梅县东山中学2012届高三第二次月考数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．卷面共150分，考试时间120分钟.

第I 卷（共40分） 一、选择题(共8题，每题5分)

1.设集合M={x| x>2},P={x|x<3},那么“x ∈M,或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

2. 设集合A ＝B ＝{(,),}x y x R y R ∈∈，从A 到B 的映射:(,)(2,2)f x y x y x y →+-，

则在映射f 下B 中的元素（1，1）对应的A 中元素为（ ）。

A.（1，3）

B.（1，1） C .31

(,)55

D.11(,)22

3.已知a =2lg ，b =3lg ，则=12lg （ ）。

A. .b a +2

B.b a +

C.ab 2

D.b a -2

4. 如果函数2

()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是单调减函数，那么实数a

的取

值范围是（ ）。

A .3-≤a B. 3-≥a C .5≤a D .5≥a

5.已知函数()22x

f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（ ）

6.已知两条曲线21y x =-与31y x =-在点0x 处的切线平行，则0x 的值为 （ ）

A ．0

B ．23-

C ．０或2

3

- D ．0或1 7. 下列函数既是奇函数，又在区间]1,1[-上单调递减的是 （ ）

A. x x f sin )(=

B. |1|)(+-=x x f

C. )a a ()x (f x

x -+=21 D. x

x x f +-=22ln )(

8.已知??

???<≥=)0()

0(2)(2x x x x

x f ，则[()]1f f x ≥的解集是( )

A.(,2]-∞-

B. [42,)+∞

C.(,1][42,)-∞-+∞

D.(,2][4,)-∞-+∞

第II 卷（共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9.幂函数)(x f 的图象过点()

33,，则)(x f 的解析式是 。 10.函数

的单调减区间为 ．

11. 已知关于x 的方程142310x x m +-+-=有实根，则m 的取值范围是 12.下列指定的命题中，真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号） ①.命题："若ax ＞b ，则x ＞

a

b " ②.命题："若b = -2，则b 2

= 4"的逆命题 ③.命题："若x = 3，则x 2

-2x -3 = 0"的否命题 ④.命题："若全等三角形的对应边相等"的逆否命题

13. 已知函数()f x 满足：()1

14

f =

，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则()2010f =________.

14. 已知函数()f x 满足对任意的x R ∈都有11222f x f x ????

++-=

? ?????

成立，则 127...888f f f ??

??

??

+++ ? ? ???????

＝ 。 三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.（本小题满分12分）

已知集合{}

25A x x =-≤≤，{}

121B x m x m =+≤≤-.

（1）当m =3时，求集合A B ，B A ； （2）若B A ?，求实数m 的取值范围。

16（本小题满分12分）

某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数t 与商品单价的降低值x （单位：元，030x ≤≤）的函数关系为：t=2

kx .已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．

（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

17. (本题满分14分) 函数2

1)(x b ax x f ++=

是定义在)1,1(-上的奇函数，且52

)21(=f （1）确定函数)(x f 的解析式

（2）若函数)(x f 在)1,1(-是单调递增函数，求解不等式0)()1(<+-t f t f

18. (本题满分14分)

已知奇函数)(x f 的定义域是R,且()(1)f x f x =-,当2

1

0,()2

x f x x x ≤≤=- (Ⅰ)求证: )(x f 是周期为2的函数; (Ⅱ)求函数)(x f 在区间[1,2]上的解析式； (Ⅲ)求函数)(x f 的值域.

19. (本题满分14分) 已知

函数

（Ⅰ）当a=2时，求使f （x ）＝x 成立的x 的集合； （Ⅱ）求函数y ＝f (x)在区间[1,2]上的最小值.

20. (本题满分14分)

已知集合{}12(2)k A a a a k = ，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成

两

个

相

应

的

集

合

：

{}

()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，

{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元

素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -?，则称集合A 具有性质P ． （I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P , 并对其中具有性质P 的集合，写

出相应的集合S 和T ；

（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)

2

k k n -≤

； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．

参考答案

一、选择题：（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

A

C

A

A

B

C

D

D

二、填空题：（每小题5分，共30分） 9、x y =

10、

11、32≤

m 12、④13、2

1

14、7

三、解答题 (共6小题，12+12+14+14+14+14=80分) 15. （本小题满分12分）

解：（1）当m =3时，A=｛52|≤≤-x x ｝，B=｛54|≤≤x x ｝ ∴A ?B=｛54|≤≤x x ｝，A B ?=｛52|≤≤-x x ｝ （2）当B=?即m+1>2m-1时 m<2适合条件A B ?

当B ?≠时 由 ??

?

??≤--≥+≥512212

m m m 得32≤≤m

综上可得：若B A ?则实数m 的取值范围（－∞，3] 16（本小题满分12分）

解：（1）设商品降价x 元，则每个星期多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为

()f x ，则依题意有

22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+，

又由已知条件，2242k

=·，于是有6k =， 所以3

2

()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，． （2）根据（1），我们有2

()1825243218(2)(12)f x x x x x '=-+-=---． 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表：

x

[)02， 2

(212)

，

12

(]1230， ()f x '

-

+

0 -

()f x

极小

极大

故12x =时，()f x 达到极大值．因为(0)9072f =，(12)11664f =， 所以定价为301218-=元能使一个星期的商品销售利润最大． 17、（本小题满分14分）

解：（1）依题意得???

??==52)21(0)0(f f 即??

??

??

???=++=+5241120

012b a b

解得???==01b a 2

1)(x x x f +=∴ （2）)1,1()(-在x f 是奇函数

)()(x f x f -=-∴ )()()1(t f t f t f -=-<-∴ )1,1)(-在（x f 上是增函数

??

?

??<-<-<-<--<-∴1

11111t t t

t 解得210<

?

??

?

??

<

<∴210t t 不等式的解集为

18．（本小题满分14分） 解析：（1

）

，所以

是周期为2的函数. ……………4分

（2）∵当x ∈

时,

,

∴x ∈[0,1]时, ……………6分

∴当x ∈

时,

.

……………8分 （3）由函数是以2为周期的函数，故只需要求出一个周期内的值域即可，由（2

）知

，

故在上函数的值域是， ……………13分

故

值域为

……………14分

19．（本小题满分14分） 解析：(Ⅰ)由题意,f(x)=x 2

当x<2时,f(x)=x 2(2-x)=x,解得x=0,或x=1; 当x

综上所述,所求解集为. ……………6分

(Ⅱ)设此最小值为m. ①当

因为:

则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..

②当1

.

③当a>2时，在区间[1，2]上，

若

在区间(1，2)内f /(x)>0,从而f(x)为区间[1，2]上的增函数，

由此得：m=f(1)=a-1. 若2

当

当

因此，当2

当

综上所述，所求函数的最小值 ……14分

20. (本小题满分14分)

（I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ．

集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，，

{}(21)23T =-()，，，． ……………4分

（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．

因为0A ?，所以()(12)i i a a T i k ?= ，，，，；

又因为当a A ∈时，a A -?时，a A -?，所以当()i j a a T ∈，时，

()(12)j i a a T i j k ?= ，，，，，．

从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)

()22

k k k k --=， 即(1)

2

k k n -≤

． ……………8分 （III ）解：m n =，证明如下：

（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，． 如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立， 从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立． 故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．

可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，

（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，． 如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立， 从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立， 故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．

可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤， 由（1）（2）可知，m n =． ……………14分