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贵阳清华中学数学二次函数中考真题汇编[解析版]

贵阳清华中学数学二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x

﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；

（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝1

x2﹣

x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值

为4；（3）Q的坐标为（5

，﹣

）或（﹣

，

）．

【解析】

【分析】

（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；

（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1

x2﹣

x﹣2），进而根据S

＝S△PHB+S△PHC＝1

PH?（x B﹣x C），进行计算即可求解；

（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．

【详解】

解：（1）对于直线y＝1

x﹣2，

令x＝0，则y＝﹣2，

令y＝0，即1

x﹣2＝0，解得：x＝4，

故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），

将点C的坐标代入上式并解得：a＝1

，

故抛物线的表达式为y＝

﹣

x﹣2①；

（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，

设点P（x，

x2﹣

x﹣2），则点H（x，

x﹣2），

S＝S△PHB+S△PHC＝

PH?（x B﹣x C）＝

×4×（

x﹣2﹣

x2+

x+2）＝﹣x2+4x，

∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；

（3）①当点Q在BC下方时，如图2，

延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，

则点C是RQ的中点，

在△BOC中，tan∠OBC＝

＝

＝tan∠ROC＝

，

则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22

(2)

x x

5＝BQ，

在△QRB中，S△RQB＝

×QR?BC＝

BR?QK，即

2x?2x＝

KQ5，

解得：KQ

∴sin∠RBQ＝

＝

，则tanRBH＝

，

在Rt△OBH中，OH＝OB?tan∠RBH＝4×4

＝

，则点H（0，﹣

），

由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为y＝4

（x﹣4）②，

联立①②并解得：x＝4（舍去）或5

，

当x＝5

时，y＝﹣

，故点Q（

，﹣

）；

②当点Q在BC上方时，

同理可得：点Q的坐标为（﹣11

，

）；

综上，点Q的坐标为（5

，﹣

）或（﹣

，

）．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．

2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）

（1）求该二次函数所对应的函数解析式；

（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；

（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF 92

；（3）M点坐标为可以为（2，

355

3）．

【解析】

【分析】

（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点

坐标代入求出a 的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．

（2）由题意可知点P 在二次函数图象上，坐标为（p ，p 2﹣4p+3）．又因为PF//y 轴，点F 在直线BC 上，P 的坐标为（p ，﹣p+3），在Rt △FPE 中，可得FE ＝2PF ，用纵坐标差的绝对值可求线段EF 的最大值．

（3）根据题意求△CBN 是直角三角形，分为∠CBN ＝90°和∠CNB ＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．【详解】

解：（1）设二次函数的解析式为y ＝a （x ﹣b ）（x ﹣c ），

∵y ＝ax 2+bx+与x 轴r 的两个交点A 、B 的坐标分别为（1，0）和（3，0）， ∴二次函数解析式：y ＝a （x ﹣1）（x ﹣3）．又∵点D （4，3）在二次函数上， ∴（4﹣3）×（4﹣1）a ＝3， ∴解得：a ＝1．

∴二次函数的解析式：y ＝（x ﹣1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣4x+3．（2）如图1所示．

因点P 在二次函数图象上，设P （p ，p 2﹣4p+3）． ∵y ＝x 2﹣4x+3与y 轴相交于点C ， ∴点C 的坐标为（0，3）．又∵点B 的坐标为B （3，0）， ∴OB ＝OC

∴△COB 为等腰直角三角形．又∵PF//y 轴，PE//x 轴， ∴△PEF 为等腰直角三角形． ∴EF 2PF ．

设一次函数的l BC 的表达式为y ＝kx+b ，又∵B （3，0）和C （0，3）在直线BC 上，

3k b b +=??

，解得：13k b =-??=?

，

∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3．

∴y F ＝﹣p+3．

FP ＝﹣p+3﹣（p 2﹣4p+3）＝﹣p 2+3p ． ∴EF ＝﹣2p 2+32p ． ∴线段EF 的最大值为，EF max ＝42-＝92

．（3）①如图2所示：

若∠CNB ＝90°时，点N 在抛物线上，作MN//y 轴，l//x 轴交y 轴于点E ， BF ⊥l 交l 于点F ．

设点N 的坐标为（m ，m 2﹣4m+3），则点M 的坐标为（m ，3）， ∵C 、D 两点的坐标为（0，3）和（4，3）， ∴CD ∥x 轴．

又∵∠CNE ＝∠NBF ，∠CEN ＝∠NFB ＝90°， ∴△CNE ∽△NBF ． ∴

CE NE ＝NF

，又∵CE ＝﹣m 2+4m ，NE ＝m ；NF ＝3﹣m ，BF ＝﹣m 2+4m ﹣3，

∴24m m

-+＝2343m m m --+-，

化简得：m 2﹣5m+5＝0．解得：m 155+m 255-

∴M 点坐标为（

552

+，3）或（552-，3）

②如图3所示：

当∠CBN＝90°时，过B作BG⊥CD，

∵∠NBF＝∠CBG，∠NFB＝∠BGC＝90°，∴△BFN∽△CGB．

∵△BFN为等腰直角三角形，

∴BF＝FN，

∴0﹣（m2﹣4m+3）＝3﹣m．

∴化简得，m2﹣5m+6＝0．

解得，m＝2或m＝3（舍去）

∴M点坐标为，（2，3）．

综上所述，满足题意的M点坐标为可以为（2，3），（55

，3），（

，3）．

【点睛】

本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．

3．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+2x+b经过点B．

（1）该抛物线的函数解析式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M'．

①写出点M'的坐标；

②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l'，当直线l′与直线AM'重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l'与线段BM'交于点C，设点B，M'到直线l'的距离分别为d1，d2，当

d1+d2最大时，求直线l'旋转的角度（即∠BAC的度数）．

【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）2

1525228

S m ??=--+ ??? ，258；（3）

①57,24M ??

???

；②45° 【解析】【分析】

（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值．

（2）设M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），然后根据面积关系将△ABM 的面积进行转化．

（3）①由（2）可知m ＝5

，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值． ②可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值．【详解】

（1）令x ＝0代入y ＝﹣3x+3， ∴y ＝3， ∴B （0，3），

把B （0，3）代入y ＝﹣x 2+2x+b 并解得：b ＝3， ∴二次函数解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3．（2）令y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x+3，

∴0＝﹣x 2+2x+3， ∴x ＝﹣1或3，

∴抛物线与x 轴的交点横坐标为-1和3，

∵M在抛物线上，且在第一象限内，

∴0＜m＜3，

令y＝0代入y＝﹣3x+3，

∴x＝1，

∴A的坐标为（1，0），

由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB

＝1

×m×3+

×1×（-m2+2m+3）-

×1×3

＝﹣1

（m﹣

）2+

，

∴当m＝5

时，S取得最大值

．

（3）①由（2）可知：M′的坐标为（5

，

）．

②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，

根据题意知：d1+d2＝BF，

此时只要求出BF的最大值即可，

∵∠BFM′＝90 ，

∴点F在以BM′为直径的圆上，

设直线AM′与该圆相交于点H，

∵点C在线段BM′上，

∴F在优弧'

BM H上，

∴当F与M′重合时，

BF可取得最大值，

此时BM′⊥l1，

∵A（1，0），B（0，3），M′（5

，

），

∴由勾股定理可求得：AB ＝10，M′B ＝55

，M′A ＝854

，过点M′作M′G ⊥AB 于点G ，设BG ＝x ，

∴由勾股定理可得：M′B 2﹣BG 2＝M′A 2﹣AG 2， ∴

8516

﹣（10﹣x ）2＝125

16﹣x 2，

∴x ＝

510

， cos ∠M′BG ＝

'BG BM ＝2

，∠M′BG= 45? 此时图像如下所示，

∵l 1∥l′，F 与M′重合，BF ⊥l 1 ∴∠B M′P=∠BCA ＝90?，又∵∠M′BG=∠CBA= 45? ∴∠BAC ＝45?．【点睛】

本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．

4．如图1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,442D AB =,(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点

F 旋转180?，得到新的抛物线'C ．

()1求抛物线C 的函数表达式:

()2若抛物线'C 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． ()3如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线

'C 上的对应点P'，设M 是C 上的动点，N 是'C 上的动点，试探究四边形'PMP N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．

【答案】()12

142

y x =-+；()2222m <<()3四边形'PMP N 可以为正方形，6m =

【解析】【分析】

（1）由题意得出A,B 坐标，并代入,,A B D 坐标利用待定系数法求出抛物线C 的函数表达式；

（2）根据题意分别求出当C '过点()0,4D 时m 的值以及当C '过点()22,0B 时m 的值，并以此进行分析求得；

（3）由题意设(),P n n ，代入解出n ，并作HK OF ⊥，PH

HK ⊥于H ，利用正方形性

质以及全等三角形性质得出M 为()2,2m m --，将M 代入2

1: 42

C y x =-+即可求得答案. 【详解】解：()

142AB =

()

, 22,0)2,0(2A B ∴-

将,,A B D 三点代入得2

y ax bx c =++

8220.

a b c

?-+=

++=

解得

y x

∴=-+；

()2如图2

C y x

=-+．

关于(),0

F m对称的抛物线为

()2

:24

C y x m

'=--

当C'过点()

0,4

D时有()2

4024

=--

解得:2

当C'过点()

2,0

B时有()2

02224

=-解得:22

222

∴<<；

()3四边形'

PMP N可以为正方形

由题意设(),

P n n，

P是抛物线C第一象限上的点

n n

∴-+=

解得:12

2,2

n n

==-(舍去)即()

2,2

如图作HK OF

⊥，PH HK

⊥于H，

MK HK ⊥于K

四边形PMP N '为正方形易证

PHK FKM ≌

2FK HP m ∴==-

2MK HF ==

M ∴为()2,2m m --

∴将M 代入21: 42

C y x =-+得

()2

12242

m m -=-

-+ 解得:126,0m m ==(舍去)

∴当6m =时四边形PMP N ''为正方形.

【点睛】

本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.

5．如图，在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y = ax 2+ bx + c 经过A 、B 、C 三点，已知点A （-3，0），B （0，3），C （1，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD ⊥AB 于点D ．动点P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标；

（3）在直线x = -2上是否存在点M ，使得∠MAC = 2∠MCA ，若存在，求出M 点坐标．若不存在，说明理由．

【答案】（1）y=-x 2-2x+3；（

2）点（-

32，15

），△PDE 的周长最大；（3）点M （-2，3）或（-2，-3）．

【解析】【分析】

（1）将A 、B 、C 三点代入，利用待定系数法求解析式；

（2）根据坐标发现，△AOB 是等腰直角三角形，故只需使得PD 越大，则△PDE 的周长越大.联立直线AB 与抛物线的解析式可得交点P 坐标；

（3）作点A 关于直线x=-2的对称点D ，利用∠MAC = 2∠MCA 可推导得MD=CD ，进而求得ME 的长度，从而得出M 坐标【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），B （0，3），C （1，0），

∴93030

a b c c a b c -+=??=??++=?

，解得：1

23a b c =-??

=-??=?，

所以，抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3；（2）∵A （-3，0），B （0，3），

∴OA=OB=3，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°， ∵PF ⊥x 轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，又∵PD ⊥AB ，∴△PDE 是等腰直角三角形，

∴PD 越大，△PDE 的周长越大，易得直线AB 的解析式为y=x+3，设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ，

联立2

y x m

y x x =+??=--+?，消掉y 得，x 2+3x+m-3=0，当△=9-4（m-3）=0，即m=21

时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长，此时x=-32，y=15

4，∴点（-32

，154），△PDE 的周长最大；

（3）设直线x=-2与x 轴交于点E ，作点A 关于直线x=-2的对称点D ，则D （-1，0），连接MA ，MD ，MC ．

∴MA=MD ，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ， ∴∠CMD=∠DCM

∴MD=CD=2

， ∴ME=3 ∴点M （-2，3）或（-2，-3）．【点睛】

本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析

6．如图，抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(?1，0)，B(4，0)，交y 轴于点C ；（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；

（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC =2

S △ABD ?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长.

【答案】（1）213

222

y x x =-++（2）存在，D （1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）10 【解析】【分析】

（1）由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由条件可求得点D 到x 轴的距离，即可求得D 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D 点坐标；

（3）由条件可证得BC ⊥AC ，设直线AC 和BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，则可得BF=BC ，利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标，则可求得BE 的长．【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0），B （4，0），

∴2016420a b a b -+=??++=?，解得：12

32a b ?

=-????=??

，

∴抛物线解析式为：213

222

y x x =-

++；（2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0），

∴AB=5，OC=2，

∴S △ABC =12AB?OC=12×5×2=5， ∵S △ABC =2

3S △ABD ，

∴S △ABD =315

522

?=，

设D （x ，y ）， ∴11155222

AB y y ?=??=，解得：3y =；当3y =时，213

2322

y x x =-

++=，解得：1x =或2x =，

∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）；当3y =-时，213

2322

y x x =-

++=-，解得：5x =或2x =-（舍去）， ∴点D 的坐标为：（5，-3）；

综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，

∴22125AC =+=,222425BC =+=， ∴222AC BC AB +=，

∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，

如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，

由题意可知∠FBC=45°， ∴∠CFB=45°， ∴25CF BC ==

∴

AO AC OM CF =

，即1OM = 解得：2OM =， ∴

OC AC FM AF =

，即2FM = 解得：6FM =，

∴点F 为（2，6），且B 为（4，0），设直线BE 解析式为y=kx+m ，则

2640k m k m +=??

+=?，解得3

12k m =-??=?

， ∴直线BE 解析式为：312y x =-+；

联立直线BE 和抛物线解析式可得：

231213

222y x y x x =-+??

?=-++??

，解得：40x y =??=?

或53x y =??=-?，

∴点E 坐标为：(5,3)-，

∴BE == 【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D 点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．

7．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．（1）若b ＝1，a ＝﹣

c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点；（2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围；（3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1?y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323

b a <-< 【解析】【分析】

（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论；

（2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；

（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1?y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案．【详解】

解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0）， ∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0 ∵b ＝1，a ＝﹣

c ， ∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣1

c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，

∴1+2c 2＞0，即△＞0，

∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点；（2）∵a ＜0，c ＝0，

∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下，又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，

∴顶点纵坐标2

14b a

-≤，

∴﹣b 2≥4a ， ∴4a+b 2≤0；

（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ）， ∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1?y 2＞0， ∴c （a+b+c ）＞0， ∴6c （6a+6b+6c ）＞0，

∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0， ∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0， ∵a≠0，则9a 2＞0， ∴两边同除以9a 2得，

()()033

b b a a ++<， ∴203403b a b a ?+??或203403

b a b a ?+>????+

∴42

b a -

<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12

323

b a <-<．【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

8．如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．

①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；

②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，9

；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2)

【解析】

【分析】

（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）①根据PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣3

）2+

即可求解；

②分PM＝PC、PM＝MC两种情况，分别求解即可．

【详解】

解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），

将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：

930

b c

++=

，

解得：

2 c

，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），

①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣3

）2+

，

∵﹣1＜0，故PM 有最大值，当x ＝32时，PM 最大值为：94

； ②存在，理由：

PM 2＝（x ﹣3﹣x 2+2x+3）2＝（﹣x 2+3x ）2； PC 2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2； MC 2＝（x ﹣3+3）2+x 2；

（Ⅰ）当PM ＝PC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2，解得：x ＝0或2（舍去0），故x ＝2，故点P （2，﹣3）；

（Ⅱ）当PM ＝MC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝（x ﹣3+3）2+x 2，解得：x ＝0或3±2（舍去0和3+2），故x ＝3﹣2，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣42，故点P （3﹣2，2﹣42）．

综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3﹣2，2﹣42)．【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．

9．如图，已知抛物2

(0)y ax bx c a =++≠经过点,A B ，与y 轴负半轴交于点C ，且

OC OB =，其中B 点坐标为(3,0)，对称轴l 为直线1

x =

． (1)求抛物线的解析式；

(2) 在x 轴上方有一点P ，连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠，记PBC ?的面积为S ，求当10.5S =时点P 的坐标

(3)在(2)的条件下，当点P 恰好落在抛物线上时，将直线BC 上下平移，平移后的

10.5S =时点P 的坐标；直线y x t =+与抛物线交于,C B ''两点(C '在B '的左侧)，若以点

,,C B P ''为顶点的三角形是直角三角形，求出t 的值．

【答案】（1）211

322

y x x =--（2）(2,6)（3）19或32 【解析】【分析】

（1）确定点A 的坐标，再进行待定系数法即可得出结论；

（2）确定直线AP 的解析式，用m 表示点P 的坐标，由面积关系求S 和m 的函数关系式即可求解；

（3）先确定点P 的坐标，当'''90B PC ∠=，利用根与系数的关系确定'''B C 的中点E 的坐标，利用''2B C PE =建立方程求解，当''''90PC B ∠=时，确定点G 的坐标，进而求出直线''C G 的解析式，得出点''C 的坐标即可得出结论．【详解】

（1）∵OC OB =，且B 点坐标为(3,0)， ∴C 点坐标为(0,3)-．

设抛物线解析式为2

()2

y a x k =-+．

将B 、C 两点坐标代入得2504

134a k a k ?

=+????-=+??，解得12258a k ?=????=-

．

∴抛物线解析式为22112511

()-322822

y x x x =

-=--．（2）如图1，设AP 与y 轴交于点'C ．

∵PAB CAB ∠=∠，OA OA =，90AOC AOC ∠'=∠=?， ∴AOC ?≌AOC ?'， ∴3OC OC ='=， ∴(0,3)C '． ∵对称轴l 为直线12

x =， ∴(2,0)A -， ∴直线AP 解析式为3

y x =+， ∵(3,0)B ，(0,-3)C ， ∴直线BC 解析式为-3y x =， ∴31

3(3)622PF x x x =

+--=+， ∴13

924

PBC S OB PF x ?=

??=+，

2018年中考数学真题汇编：二次函数(含答案)

中考数学真题汇编:二次函数一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.

【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1）【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④ （为实数）；⑤当时，，其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A

北京国子监中学数学二次函数中考真题汇编[解析版]

北京国子监中学数学二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为 2 4 ；（3）M点坐标为可以为（2， 3），（55 2 + ，3），（ 55 2 - ，3）．【解析】【分析】（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c）， ∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0）， ∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．又∵点D（4，3）在二次函数上， ∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3， ∴解得：a＝1． ∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．

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一元二次函数中考试题选编

一元二次函数综合练习题 1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是A ．0c > B ．20a b += C ．2 40b ac -> D ．0a b c -+> 2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；② 1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（） A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤ 第2题第3题第题 3、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是（） A ．0