求实际距离练习

求实际距离练习

教学内容：青岛版六年级数学下册58——59页自主练习。

教学目标：

1.通过练习，引导学生进一步理解比例尺的意义，掌握利用比例尺求实际距离的不同方法。

2.在解决实际问题的过程中，体会数学在实际生活中的应用，提高解决简单实际问题的能力。

3.感受数学与生活的密切联系，发展应用意识，体验成功的乐趣。

教学重难点：

教学重点：根据比例尺求实际距离。

教学难点：利用比例尺的有关知识正确解决生活实际问题。

教学用具：

教师准备：多媒体课件、直尺

学生准备：直尺

教学过程：

一、问题回顾，再现新知

1.回顾旧知：

谈话：同学们，上节课我们共同探讨了根据比例尺求实际距离的方法，整理出了不同的解题思路，请大家回想一下，根据比例尺求实际距离的方法有哪些？（引导学生回顾“根据比例尺求实际距离”的多种策略。）

预设回答：

生1：根据“图上距离

实际距离

=比例尺”列方程计算。

生2：利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接用除法计算。

生3：如果是线段比例尺，直接用乘法计算。

提示：计算过程中要注意单位统一，求出结果后，再根据要求进行换算。

【设计意图】引导学生对新授课内容进行回顾，唤起认知，了解学生对新知的掌握情况，培养回顾与反思的习惯和能力。

2．揭示课题：

谈话：这节课我们将利用所学的比例尺知识来解决生活中的实际问题。（板书：求实际距离练习）

二、分层练习，巩固提高

1．基本练习，巩固新知。

课件出示：教材58页自主练习第1题。

温馨提示：

（1）想一想，如何计算比例尺？

（2）你想选择哪种方法来解决本题？

（3）在小组内交流你的解题方法。

2．综合练习，应用新知

（1）课件出示：教材58页自主练习第2题。

(学生独立完成，教师巡视指导,最后全班汇报交流)

（2）课件出示：教材58页自主练习第3题。

温馨提示：

①理解比例尺6:1表示的意义？

②要求出直径的实际长度，还需要知道什么条件？

③根据比例尺和量出的图上距离，求实际长度。

说明：该比例尺是把实际距离扩大到6倍以后再画在图纸上的，如在设计精密的零件时，经常需要把实际距离放大到一定的倍数画在图纸上。放大比例尺一般后项为“1”。所以用乘法计算时，实际距离是图上距离的1/6，即图上距离×1/6=实际距离。

（3）课件出示：教材59页自主练习第5题。

（1）北京与广州的图上距离是多少厘米？实际距离大约是多少千米？

（2）我国领土幅员辽阔，你能根据上图求出我国东西的实际长大约是多少千米吗？

（3）你能想办法估算出黑龙江省的面积吗？

友情提示：

（1）这幅图的比例尺是多少？怎样根据比例尺求实际距离？

（2）根据要求量出计算时需要的图上距离。

（3）用你喜欢的方法计算出北京与广州间的实际距离，以及我国东西的实际长度。

（4）黑龙江省近似于我们学过的哪种图形？要估算它的面积，需要知道哪些条件？

（5）让学生感受祖国的幅员辽阔，增强民族自豪感，同时培养学生的估算意识。

【设计意图：通过本组练习题，拓宽学生的视野，使学生真正理解和掌握这类问题的解题思路，并能运用所学知识灵活解决生活中的问题。进一步让学生感受学习数学的价值。引导学生观察比较，提炼出这类问题的结构特点，把学习引向深入。】

3.拓展练习，发展新知

（1）在一幅比例尺为1:500的平面图上量得一间长方形教室的长是3厘米，宽是2厘米。

①求这间教室的图上面积与实际面积。

②写出图上面积和实际面积的比。并与比例尺进行比较，你发现了什么？

点拨：(1)先猜一猜，再验证。思考:要想求实际面积必须先求教室实际长和宽，再求实际面积。

(2)先小组交流，独立完成，再交流做法及发现。

预设：（1）图上面积：3×2=6（平方厘米）

（2）实际长：3×500=1500（厘米）

实际宽：2×500=1000（厘米）

实际面积：1500×1000=1500000（平方厘米）

（3）图上面积：实际面积=6：1500000=1:250000

发现：图上面积和实际面积的比与比例尺进行比较的它后项扩大500倍。

⑵把一块直角三角形的钢板用1:200的比例尺画在图上，两条直角边一共长

5.4厘米，他们长度的比是5:4。钢板实际面积是多少平方米？

友情提示：

（1）理解题意，弄清数量间的关系，找出解题的关键。

（2）尝试用不同方法解答这个问题。

（3）学生运用自己喜欢的方法独立计算，集体交流。

本题较为复杂，运用的知识较多，但要根据已知条件，引导学生认识解决本题的关键是求出两条直角边的图上长度，然后求出实际长度，再求面积。

预设：（1）直角边1图上距离：5.4÷9×5=3（厘米）

直角边2图上距离：5.4÷9×4=2.4（厘米）

直角边1实际距离： 3×200=600（厘米）

直角边2图上距离： 2.4×200=480（厘米）

直角三角形实际面积：600×480÷2=144000（平方厘米）

144000平方厘米=14.4平方米

答：钢板实际面积是14.4平方米。

（2）直角边1图上距离：5.4÷9×5=3（厘米）

直角边2图上距离：5.4÷9×4=2.4（厘米）

3×2.4÷2×200×200=144000（平方厘米）

144000平方厘米=14.4平方米

答：钢板实际面积是14.4平方米。

（3）…………………

（方法很多，有道理即可。）

【设计意图】：利用不同的形式，不同的方法组织分层次练习，使学生所学知识不仅得以巩固，而且得以运用。在整个练习过程中，运用不同方法，始终关注学生解题思路，使他们积极主动的投入到学习过程中。

三、梳理总结，提升认识

1.通过练习，你有哪些新的收获？

（1）掌握了利用比例尺求实际距离的方法，

（2）应用比例尺计算要注意单位换算；

⑶识图时先测量图上距离，再用比例尺计算实际距离；

2.教师小结：是啊，识图和绘图都离不开比例尺（板书：识图绘图），比例尺的知识在生活中有广泛的应用。旅游时人们喜欢购买一张地图，利用比例尺很快地计算两地实际距离，然后根据交通工具的速度设计旅游计划；工程设计师根据需要设计图纸，建筑商根据图纸建楼，购房时人们通过图纸选择自己满意的户型……老师希望大家学以致用，课下用比例尺知识解决更多的生活问题。

【设计意图：课后总结不仅把本课的知识、能力、方法和经验打成捆背回家，而且给学生提出了课下研究的希望，达到“课已毕，趣已升”的效果。】

板书设计：

根据比例尺求实际距离练习

根据“图上距离

实际距离

=比例尺”列方程计算。

利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接用除法计算。

如果是线段比例尺，直接用乘法计算。

使用说明：

1．教后反思：回顾课堂教学，本课设计的突出亮点：

(1)课堂教学中，如何列出方程，怎样找出等量关系式等等，都是依靠学生自己的力量去完成，而教师没有过多的语言去占用课堂的时间，只是在“列方程时的单位名称问题”进行点拔，让学生去思考，去明白，充分发挥了学生的主体作用，使学生真正成为学习的主人。

(2)在探究计算方法的过程中，培养学生脱离老师的讲解、自主学习，有条理思考的习惯和应用意识，体验与同伴的合作探索、创新意识。

(3) 练习题的设计紧扣教学内容，并注意分层次进行，争取每一位学生都有获得成功学习的机会和体验，引导学生在解决问题的过程中，利用出现的问题，开展深入的讨论，及时反馈、反思，进行纠正，印象深刻。

2．使用建议：在教学中要放手让学生独立思考，鼓励学生联系生活实际创造性地解决问题，引导学生把思考过程、结果说出来，培养学生的思维能力，拓宽学生的思维空间。

3.需破解的问题：综合应用比例尺和确定位置知识求图上距离并画平面图形，解决类似“小红家在学校北偏东30°，距离学校500米，画出小红家的位置。”问题时，如何找角度？

空间两点之间的距离公式

空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC

例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结

版空间直角坐标系空间两点间的距离公式

版空间直角坐标系空间两点间的距离公式

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 4.3.2空间两点间的距离公式 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点)

[基础·初探] 教材整理1空间直角坐标系 阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题．1．空间直角坐标系 定义以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面

画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz ＝90° 图示 说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 2.空间中一点的坐标 空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

空间几何中的角和距离的计算

空间角和距离的计算(1) 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小． 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2． （1）求直线D 1F 和AB 和所成的角； （2）求D 1F 与平面AED 所成的角． F 1D 1B 1 C 1A 1 B A C A B C D P E C D E F D 1 C 1 B 1 A 1 A B

2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小． 三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． （1）证明AB 1∥平面DBC 1； （2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小． 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5． （1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小； （2）求SC 与面ABCD 所成的角． 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小． B 1 C 1 A 1 B A C D B 1 C 1 A 1B A C B A D C S B 1 C 1 B C A 1

两点间的距离公式及中点公式教学设计样本

【课题】8．1 两点间距离公式及中点公式 【教材阐明】 本人所用教材为江苏教诲出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数办法研究平面几何问题学科，第八章《直线与圆方程》属于平面解析几何学基本知识。它侧重于数形结合办法和形象思维特性，综合了平面几何、代数、三角等知识。 【学情分析】 学生是一年级数控中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力不强，对抽象知识理解能力不强，但是对直观事物可以理解，对新事物也有较强接受能力。 【教学目的】 知识目的： 1. 理解平面直角坐标系中距离公式和中点公式推导过程． 2. 掌握两点间距离公式与中点坐标公式． 能力目的： 用“数形结合”办法，简介两个公式．培养学生解决问题能力与计算能力． 情感目的： 通过观测、对比体会数学对称美和谐美，培养学生思考能力，学会从已有知识出发积极摸索未知世界意识及对待新知识良好情感态度． 【教学重点】 两点间距离公式与线段中点坐标公式运用． 【教学难点】 两点间距离公式理解． 【教学备品】 三角板． 【教学办法】 讨论合伙法 【学时安排】 2学时．(90分钟)

【教学设计】 针对学生状况，本人在教学中引入尽量安排各种实例，多讲详细东西，少说抽象东西，以激发学生学习兴趣。在例题和练习安排上多画图，努力贯彻数形结合思想，让学生逐渐接受和养成画图习惯，用图形来解决问题。这也恰恰和学生自身专业比较符合，学生学过机械制图，数控需要编程，编程又需要对某些曲线方程有充分理解。同步在教学中经惯用分组讨论法，探究发现法，逐渐培养学生协作能力和独立思考能力。 两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何基本公式，教材采用“知识回顾”方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过向量坐标和向量模定义解说，但解说重点应放在公式应用上． 【教学过程】 大海中有两个小岛，

高考数学分类专题复习之2425空间角与距离

O a b 600 第二十四、二十五讲 空间角与距离 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．如图，直线a 、b 相交与点O 且a 、b 成600 ，过点O 与a 、b 都成600角的直线有（ C ） A ．1 条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 2．（江苏?理）正三棱锥P-ABC 高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A 到侧面PBC 的距离是（ B ） A ．54 B ．56 C ．6 D ．64 3．（全国Ⅰ?理）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为（ D ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 4．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于 3 π ． 5．（四川?理）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面 ACC 1A 1所成的角是 6π ． 6．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， E 、F 分别为BC 与A 1D 1的中点， (1) 求直线A 1C 与DE 所成的角； (2) 求直线AD 与平面B 1EDF 所成的角； (3) 求面B 1EDF 与 面ABCD 所成的角。 【专家解答】 (1)如图，在平面ABCD 内，过C 作CP//DE 交直 线AD 于P ，则CP A 1∠（或补角）为异面直线A 1C 与 DE 所成的角。在ΔCP A 1中，易得 a P A a DE CP a C A 2 13 ,25,311== ==，由余弦定理得1515cos 1=∠CP A 。 故异面直线A 1C 与DE 所成的角为15 15 arccos 。 （2）ADF ADE ∠=∠ ， ∴AD 在面B 1EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上。而B 1EDF 是菱形，∴DB 1 为∠EDF 的平分线。故直线 AD 与面B 1EDF 所成的角为∠ADB 1．在RtΔB 1AD 中， ,3,2,11a D B a AB a AD ===则3 3cos 1= ∠ADB 。 故直线AD 与平面B 1EDF 所成的角为3 3arccos 。 （3）连结EF 、B 1D ，交于点O ，显然O 为B 1D 的中点，从而O 为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的中心，作OH⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心。再作HM⊥DE，垂足为M ，连结OM ，则OM⊥DE（三垂线定理），故∠OMH 为二面角B 1-DE-A 的平面角。 在RtΔDOE 中,23,22a OD a OE ==a DE 2 5 =， 则由面积关系得a DE OE OD OM 1030 =?=。 在RtΔOHM 中6 30 sin = =∠OM OH OMH 。 O

空间直角坐标系 空间两点间的距离公式(解析版)

空间直角坐标系空间两点间的距离公式班级：____________ 姓名：__________________

C ．(－4,0，－6) D ．(－4,7,0) 解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－ 6)． 答案：C 二、填空题 7．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________． 解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相 同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，所以点B 1的坐标为(a ，b ，c )． 答案：(a ，b ，c ) 8．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________． 解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)． 答案：(－4,1，－2) 9．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________． 解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝(－1－2)2＋[2－(－1)]2＋02＝3 2. 答案：3 2 10．已知点P ????32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________. 解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为??? ?12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以 ????32－122＋??? ?52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－4 三、解答题 11．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |. 解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间

空间角与距离求法(高二)

1 空间角与点面距离求法 求空间角和点到平面的距离是教学的重点，也是学生学习的难点，更是高考的必考点.新课标强调要求利用向量的运算来解决这两个问题,而新教材的处理是通过探究引导学生推理得出相关公式.在复习时,作为教师有必要帮助学生对相关的知识进行梳理、归纳和小结. 1.空间角的求法 在立体几何中,求空间角是学习的重点，也是学习的难点，更是高考的必考点.我们在复习时,必须对相关的知识进行梳理、归纳和小结,才会灵活运用公式熟练地求出空间角. 一、相关概念和公式 (1) b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作,,b a ==则AOB ∠叫做 向量a 与向量b 的夹角，记作>≤≤=< . (3) 设),,(111z y x a = , ),,(222z y x b = 则212121||z y x a ++= ,222222||z y x b ++= , 212121z z y y x x b a ++=? . 二、两条异面直线所成的角 (1) 定义：已知两条异面直线a 和b ，经过空间任一点O 作直线,//,//b b a a ''我们把a '与b ' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角（或夹角）. (2) 范围: 异面直线a 和b 所成的角为θ： 900≤<θ, 则cos 0≥θ . (3) 求法: ▲① 平移法: 把两条异面直线a 和b 平移经过某一点(往往选取图中的特殊点),构造三角形(有时会用到补形法,如三棱柱补成平行六面体等),解三角形(通常用到余弦定理).特别提醒:若由边角关系求得为钝角．． 时,注意取其补角为异面直线所成的角. ▲② 向量法: 若a 和b 分别是异面直线a 和b 的方向向量,则 | ||||||||||||,cos |cos b a b a b a b a b a ??=??=><=θ . 说明: ① 其中=θ或- 180 ; ② 在计算b a ?时可用向量分解或坐标进行运算. 三、直线与平面所成的角 (1) 定义: 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角) 如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平

垂线段最短、点到直线的距离练习题

垂线段最短、点到直线的距离练习题 一．填空题（共11小题） 1．如图，AB⊥BC，则ABAC（填“＞”或“=”或“＜”），其理由是． （1）（2）2．如图，为得到小明在体育课上进行立定跳远时的成绩，老师只需要测量线段AB的长度，这样做的数学根据是 3．如图，点D在AC上，点E在AB上，且BD⊥CE，垂足为点M．下列说法：①BM的长是点B到CE的距离；②CE的长是点C到AB的距离；③BD的长是点B到AC的距离；④CM的长是点C到BD的距离．其中正确的是． （3）（4） 4．如图，BC⊥AC，CB=4cm，AC=3cm，AB=5cm，则点C到AB 的距离． 5．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则点A到BC的距离是线段CA的长度是_________ 点到直线_________ 的距离． （5） 6．平面上两点A、B的距离为a+b（a、b＞0，且为定值），又点A、B到某直线的距离分别为a、b，则这样的直线共有 _________ 条．

7．已知如图：AC⊥BC，CD⊥AB，则点B到AC的距离是线段的长． （7）（8） 8．如图，AC是点A到直线BC的垂线段，则点B到AC的距离是线段的长． 9．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，点B到CD边的距离是线段_________ 的长． （9）（10） 10．如图点B到直线a的距离是线段的长度． 11．如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到BC边的距离是线段B 到CD边的距离是线段图中的直角有∠A的余角有和∠A相等的角有． （11）（12） 12．如图，某人在路的左侧A处，要到路的右侧，怎样走最近？为什么？若他要到路对面的B处，怎样走最近？说明理由． 13．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．

空间角及空间距离的计算知识点

空间角及空间距离的计算 1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点， 过该点作另一条直线平行线， 2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。 3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小 指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？ 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一 找”、“二证”、“三计算”） 4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ 是两异面直线间的 距离 （异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线） 5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O 为P 在平面α上的射影， 线段OP 的长度为点P 到平面α的距离 长方体的“一角” 模型 在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===. ①以P 为公共点的三个面两两垂直； ③P 在底面ABC 的射影是△ABC 的垂心 ----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ??⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，， 的平面角。 且则为二面角 a b ''??如图：直线a 与b 异面，b//b ，直线a 与直线b 的夹角为两异 面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90] 求法通常有：定义法和等体积法 等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。 如图在三棱锥V ABC -中有： S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----=== C A

坐标公式大集合(两点间距离公式)

坐标公式大集合（两点间距离公式） 安徽省安庆市第四中学八年级（13）班王正宇著 在八年级上册的数学教材中（沪科版），我们学习到了平面直角坐标系这一章,由此,我们引申出一次函数、二次函数、反比例函数等知识，故完全掌握其知识是十分有必要的。今天，我们来说一说坐标公式。了解它是很有必要的哦！ 一、求平行于x与y轴的直线的距离 ①我们在平面直角坐标系中做一条线段AB平行于x轴（AB为任意直线），我们要求出线段AB的长度，可能有些同学会利用数格子的方式求出其长度，方法是对的，但是书写到作业或试卷中就麻烦了，怎么办？针对这种情况，我们先看AB两点的横坐标，会发现一个特点：随意将其相减，会有两个结果，且互为相反数。有因为其长度ab≥0的，故取正数结果。那么，每次计算都要这么麻烦的去转换吗？不用的，我们只要记住一个公式： | Ax－Bx | 即A点横坐标数减去B点横坐标数，当然，有“绝对值”符号老兄的帮助，A、B两点的横坐标数颠倒过来相减也没有关系。 ②同样的，有上面的过程支撑，我想，推出平行于Y轴的线段CD的长度肯定就好求了！！那么，同理，我们就可以得出一个关于求平行于Y轴线段长度的公式哦： | Cy－Dy | 即C点纵坐标减去D点纵坐标，与上面一样，颠倒过来不影响结论。 二、求斜线的长度 这个内容，本人在一些习题集与各个网站的习题精选里时常见到，不过要涉及到八年级下册的内容。但是，这个内容很重要，必须要讲讲，还要了解清楚。 求斜线的长度涉及到勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²＋b²＝c² 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即： A 2+ B 2 = C 2 这样一解释，想必大家都清楚了吧！这样，为我们下面推出求斜线长度的公式打下了坚实的基础。

点到直线的距离练习题

点到直线的距离 一、 选择题 1、点（0，5）到直线y=2x 的距离是（ ） A 、52 B 、32 D 2、点p （x ，y ）在直线x-y-4=0上，O 是原点，则op 的最小值是（ ） A 、 D 、2 3、p 点在直线3x+y-5=0上，且p 到直线x-y-1=0则点p 坐标为（ ） A 、（1，2） B 、（2，1） C 、（1，2）或（2，-1） D 、（2，1）或（-1，2） 4、点p （m-n ，－m ）到直线1x y m n +=的距离等于（ ） A D 5、无论m ，n 取何实数值，直线（3m －n ）x+（m+2n ）y －n=0都过一定点p ，则p 点的坐标为（ ） A 、（－1，3） B 、（12-，32） C 、（－13,55 ） D 、（13,77-） 6、过点P(1,2)引直线，使A(2,3),B(4,-5)两点到它的距离相等，则这条直线的方程是（ ） A 、4x+y-6=0 B 、x+4y-6=0 C 、2x+3y-7=0或x=4-6=0 D 、3x+2y-7=0或4x+y-6=0 7、两直线3x+4y-2=0与6x+8y-5=0的距离等于（ ） A 、3 B 、7 C 、110 D 、12 9、已知点（a,2）(0)a >到直线l:x-y+3=0的距离为1，则a=（ ） 10、已知直线l 与两直线122302-y-1=0l x y l x -+=：和：的距离相等，则l 的方程为______.

11、已知实数x,y 满足关系式x+y-4=0,则22x y +的最小值是___________. 三、解答题 12、求点P （2，3）到直线0243=++y x 的距离。 13、求与平行线0623=-+y x 和0346=-+y x 等距离的点的轨迹。 14、求过点)0,1(-A ，且与原点的距离等于22 的直线方程。

空间角与距离知识点与题型归纳总结

空间角与距离知识点与题型归纳总结 知识点精讲 一、 空间角的定义和范围 （1） 两条异面直线所成角θ的范围是0]2π（，，当θ=2 π 时，这两条异面直线互相垂直。 （2） 斜线AO 与它在平面α内的射影AB 所成角θ叫做直线与平面所成的角。 平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一直线所成角中最小的角，如果直线 和平面垂直，那么直线与平面所成的角为 2 π ；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么就是直线和平面所成的角为0.直线和平面所成的角的范围为[0]2π，；斜线和平面所成的角的范围为(0,).2 π （3） 从一条直线出发的两个半平面所组成的角叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平 面叫做二面角的面，棱为l ，两个平面分别为α，β的二面角记做α-l -β，二面角的范围是[0,]π （4） 一个平面垂直于二面角的公共棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA ，OB ，则∠AOB 叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面垂直。 二、 点到平面距离的定义 点到平面的距离即点到它在平面内的正射影的距离。 题型归纳及思路提示 题型1 空间角的计算 思路提示 求解空间角如异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的平面角的大小；常用的方法有：（1）定义法；（2）选点平移法；（3）垂线法：（4）垂面法；（5）向量法。 一、异面直线所成的角 方法一：通过选点平移法将异面直线所成的角转化为共面相交的两直线的夹角来求解，但要注意 两条异面直线所成角的范围是0]2π （，。 方法二：向量法，设异面直线a 和b 的方向向量为a r 和b r ，利用夹角余弦公式可求得a 和b 的夹 角大小α，且|| cos cos ,|||| a b =|a b |a b α?<>=r u u r r r u r u u r 。 例8.59 直三棱柱111ABC A B C -中，若∠BAC =90°，AB =AC =1AA ，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 分析 通过选点平移法将异面直线所成的角转化为相交直线的夹角,在三角形中利用余弦定理来求解.

《点到直线的距离公式》教案(公开课)

《点到直线的距离公式》教案 一、教学目标 (一)知识教学点 点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用． (二)能力训练点 培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法． (三)知识渗透点 由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律． 二、教材分析 1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程． 2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题． 3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的． 三、活动设计 启发、思考，逐步推进，讲练结合． 四、教学过程 (一)提出问题 已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？ (二)构造特殊的点到直线的距离学生解决 思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)． 学生可能寻求到下面三种解法：

方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则 当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离． 方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP| 进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法： 方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS| 方法5 过P作x轴的垂线交L于S ∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|， 比较前面5种解法，以第3种或4种解法为最佳，那么第3种解法是否可以向一般情况推广呢？ 思考题2 求点P(2．0)到直线2x-y=0的距离(图1-34)． 思考题 3求点P(2，0)到直线2x-y+2=0的距离(图1-35)．

高中数学北师大版必修二2.3.3【教学设计】《空间两点间的距离公式》

《空间两点间的距离公式》 本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。 【知识与能力目标】 理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。 【过程与方法目标】 通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。 【情感态度价值观目标】 培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。 【教学重点】 空间两点间的距离公式和它的简单应用。 【教学难点】 空间两点间的距离公式的推导。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分

我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？ 二、研探新知，建构概念 1、电子白板投影出上面实例。 2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。 （1）长方体的对角线及其长的计算公式 ①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图) ②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长. 注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。 (②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 （2）两点间的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 （）（）（） 注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。 （①）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式； （②）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。 ②空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离. 三、质疑答辩，发展思维 1、举例：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离。

空间角与距离

空间角与距离 考点1 求异面直线所成的角 1．如图所示，在长方体ABCD －EFGH 中，AB ＝23，AD ＝23，AE ＝2，则BC 和EG 所成角的大小是________，AE 和BG 所成角的大小是________． 2空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小． 3(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A. 22 B.32 C.52 D.72 4．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为(C) A.32 B.155 C.105 D.33 5．四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的正方形，若四条侧棱相等，且该四棱锥的体积V ＝46 3 ，则直线PA 与底面ABCD 所成角的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

6棱长都为2的直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成的角的正弦值为 . 7已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为9 4 ，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6 8已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，∠DAB ＝60°，E 为AB 中点，F 为PD 中点，PD ＝AD. (1)证明：平面PED ⊥平面PAB ； (2)求二面角P －AB －F 的平面角的余弦值． 9如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上． (1)证明：AP ⊥BC ； (2)已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.求二面角B －AP －C 的大小．

平面内两点间的距离公式

两点间的距离公式 【教学目标】 1、 掌握平面内两点的距离公式和中点公式 2、 能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式进行运算 【教学重点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学难点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学过程】 引入： (如图)在数轴上有两点7,521=-=x x 则x x 2 1= -5 0 7 X 在直角三角形中，怎样求出斜边的长度 在直角坐标系中，已知点P （x,y ）,那么|OP|= x y

平面直已知两点1P P P 21说明 (1) 如果P 1P 2 x x 是x x 1 2- (2) 如果P 1和P 2两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上,两点距离 是y y 1 2- 试一试1：求平面上两点)7,1(),2,6(-B A 间的距离AB . 试一试2：求下列两点间的距离： （1）)0,2(),0,2(B A - （2）)7,0(),3,0(-B A （3）)4,2(),3,2(B A - (4))6,8(),9,5(B A - 试一试3：已知A （a,3），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB =12，求a 。 线段的中点公式 点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 22 1x x x + =，221y y y +=。 说明公式对于P 1和P 2两点在平面内任意位置都是成立的 试一试3：求下列两点的中点坐标

（1）)13,2(),3,2(B A -（2）)6,18(),9,15(B A - （二）典型例题： 已知三角形的顶点是)2,7(),0,0(B A ，),4,1(-C ，求此三角形两条中线CE 和AD 的长度 （解题过程在书240页） 【自我检测】 1、平面直角坐标系中，已知两点),(111y x P ，),(2 22y x P ，两点距离公式为 2、点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 3、 已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标 （1） A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2） 4、 已知A(-4,4),B(8,10)两点，求两点间的距离AB 5、 已知下列两点，求中点坐标： a) A （5，10），B （-3，0）（2）A （-3，-1），B （5，7） 6、 已知点A （-1，-1），B （b,5）,且AB =10，求b.

中考数学专题练习点到直线的距离(含解析)

备战2019中考数学专题练习-点到直线的距离（含解析） 一、单选题 1.如图所示，点P到直线l的距离是（） A.线段PA的长度 B.线段PB的长度 C.线段PC的长度 D.线段PD 的长度 2.在同一平面内，已知线段AB的长为10厘米，点A，B到直线l的距离分别为6厘米和4厘米，则符合条件的直线l的条数为（） A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条 3.如图，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（） A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 4.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（） A.五条 B.二条 C.三条 D.四条 5.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离是线段（）的长． A.PO B.RO C.OQ D.PQ 6.定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（） A.2 B.3 C.4 D.5 7.同一平面内，三条不同直线的交点个数可能是（）个．

A.1或3 B.0、1或3 C.0、1或2 D.0、1、2或3 8.如图，点A在直线l1上，点B，C分别在直线l2上，AB⊥l2于点B，AC⊥l1于点A，AB=4，AC=5， 则下列说法正确的是（） A.点B到直线l1的距离等于4 B.点A到直线l2的距离等于5 C.点B到直线l1的距离等于5 D.点C到直线l1的距离等于5 9.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离是线段的长．（） A.PO B.RO C.OQ D.PQ 10.如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，下列说法不正确的是（） A.点A到BC的垂线段为AD B.点C到AD的垂线段为CD C.点B到AC的垂线段为AB D.点D到AB的垂线段为BD 11.在下列语句中，正确的是（） A.在平面上，一条直线只有一条垂线 B.过直线上一点的直线只有一条 C.在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条 D.垂线段就是点到直线的距离 二、填空题 12.如图所示，若⊥ACB=90°，BC=8cm，AC=6cm，则B点到AC边的距离为 ________cm． 13.如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是________cm，点

第37讲空间夹角与距离

D B A C α 第三十七讲 空间夹角和距离 一、复习目标要求 1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离； 2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二、2010年命题预测 空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察主要有以下情况：（1）空间的夹角；（2）空间的距离；（3）空间向量在求夹角和距离中的应用。 预测2010年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察。 三、知识精点讲解 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 （1）异面直线所成的角的范围是2 , 0(π 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是 通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。 （2）直线与平面所成的角的范围是2 , 0[π。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 具体步骤如下： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤； （3）确定点的射影位置有以下几种方法：

空间的角度与距离(附答案)

基础训练34(A) 空间的角度与距离 ●训练指要 掌握空间有关的角与距离的概念、范围、计算方法，会计算有关的距离和角. 一、选择题 1.(2001年全国高考题)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则 A.P3＞P2＞P1 B.P3＞P2=P1 C.P3=P2＞P1 D.P3=P2=P1 2.给出下列四个命题： ①如果直线a∥平面α，a 平面β，且α∥β，则a与平面α的距离等于平面α与β的距离； ②两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条平行直线的距离等于这两个平面间的距离； ③异面直线a、b分别在两个平行平面内，则a、b的距离等于这两个平面的距离； ④若点A在平面α内，平面α和β平行，则A到平面β的距离等于平面α与平面β的距离. 其中正确的命题的个数是

A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各条棱长均相等，则AC 1与平面 BB 1C 1C 所成角的余弦值等于 A.4 10 B.66 C.26 D.2 10 二、填空题 4.二面角α—l —β的面α内有一条直线a 与l 成45°的角，若这个二面角的平面角也是45°,则直线a 与平面β成角的度数为_________. 5.三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离的比为1∶ 2∶3，PO =214,则P 点到这三个平面的距离分别是_________. 三、解答题 6.如图，在正三棱锥P —ABC 中，侧棱长3 cm ，底面边长2 cm ，E 是BC 的中点，EF ⊥P A ，垂足为F . (1)求证：EF 为异面直线P A 与BC 的公垂线段； (2)求异面直线P A 与BC 间的距离. 7.如图，正四棱锥S —ABCD 的所有棱长都相等，过底面对角线 AC 作平行于侧棱SB 的截面交SD 于E . (1)求AB 与SC 所成角的大小； (2)求二面角E —AC —D 的大小； (3)求直线BC 与平面EAC 所成角的大小. 8.在棱长为a 的正四面体ABCD 中，M 、E 分别是棱BD 、BC 的中点，N 是BE 的中点，

立体几何三空间的角与距离.

、空间的角与距离 1?异面直线所成的角： 范围是（0,—］； 2 一般方法是平移直线，构造三角形，把异面问题转化为共面问题来解决。平移时，固定一条，平移另一条（ 在某平面 内），或两条同时平移到某特殊位置，顶点选择在特殊位置上； 2?直线与平面所成的角： 范围是［0,—］。 2 关键是：找过斜线上一点与平面垂直的直线 ；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置 于三角形中计算。 注:确定点的射影位置有以下几种方法： ① 结论：如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上; 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； ② 两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ③ 利用三棱锥的有关性质： a 若侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 若顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心 c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 3.二面角 二面角的范围一般是指 （0,］。 作二面角的平面角常有三种方法 ① 定义法： ② 三垂线定理法：自二面角的一个面上一点向另一 面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点 垂 足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所 夹的 角，即为二面角的平面角； ③垂面法： 作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线所成的角就是二面角的平面角。 ④面积射影法：S S c o s （S 为原斜面面积 ，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面角的平面角 它对于任意多边形都成立，是求二面角的好方法 .当作角困难时，易求斜面及射影面积，可直接用公式求出二面角的大小。 二.空间的距离 （1） 点到平面的距离常用求法 （点到直线的距离、直线到平面的距离及平面与平面间的距离（仅平行时）略） ① 定义法：作垂线 ② 转移法：平行线转移或中点转移（斜线中点）等 ③ 等体积法： （2） 异面直线间的距离常有求法： 异面直线a,b 间的距离为a,b 间的公垂线段的长. ① 定义法 ② 转化为线面距离： 找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线 a 到平面的距离就是异面直线 a,b 间的距离. ③ 转化为面面距离： 找或作出分别过a,b 且与b , a 分别平行的平面，则它们距离就是异面直线 a,b 间的距离. 1、已知四棱锥 P — ABCD 底面ABCD 是菱形 DAB 60 , PD 平面ABCD PD=AD 点E 为AB 中点，点F 为PD 中 （或旁心）; （