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高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式检测含解析新人教A版选修2_3

1.2 排列与组合

1.2.1 排列

第1课时 排列与排列数公式

高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式检测含解析新人教A版选修2_3

A 级 基础巩固

一、选择题

1.从集合{3, 5,7,9,11}中任取两个元素:①相加可得多少个不同的和?②相除

可得多少个不同的商?③作为椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1中的a ,b ,可以得到多少个焦点在x 轴上的椭

圆方程?④作为双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1中的a ,b ,可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程?

上面四个问题属于排列问题的是( )

A .①②③④

B .②④

C .②③

D .①④

解析:因为加法满足交换律,所以①不是排列问题;除法不满足交换律,如53≠3

5,所

以②是排列问题.

若方程x 2a 2+y 2b 2=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则必有a >b ,a ,b 的大小一定;在双曲线x 2

a 2

-y 2

b

2=1中不管a >b 还是a

答案:B

2.计算A 6

7-A 5

6

A 45

=( )

A .12

B .24

C .30

D .36

解析:A 6

7

=7×6A 45

,A 56

=6A 45

,所以A 6

7-A 5

6A 45=36A 4

5

A 45

=36.

答案:D

3.北京、上海、香港三个民航站之间的直达航线,需要准备不同的飞机票的种数为( )

A .3

B .6

C .9

D .12

解析:这个问题就是从北京、上海、香港三个民航站中,每次取出两个站,按照起点站在前、终点站在后的顺序排列,求一共有多少种不同的排列.

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4.若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,则选派方案有( )

A.180种B.360种

C.15种D.30种

解析:由排列定义知选派方案有A46=6×5×4×3=360(种).

答案:B

5.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ) A.24个 B.30个 C.40个 D.60个

解析:将符合条件的偶数分为两类:一类是2作个位数,共有A24个,另一类是4作个位数,也有A24个.因此符合条件的偶数共有A24+A24=24(个).

答案:A

二、填空题

6.若A m10=10×9×…×5,则m=_________________________.

解析:由10-(m-1)=5,得m=6.

答案:6

7.现有8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地上,有________种不同的种法(用数字作答).

解析:将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题.所以不同的种法共有A48=8×7×6×5=1 680(种).

答案:1 680

8.从2,3,5,7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母,则可产生不同的分数的个数是______,其中真分数的个数是____.

解析:第一步:选分子,可从4个数字中任选一个作分子,共有4种不同选法;第二步:选分母,从剩下的3个数字中任选一个作分母,有3种不同选法.根据分步乘法计数

原理,不同选法共有4×3=12(种),其中真分数有23,25,27,35,37,5

7

,共6个.

答案:12 6 三、解答题

9.求下列各式中n 的值: (1)90A 2

n =A 4

n ; (2)A 4n A n -4

n -4=42A n -2

n -2. 解:(1)因为90A 2

n =A 4

n ,

所以90n (n -1)=n (n -1)(n -2)(n -3). 所以n 2

-5n +6=90. 所以(n -12)(n +7)=0. 解得n =-7(舍去)或n =12. 所以满足90A 2

n =A 4

n 的n 的值为12. (2)由A 4n A n -4

n -4=42A n -2

n -2,得n !

(n -4)!

·(n -4)!=42(n -2)!.

所以n (n -1)=42.

所以n 2-n -42=0.解得n =-6(舍去)或n =7.

10.用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字的四位数. (1)能被5整除的四位数有多少个? (2)这些四位数中偶数有多少个?

解:(1)能被5整除的数个位必须是5,故有A 3

6=120(个).(2)偶数的个位数只能是2,4, 6,有A 1

3种排法,其他位上有A 3

6种排法,由乘法原理知,四位数中偶数共有A 1

3·A 3

6=360(个).

B 级 能力提升

1.满足不等式A 7

n

A 5n >12的n 的最小值为( )

A .12

B .10

C .9

D .8

解析:由排列数公式得n !(n -5)!

(n -7)!n !

>12,即(n -5)(n -6)>12,解得n >9或n <2.

又n ≥7,所以n >9.又n ∈N *

,所以n 的最小值为10.

答案:B

2.从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax +By +C =0中的系数A ,B ,C ,所得直线经过坐标原点的有________条.

解析:易知过原点的直线方程的常数项为0,则C =0,再从集合中任取两个非零元素作为系数A ,B ,有A 2

6种.

所以符合条件的直线有A 2

6=30(条).

答案:30

3.一条铁路线原有m 个车站,为了适应客运需要,新增加了n (n ≥1,n ∈N *

)个车站,因而客运车票增加了58种,问:原来这条铁路线有多少个车站?现在又有多少个车站?

解:原有m 个车站,所以原有客运车票A 2

m 种,现有(n +m )个车站,所以现有客运车票A 2

n +m 种.

所以A 2

n +m -A 2

m =58,

所以(n +m )(n +m -1)-m (m -1)=58. 即2mn +n 2-n =58,

即n (2m +n -1)=29×2=1×58.

由于n ,2m +n -1均为正整数,故可得方程组

①?????n =29,2m +n -1=2或②?????n =2,2m +n -1=29 或③?????n =1,2m +n -1=58或④?

????n =58,2m +n -1=1.

方程组①与④不符合题意.

解方程组②得m =14,n =2,解方程组③得m =29,n =1.

所以原有14个车站,现有16个车站或原有29个车站,现有30个车站.