； （2）通过观察这两个变量的散点图，你能得出什么结论？ 7. 某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究回收率y 和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得： ∑==8 1 i i 52x ， ∑==8 1 i i 228y ， ∑=8 1 i 2 i x 478=， ∑==8 1 i i i 1849y x ，则y 与x 的回归方程是（ ） A. x 62.247.11y +=∧ B. x 62.247.11y +-=∧ C. x 47.2262.2y +=∧ D. x 62.247.11y -=∧

初中数学变量与函数教案

初中数学《变量与函数》教案第14章一次函数 (1)14.1变量与函数教学目标①运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义.能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义. ②通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力. ③引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心. 教学重点与难点 重点：函数概念的形成过程.难点：正确理解函数的概念 .教学准备 每个小组一副弹簧秤和挂件,一根绳子. 教学设计提出问题:1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶.行驶里程为s千米,行驶时间为t小时.先填写下面的表,再试着用含t的式子表示页 1 第 s： t(小时) 1 2 3 4 5 千米)s(2.已知每张电影票的售价为10元.如果早场售出

150张,日场售出205张,晚场售出310张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票,票房收人为y元,怎样用含x的式子表示y? 3.要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?画面积为20cm2的圆呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r? 注:(1)让学生充分发表意见,然后教师进行点评. (2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景,让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验. 动手实验1.在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量, 观察并记录弹簧长度的变化,填入下表： m(kg)悬挂重物的质量弹簧长度l(cm)如果弹簧原长 10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)? 页 2 第 2.用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的矩形的长的值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示).设矩形的长为xdm,面积为Sdm2,怎样用含x的式子表示S? 注:分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报. 通过动手实验,学生的学习积极性被充分调动起来,进一步深

初二数学下19.1.1变量

第19章一次函数 19.1.1变量与函数(1) 教学目标 ①运用丰富的实例，使学生在具体情境中领悟函数概念的意义，了解常量与变量的含义 能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义. ②通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，以提高分析问 题和解决问题的能力. ③引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的 热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心. 教学重点与难点 重点：函数概念的形成过程. 难点：正确理解函数的概念. 教学准备 每个小组一副弹簧秤和挂件，一根绳子. 教学设计 提出问题： 1. 汽车以60千米/时的速度匀速行驶?行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.先填写下面的表，再试着用含t的式子表示s : 2. 已知每张电影票的售价为10元.如果早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310 张，那么三场电影的票房收入各为多少元？设一场电影售出x张票，票房收人为y元，怎样用含x的式子表示y? 3. 要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？画面积为20cm f的圆呢？怎样用含圆面积S 的式子表示圆半径r? 注:(1)让学生充分发表意见，然后教师进行点评. (2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景，让学生经历探索具体情景中两个变 量关系的过程，直接获得探索变量关系的体验. 动手实验 1. 如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)? 2. 用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长，观察矩形的面积怎样变化，记录不同的矩形的长的值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律(用表格表示).设矩形的长为xdm,面积为Sdnl怎样用含x的式子表示S? 注:分组进行实验活动，然后各组选派代表汇报.

变量之间的相关关系

课题：§2.3.1变量之间的相关关系 一．教学任务分析: （1）通过具体示例引导学生考察变量之间的关系，在讨论的过程中认识现实世界中存在着不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性. (2) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.会作散点图,并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断. (3) 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解统计的作用. 二．教学重点与难点： 教学重点：利用散点图直观认识变量间的相关关系. 教学难点：理解变量间的相关关系. ↓ ↓ ↓ 1．创设情景，揭示课题 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说,事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度,所以说，函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系. 生活中存在着许多相关关系的问题: 问题1：商品销售收入与广告支出之间的关系. 问题2:粮食产量和施肥量之间的关系. 问题3:人体内的脂肪含量与年龄之间的关系. 由上述问题我们知道,两个变量之间的关系,可能是确定关系或非确定关系.当自变量取

值一定时,因变量的取值带有一定的随机性时,两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种确定性的关系. 2.两个变量的线性相关 问题4: 在一次对人体的脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 问题5:某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 根据上述数据,气温与热茶销售量之间的有怎样的关系? 学生活动:为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下

初中数学如何确定函数自变量的取值范围(最新编写)

如何确定函数自变量的取值范围 湖北省黄石市下陆中学宋毓彬 为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围．函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题． 初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为以下三种类型： 一、函数关系式中自变量的取值范围 在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；⑵函数关系式为分式形式：分母≠0；⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；⑷函数关系式含0指数：底数≠0． 例1．在下列函数关系式中，自变量x的取值范围分别是什么？ ⑴y=2x-5；⑵y=；⑶y=；⑷y=；⑸y=（x-3）0 解析：⑴为整式形式：x的取值范围为任意实数； ⑵为分式形式：分母2x+1≠0∴x≠－∴x的取值范围为x≠－； ⑶含算术平方根：被开方数3x-4≥0 ∴x≥∴x的取值范围为x≥； ⑷既含分母、又含算术平方根，故∴x≥－2且x≠0 x的取值范围为：x≥－2且x≠0 ⑸含0指数，底数x-3≠0 ∴x≠3，x的取值范围为x≠3． 二、实际问题中自变量的取值范围． 在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素： ⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数． ⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．

例2、某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表： 甲种车辆甲种车辆 载客量（单位：人/辆）45 30 租金（单位：元）400 280 设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．解析：⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x辆，则租用乙种车辆（6－x）辆．y=400x+280（6-x）=120x+1680 ∴y与x的函数关系式为：y=120x+1680 ⑵自变量x需满足以下两个条件： 240名师生有车坐：45x+30（6-x）≥240 ∴x≥4 费用不超过2300元：120x+1680≤2300 ∴x≤5 ∴自变量x的取值范围是：4≤x≤5 三、几何图形中函数自变量的取值范围 几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动 范围．特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”． 例3．若等腰三角形的周长为20cm，请写出底边长y与腰长x的函数关系式，并求自 变量x的取值范围． 解析：底边长y与腰长x的函数关系式为：y=20-2x ①x表示等腰三角形腰长：x≥0 ②三角形中“两边之和大于第三边”：2x＞y 即2x＞20-2x ∴x＞5 ③等腰三角形底边长y＞0，20-2x＞0，∴x＜10 ∴自变量x的取值范围是：5＜x＜10 作者简介：宋毓彬，男，43岁，中学数学高级教师．在《中学数学教学参考》、《数 哩天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、

第二章 分离变量法(§2.1)

第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><

变量间的相关关系优秀教案

变量间的相关关系 一、教材分析 学生情况分析：学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算基础。 教材地位和作用：变量间的相关关系是高中新教材人教A版必修3第二章2.3节的内容, 本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。为以后更好地研究选修2-3第三章 3.2节回归分析思想的应用奠定基础。 二、教学目标 1、知识与技能：利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及线性回归方程系数公式的推导过程，求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解。 2 、过程与方法： ①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力。 3、情感、态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。 三、教学重点、难点 重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想求出回归方程。 难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解，教学实施过程中的难点是根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。 四、教学设计） （一）、创设情境导入新课 1、相关关系的理解 我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。生活中还有很多描述相关关系的成语，如：“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”。通过学生熟悉的函数关系，引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系。让学生体会研究变量之间相关关系的重要性。感受数学来源于生活。 （二）、初步探索，直观感知 1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。在研究相关关系前，先回忆一下函数的表示方法有哪些——列表，画图象，求解析式。下面我们就用这些方法来研究相关关系。看这样一组数据：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据，根据样本数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？ 一个点。

初中数学《变量与函数》教案

初中数学《变量与函数》教案 第14章一次函数 14.1变量与函数(1) 教学目标 ①运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义.能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义. ②通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力. ③引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心. 教学重点与难点 重点：函数概念的形成过程. 难点：正确理解函数的概念. 教学准备 每个小组一副弹簧秤和挂件,一根绳子. 教学设计 提出问题: 1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶.行驶里程为s千米,行驶时间为t小时.先填写下面的表,再试着用含t的式子表示s： t(小时) 1 2 3 4 5 s(千米) 2.已知每张电影票的售价为10元.如果早场售出150张,日场售出205张,晚场售出310张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票,票房收人为y元,怎样用含x的式子表示y?

3.要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?画面积为20cm2的圆呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r? 注:(1)让学生充分发表意见,然后教师进行点评. (2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景,让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验. 动手实验 1.在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量, 观察并记录弹簧长度的变化,填入下表： 悬挂重物的质量m(kg) 弹簧长度l(cm) 如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)? 2.用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的矩形的长的值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示).设矩形的长为xdm,面积为Sdm2,怎样用含x的式子表示S? 注:分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报. 通过动手实验,学生的学习积极性被充分调动起来,进一步深刻体会了变量间的关系,学会了运用表格形式来表示实验信息. 探究新知 (一)变量与常量的概念 1.在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上,师生共同归纳：上面的问题和实验都反映了不同事物的变化过程.其中有些量(时间t、里程s、售出票数x、票房收入y等)的值是按照某种规律变化的.在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称之为变量.也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度60(千米/时)、票价10(元)等,我们称之为常量. 2.请具体指出上面这些问题和实验中,哪些量是变量,哪些量是常量.

初中数学变量与函数

初中数学--变量与函数

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14.1 变量与函数 重要知识点讲解 1、常量与变量 在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做________，始终不变的量叫做_________。 2、函数 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说__________是自变量，y是x的__________。 3、在一个函数关系式中，如果当x a =，那么b叫做当自变量的值为a时的 =时，y b ____________。 4、自变量的取值范围 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意_______使实际问题有意义。 5、函数的图像 （1）对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的_____与________，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的_______。 （2）描点法画函数图像的一般步骤是：①___________；②_____________；③__________； （3）当函数图像从左向右上升时，函数值随自变量的变大而_________；当图像从左向右下降时，函数值随自变量的变大而_________。 （4）函数的表示方法：共有_______种，分别是______法、______法、和______法。 答案：1、变量，常量；2、唯一，x，函数；3、函数值；4、自变量的取值；5、（1）横坐标，纵坐标，图像；（2）列表，描点，连线；（3）变大，变小；（4）3，图像，列表，解析式。 重要知识点讲解 知识点一：变量和常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 详解：如在行程问题中，当速度v保持不变时，行走的路程s的长短随时间t的变化而变化，那么在这一过程中，v是常量，而s和t是变量。当路程s是个定值时，行走的时间t随速度v的变化而变化，那么在这一过程中，s是常量，而v和t是变量。 注意：（1）变量和常量往往是相对的，对于不同的研究过程而言，其中的变量和常量是不 、、三者之间； 相同的，变量和常量的身份是可以相互转换的，如：s v t （2）区分常量与变量，就是看某个变化过程中，该量的值是否可以改变（即是否会取不同的数值）； （3）在讨论常量和变量的关系时要考虑变量的实际意义，如：长度，天数，身高不能为负数，人数必须是非负整数等。 例1 写出下列各问题中所满足的关系式，并支出各关系式中，哪些是常量，哪些是变量。（1）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔n之间的关系； （2）运动员在400m一周的跑道上训练，他跑一圈所用的时间() v m s的关 t s与跑步速度(/) 系。 答案：（1）y与n之间的关系为：0.4 =，其中，常量为0.4，变量为y和n。 y n

变量间的相关关系与统计案例教案(绝对经典)

第3节变量间的相关关系与统计案例 【最新考纲】 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 【高考会这样考】考查回归分析、独立性检验的基本思想和简单应用． 要点梳理 1.相关关系与回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数. (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 2.线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)， 其回归方程为y^＝b^x＋a^__，则b^＝∑ n i＝1 （x i－x－）（y i－y－） ∑ n i＝1 （x i－x－）2 ＝ ∑ n i＝1 x i y i－nx－y－ ∑ n i＝1 x2i－nx－2 ，a^＝y－－b^x－.其中， b^是回归方程的斜率，a^是在y轴上的截距. 回归直线一定过样本点的中心(x－，y－). 3.回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.

初中数学-变量之间的关系

变量之间的关系 第一节用表格表示变量之间的关系 知识点一变量、自变量、因变量、常量的定义 一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量成为变量?如果有两个变量，当其中一个变量在一定范围内 取一个数值时，两一个变量也有唯一的一个数值与其对应，那么，通常前一个变量叫自变量，后一个变量 叫做因变量?在变化过程中数值始终不变的的那个量叫做常量 （1）常亮与变量往往是相对的，相当于某个变化过程 （2）在某一变化过程中，可能有一个或几个常量，不可能没有变量，也不可能只有一个变量，一般有两个变量? 知识点二自变量与因变量的区别与联系 自变量与因变量共同存在于一个变化过程中，它们既有区别又有联系 因变量随自变量的变化情况： 知识点三从表格中获取信息对变化趋势进行初步预测 借助表格可以表示两个变量之间的关系? 表示两个变量之间关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量，从表格中发现因变量随自变量变化存在一定的规律一一或者增加或者减少或者呈规律性的起伏变化，从而利用变化趋势对结果作出预测? 用列表法表示两个变量之间的关系时，表格只能提供自变量与因变量对应的部分数据，不能全面反映两个变量之间的关系，想要知道表格中没有出现的自变量与因变量的对应数据，需要对表格中的数据进行分析，从已知部分数据中观察变量的变化规律并依此估计未在表格中出现的数据 例题1.某人要在规定时间内加工100个零件，则工作效率y与时间t之间的关系中，下列说法正确的是（ A. y，t和100都是变量 B.100和y都是常量 C.y和t是变量 D.100和t都是常量

练习1.下表是某报纸公布的世界人口数情况： A.仅有一个，是年份 B.仅有一个，是人口数 C.有两个变量，一个是人口数，另一个是年份 D. 一个变量也没有 练习2.某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，填写下表 在这个问题中，___________ 是常量； ____________ 是变量. 练习3.王老师开车去加油站加油，发现加油表如图所示. 加油时，单价其数值固定不变，表示数量”金额”的量一直在变化, 在这三个量中，___________ 是常量， ___________ 自变量，____________ 是因变量. 练习4.在利用太阳能热水器给水加热的过程中，热水器里水的温度随所晒太阳光时间的长短而变化，这个问题中因变量是（） A.太阳光的强弱 B.热水器里水的温度 C.所晒太阳光的时间 D.热水器 练习5. 一个圆柱的高h为10 cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在 这个变化过程中（） A . r是因变量，V是自变量 B . r是自变量，V是因变量 C. r是自变量，h是因变量 D . h是自变量，V是因变量 练习6?明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（）。