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广东梅县东山中学2012届高三第二次月考(理数)

梅县东山中学2012届高三第二次月考数学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.卷面共150分,考试时间120分钟.

第I 卷(共40分) 一、选择题(共8题,每题5分)

1.设集合M={x| x>2},P={x|x<3},那么“x ∈M,或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件

2. 设集合A =B ={(,),}x y x R y R ∈∈,从A 到B 的映射:(,)(2,2)f x y x y x y →+-,

则在映射f 下B 中的元素(1,1)对应的A 中元素为( )。

A.(1,3)

B.(1,1) C .31

(,)55

D.11(,)22

3.已知a =2lg ,b =3lg ,则=12lg ( )。

A. .b a +2

B.b a +

C.ab 2

D.b a -2

4. 如果函数2

()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是单调减函数,那么实数a

的取

值范围是( )。

A .3-≤a B. 3-≥a C .5≤a D .5≥a

5.已知函数()22x

f x =-,则函数()y f x =的图象可能是( )

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6.已知两条曲线21y x =-与31y x =-在点0x 处的切线平行,则0x 的值为 ( )

A .0

B .23-

C .0或2

3

- D .0或1 7. 下列函数既是奇函数,又在区间]1,1[-上单调递减的是 ( )

A. x x f sin )(=

B. |1|)(+-=x x f

C. )a a ()x (f x

x -+=21 D. x

x x f +-=22ln )(

8.已知??

???<≥=)0()

0(2)(2x x x x

x f ,则[()]1f f x ≥的解集是( )

A.(,2]-∞-

B. [42,)+∞

C.(,1][42,)-∞-+∞

D.(,2][4,)-∞-+∞

第II 卷(共110分)

二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)

9.幂函数)(x f 的图象过点()

33,,则)(x f 的解析式是 。 10.函数

的单调减区间为 .

11. 已知关于x 的方程142310x x m +-+-=有实根,则m 的取值范围是 12.下列指定的命题中,真命题的是 (填上你认为正确的命题的序号) ①.命题:"若ax >b ,则x >

a

b " ②.命题:"若b = -2,则b 2

= 4"的逆命题 ③.命题:"若x = 3,则x 2

-2x -3 = 0"的否命题 ④.命题:"若全等三角形的对应边相等"的逆否命题

13. 已知函数()f x 满足:()1

14

f =

,()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈,则()2010f =________.

14. 已知函数()f x 满足对任意的x R ∈都有11222f x f x ????

++-=

? ?????

成立,则 127...888f f f ??

??

??

+++ ? ? ???????

= 。 三、解答题(本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15.(本小题满分12分)

已知集合{}

25A x x =-≤≤,{}

121B x m x m =+≤≤-.

(1)当m =3时,求集合A B ,B A ; (2)若B A ?,求实数m 的取值范围。

16(本小题满分12分)

某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件. 如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数t 与商品单价的降低值x (单位:元,030x ≤≤)的函数关系为:t=2

kx .已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.

(Ⅰ)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数; (Ⅱ)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

17. (本题满分14分) 函数2

1)(x b ax x f ++=

是定义在)1,1(-上的奇函数,且52

)21(=f (1)确定函数)(x f 的解析式

(2)若函数)(x f 在)1,1(-是单调递增函数,求解不等式0)()1(<+-t f t f

18. (本题满分14分)

已知奇函数)(x f 的定义域是R,且()(1)f x f x =-,当2

1

0,()2

x f x x x ≤≤=- (Ⅰ)求证: )(x f 是周期为2的函数; (Ⅱ)求函数)(x f 在区间[1,2]上的解析式; (Ⅲ)求函数)(x f 的值域.

19. (本题满分14分) 已知

函数

(Ⅰ)当a=2时,求使f (x )=x 成立的x 的集合; (Ⅱ)求函数y =f (x)在区间[1,2]上的最小值.

20. (本题满分14分)

已知集合{}12(2)k A a a a k = ,,,≥,其中(12)i a i k ∈=Z ,,,,由A 中的元素构成

{}

()S a b a A b A a b A =∈∈+∈,,,,

{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈,,,.其中()a b ,是有序数对,集合S 和T 中的元

素个数分别为m 和n .若对于任意的a A ∈,总有a A -?,则称集合A 具有性质P . (I )检验集合{}0123,,,与{}123-,,是否具有性质P , 并对其中具有性质P 的集合,写

出相应的集合S 和T ;

(II )对任何具有性质P 的集合A ,证明:(1)

2

k k n -≤

; (III )判断m 和n 的大小关系,并证明你的结论.

参考答案

一、选择题:(每小题5分,共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

A

C

A

A

B

C

D

D

二、填空题:(每小题5分,共30分) 9、x y =

10、

11、32≤

m 12、④13、2

1

14、7

三、解答题 (共6小题,12+12+14+14+14+14=80分) 15. (本小题满分12分)

解:(1)当m =3时,A={52|≤≤-x x },B={54|≤≤x x } ∴A ?B={54|≤≤x x },A B ?={52|≤≤-x x } (2)当B=?即m+1>2m-1时 m<2适合条件A B ?

当B ?≠时 由 ??

?

??≤--≥+≥512212

m m m 得32≤≤m

综上可得:若B A ?则实数m 的取值范围(-∞,3] 16(本小题满分12分)

解:(1)设商品降价x 元,则每个星期多卖的商品数为2kx ,若记商品在一个星期的获利为

()f x ,则依题意有

22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+,

又由已知条件,2242k

=·,于是有6k =, 所以3

2

()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈,,. (2)根据(1),我们有2

()1825243218(2)(12)f x x x x x '=-+-=---. 当x 变化时,()f x '与()f x 的变化如下表:

x

[)02, 2

(212)

12

(]1230, ()f x '

-

+

0 -

()f x

极小

极大

故12x =时,()f x 达到极大值.因为(0)9072f =,(12)11664f =, 所以定价为301218-=元能使一个星期的商品销售利润最大. 17、(本小题满分14分)

解:(1)依题意得???

??==52)21(0)0(f f 即??

??

??

???=++=+5241120

012b a b

解得???==01b a 2

1)(x x x f +=∴ (2))1,1()(-在x f 是奇函数

)()(x f x f -=-∴ )()()1(t f t f t f -=-<-∴ )1,1)(-在(x f 上是增函数

??

?

??<-<-<-<--<-∴1

11111t t t

t 解得210<

?

??

?

??

<

<∴210t t 不等式的解集为

18.(本小题满分14分) 解析:(1

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,所以

是周期为2的函数. ……………4分

(2)∵当x ∈

时,

,

∴x ∈[0,1]时, ……………6分

∴当x ∈

时,

.

……………8分 (3)由函数是以2为周期的函数,故只需要求出一个周期内的值域即可,由(2

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)知

故在上函数的值域是, ……………13分

值域为

……………14分

19.(本小题满分14分) 解析:(Ⅰ)由题意,f(x)=x 2

当x<2时,f(x)=x 2(2-x)=x,解得x=0,或x=1; 当x

综上所述,所求解集为. ……………6分

(Ⅱ)设此最小值为m. ①当

因为:

则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..

②当1

.

③当a>2时,在区间[1,2]上,

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在区间(1,2)内f /(x)>0,从而f(x)为区间[1,2]上的增函数,

由此得:m=f(1)=a-1. 若2

因此,当2

综上所述,所求函数的最小值 ……14分

20. (本小题满分14分)

(I )解:集合{}0123,,,不具有性质P .

集合{}123-,,具有性质P ,其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--,,,,

{}(21)23T =-(),,,. ……………4分

(II )证明:首先,由A 中元素构成的有序数对()i j a a ,共有2k 个.

因为0A ?,所以()(12)i i a a T i k ?= ,,,,;

又因为当a A ∈时,a A -?时,a A -?,所以当()i j a a T ∈,时,

()(12)j i a a T i j k ?= ,,,,,.

从而,集合T 中元素的个数最多为21(1)

()22

k k k k --=, 即(1)

2

k k n -≤

. ……………8分 (III )解:m n =,证明如下:

(1)对于()a b S ∈,,根据定义,a A ∈,b A ∈,且a b A +∈,从而()a b b T +∈,. 如果()a b ,与()c d ,是S 的不同元素,那么a c =与b d =中至少有一个不成立, 从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立. 故()a b b +,与()c d d +,也是T 的不同元素.

可见,S 中元素的个数不多于T 中元素的个数,即m n ≤,

(2)对于()a b T ∈,,根据定义,a A ∈,b A ∈,且a b A -∈,从而()a b b S -∈,. 如果()a b ,与()c d ,是T 的不同元素,那么a c =与b d =中至少有一个不成立, 从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立, 故()a b b -,与()c d d -,也是S 的不同元素.

可见,T 中元素的个数不多于S 中元素的个数,即n m ≤, 由(1)(2)可知,m n =. ……………14分