平行公理

1．平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行。

简单说成：同位角相等，两直线平行。

2．平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两条直线平行。

简单说成：内错角相等，两直线平行。

3．平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

4．在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。

平行线的性质

重点：平行线的三个性质定理。难点：性质定理的应用。

热点：应用平行线性质定理进行角度大小的换算。

1．平行线的性质

（1）公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。可以简述为：两直线平行，同位角相等。（2）定理：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。可以简述为：两直线平行，内错角相等。（3）定理：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。可以简述为：两直线平行，同旁内角互补。2．平行线的性质小结：

（1）两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

（2）垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一条直线。

（2）对顶角和邻补角的概念

1,对顶角的概念①两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角；

②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.

实际上，两条直线相交，其中不相邻的两个角就是对顶角，相邻的角就是邻补角.

○2 对顶角的性质；对顶角相等.

○3 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角；

○4 对顶角有一个公共顶点，没有公共边；邻补角有一个公共顶点，有一个公共边.

垂线的性质：

○1过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

○2直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.

点到直线的距离定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.

相交线是同一平面内两条直线的一种位置关系;

平行线的判定.

同位角相等

内错角相等

同旁内角互补

在同一平面内两条直线只有两种位置关系[1]相交[2]平行

人教版初一数学下册平行线(定义,平行公理及判定)

《平行线》教案 张小红 【学习目标】 1.了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系，知道平行公理以及平行公理的推论. 2.会用符号语言表示平行公理推论，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. 【学习重点】探索和掌握平行公理及其推论. 【学习难点】对平行线本质属性的理解，用几何语言描述图形的性质. 【学前准备】分别将木条a、b与木条c钉在一起，做成图示的教具. 一．【问题探索】 1.两条直线相交有几个交点？相交的两条直线有什么特殊的位置关系？ 2.在平面内，两条直线除了相交外，还有别的位置关系吗？ 3.把三根木条看成三条直线，观察三根木条之间的关系，有几种可能性？ 4.自我演示. 顺时针转动木条a两圈，然后思考：把a、b想象成两端可以无限延伸的两条直线，顺时针转动a时，直线b与直线a的交点位置将发生什么变化？在这个过程中，有没有直线b与a不相交的位置？ 5.同学交流并形成共识. 转动a时，直线b与c的交点从在直线a上A点向左边距离A点很 远的点逐步接近A点，并垂合于A点，然后交点变为在A点的右边， 逐步远离A点.继续转动下去，b与a的交点就会从A点的右边又转 动A点的左边……可以想象一定存在一个直线a的位置，它与直线a 左右两旁都如下图 二．【自主学习】---平行线定义、表示法 1.结合演示的结论，用自己的语言描述平行线的认识： ①平行线是同一的两条直线 ②平行线是交点的两条直线 2．尝试用数学语言描述平行定义 特别注意：直线a与b是平行线，记作“”，这里“”是平行符号. b c b a

a C 思考：如何确定两条直线的位置关系？ 三．【合作探究】----画图、观察、探索平行公理及平行公理推论 1.在转动教具木条a 的过程中，有几个位置能使b 与a 平行？ 2.用直线和三角尺画平行线. 已知：直线a ，点P ，过点P 画直线a 的平行线，能画几条？ 3.观察画图、归纳平行公理及推论. (1)对照垂线的第一性质说出画图所得的结论.平行公理： (2)比较平行公理和垂线的第一条性质. 共同点：都是“ ”，这表明与已知直线平行或垂直的直线存在且是 的. 不同点：平行公理中所过的“一点”要在已知直线 ，两垂线性质中对“一 点”没有限制，可在直线 ，也可在直线 . 4.探索平行公理的推论. (1)直观判定过B 点、C 点的a 的平行线b 、c 是互相 . (2)从直线b 、c 产生的过程说明直线b ∥直线c . (3)用三角尺与直尺用平推方法验证b ∥c. (4)用数学语言表达这个结论 用符号语言表达为：如果 那么 (5)简单应用. 将一张长方形纸片对折两次，得到三条折痕，这三条折痕有什么关系，请说明理由. 尝试总结画平行线的步骤，猜想结论。 步骤：一贴，二靠，三移，四画，五写。 结论：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 注意：点在直线外与已知直线平行的直线有无数条。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 如图：AB ∥EF, CD ∥EF,直线AB 与CD 相交吗？为什么？ 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（简单说成：平行于同一条直线的两直线平行。） 符号语言：∵a ∥b,b ∥c ∴a ∥c 四．新知应用 1.在同一平面内，直线a 与b 满足下列条件 ①、a 与b 没有公共点，则a 与b 的位置关系＿＿＿＿＿。 c b a

平行线·平行公理及推论

同之处，从而引出课题． 二、动手试一试，你就会有收获 活动2 问题： 如图，分别将木条 并把它们想象成两端无限延伸的三条直线．转动

a ，直线a 从在c 的左侧与直线b 相交逐步变为在右侧与b 相交．想象一下，在这个过程中，有没有直线a 与直线b 不相交的位置呢？ 生：图师生活动： 学生分组活动，动手操作，在组内交流、讨论．教师到小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助学生，指导他们完成任务，在此基础上，教师给出平行的表示方法． 活动3 问题： （1）展示一组图片，请同学们找出其中的平行线或请同学们在教室里找平行线． （2）在同一平面内，两条直线有几种位置关系？动手画一画． 师生活动： 试画一画，同桌可以讨论． 生：两种，相交和平行． 由此师生共同小结：在同一平面内，两条直线的位置只有相交、平行两种． 〖设计说明〗让学生体会图形是描述现实世界的重要手段．通过自己动手画图，在自我探索的过程中，发现同一平面内直线的位置关系． 尝试反馈，巩固练习： 1．判断正误 （1）两条不相交的直线叫做平行线．（ ） （2）有且只有一个公共点的两直线是相交直线．（ ） （3）在同一平面内，不相交的两直线一定平行．（ ） （4）一个平面内的两条直线，必把这个平面分成四部分．（ ） 2．下列说法中正确的是（ ） A ．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、垂直、平行三种 B ．在同一平面内，不垂直的两直线必平行 C ．在同一平面内，不平行的两直线必垂直 D ．在同一平面内，不相交的两直线一定不垂直 师生活动： 学生回答，并简要说明理由．教师重点强调平行线定义中的前提条件“同一平面内”及垂直是相交的一种特殊情况． 活动4 问题： 我们很容易画出两条相交直线，而对于平行线的画法，我们在小学就学过用直尺和三角板画，下面请同学在练习本上完成． 已知直线AB 和AB 外一点P ，过P 画直线CD ，使CD ∥AB ．（如图） 线．如何表示上图中a ?与b 的 平行呢？ 生：a ＝b ． 生：不行，平行的符号如果用“＝”来表示，就与等于号无法区别开来． 师：的确如此，那怎么办呢？我们不妨再来看一下“活动1”中的实物图． 生：在木条转动的过程中，存在一个直线a 与直线b 不相交的位置，?这时直线a 与b 互相平行． 师：因此，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．如何表示上图中a ?与b 的平行呢？ 生：a ＝b ． 生：不行，平行的符号如果用“＝”来表示，就与等于号无法区别开来． 师：的确如此，那怎么办呢？我们不妨再来看一下“活动1”中的实物图． 中不仅有横向的平行线，还有纵向、斜向的平行线，想一想，同学们一定有办法． 生：可以用斜画法，用“∥”来表示两条直线平行． 师：同学们的确很棒！通常，我们用“∥”来表示两条直线的平行，如图（多媒体演示）． 图（1）中a 与b 平行可记作：a ∥b ． 图（2）中AB 与CD 平行可记作：AB ∥CD ． 握定义．为学生提供参与数学活动的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发学生的好奇心和求知欲．在得出平行的定义的基础上，给出平行的表示方法，体会到平行的表示方法的合理性，有助于学生

立体几何证明题定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l α βαβ∈?=∈且 ！ 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， ） 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系 - 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 1.线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言： ////a b a a b ααα???????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3） 符号语言：////a b a a b βαβα??????=? 图形语言： 2.面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? 图形语言： ! 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言：,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言：

平行线的判定(一)

10．2 平行线的判定 第1课时 平行线的概念、基本事实 教学目标： 知识与技能： 通过对周围事物的观察，理解平行线定义，了解平行线的基本事实 过程与方法： 通过观察，操作培养学生的动手动脑的能力，挖掘学生数学潜能 情感态度与价值观 通过多媒体及动手实验激发学生的学习数学的兴趣，通过平行线的位置关系与生活中的联系感受数学来源于生活。 教学重难点： 重点：平行线的定义及基本事实 难点：平行线的基本事实以及会作出已知直线的平行线 教学过程： 一、情境导入 思考：如图，分别将木条a 、b 与木条c 钉在一起，并把它们想象成两端可以无限延伸的三条直线.转动a ，直线a 从在c 的左侧与直线b 相交逐步变为在右侧与b 相交.想象一下，在这个过程中，有没有直线a 与直线b 不相交的位置呢？ a b 二、新知探究 探究点一：（1）平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 表示方法以及读法： A B AB ∥ CD 读作：“AB 平行于 CD ” C D 注：在同一平面内，不重合的两直线的位置关系有平行与相交两种.

（2）平行线的画法、平行公理及推论： 画法：一放 二靠 三推 四画 （PPT 动画演示） 合作探究： 思考1：经过直线外一点，你能作出几条直线与已知直线平行？ C · A B （学生尝试归纳总结教师给与补充） 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线. 思考： (1)经过点A 画出直线m 的平行线，你能画出几条? (2)过点B 画一条直线与m 平行，它与(1)中所画的直线平行吗？ 总结： 平行线的传递性 ：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 几何语言表达： ∵a//m , m//b(已知） a//b(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） 三当堂练习 （1）如图所示，因为AB // CD ，CD // EF （已知），所以________ // _________. a m b C A B D E F

平行线(定义、平行公理及推论) (3)

5.2.1平行线 教学目标 1.经历观察教具模式的演示和通过画图等操作,交流归纳与活动,进一步发展空间观念. 2.了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系,知道平行公理以及平行公理的推论. 3.会用符号语方表示平行公理推论,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. 重点:探索和掌握平行公理及其推论. 难点:对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质. 教学反思 教学过程 一、创设问题情境 1.复习提问:两条直线相交有几个交点?相交的两条直线有什么特殊的位置关系? 学生回答后,教师把教具中木条b与c重合在一起,转动木条a确认学生的回答. 教师接着问:在平面内,两条直线除了相交外,还有别的位置关系吗? 2.教师演示教具. 顺时针转动木条b两圈,让学生思考:把a、b想像成两端可以无限延伸的两条直线,顺时针转动b时,直线b与直线a的交点位置将发生

什么变化?在这个过程中,有没有直线b与c木相交的位置? 3.教师组织学生交流并形成共识. 转动b时,直线b与c的交点从在直线a上A点向左边距离A点很远的点逐步接近A点,并垂合于A点,然后交点变为在A点的右边,逐步远离A点.继续转动下去,b与a的交点就会从A点的左边又转动A 点的左边……可以想象一定存在一个直线b的位置,它与直线a左右两旁都没有交点. 二、平行线定义表示法 1.结合演示的结论,师生用数学语言描述平行定义:同一平面内,存在一条直线a与直线b不相交的位置,这时直线a与b互相平行.换言之,同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线. 直线a与b是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号. 教师应强调平行线定义的本质属性,第一是同一平面内两条直线,第二是设有交点的两条直线. 2.同一平面内,两条直线的位置关系 教师引导学生从同一平面内,两条直线的交点情况去确定两条直线的位置关系. 在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:相交或平行,两者必居其一.即两条直线不相交就是平行,或者不平行就是相交. 三、画图、观察、归纳概括平行公理及平行公理推论 1.在转动教具木条b的过程中,有几个位置能使b与a平行? 本问题是学生直觉直线b绕直线a外一点B转动时,有并且只有

平行线及平行公理

平行线及平行公理

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平行线及平行公理 2005年4月15日来源:网友提供作者:未知字体:[大中小] 教学建议 1、教材分析 (1)知识结构 本节从实例中概括出平行线的概念，给出了平行线的记法和它的画法，并引出了平行公理及其推论． (2)重点、难点分析 本节的重点是：平行公理及其推论．承认“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”的几何是欧氏几何，否则是非欧几何．由此可见，平行公理在几何中的地位十分重要．在教学时，学生可以从用直尺和三角板画平行线的画图过程中，理解平行公理．特别是真正地体会到公理中的“有且只有”的意义． 本节难点是：理解平行线的概念以及由平行公理导出其推论的过程定义中的“在同一平面内”的这个前提，是为了区别立体几何中异面直线的情况．教学时只要学生能意识到，空间的直线还存在另一种不相交的情形的，即异面直线． 另外，从平行公理推导出其推论的过程，渗透了反证法的思想．初中学生难于理解，教材对反证法既不作要求，也不必提出反证法这个词，只要把道理说明白即可． 2、教法建议 （1）概念的引入：学生从教师创设的情景中，可以直观地认识平行线．从实例中，体会平行线在现实中是存在的，并且有它固有的属性，因此很有必要认真地研究它．当然，我们首先要能深刻地理解它的定义．

（2）分析概念：教师可以举一组图形，帮助学生理解定义中强调的“在同一平面内”这个前提条件．初步形成 （3）掌握平行线的画法：学生刚开始接触几何，为降低难度，适应学生的发展，提高学生的学习兴趣，作图时不要求学生写出已知，求做，证明等步骤，只要保留作图痕迹．通过作图的教学使学生能准确而迅速地画出几何图形，为今后的几何学习打下良好的基础． （4）平行公理及其推论 在学生画图的过程中，教师可以提出问题，过直线外一点有几条直线可以与已知直线平行呢？学生在动手操作后，可以体验到公理的客观存在性．并且可以让有数学素养的同学，尝试说明平行公理推论的正确性，通过说理，体会数学的严谨性与逻辑性． 教学设计示例 一、教学目标 1．了解平行线的概念，理解学过的描述图形形状和位置关系的语句． 2．掌握平行公理及推论，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；会用学过的几何语句描述简单的图形和根据语句画图． 3．通过画平行线和按几何语句画图的题目练习，培养学生画图能力． 4．通过平行公理推论的推理，培养学生的逻辑思维能力和进行推理的能力． 二、学法引导 1．教师教法：尝试法、引导法、发现法．

平行线的判定和性质经典题

平行线的判定和性质经典题 一．选择题（共18小题） 1．如图所示，同位角共有（） 3．下列说法中正确的个数为（） ①不相交的两条直线叫做平行线 ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③平行于同一条直线的两条直线互相平行 4．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5… 6．如图所示，AC⊥BC，DE⊥BC，CD⊥AB，∠ACD=40°，则∠BDE等于（）

8．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（） 11．如图所示，BE∥DF，DE∥BC，图中相等的角共有（） 13．如图所示，DE∥BC，DC∥FG，则图中相等的同位角共有（） 14．如图所示，AD∥EF∥BC，AC平分∠BCD，图中和α相等的角有（） 15．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角

16．把直线a 沿水平方向平移4cm ，平移后的像为直线b ，则直线a 与直线b 之间的距离为 17． （2009?宁德）在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是 18．（2004?烟台） 4根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移火柴棒后，原图形变成的象形文字是（ ） 二．填空题（共12小题） 19．已知∠α和∠β的两边互相平行，且∠α=60°，则∠β= _________ ． 20．（2004?西宁）如图，AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有 _________ 个；若∠1=50°，则∠AHG= _________ 度． 第20题 第21题 第22题 21．（2009?永州）如图，直线a 、b 分别被直线c 、b 所截，如果∠1=∠2，那么∠3+∠4= _________ 度．直线a 、b 分别被直线c 、b 所截． 22．（2010?抚顺）如图所示，已知a∥b，∠1=28°，∠2=25°，则∠3= _________ 度． 23．如图，已知BO 平分∠CBA，CO 平分∠ACB，MN∥BC，且过点O ，若AB=12，AC=14，则△AMN 的周长是 _________ ．

平行公理及推论 考点训练(含答案解析)

【考点训练】平行公理及推论－1 一、选择题（共5小题） 1．在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．若直线l1∥l，l2∥l，则（） A．l1∥l2B．l l⊥l2C．l1与l2相交D．以上都不对 3．下列命题中真命题是（） A．过一点可以画无数条直线和已知直线平行 B．如果甲看乙的方向是北偏东60°，那么乙看甲的方向是南偏西30° C．三条直线交于一点，对顶角最多有6对 D．与同一条直线相交的两条直线相交 4．下列说法正确的是（） A．两点之间直线最短 B．连接两点间的线段叫做两点间的距离 C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两个角互补，那么这两个角中，一个是锐角，一个是钝角 5．（2010?柳州）三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（）A．a⊥b B．a∥b C．a⊥b或a∥b D．无法确定 二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值） 6．（2008?浦东新区二模）在同一平面内，已知直线a、b、c，且a∥b，b⊥c，那么直线a 和c的位置关系是_________．

7．下列说法中 ①两点之间，直线最短； ②经过直线外一点，能作一条直线与这条直线平行； ③和已知直线垂直的直线有且只有一条； ④在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 正确的是：_________．（只需填写序号） 8．下列说法： （1）两点之间的所有连线中，线段最短；（2）相等的角是对顶角；（3）过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；（4）长方体是四棱柱．其中正确的有_________（填正确说法的序号）． 三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷） 9．探索与发现： （1）若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是_________，请说明理由．（2）若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是_________（直接填结论，不需要证明） （3）现在有2011条直线a1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2011的位置关系． 10．如图，已知直线l和直线外一点P，过点P作直线l的平行线m和垂线a．

平行与相交习题(附答案)

相交线与平行线测试卷（一） 一、选择题 1．下列说法中，正确的是（） A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角 的平分线。 B．P是直线L外一点，A、B、C分别是L上的三点，已 知PA=1，PB=2，PC=3，则点P?到L的距离一定是1。 C．相等的角是对顶角。 D．钝角的补角一定是锐角. 2．如图1，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线OE， 则图中的邻补角一共有（） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 (1) (2) (3) 3．若∠1与∠2的关系为内错角，∠1=40°则∠2等于（） A．40° B．140° C．40°或140° D．不确定 5．a，b，c为平面内不同的三条直线，若要a∥b，条件 不符合的是（） A．a∥b，b∥c。B．a⊥b，b⊥c。C．a⊥c，b∥c。 D．c截a，b所得的内错角的邻补角相等 6．如图2，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条 件：（1）∠1=∠5；（2）∠1=?∠7；（3）∠2+∠3=180°； （4）∠4=∠7，其中能判定a∥b的条件的序号是（） A．（1）、（2） B．（1）、（3） C．（1）、（4） D．（3）、（4） 7．如图3，若AB∥CD，则图中相等的内错角是（） A．∠1与∠5，∠2与∠6。 B．∠3与∠7，∠4与∠8。 C．∠2与∠6，∠3与∠7。 D．∠1与∠5，∠4与∠8 8．如图4，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F， ED平分∠BEF．若∠1=72°，?则∠2的度数为（） A．36° B．54° C．45° D．68° (4) (5) (6) 9．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分 别为6cm和4cm，?则符合条件的直线L的条数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图5，四边形ABCD中，∠B=65°，∠C=115°，∠ D=100°，则∠A的度数为（? ） A．65° B．80° C．100° D．115° 11．如图6，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠ FCD相等的角有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．若∠A和∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少 30°，则∠B的度数为（） A．30°B．70°C．30°或70° D．100° 二、填空题 13．如图，一个合格的弯形管道，经过两次拐弯后保持平 行（即AB∥DC）．?如果∠C=60°，那么∠B的度数是 ________． 14．已知，如图，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4， ∠ABC+∠BCD=180°．将下列推理过程补充完整： （1）∵∠1=∠ABC（已知），∴AD∥______ （2）∵∠3=∠5（已知）， ∴AB∥_____,（___________） （3）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知）， ∴_______∥________,（__________） 16．已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC-∠BOC=50°， 则∠AOC=_____度，?∠BOC=___度． 17．如图7，已知B、C、E在同一直线上，且CD∥AB，若 ∠A=105°，∠B=40°，则∠ACE为_________．

平行线的判定、性质公理及定理

一、学习内容：平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理 二、学习目标： 1、熟练掌握平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理 2.能对平行线的判定、性质进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中． 三、学习重难点 重点：平行线的判定性质公理及定理. 难点：推理过程的规范化表达. 四、学习方法：教师精讲点拨与学生自主探究相结合 五、使用课时：2课时 六、学习导航 考点一 平行线的判定公理 1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角. 例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？ 当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。 例2．请将下面的空补充完整 1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（） 若∠3=∠4，则_________∥_________（） 若∠5=∠B，则_________∥_________（） 若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（） 2．如右图，∠1+∠2=180°（已知） ∠3+∠2=180°（） ∴∠1=_________ ∴AB∥CD（） 课堂练习： 1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°, 求证：AB∥C D． 2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．

求证：∠ABC +∠CDE =∠BCD ． （1） （2） 3．如图，如果AB ∥CD ，求角α、β、γ与180o之间的关系式． 4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC ， 求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数。 达标训练： 一．选择题 1．下列命题中，不正确的是( ) A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行 D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a ∥b 的条件是( ) A ．(1)(3) B ．(2)(4) C ．(1)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CD C ．∠3=∠4 D ．∠A =∠C 4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 二．填空题 5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________． αγβE D C B A A B D E

立体几何公理定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l αβαβ∈?=∈且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。

二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言：////a b a a b ααα???????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3） 符号语言：////a b a a b βαβα??????=? 图形语言： 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? 图形语言： 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言：,,//oo oo ααββ????⊥⊥ 图形语言： 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（6） 符号语言：////a a b b αγβγαβ??=???=? 图形语言： 面面平行的性质1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（7）

平行线的判定 (3)

平行线的判定 班级：教科院07教技专升本 小组成员：许向琴刘伟伟曹磊程妮张文文 设计时间：2020年.6 指导教师：刘志华 一、教学目标 (一)知识与技能 1．能说出平行线的判定公理，即“同位角相等，两直线平行”；能说出判定公理的第一个推论，即“内错角相等，两直线平行”。 2．会用数学语言表示平行线判定公理及其推论，并能根据它们做简单的推理证明。此外，本节课的教学中还介绍了两种重要的数学思想方法，即化归和分类的思想方法。 3．结合现实生活中一些平行线的例子，能够运用判定定理进行具体的分析。 （二）过程与方法 1．能够通过自主提出问题、老师引导、动脑思考、同桌交流、表达反馈的学习过程，体验和感悟探究的一般学习过程； 2.通过体验，将学生学到的数学知识、方法用于解决生活中的实际问题，感受数学的价值。 （三）情感态度价值观 1.培养学生合作的意识和能力，能从学习中体验合作的乐趣。 2. 使学生了解知识来源于实践，又服务于实践，只有学好文化知识，才有解决实际问题的本领，从而对学生进行学习目的的教育 二、学习者特征分析 （一）知识基础 本节课是平行线的判定的第一课时，学生对平行线的概念已有了一定的了解；能够结合现实生活进行举例； (二)能力基础 1．学生思维活跃，能积极参与讨论，口头表达能力一般。 2．已具有一定的抽象思维能力，但还需要借助一些具体形象事物的支持。

3．具备一定的分析、概括、归纳的能力。 4．在教师给予一定支持的情况下，学生具有一定的自主学习能力与合作学习能力。 5．学生的自控能力还不强，需要教师做好课堂的调控。 （三）情感态度 1．学生能够认识到数学知识对个人学习和生活的重要性以及数学在各门课程学习中的重要地位，所以大多数学生乐于并能够认真学习数学。 2．学生对枯燥的数学知识的学习兴趣不浓，但对数学知识的实际应用内容非常感兴趣。 三、教学重点、难点 1．能够推导出判定直线平行的主法。 2．会进行简易地逻辑推理。 3．能够从比较复杂的图形中找出符合平行线判定方法的基本图形。 四、教学方法：探究式,合作学习， 五、教学过程 （一）复习回顾 通过上一节课的学习，学生对平行线的意义已有了较深的认识，了解了平行线的概念，对它有了直观的、感性的认识，首先，在学习新课前，我们先进行简单的复习回顾，思考如下的问题： 参照教科书第12页图，制作三根木条组成的教具模型，或让学生用纸条制作类似的教具。展示时，可先摆成一般情况的三条直线相交，让学生指出“三线八角”中各对角的关系名称，既复习旧知，又为后面新课学习作好准备。随后按照教科书第13页所述对其进行旋转变化，并提问：两个同位角（或内错角）的大小有什么关系时，这两根木条互相平行？（让学生大胆猜想。） （二）创设情境 参考教科书第13页的思考，再次引发思考，进行小组讨论，合作交流。 （三）新课讲授 【教法说明】通过教科书12页的思考，使学生回顾上节所学知识，在于强化平行线的定义，建立感性的认识。再由13页的思考，引入新课。

人教版初一数学下册平行线的判定定理

平行线的判定定理 一、教学目标 1．了解推理、证明的格式，理解判定定理的证法． 2．掌握平行线的第二个判定定理，会用判定公理及定理进行简单的推理论证． 3．通过第二个判定定理的推导，培养学生分析问题、进行推理的能力． 4．使学生了解知识来源于实践，又服务于实践，只有学好文化知识，才有解决实际问题的本领，从而对学生进行学习目的的教育． 二、学法引导 1．教师教法：启发式引导发现法． 2．学生学法：积极参与、主动发现、发展思维． 三、重点·难点及解决办法 （一）重点 判定定理的推导和例题的解答． （二）难点 使用符号语言进行推理． （三）解决办法 1．通过教师正确引导，学生积极思维，发现定理，解决重点． 2．通过教师指导，学生自行完成推理过程，解决难点及疑点． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 三角板、投影仪、自制胶片． 六、师生互动活动设计 1．通过设计练习，复习基础，创造情境，引入新课．

2．通过教师指导，学生探索新知，练习巩固，完成新授． 3．通过学生自己总结完成小结． 七、教学步骤 （一）明确目标 掌握平行线的第二个定理的推理，并能运用其进行简单的证明，培养学生的逻辑思维能力． （二）整体感知 以情境创设，设计悬念，引出课题，以引导学生的思维，发现新知，以变式训练巩固新知． （三）教学过程 创设情境，复习引入 师：上节课我们学习了平行线的判定公理和一种判定方法，根据所学看下面的问题（出示投影）． 1．如图1所示，直线、被直线所截，如果，那么，为什么？ 2．如图2，如果，那么，为什么？ 图1图2 3．如图3，直线、被直线所截．（1）如果，那么，为什么？ （2）如果，那么，为什么？ 4．如图4，一个弯形管道的拐角，，这时管道、平行吗？ 图3图4 学生活动：学生口答第1、2题． 师：你能说出有什么条件，就可以判定两条直线平行呢？ 学生活动：由第l、2题，学生思考分析，只要有同位角相等或内错角相等，就可以判定两条直线平行．

平行线(定义、平行公理及推论)

5.2 平行线及其判定(1) 一．教学目标 1.了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系,知道平行公理以及平行公理的推论. 2.会用符号语言表示平行公理的推论,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. 二．预习指导 自学指导：阅读教材第11至12页，完成下列各题. 1.平面内两条不相交的直线叫平行线，如果直线a与直线b平行可记为a∥b，读作a 平行于b. 2.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 3.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；即若a∥b，b∥c，则a∥ c. 4.在同一平面内，不互相重合的两条直线的位置关系有2种，它们是相交、平行. 5.在同一平面内直线l1与l2没有公共点，则直线l1∥l2. 6.在同一平面内直线l1和l2有一个公共点，则l1与l2相交. 三．自学反馈 一、填空题 1.在同一平面内,两条直线的位置关系有相交与平行两种. 2.在同一平面内,一条直线和两条平行线中的一条直线相交,那么这条直线与平行线中的

另一条必相交. 3.在同一平面内,两条相交直线不可能都与第三条直线平行,这是因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 4.两条直线相交,交点的个数是一个；两条直线平行,交点的个数是零个. 二、判断题 1.不相交的两条直线叫做平行线.(×) 2.如果一条直线与两条平行线中的一条直线平行,那么它与另一条直线也平行.(√) 3.过一点有且只有一条直线平行于已知直线.(×) 四．合作探究 活动1 认识平行线 欣赏电脑画面,认识平行线. 1. 播放的这些图片给你一种什么印象？(不相交、平行) 2.师生共同得出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 活动2 探求新知 教师通过演示实物模型，引导学生观察、讨论，通过步步设问，引导学生思考下列问题. (1)在木条转动过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？ (2)在同一平面内，两条直线的位置关系？ (3)过直线AB外一点P，你能画出直线AB的平行线吗？能画出几条？ (4)练习：过点P画直线MN的平行线. (5)在木条转动过程中，有几个位置使得a与b平行？过点B画直线a的平行线，能画出几条？类比前面学过的“垂线的性质”，你能得出什么结论？

八年级数学上册第七章平行线的证明3平行线的判定教案(新版)北师大版

3 平行线的判定 一、学生知识状况分析 学生技能基础：在学习本课之前，学生对平行线的判定已经比较熟悉，也有了初步的逻辑推理能力，对简单的证明步骤有较清楚的认识，这为今天的学习奠定了一个良好的基础．活动经验基础：在以往的几何学习中，学生对动手操作、猜想、说理、讨论等活动形式比较熟悉，本节课主要采取学生分组交流、讨论等学习方式，学生已经具备必要的基础．二、教学任务分析 在以前的几何学习中，主要是针对几何概念、运算以及几何的初步证明（说理），在学生的头脑中还没有形成一个比较系统的几何证明体系，本节课安排《平行的判定》旨在让学生从简单的几何证明入手，逐步形成一个初步的、比较清晰的证明思路，为此，本课时的教学目标是： 1.熟练掌握平行线的判定公理及定理； 2.能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中． 通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力，逐步掌握规范的推理论证格式． 3.通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想． 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节：情景引入——探索平行线判定方法的证明——反馈练习——反思与小结． 第一环节：情景引入 活动内容： 回顾两直线平行的判定方法 师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？ 生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线． 生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行． 生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的． 上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通

练习16_平行线与平行公理-(人教版)(原卷版)

练习16 5.2平行线与平行公理 知识点一：平行线的定义 观察思考：在转动a的过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？ 定义及表示方法：在同一平面内 ．．．．．．，不相交的两条直线是平行线. 直线a与b平行，记作a∥b. 总结：同一平面内两条直线的位置关系有两种：①相交，②平行. 1. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有（） A．平行和相交 B．平行和垂直 C．平行、垂直和相交 D．垂直和相交

知识点二：平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2. 已知:直线a,点B,点C. (1)过点B画直线a的平行线,能画几条? (2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗? 3. 如图，AB∥l，AC∥l，则A，B，C三点共线，理由是：_________________. 4. 下列说法不正确的是（） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．平行于同一直线的两直线平行 5. 三条直线a、b、c中，a∥b，b∥c，则直线a与直线c的关系是（） A．相交B．平行C．垂直D．不确定 6．已知∠AOB，P是任一点，过点P画一条直线与OA平行，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有两条 C．不存在D．有一条或不存在

7.在同一平面内，与已知直线a平行的直线有条；而经过直线外一点P，与已知直线a平行的直线有 且只有条． 8．如图，在直线a的同侧有P、Q、R三点，若PQ∥a，QR∥a，则P、Q、R三点（填“在”或“不在”）同一条直线上． 9. 如图，AB∥CD，E为AC的中点， （1）请过E作线段EF，且使EF∥AB，EF与BD相交于F； （2）请回答：EF与CD平行吗？为什么？ 10．已知直线a∥b，b∥c，c∥d，则a与d的关系是什么，为什么？

平行线的判定(刘厚军)

《平行线的判定（第1课时）》教学设计 谷伯中学刘厚军 一、内容和内容解析 1、内容 判定两条直线平行的方法：方法1：同位角相等，两直线平行；方法2：内错角相等，两直线平行；方法3：同旁内角互补，两直线平行。 2、内容解析 本节课内容是平行线的判定”第一课时，教科书要求学生能初步应用本章所学的知识（如平行线的判定）解释生活中的现象及解决简单的实际问题，体会研究几何图形的意义；整套教科书是按照“说点儿理”“说理”“推理”“用符号表示推理”等不同层次，分阶段逐步加深地安排的． (1)学生们已经学过了平行线的概念，但是，平行线是用“不相交”这种否定方式来定义的，这种否定的方式包含了对空间的想象．因为在实际生活中只有平行线段的形象，学生理解平行线是无限延伸着的，无论怎样延伸也不会相交是学生理解的一个难点；如果有第三条直线存在的情况下，学生已经掌握了平行公理（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）判断两条直线平行；对于画平行线，用直尺和三角板辅助画平行线的方法实际上就是画相等的同位角，因为直尺和三角板靠着的角度是不变的．让学生多做几遍，找到这个过程中的不变量，这样学生就欣然地接受这样画出的两条直线是互相平行的．这样学生就很容易接受平行线的判定方法1．在进行简单说理训练过程中引出平行线的判定方法2和平行线的判定方法3． （2）结合两条直线被第三条直线所截的基本图形引导学生用几何语言准确表述平行线的判定方法1、判定方法2、判定方法3，培养学生转化的数学思想，学会将陌生的转化为熟悉的，将未知的转化为已知的，这是学生本节课学习的难点，也是学生进行几何推理的基础．教学重点：探索平行线的判定方法1、判定方法2、判定方法3． 二、教材解析 本课位于人教版七年级下册第五章第二节第二小节的第一课时。主要内容是让学生在充分感性认识的基础上体会平行线的第一种判定方法，它是空间与图形领域的基础知识，是《相交线与平行线》的重点之一，学习它会为后面的学习平行线性质、三角形、四边形等知识打下坚实的“基石”。同时，本节学习将为加深“角与平行线”的认识，建立空间观念，发展思维，并能让学生在活动的过程中交流分享探索的成果，体验成功的乐趣，提高运用数学的能力，通过这一节内容的学习可以培养学生动手操作，主动探究及合作交流的能力。通过结合展示知识的发生发展过程，鼓励学生思考、归纳总结，从而培养学生良好的学习习惯和思维品质。 三、目标和目标解析 1、教学目标