初三数学中考必考题
1.
已知:如图,抛物线y=-x 2
+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A (-1,0)、B (0,3)两点,其顶点为D.
(1) 求该抛物线的解析式;
(2) 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积;
(3) △AOB 与△BDE 是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.
(注:抛物线y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为
???
?
??--a b ac a b 44,22)
2. 如图,在Rt ABC △中,90A ∠=o
,6AB =,8AC =,D E ,分别是边AB AC ,的中点,点P 从点D 出发沿DE 方向运动,过点P 作PQ BC ⊥于Q ,过点Q 作QR BA ∥交
AC 于
R ,当点Q 与点C 重合时,点P 停止运动.设BQ x =,QR y =.
(1)求点D 到BC 的距离DH 的长;
(2)求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)是否存在点P ,使PQR △为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x 的值;若不存在,请说明理由.
3在△ABC 中,∠A =90°,AB =4,AC =3,M 是AB 上的动点(不与A ,B 重合),过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N .以MN 为直径作⊙O ,并在⊙O 内作内接矩形AMPN .令AM =x . A B
C D E
R P H Q
(1)用含x 的代数式表示△MNP 的面积S ; (2)当x 为何值时,⊙O 与直线BC 相切?
(3)在动点M 的运动过程中,记△MNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ,试求y 关于x 的函数表达式,并求x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少?
4.如图1,在平面直角坐标系中,己知ΔAOB 是等边三角形,点A 的坐标是(0,4),点B 在第一象限,点P 是x 轴上的一个动点,连结AP ,并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.(1)求直线AB 的解析式;(2)当点P 运动到点(3,0)时,求此时DP 的长及点D 的坐标;(3)是否存在点P ,使ΔOPD 的面积
等于
4
3
,若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由
.
5如图,菱形ABCD 的边长为2,BD=2,E 、F 分别是边AD ,CD 上的两个动点,且满足AE+CF=2. (1)求证:△BDE ≌△BCF ;
(2)判断△BEF 的形状,并说明理由;
(3)设△BEF 的面积为S ,求S 的取值范围.
P
图 3
B
D 图 2
B
图 1
6如图,抛物线2
1:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平
移2个单位后得到抛物线2L ,2L 交x 轴于C 、D 两点. (1)求抛物线2L 对应的函数表达式;
(2)抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ,使以A ,C ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P 是抛物线1L 上的一个动点(P 不与点A 、B 重合),那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上,请说明理由.
7.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB =7,CD =1,AD =BC =5.点M ,N 分别在边AD ,BC 上运动,并保持MN ∥AB ,ME ⊥AB ,NF ⊥AB ,垂足分别为E ,F .
(1)求梯形ABCD 的面积;
(2)求四边形MEFN 面积的最大值.
(3)试判断四边形MEFN 能否为正方形,若能, 求出正方形MEFN 的面积;若不能,请说明理由.
8.如图,点A (m ,m +1),B (m +3,m -1)都在反比例函数x
k
y =
的图象上. (1)求m ,k 的值; (2)如果M 为x 轴上一点,N 为y 轴上一点, 以点A ,B ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形,
试求直线MN 的函数表达式.
(3)选做题:在平面直角坐标系中,点P 的坐标
为(5,0),点Q 的坐标为(0,3),把线段PQ 向右平 移4个单位,然后再向上平移2个单位,得到线段P 1Q 1, 则点P 1的坐标为 ,点Q 1的坐标为 .
9.如图16,在平面直角坐标系中,
直线y =-x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,抛物线2
(0)y ax x c a =+≠经过A B C ,,三点. (1)求过A B C ,,三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点P ,使ABP △为直角三角形,若存在,直接写出P 点坐标;若不存在,请说明理由; (3)试探究在直线AC 上是否存在一点M ,使得MBF △的周长最小,若存在,求出M 点的坐标;若不存在,请说明理由.
C D A B
E F N
M
友情提示:本大题第(1)小题4分,第(2)小题7分.对完成第(2)小题有困难的同学可以做下面的(3)选做题.选做题2分,所得分数计入总分.但第(2)、(3)小题都做的,第(3)小题的得分不重复计入总分.
10.如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上,边OC 在y 轴的正半轴上,且1AB =
,OB =
ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60o 后得到
矩形EFOD .点A 的对应点为点E ,点B 的对应点为点F ,点C 的对应点为点D ,抛物线2
y ax bx c =++过点A E D ,,. (1)判断点E 是否在y 轴上,并说明理由; (2)求抛物线的函数表达式;
(3)在x 轴的上方是否存在点P ,点Q ,使以点O B P Q ,,,为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍,且点P 在抛物线上,若存在,请求出点P ,点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
11.已知:如图14,抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ,点B ,与直线3
4
y x b =-+相交于点B ,点C ,直线3
4
y x b =-
+与y 轴交于点E . (1)写出直线BC 的解析式. (2)求ABC △的面积.
(3)若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动(不与A B ,重合),同时,点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动.设运动时间为t 秒,请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式,并求出点M 运动多少时间时,MNB △的面积最大,最大面积是多少?
x
图16
12.在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上,且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C 若C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程2
(2)10x m x n -++-=的两根:
(1) 求m ,n 的值
(2) 若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ,试求直线l 对应的一次函数的解析式 (3) 过点D 任作一直线`
l 分别交射线CA ,CB (点C 除外)于点M ,N ,则
11
CM CN
+
的值是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由
A
C
O B
N
D
M
L`
13.已知:如图,抛物线y=-x 2
+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A (-1,0)、B (0,3)两点,其顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积;
(3)△AOB 与△BDE 是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.
(注:抛物线y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为
???
?
??--a b ac a b 44,22)
14.已知抛物线c bx ax y ++=232,
(Ⅰ)若1==b a ,1-=c ,求该抛物线与x 轴公共点的坐标;
(Ⅱ)若1==b a ,且当11<<-x 时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点,求c 的取值范围;
(Ⅲ)若0=++c b a ,且01=x 时,对应的01>y ;12=x 时,对应的02>y ,试判断当10< 时,抛物线与x 轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由. 15.已知:如图①,在Rt △ACB 中,∠C =90°,AC =4cm ,BC =3cm ,点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,速度为1cm/s ;点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,速度为2cm/s ;连接PQ .若设运动的时间为t (s )(0<t <2),解答下列问题: (1)当t 为何值时,PQ ∥BC ? (2)设△AQP 的面积为y (2 cm ),求y 与t 之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t ,使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t 的值;若不存在,说明理由; (4)如图②,连接PC ,并把△PQC 沿QC 翻折,得到四边形PQP ′C ,那么是否存在某一时刻t ,使四边形PQP ′C 为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由. P 图① 16.已知双曲线 k y x =与直线 1 4 y x =相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点 左侧)是双曲线 k y x =上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N(0,-n)作NC∥x轴交双 曲线 k y x =于点E,交BD于点C. (1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值. (2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式. (3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值 . 压轴题答案 1. 解:( 1)由已知得:3 10c b c =?? --+=? 解得 c=3,b=2 ∴抛物线的线的解析式为2 23y x x =-++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4) 所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称,所以 设对称轴与x 轴的交点为F 所以四边形ABDE 的面积=ABO BOFD S S S ?++梯形= 111 ()222AO BO BO DF OF EF DF ?++?+?=111 13(34)124222 ??++?+?? =9 (3)相似 如图,== ==所以2220BD BE +=, 220DE =即: 222 BD BE DE +=,所以BDE ?是直角三角形 所以90AOB DBE ∠=∠=?,且 2 AO BO BD BE ==, 所以AOB DBE ??:. 2 解:(1)Q Rt A ∠=∠,6AB =,8AC =,10BC ∴=. Q 点D 为AB 中点,1 32 BD AB ∴= =. 90DHB A ∠=∠=o Q ,B B ∠=∠. BHD BAC ∴△∽△, DH BD AC BC ∴=,3128105 BD DH AC BC ∴==?=g . (2)QR AB Q ∥,90QRC A ∴∠=∠=o . C C ∠=∠Q ,RQC ABC ∴ △∽△, RQ QC AB BC ∴ = ,10610 y x -∴=, 即y 关于x 的函数关系式为:3 65 y x =-+. (3)存在,分三种情况: ①当PQ PR =时,过点P 作PM QR ⊥于M ,则QM RM =. 1290∠+∠=o Q ,290C ∠+∠=o , 1C ∴∠=∠. 84 cos 1cos 105 C ∴∠===,45QM QP ∴ =, 1364251255 x ??-+ ???∴ =,185x ∴=. ②当PQ RQ =时,312655 x - +=, 6x ∴=. ③当PR QR =时,则R 为PQ 中垂线上的点, 于是点R 为EC 的中点, 11 224CR CE AC ∴===. tan QR BA C CR CA == Q , 3 6 6 528 x -+∴=,152x ∴=. 综上所述,当x 为185或6或15 2时,PQR △为等腰三角形. 3解:(1)∵MN ∥BC ,∴∠AMN =∠B ,∠ANM =∠C . ∴ △AMN ∽ △ABC . ∴ AM AN AB AC =,即43x AN =. ∴ AN = 4 3 x . ……………2分 ∴ S =2133 248 MNP AMN S S x x x ??== ??=.(0<x <4) ……………3分 (2)如图2,设直线BC 与⊙O 相切于点D ,连结AO ,OD ,则AO =OD =2 1 MN . 在Rt△ABC 中,BC . A B C D E R P H Q M 2 1 H Q A B C D E R P H Q B 图 1 由(1)知 △AMN ∽ △ABC . ∴ AM MN AB BC =,即45x MN =. ∴ 5 4MN x = , ∴ 5 8 OD x =. …………………5分 过M 点作MQ ⊥BC 于Q ,则5 8 MQ OD x ==. 在Rt△BMQ 与Rt△BCA 中,∠B 是公共角, ∴ △BMQ ∽△BCA . ∴ BM QM BC AC =. ∴ 5 5258324 x BM x ?= =,25424AB BM MA x x =+=+=. ∴ x = 49 96 . ∴ 当x =49 96 时,⊙O 与直线B C 相切.…………………………………7分 (3)随点M 的运动,当P 点落在直线BC 上时,连结AP ,则O 点为AP 的中点. ∵ MN ∥BC ,∴ ∠AMN =∠B ,∠AOM =∠APC . ∴ △AMO ∽ △ABP . ∴ 12AM AO AB AP ==. AM =MB =2. 故以下分两种情况讨论: ① 当0<x ≤2时,2Δ83 x S y PMN ==. ∴ 当x =2时,233 2.82 y = ?=最大 ……………………………………8分 ② 当2<x <4时,设PM ,PN 分别交BC 于E ,F . ∵ 四边形AMPN 是矩形, ∴ PN ∥AM ,PN =AM =x . 又∵ MN ∥BC , ∴ 四边形MBFN 是平行四边形. ∴ FN =BM =4-x . ∴ ()424PF x x x =--=-. 又△PEF ∽ △ACB . ∴ 2 PEF ABC S PF AB S ????= ???. ∴ ()2 322 PEF S x ?= -. ……………………………………………… 9分 P 图 4 B P 图 3 MNP PEF y S S ??=-= ()2 22339266828 x x x x --=-+-.……………………10分 当2<x <4时,29668y x x =-+-2 98283x ?? =--+ ??? . ∴ 当8 3x =时,满足2<x <4,2y =最大. ……………………11分 综上所述,当8 3 x =时,y 值最大,最大值是2. …………………………12分 4 解:(1)作BE ⊥OA ,∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =∴ B(∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+, 所以42+=, 解得k =, 以直线AB 的解析式为4y x =+ (2)由旋转知,AP=AD, ∠PAD=60o , ∴ΔAPD 是等边三角形, = 如图,作BE ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30° ∴GD=12 BD= , ∴ 32,OH=OE+HE=OE+BG=37 222+= ∴ ,72 ) (3)设OP=x,则由(2)可得 D(,22x x + )若ΔOPD 的面积为:1(2)224 x x +=g 解得:3x -=所以 P(3 - 5