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新概念物理教程 力学答案详解(三)'

新力学习题答案(三)

3—1.有一列火车,总质量为M ,最后一节车厢为m ,若m 从匀速前进的列车中脱离出来,并走了长度为s 在路程后停下来。若机车的牵引力不变,且每节车厢所受的摩擦力正比于其重量而与速度无关。问脱开的那节车厢停止时,它距离列车后端多远? 解:

3—2.一质点自球面的顶点由静止开始下滑,设球面的半径为R 球面质点之间的摩擦可以忽略,问质点离开顶点的高度h 多大时开始脱离球面?

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3—3.如本题图,一重物从高度为h 处沿光滑轨道下滑后,在环内作圆周运动。设圆环的半径为R ,若要重物转至圆环顶点刚好不脱离,高度h 至少要多少?

()()s m

M m

s s s s m

M m

s g s g m M m g s gs at t v s t g m

M m

m

M g

m M Mg a g m M g

s g

gs

a

v t v m gs v v as m g

m

mg

a mg f m Mg F ?-+

=+∴?-+

=?-?+=+

=-=

---=

-===

→=?===

==3'22212221',122022:02000

002

0所求的距离为为:时间内火车前进的路程所以在这火车加速度为此时火车的摩擦力为由于牵引力不变)

(所需时间为从速度为最终其加速度的水平力作用力离开列车后,仅受摩擦,则机车的牵引力为设摩擦系数为μμμμμμμμμμμμμμμμμ3

2321)

3(cos )

2(cos :0cos )1(22

1

2

2

2R

h R

gh

R h R g

R

h

R R

v g N R

mv N mg F gh v mgh

mv =

∴=--====

-==?=)得:

),(),(联立(又:时有当受力分析有::解:依机械能守恒律有向心θθθ

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3—4.一物体由粗糙斜面底部以初速度v 0冲上去后又沿斜面滑下来,回到底部时的速度为v 1,求此物体达到的最大高度。

解:设物体达到的最大高度为h ,斜面距离为s ,摩擦力为f 。

3—5.如本题图:物体A 和B 用绳连接,A置于摩擦系数为μ的水平桌面上,B滑轮下自然下垂。设绳与滑轮的质量可以忽略,绳不可伸长。以知两物体的质量分别为m A ,m B ,求物体B从静止下降一个高度h 后所获得的速度。 解:由绳不可伸长,得A ,B 两物体速度相等。 依动能定理有:

这就是物体B从静止下降一个高度h 后所获得的速度。 3—6.用细线将一质量为m 的大圆环悬挂起来。两个质量均为M 的小圆环套在大圆环上,可以无摩擦地滑动。若两个小圆环沿相反方向从大圆环顶部自静止下滑,求在下滑过程中,θ取什么值时大圆环刚能升起?

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N

()()

R h gR v N R

mv N mg F R h g v mv R h mg v 2

5

21)2(0

)1(222

122

2

≤?≥=

-=-=∴=-)式得:),(联立(而此时,则有:

的速度为若设重物在环顶部具有解:依机械能守恒得:

向心g

v v h fs fs

mv mgh fs

mgh mv 421

2

12

120212

0+=

+=+=,得:两式消去滑下来的过程中:冲上去的过程中:依动能定理,有:

()()B

A A

B A B B A m m gh m m v gh m gh m v m m +-=

-=+22

1

2μμ

解:当m 刚升起时,绳子张力 T 为零。

3—7.如本题图,在劲度系数为k 的弹簧下挂质量分别为m 1和m 2的两个物体,开始时处于静止。若把m 1和m 2间的连线烧断,求m 1的最大速度。

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12

()()()

M

Mm

M M M

Mm

M M M Mm M M mg Mg Mg T F mg Mg Mg T F Mg Mg Mg Mg N gR v MgR Mv M N Mg R

v M M mg

N T F m 36cos

3662442cos 0

cos 2cos 60,0:cos 2cos 6)1()4()

4(2cos 3cos 12cos )2()3()

3(cos 12cos 12

1

,)

2(cos )

1(cos 221

2222222+±=+±=

+±=?=--==--+=-=--=-=?-=-=-+=-θθθθθθθθθθθθθ代入上式得:

则要使大圆环刚能升起,得:代入得:代入依机械能守恒有:

对于,有:对于力为:

在竖直方向上所受的合()()()()1

2

max 112

12max 12112

21122

max 112111112121212121'

'2

121210,','0km g

m v k g m g m k g m k v m k g m m g m k g m m k gx m kx v m gx m kx m k

g

m x g m f m m k g

m m x g m m f =?-??? ??+=+-??

?

??+-+=-+==+=

+=势能零点,则有:

若取弹簧自由伸缩状态的机械能守恒在此过程中弹簧伸长量为:弹性力:时速度达最大,此时受合力为向上作加速运动,直到不变。张力消失,弹簧弹性力连线烧断的瞬间,连线弹簧伸长量为:受到的弹性力为:解:连线未断时,弹簧

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x

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3—8.劲度系数为k 的弹簧一端固定在墙上,另一端系一质量为m A 的物体。当把弹簧压缩x 0后,在它旁边紧贴着放一质量为m B 的物体。撤去外力后,求:

(1)A 、B 离开时,B 以多大速率运动?

(2)A 距起始点移动的最大距离。 解:(1)A 获得最大的向右的速度时,就是A 、B 分开的

时候,此时弹簧的弹性力为0(自由伸缩状态)

依机械能守恒律有:

(2)A 距起始点的最大距离在弹簧自由伸缩状态的右边当A 的速度为0处。

3—9.如本题图,用劲度系数为k 的弹簧将质量为m A 和m B 的物体连接,放在光滑的水平桌面上。m A 紧靠墙,在m B 上施力将弹簧从原长压缩了长度x 0。当外力撤去后,求: (1)弹簧和m A 、m B 所组成的系统的质心加速度的最大值。 (2)质心速度的最大值。

()0

222202

1212121x m m k

v v m m v m v m kx B

A B B B A B B A A +=?+=+=0

000

220

'''2121:

x m m m x x x X x m m m x kx v m x m m k

v v B

A A

B

A A

A A B

A B A ++

=+=∴+=

?=+==所求距离为:

依机械能守恒律有弹簧自由伸缩状态处:0max 02200

max max 0

max 002121,00(0)2(,1x m k m m m m m v m v x m k

v v m kx v A v a N m m kx m m N a m m N a kx N x x kx N N A B A B

B

A B

B A B B c B

B B B B

c c B

A B A c B A c +=

++=

∴=?===+=

+=+=

∴===械能守恒律求还没来得及动,可用机此时达最大。时),即弹簧力为时当,时,当,的压力而具有的反压力外力仅有墙反抗、)外力撤去后,对由解:(

3—10.如本题图,质量为m 1和 m 2的物体与劲度系数为k 的弹簧相连,竖直地放在地面上,m 1在上, m 2在下。

(1)至少用多大的力F 向下压m 1,突然松开时 m 2才能离地?

(2)在力F 撤除后,由m 1、 m 2和弹簧组成的系统质心加速度a c 何时最大?何时为0?m 2刚要离地时 a c =? 解:(1)分析:要使m 2能离地,必须使m 2对地面的支持力N=0 时, (此时弹簧力为m 2g )m 1具有向上的速度。此速度为0时,F 就是所求。

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(2)撤去F 后,系统受到的外力是:重力与支持力N

3—11.如本题图,质量为M 的三角形木块静止地放在光滑的水平桌面上,木块的斜面与地面之间的夹角为θ。一质量为m 的物体从高h 处自静止沿斜面无摩擦地下滑到地面。分别以m 、M 和地面为参考系,计算在下滑过程中M 对m 的支持力N 及其反作用力N’所作的功,并证明二者之和与参考系的选择无关,总是为0。 α

()g

m m F k g m g m k g m k k g m F g m k g m F k gx m kx gx m kx m k

g m x N k

g

m F x g

m F kx x F 21212

2112

1120120221010021212

1

210:,0:

+=+??? ??=+-??? ??++=-==+=

?+=依机械能守恒律有:

重力势能不变,点,为势能以弹簧的自由伸缩状态弹簧拉伸时地面支持力,则使弹簧压缩力ααθ

θsin sin :sin sin '':''

:0

,

':0

,0,':'''m m m N M M M N N N N N Ns Ns N s W N Ns s N N s W N N N c W N m M b W m N m W W N N m M a -=-=?===?======

作负功作正功以地面为参考系,所以垂直于斜面的位移为斜面方向,而相对于上始终作用在为参考系,以所以位移(即斜边)垂直于

和始终沿斜边运动,为参考系,以解:0

sin sin sin sin '=+∴=?=N N m M m

M W W s s s

s α

θθα依正弦定理有:

()()h

m M m

H mgH

MgH mgh v M m H M gh

M m m

v mgh mv v M m gh v m M -=?-==++===+=2202

02122

1212:上升的最大高度为后速度相等:依机械能守恒,且拉紧具有的速度为被拉紧前的那一瞬间,解:3—12.一根不可伸长的绳子跨过一定滑轮,两端各栓质量为m 和M 的物体(M>m )。M 静止在地面上,绳子起初松弛。当m 自由下落一个h 后绳子开始被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度和此后M 上升的最大高度H 。

3—13.如本题图,质量为m 的物体放在光滑的水平面上,m 的两边分别与劲度系数为k 1和k 2的两个弹簧相连,若在右边弹簧末端施以拉力f ,问: (a )若以拉力非常缓慢的拉了一段距离L ,它作功多少? (b )若突然拉到L 后不动,拉力作功又如何? 解:(a )m 的速度几乎为0,可忽略,f 作功全部转化为弹性势能, 所以:

(b )

3—15.解:

()2

212

1211221212211212222112:2

121L k k k k W L

k k k x L k k k x x k x k L x x x k x k W +=∴???

?

??

?+=+=????==++=

又22212

1

,L k W k f m k L =

所以:

弹簧的弹性势能,所作的功全部转化为均未来得及动弹簧与,突然拉距离

弹簧在被压缩过程中:

3—16.两球有相同的质量和半径,悬挂于同一高度,静止时两球恰能接触且悬线平行。以知两球的恢复系数为e 。若球A 自高度h 1释放,求该球碰撞后能达到的高度。

3—17.在一铅直面内有一光滑的轨道,轨道左边是一光滑弧线,右边是一足够长的水平直

线。现有质量分别为m A 的m B 两个质点,B 在水平轨道静止,A 在高h 出自静止滑下,与B 发生完全弹性碰撞。碰撞后A 仍可返回到弧线的某一高度上,并再度滑下。求A 、B 至少发生两次碰撞的条件。

解:分析:要求A 、B 至少发生两次碰撞,则第一次碰撞后A 的速率必须大于B 的速率。

3—18.一质量为m 的粒子以v 0 飞行,与一初始时静止、质量为M 的粒子作完全弹性碰撞。从m/M=0到m/M=10画出末速v 与比值m/M 的函数关系图。

x

v v v v v v m m mv v m m m 为时弹簧压缩最厉害,设时弹簧不断被压缩,在开始增加,

从减小,此后压缩弹簧,获得的速度为后,入分析:2121211

010110=∴>+=

()()()()()()

1212

211012

2212101212121m m m m m k m mv x v m m m v m m kx v m m m v m m +++=?++=++++=+动量守恒:

机械能守恒:()1

2

21000

0104

1/21:,022

1

2121)

2(:)1(:

(2h e mg mv h A A gh e v e v mv mv mv v v

v v v v e v B v A gh v A A A B A A A B

A A

B A B A A -==<-=-=

?+-=+=+=

=能达到的高度为碰撞后实际上也向右说明))(由(动量守恒则(向右)的速率为(向左),的速率为假设碰撞后的一瞬间,向右,设为正向)

碰撞前的那一瞬间:A

B B

A A

B A A B B

A B A A B B A A B A B B A A A A B

B A A A A A B A m m m m m m m m m v v gh m m m v gh m m m m v v m v m v m v m v m v m gh

v v B v A 322222121212:(2

22000>?+>

+-?

>???

???

?+=+-=??????+=+-==,机械能守恒:

碰撞过程中,动量守恒碰撞前(设向右)的速率为设向左),的速率为设第一次碰撞后

21121u m 解:由于是完全弹性碰撞,所以有:

3—19.一质量为m 1、初速度为u 1的粒子碰到一个静止的、质量为m 2的粒子,碰撞是完全弹

性的。现观察到碰撞后粒子具有等值反向的速度。求(1)比值m 2/m 1;(2)质心的速

度;(3)两粒子在质心系中的总动能,用 的分数来表示;(4)在实验室参考系中m 1的最终动能。

解:依弹性碰撞有:

3—20.在一项历史性的研究中,詹姆斯.查德威克于1932年通过快中子与氢核、氮核的弹

性碰撞得到中子质量之值。他发现,氢核(原来静止)的最大反冲速度(对心碰撞时反冲速度最大)为3.3?107m./s ,而氮14核的最大反冲速度为4.7?106m/s ,误差为±10%,由此你得知:(1)中子质量;

0222001

/1/2

1

2121v M m M m v M m M m v MV mv mv MV

mv mv +-=+-=?+=+=()()()()2

1

2

2121121121221221

2

12121

221212212212

212

222112

1111

2

1

2121122

11

21212112112

1

2

12112

22211211221111221)4(212121212121:)3()2()1(132

3232)1(22121211

u m m m m m v m E u m m m m u m m m m u m m m m u m m m m v v m v v m E m m u m v m m m m m m m m m m m m m m m m v v u m m m v u m m m m v v m v m u m v m v m u m m c c c c ???

? ??+-==?

?

?

??+=

+=+++=-+-=

+=--=-=

-=?

+-

=+-?-=???

????+=+-=??????+=+=质心系中的总动能:碰撞前后质心速度不变不符舍去或即

(2)所用中子的初速度是什么吗?(要计及氮的测量误差。以一个氢核的质量为1原子质单位,氮14核的质量为14原子质量单位) 解:弹性碰撞有:

3—21.在《原子》一书中,牛顿提到,在一组碰撞实验中他发现,某种材料的两个物体分离时的相对速度为它们趋近时的5/9。假设一原先不动的物体质量为m 0,另一物体的质量为2m 0,以初速v 0与前者相撞。求两物体的末速。

3—22.一质量为m 0,以速率v 0运动的粒子,碰到一质量为2m 0静止的粒子。结果,质量m 0的粒子偏转了450并具有末速v 0/2。求质量为2m 0的粒子偏转后的速率和方向。动能守恒吗?

()

=

???+=

+=

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?

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?+=+-=????

???+=+-=??????+=+=7672

22103.317

.121

17.12)

2(17.11

14107.4103.3:)1(2:,2212121:

p p

H

p p p p p H p N p N H p H p p H p H p H p p

p

N p p N p N p N p p N N p p p p N

N p p p p v m m m u m m m m m m m v v u m m m v u m m m m v u

m m m v u m m m m v v m v m u m v m v m u m 原子质量单位代入数据得有同理中子与氢核碰撞中子与氮核碰撞???

???

?==?

-==

+=?+=000

000002728"2713'21)

2('

"95:

)1("2'22"

'22v

v v v v v v e v v v v m v m v m ))(由(又所以:

有动量守恒解:在实验系中观察,

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3—23.在一次交通事故中(这是以一个真实的案情为依据的),一质量为2000kg 、向南行驶的汽车在一交叉路中心撞上一质量为6000kg 、向西行驶的卡车。两辆车连接在一起沿着差不多是正西南方向滑离公路。一目击者断言,卡车进入交叉点时的速率为80km/h 。 (1)你相信目击者的判断吗?

(2)不管你是否相信它,总初始动能的几分之几由于这碰撞而转换成了其它形式的能量?

()

20020

02202

002

000000000000021822541212212212

1:82824245sin 20:245cos 2:v m v m v v m v m v m v v v v v m v m y v m v m v m x y x y x y

x

? ??-+=++??? ?????

???

?-=-=???????

?+=+=碰撞后总动能为:碰撞前总动能为方向方向动量守恒:解:两物体组成的系统()()()()。

转换成其它形式的能量即总动能有碰撞后总动能)初始总动能:(,这是不可能的。

,则若即南北方向:东西方向::

解:本题可用动量守恒卡卡卡

卡卡卡卡卡卡卡卡汽卡卡卡卡卡卡汽汽卡卡汽卡卡卡

汽汽卡卡汽汽汽卡汽卡卡8/58

524324

342334

2121':233

21212

1212/240/80)1(4

2

3345cos 8000200045sin 80006000:45cos 45sin 2

2

22

2

22

22220

0=-=???

? ??=+==+

=+=

===

=???

???==??

???+=+=v m v m v m v m v m v m m E v m v m v m v m v m E h km v h km v v v v v v v v v v m m v m v m m v m

3—24.两船在静水中依惯性相向匀速而行,速率皆为6.0m/s 。当它们相遇时,将甲船上的货物搬到乙船上。以后,甲船速度不变,乙船沿原方向继续前进,但速率变为4.0m/s 。设甲船空载时的质量为500kg ,货物的质量为60kg ,求乙船质量。在搬运货物的前后,两船和货物的总动能有没有变化?

3—25.一质量为m 的物体开始时静止在一无摩擦的水平面上,受到一连串粒子的轰击。

()

()小

率均变小所以总动能变搬运后乙船和货物的速,,对乙船用动量定理:、船的速度分别为:搬运货物后,甲船、乙、:船、乙船的速度分别为解:设搬运货物前,甲乙乙乙乙乙甲乙

乙甲乙乙乙甲乙甲货货kg

m m m s m v s m v s m v v m m v m v m v v v v 3000

.4600.6600.6/0.4'/0.6/0.6'''=??+=?-∴==-=+=+()()()()()()()()()

0001

02

101

02210011

000:0:11122122212121222211221/2)1(v v n v n e v n n v v m

m

m m m m m m m m n m m m n m v v v v m

m n m

v v m m n v m m n mv n v v m m m v v m m v m m mv v m

m m v v m m mv n n m m e v v n x x v m m n n n n n n n n n →→∝→<<-=?

???

?

? ??++

++++-++≈=

???

?

??++++++-++≈++≈

+=+-+++≈

+=+++=

+=→∝<<=-=-<----时时,则:令次碰撞:第第二次碰撞:第一次碰撞:解:依动量守恒律:

情形的有效性。和对于

。试考虑这结果对于,其中非常接近于速率个粒子碰撞后,得到的体经第的方向弹回。证明这物每一粒子都沿性的,的方向。碰撞是完全弹,沿正),速率为〈(每个粒子的质量为αααααααααα

δαδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδααδαδαα

3—26.水平地面上停放着一辆小车,车上站着十个质量 相同的人,每人都以相同的方式、消耗同样的体力从车后沿水平方向跳出。设所有人所消耗的体力全部转化为车与人的动能,在整个过程中可略去一切阻力。为了使小车得到最大的动能,车上的人应一个一个地往后跳,还是十个人一起跳? 解:根据系统内部各部分间相互作用时的系统增加的动能是相对动能部分。依题知每人跳离车子时相对车的速度都是一样的。

3—27.求圆心角为2θ的一段均匀圆弧的质心。 解:建立如图所示的坐标系,则:

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()

()()()

()

.)101(10)3(910:

89108)7()8(9109)8()9(10)9(0)

2(1010100)1(::10102333212221111动能大即一个一个跳车获得的依此类推得即板车后退依动量守恒定律有解车车车车车车车车车车车车车车车车车车车v v n m M m nm M m u

m M m u m M m u m M m v u

m

M m

u m M m u m M m u m M m v v v u m v m M v m M u

m

M m

u m M m u m M m v v v u m v m M v m M u

m

M m

v v u m v m M u

m

M m

v v u m Mv <<≤+>++--+-+-

=+-+-+-=+-=+++=++-+-=+-

=+++=++-=+++=+-

=?++= θ

θ

ααη

αηαηηθηααθ

θ

θ

θsin cos cos 1,2::,,0

R Rd R m dl R m

m xdm x Rd dl dm R

m

d o dl ox y c

c =

=

=

=====???+-+-线密度的一段弧,则有张角为对圆心取一段弧长为处轴张角为在弧上对

3—28.求均匀半球体的质心。

3—29.如本题图,半径为R 的大圆环固定地挂于顶点A ,质量为m 的小环套于其上,通过一劲度系数为k ,自然长度为 (<2R)的弹簧系于A 点。分析在不同参数下这装置平衡点的稳定性,并作出相应的势能曲线。

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R z c R r d drd r

R V

dv z m

zdm z r z d drd r dv dv dm dm r y x Oy Ox O xyz O c c

c c 8

32

020,0cos sin 3

21:cos sin ,:,),,0

3

3

2=

?=

=======?????π

?πθ?

θ?θπρρ??θθρ?θ到

从,到从到从依质心定义有则处取相应的球坐标中,在(依对称性有:轴底面(即大圆上),、在球心上,,—

解:建立直角坐标系B

()()()mg

kR kl

mg l R k mg l R k N m mg

N l R k F m 22cos :)2()2(2sin sin cos 2:)1(2cos cos cos 2:cos 2:-=

??

?=-=-+-=θθ

θθθ

θθθ求出由切向法向处于平衡状态,则:

若与重力支持弹簧力受到三个力的作用:解: