高中数学选修4-4知识点总结
1、知识归纳总结:
1.伸缩变换:设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换???>?='>?=').
0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点O ,叫做极点;自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。
3.点M 的极坐标:设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标,记为),(θρM .
极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.
4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称,即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示;同时,极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5.极坐标与直角坐标的互
化:
6。圆的极坐标方程: 在极坐标系中,以极点为圆心,r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ;
在极坐标系中,以 )0,(a C )0(>a 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =;
在极坐标系中,以 )2
,(πa C )0(>a 为圆心,a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =; 7.在极坐标系中,)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线;)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.
在极坐标系中,过点)0)(0,(>a a A ,且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .
8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数???==),
(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数y x ,的变数t 叫做参变数,简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
9.圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ?
??+=+=r b y r a x . 椭圆122
22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数????
??==b y a x . 抛物线px y 22
=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ???==. 经过点),(o o O y x M ,倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为?
??+=+=.sin ,cos o o ααt y y t x x (t 为参数). 10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使y x ,的取值范围保持一致.
练习
1.曲线25()12x t t y t
=-+??=-?为参数与坐标轴的交点是( ).
A .2
1(0,)(,0)52、 B .11(0,)(,0)52、 C .(0,4)(8,0)-、
D .5(0,)(8,0)9、 2.把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是( ).
A .1212x t y t -?=???=?
B .sin 1sin x t y t =???=??
C .cos 1cos x t y t =???=??
D .tan 1tan x t y t =???=?? 3.若直线的参数方程为12()23x t t y t
=+??=-?为参数,则直线的斜率为( ).
A .23
B .23-
C .32
D .32
- 4.点(1,2)在圆18cos 8sin x y θθ
=-+??=?的( ). A .内部
B .外部
C .圆上
D .与θ的值有关
5.参数方程为1
()2
x t t t y ?
=+???=?为参数表示的曲线是( ).
A .一条直线
B .两条直线
C .一条射线
D .两条射线
6.两圆???+=+-=θθ
sin 24cos 23y x 与???==θθ
sin 3cos 3y x 的位置关系是( ).
A .内切
B .外切
C .相离
D .内含
7
.与参数方程为)x t y ?=??=??为参数等价的普通方程为( ).
A .2
214y x += B .2
2
1(01)4y x x +=≤≤
C .2
21(02)4y x y +=≤≤ D .2
21(01,02)4y x x y +=≤≤≤≤
8.曲线5cos ()5sin 3x y θ
π
θπθ=?≤≤?=?的长度是( ).
A .5π
B .10π
C .35π
D .310π
9.点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( ).
A
. B
. C
D
10
.直线1
12()x t
t y ?=+
????=-??为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点,则AB 的中点坐标为(
).
A .(3,3)- B
.( C
.3)- D
.(3,
11.若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t
?=?=?为参数上,则||PF 等于( ).
A .2
B .3
C .4
D .5
12.直线2()1x t
t y t =-+??=-?为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为( ).
A
B .1
404 C
D
13.参数方程()2()
t t t t x e e t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________. 14
.直线2()3x t y ?=-??=+??为参数上与点(2,3)A -
_______. 15.直线cos sin x t y t θθ=??=?与圆42cos 2sin x y αα=+??=?
相切,则θ=_______________. 16.设()y tx t =为参数,则圆2240x y y +-=的参数方程为____________________.
17
.求直线11:()5x t l t y =+???
=-??为参数
和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标,及点P 与(1,5)Q -的距离.
18.已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=
,
(1)写出直线l 的参数方程.
(2)设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ,求点P 到,A B 两点的距离之积.
19.分别在下列两种情况下,把参数方程1()cos 21()sin 2
t t t t x e e y e e θθ--?=+????=-??化为普通方程: (1)θ为参数,t 为常数;(2)t 为参数,θ为常数.
20.已知直线l 过定点3(3,)2P --与圆C :5cos ()5sin x y θθθ=??=?
为参数相交于A 、B 两点. 求:(1)若||8AB =,求直线l 的方程;
(2)若点3
(3,)2
P --为弦AB 的中点,求弦AB 的方程.