当前位置：文档库 › 大学物理第一版习题精解—第十二章狭义相对论第十三章量子物理基础

大学物理第一版习题精解—第十二章狭义相对论第十三章量子物理基础

习题精解

12-1 在狭义相对论的基本理论中，相对性原理说的是____________；光速不变原理说的是_____________.

解所有惯性系对一切物理定律都是等价的；在所有惯性系中，真空中的光速具有相同的量值c 。

12-2以速度u 相对地球做匀速直线运动的恒心所发射的光子，其相对于地球的速度的大小为________.

解根据光速不变原理可知，光子相对于地球的速度的大小为c.

12-3 宇宙飞船相对于地面以速度u 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经t ?时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固定有长度为 ( ).

A. c t ?

B. u t ?

t ?

D. c t ? 解根据光速不变的原理可知，光相对于宇宙飞船的速度为c ，所以飞船的固有长度为，应选择A.

12-4 一张正方形宣传画，边长为5m ，在平行于铁路的墙上，一列高速火车以每小时210公里的速度接近此宣传画，在司机看来，此画形状是________,面积为_____________. 解根据长度的收缩效应可知，当高速火车接近此宣传画时，此画形状应是长方形。 1

121058.3u km h m s --=?=?

1γ=

=≈

所以此画的面积大约为2

25m .

12-5 S 系中的观察者有一根米尺固定在x 轴上，其两端各装一手枪，在S '系中的x '轴上固定有另一根长尺，当后者从前者旁边经过是，S 系中的观察者同时扳动两手枪，使子弹在S '系中尺上打出两个记号。则在S '系中两个记号之间的距离x '?_______1m （大于、等于、小于）。

解由题意可知，在S 系中的观察者观测到S '系中两个记号之间的就离为1m ，根据长度的收缩效应，在S '系中两个记号之间的距离x '?应大于1m 。 12-6 在地球上进行的一场足球赛保持了90min ，在以0.80c 的速度飞行的光子火箭中的乘客看来，这场球赛进行了（）

A. 1h

B. 2h

C. 2.5h

D. 54h

解因为1

1.670.6

γ=

≈ 所以坐在光子火箭中的乘客看来，这场球赛进行的时间为 1.6790150min 2.5t t h γ'?=?=?≈=

12-7 静止的子的平均寿命为6

0210s τ-=?，今在8km 的高空，由于π介质的衰变产生一个

速度为0.998c 的μ子，试论证此μ子的有无可能到达地面。解因

为

15.82γ=

=，所以地面观测者观测到μ子的寿命为

50 3.210()s τγτ-=≈?，飞行距离为30.9989.6109.6()l c km τ=?≈?=，因此μ子可以

到达地面。

12-8 质子在加速器中被加速，当动能为静止能量为4倍时，其质量为静止质量的____________倍。

解因为2

04k E m c =

又 22

0k E mc m c =-

所以 05m m =

12-9 某人测得一静止棒长为0L ，质量为m ，当此棒相对于人以速度u 沿棒长方向运动时，则此人再测棒的线密度为__________.

解当棒对于人以速度u 沿棒长方向运动时，其长度

为l L =，质量

为

m '=

，所以棒的线密度为m l

λ'=

12-10 在实验室测得氢发射的光谱中有一长条波长121.6nm λ=的谱线，若测得一星体发出的氢光谱中和此波长相对应的430.4nm λ=，则发射此光的星体相对地球的速度为多少？它是靠近还是远离地球？

解波长121.6nm λ=的谱线所对应的频率为812

310 2.4510().121.610

v Hz λ-?===?? 波长430.4nm λ=的谱线所对应的频率为120 1.710()c

v Hz λ

==?

根据多普勒效应公式0v v =

，解得81

0.35 1.0510()u c m s -=-=-??，负号说明星体远离地球。

12-11 宇宙飞船以0.8c 速度远离地球（退行速度），在此过程中飞船向地球发出两个光信号，间隔为e t ?，问地球上接收到它发出的两个光信号间隔r t ?为多少？

解以宇宙飞船为k '系，地球为k 系，在k '系中观测时间间隔为e t ?，在k 系中观测到的

时间间隔为

e t t γ?=? 地球上接收到它发出的两个光信号间隔为

13r e e t u u t t t t t c c γ????

?=?+

=?+=?=? ???

12-12 在实验室中测得电子的速度是0.8c ，假设一观察者相对于实验室以0.6c 的速度运动，

其方向与电子的运动方向相同，试求观察者测得的电子的能量、动能和动量。

解以实验室为k 系，以观测者为k '系，则k '系相对于k 系的速度为0.6,0.8x u c v c ==，观测者测得电子的速度为 2

0.351x x x v u

v c v u c

-'==- 观测者测得电子的总能量为

148.7510()E mc J -==

观测者测得电子的动能为

215

0 5.510()k E E m c J -=-=?

观测者测得电子的动能为

()

2211.0210p mv kg m s --'==???

12-13 两个静质量为0m 的粒子，其中一个静止，另一个以00.8u c =运动，它们对心碰撞以后粘在一起，求碰撞后合成粒子的静质量。解运动的粒子的动量为

000040.80.63

m m c P mu u c ==

?= 由动量守恒定律可知，碰撞后合成粒子的动量为

043

m c

合成粒子的总能量为

222002.667E Mc m c c m c ===

于是对于合成粒子有

02.667M m =

连立（1）、（2）式解得合成粒子的静止质量为 002.31M m =

12-14 在地球—月球系中测得地球到月球的距离为8

3.84410m ?，一火箭以0.8c 的速率沿着从地球到月球的方向飞行，先经过地球（事件1），之后又经过月球（事件2）。问在地球—月球系和火箭系中观测，火箭由地球飞向月球各需多少时间？解在地球—月球系中观测，火箭由地球飞向月球需要的时间为

3.84410 1.6()0.8310

S t s v ??===??

由题意知 1.67γ=

≈，在火箭系中观测，火箭由地球飞向月球所需要的时间

为

20.96()t t s γ

??=

12-15 粒子的静止质量为，当其动能等于其静能是，其质量和动量各等于多少？

解由题意知（222

00E mc m c m c =-=静止能量）

解得

02m m =

根据相对论能量和动量的关系：2222

0E p c E =+得

0p c =

== 12-16 相对基本粒子μ子为静止的惯性系中测得它的平均寿命为6

0 2.210s τ-=?。当μ子

以速度0.9966u c =相对实验室运动时，在实验室测得它通过的平均距离为，问：

（1）按照经典理论，μ子从产生到湮没通过的平均距离为多少？（2）按照相对论，μ子从产生到湮没通过的平均距离又是多少？（3）将（1），（2）的计算结果与试验结果比较可以说明什么？解（1）按照经典理论，μ子从产生的到湮没通过的平均距离为

00.9966 2.210657.756()S u c m τ-==??=

（2）按照相对论，μ子从产生到湮没同伙的平均距离为

7983810()

S u m

'==≈?

（3）前两问的计算结果与实验结果比较可以说明对高速运动的粒子，经典理论是不适应的，而按照相对论计算的结果和实验符合得很好，对高速运动的粒子狭义相对论是适应的。12-17 一根米尺静止在K'系中，与轴成30°角，如果在K系中测得该米尺与x轴的夹角为45°角，试求K'系的速度为多少?在K系中测得米尺的长度是多少？

解如图12.1所示，由题意知：

cos30)

sin30()

x L m

y L m

?=?=

cot45()

x y y y m

?=??=?=?=

根据长度收缩效应得

x x

?=?

解得

0.816

u c

在K系中测得米尺的长度为：

0.707()

L m

===

13-1 钾的截止频率为14

4.6210Hz

?，今用波长为435.8nm的光照射，求从钾的表面上放出的光电子的初速度

解因为2

hv mv W W hv v

=+==所以从钾表面放出光电子的初速度为

5.7410()

v m s-

==??

注意：这里认为逸出金属的光电子速度很小，因此计算中取电子的静质量。

13-2波长为0.0708nm的X射线在石蜡上受到康普顿散射，求在

和π方向上说散射的X 射线的波长各是多大？

解在

θ=的方向上，有

2sin20.00243sin0.00243()

θπ

λλλλ

?=-==?=

所以在该方向上的波长为

0.07080.002430.0732()

λλλ

'=+?=+=

在θπ=的方向上，有

2sin 20.00243sin 0.00486()2

c nm θ

λλλλ'?=-==?=

所以在该方向上的波长为

0.07080.004860.0756()nm λλλ'=+?=+=

13-3 试计算原子光谱中莱曼线系的最段和最长波长，并指出是否为可见光。解对于莱曼线系有

221

11,2,3,4,....1R n n λ??

=-= ???

令n=2，则可得到莱曼线系中最长的波长为21max 121.5nm λ=；令n =∞，则可得到莱曼线系中最短的波长为1min 91.2nm λ∞=，它们均不在可见光的范围，因此可知莱曼线系不属于可见光的范畴。

13-4 试求：（1）红光700nm λ=；（2）X 射线0.025nm λ=；（3）γ射线0.00124nm λ=的光子的能量、动量和质量。

解（1）对于红光有

()132213021.6010()5.3510, 1.7810()hc

E hv J v

E E

P kg m s m kg c c

----===?=

=???==?

（2）对于X 射线有

()192813622.8410()9.4710, 3.1610()hc

E hv J v

E E

P kg m s m kg c c

----==

=?=

=???==?

（3）对于γ射线有

()152313227.9610()2.5610,8.8410()hc

E hv J v

E E

P kg m s m kg c c

----==

=?=

=???==?

13-5求速度2

v =

的电子的物质波的波长。解电子的物质波的波长为

0.00421()h h nm P mv λ==

===

13-6 一电子有沿x 轴方向的速率，其值为1

200m s -?。动量的不确定量的相对值x

P P ?为0.01%。若这时确定该电子的位置将有多大的不确定量？解因为

0.01%x x

x x

P v P v ??==，所以10.01%0.02()x x v v m s -?==?。又因为()2

x h

x m v ???≥

，所以有()0.00292x h x m m v ?≥

=?，可见电子的动量越确定，则位置越不确定。

13-7一个粒子沿x 轴的正方向运动，设它的运动可以用下列波函数来描述： ()1C

x ix

ψ=

+ 试求：（1）归一化常数C ；（2）求概率密度()2

x ψ;(3)何处概率密度最大？解（1）因为

()

()()22

11C x dx x x dx dx C x ψψψπ∞

-∞=?===+???

所以归一化常数为

C =

（2）概率密度为

()()()2

1x x x x ψψψπ=?=+

（3）从概率密度的表达式可以看出，概率密度最大的位置及最大值为

()()2

max 1

0x ψψπ

13-8 当2n =时，宽度为a 的一维无限深方势阱壁附近的概率密度有多大？哪里的概率密度最大？

解当2n =时一维无限深方势阱中粒子的波函数为 (

)22x x a

ψ??

= ???

所以概率密度的表达式为

()()()2*

222222sin x x x x a a

πψψψ??=?=

???

于是势阱壁附近的概率密度为

()2

200ψ= 和 ()2

20a ψ=

令2

2sin 1x a

π??

???

，则可得概率密度最大时的位置为 14x a =

和 34

x a = 13-9 在宽为a 的一维无限深方势阱中，当n=1,2,3,求介于壁阱和3

之间粒子出现的概率。解宽为a 的一维无限深方势阱中粒子的波函数为

()n n x x a

πψ??

???

粒子出现的概率密度为

()

22sin n n x x a a

πψ??= ???

所以n=1时

()2

2330

21sin 3a

n n x dx x dx a a πψ??

== ???

n=2时

()22

2330

21sin 38a

a n n x dx x dx a a πψπ??

==+ ????

n=3时 ()22

2330

21sin 3a a n n x dx x dx a a

πψ??

== ???

大学物理狭义相对论习题及答案

第5章狭义相对论习题及答案 1. 牛顿力学的时空观与相对论的时空观的根本区别是什么？二者有何联系？答：牛顿力学的时空观认为自然界存在着与物质运动无关的绝对空间和时间，这种空间和时间是彼此孤立的；狭义相对论的时空观认为自然界时间和空间的量度具有相对性，时间和空间的概念具有不可分割性，而且它们都与物质运动密切相关。在远小于光速的低速情况下，狭义相对论的时空观与牛顿力学的时空观趋于一致。 2. 狭义相对论的两个基本原理是什么？答：狭义相对论的两个基本原理是：（1）相对性原理在所有惯性系中，物理定律都具有相同形式；（2）光速不变原理在所有惯性系中，光在真空中的传播速度均为c ,与光源运动与否无关。 3．你是否认为在相对论中，一切都是相对的？有没有绝对性的方面？有那些方面？举例说明。解在相对论中，不是一切都是相对的，也有绝对性存在的方面。如，光相对于所有惯性系其速率是不变的，即是绝对的；又如，力学规律，如动量守恒定律、能量守恒定律等在所有惯性系中都是成立的，即相对于不同的惯性系力学规律不会有所不同，此也是绝对的；还有，对同时同地的两事件同时具有绝对性等。 4．设'S 系相对S 系以速度u 沿着x 正方向运动，今有两事件对S 系来说是同时发生的，问在以下两种情况中，它们对'S 系是否同时发生？（1）两事件发生于S 系的同一地点；（2）两事件发生于S 系的不同地点。解由洛伦兹变化2()v t t x c γ'?=?-?知，第一种情况，0x ?=，0t ?=，故'S 系中0t '?=，即两事件同时发生；第二种情况，0x ?≠，0t ?=，故'S 系中0t '?≠，两事件不同时发生。 5-5 飞船A 中的观察者测得飞船B 正以0.4c 的速率尾随而来，一地面站测得飞船A 的速率为0.5c ，求：（1）地面站测得飞船B 的速率；（2）飞船B 测得飞船A 的速率。解选地面为S 系，飞船A 为S '系。（1）'0.4,0.5x v c u c ==，2'3 41'x x x v u v c v v c += =+ （2）'0.4BA AB x v v v c =-=-=- 5.6 惯性系S ′相对另一惯性系S 沿x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S 系中测得两事件的时空坐标分别为1x =6×104 m,1t =2×10-4 s ，以及2x =12×104 m,2t =1× 10-4 s ．已知在S ′系中测得该两事件同时发生．试问： (1)S ′系相对S 系的速度是多少? (2) S '系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设)(S '相对S 的速度为v ， (1) )(12 11 x c v t t -='γ

第十三章量子力学基础2作业答案

(薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ C ]1. （基础训练 10）氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为 (A) (2，2，1，2 1 -)． (B) (2，0，0，21)． (C) (2，1，-1，2 1 -)． (D) (2，0，1，21)． ★提示：2p 电子对应的量子数n = 2; l = 1，只有答案（C ）满足。 [ C ]2. （基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． [ D ]3. （自测提高7）直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验． (C) 戴维孙－革末实验． (D) 斯特恩－革拉赫实验． [ C ]4. （自测提高9）粒子在外力场中沿x 轴运动，如果它在力场中的势能分布如图19-6所示，对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子，若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x a 三个区域发现粒子的概率，则有 (A) ρ1 ≠ 0，ρ2 = ρ3 = 0． (B) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 = 0． (C) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． (D) ρ1 = 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． ★提示：隧道效应。二. 填空题 1. （基础训练17）在主量子数n =2，自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是___4___． ★提示：主量子数n =2的L 壳层上最多可容纳228n =个电子（电子组态为2622s p ），如仅考虑自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态，则能够填充的电子数为上述值的一半。图 19-6