2019年吉林省长春市中考数学试题(原卷+解析)
2019年吉林省长春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．【分析】根据绝对值的定义即可得到结论．
【解答】解：数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是2，
故选：B．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将275000000用科学记数法表示为：2.75×108．
故选：C．
3．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形．
故选：A．
4．【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出x的取值．
【解答】解：移项得：﹣x≥﹣2
系数化为1得：x≤2．
故选：D．
5．【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
【解答】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：
．
故选：D．
6．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinα＝＝，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，
故BC＝3sinα（m）．
故选：A．
7．【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由
线段的中垂线的性质可得答案．
【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
8．【分析】根据A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）可知OA＝OC＝3，进而可求出AC，由AC＝2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k 的值．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0），
∴OA＝OC＝3，
在Rt△AOC中，AC＝，
又∵AC＝2BC，
∴BC＝，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，
∴CD＝BD＝＝，
∴OD＝3+＝
∴B（，）代入y＝得：k＝，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．【分析】直接合并同类二次根式即可求解．
【解答】解：原式＝2．
故答案为：2．
10．【分析】直接提取公因式b，进而分解因式即可．
【解答】解：ab+2b＝b（a+2）．
故答案为：b（a+2）．
11．【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5，
故答案为：5．
12．【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABD的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵直线MN∥PQ，
∴∠MAB＝∠ABD＝33°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CDB＝90°﹣33°＝57°．
故答案为：57．
13．【分析】根据折叠的性质得到∠DAF＝∠BAF＝45°，根据矩形的性质得到FC＝ED＝2，根据勾股定理求出GF，根据周长公式计算即可．
【解答】解：由折叠的性质可知，∠DAF＝∠BAF＝45°，
∴AE＝AD＝6，
∴EB＝AB﹣AE＝2，
由题意得，四边形EFCB为矩形，
∴FC＝ED＝2，
∵AB∥FC，
∴∠GFC＝∠A＝45°，
∴GC＝FC＝2，
由勾股定理得，GF＝＝2，
则△GCF的周长＝GC+FC+GF＝4+2，
故答案为：4+2．
14．【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，
利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP 的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1
∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4，）
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）
将点P（1，）代入得＝k
∴y＝（）x
将点B（4，）代入得＝（）×4
解得a＝2
故答案为：2．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a
＝8a+1，
当a＝时，原式＝8a+1＝2．
16．【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，
∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为．
17．【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，由题意列出方程：﹣
＝5，解方程即可．
【解答】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，
由题意得：﹣＝5，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意；
答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套．
18．【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，得到∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，根据余角的性质得到∠EBF＝∠BAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接OF，根据三角形的内角和得到∠BAE＝90°﹣55°＝35°，根据圆周角定理得到∠BOF＝2∠BAE＝70°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠BAF，
在△ABE与△BCG中，，
∴△ABE≌△BCG（ASA）；
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．
19．【分析】（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数；
（2）由平均数乘以18即可；
（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可．
【解答】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，
2.5，2.5，2.8，3，
3.1，3.3，3.3，3.5，4，
∴中位数m的值为＝2.5，众数n为2.5；
故答案为：2.5，2.5；
（2）2.4×18＝43.2（小时），
答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．（3）200×＝130（人），
答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人．20．【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；
（2）直接利用三角形面积求法得出答案；
（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．
【解答】解：（1）如图①所示，△ABM即为所求；
（2）如图②所示，△CDN即为所求；
（3）如图③所示，四边形EFGH即为所求；
21．【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a、b的值；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）求出甲车到达距B地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．
【解答】解：（1）乙车的速度为：（270﹣60×2）÷2＝75千米/时，
a＝270÷75＝3.6，b＝270÷60＝4.5．
故答案为：75；3.6；4.5；
（2）60×3.6＝216（千米），
当2＜x≤3.6时，设y＝k1x+b1，根据题意得：
，解得，
∴y＝135x﹣270（2＜x≤3.6）；
当3.6＜x≤4.6时，设y＝60x，
∴；
（3）甲车到达距B地70千米处时行驶的时间为：（270﹣70）÷60＝（小时），此时甲、乙两车之间的路程为：135×﹣270＝180（千米）．
答：当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．
22．【分析】教材呈现：如图①，连结ED．根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DE＝AC，那么△DEG∽△ACG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明＝＝；
结论应用：（1）如图②．先证明△BEF∽△DAF，得出BF＝DF，那么BF＝BD，又BO＝BD，可得OF＝OB﹣BF＝BD，由正方形的性质求出BD＝6，即可求出OF ＝；
（2）如图③，连接OE．由（1）易证＝2．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，
那么△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，所以△BOC的面积＝，进而求出?ABCD的面积＝4×＝6．
【解答】教材呈现：
证明：如图①，连结ED．
∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴＝＝＝2，
∴＝＝3，
∴＝＝；
结论应用：
（1）解：如图②．
∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，
∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，
∴△BEF∽△DAF，
∴＝＝，
∴BF＝DF，
∴BF＝BD，
∵BO＝BD，
∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，
∵正方形ABCD中，AB＝6，
∴BD＝6，
∴OF＝．
故答案为；
（2）解：如图③，连接OE．
由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，
∴＝2．
∵△BEF与△OEF的高相同，
∴△BEF与△OEF的面积比＝＝2，
同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，
∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，∴△BOC的面积＝，
∴?ABCD的面积＝4×＝6．
故答案为6．
23．【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算AB的长，根据三角函数即可计算出PN．（2）当?PQMN为矩形时，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得，即可计算出t的值．
（3）当?PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．?PQMN在三角形内部时，Ⅱ．?PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．（4）当过点P且平行于BC的直线经过?PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过MN 的中点，Ⅱ．过QM的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．
∴AB＝＝＝25．
∴，
由题可知AP＝5t，
∴PN＝AP?sin∠CAB＝＝3t．
故答案为：①25；②3t．
（2）当?PQMN为矩形时，∠NPQ＝90°，
∵PN⊥AB，
∴PQ∥AB，
∴，
由题意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t，
∴，
解得t＝，
即当?PQMN为矩形时t＝．
（3）当?PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，
Ⅰ．如解图（3）1所示．?PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，
由（1）题可知：cos A＝sin B＝，cos B＝，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t．
∴AN＝AP?cos A＝4t，BG＝BQ?cos B＝9﹣3t，QG＝BQ?sin B＝12﹣4t，
∵．?PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG，
∴0＜3t≤12﹣4t，
∴0＜t．
∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t．
∴当0＜t时，?PQMN与△ABC重叠部分图形为?PQMN，S与t之间的函数关系式为S＝PN?NG＝3t?（16﹣t）＝﹣3t2+48t．
Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，?PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG 时，
即：0＜12﹣4t＜3t，解得：，
?PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG的面积S＝＝
＝．
综上所述：当0＜t时，S＝﹣3t2+48t．当，S＝．
（4）当过点P且平行于BC的直线经过?PQMN一边中点时，有两种情况，
Ⅰ．如解题图（4）1，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MN中点，过R点作RH⊥AB，∴∠PKN＝∠HKR＝∠B，
NK＝PN?cot∠PKN＝3t＝，
∵NR＝MR，HR∥PN∥QM，
∴NH＝GH＝，HR＝，
∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t）＝7t﹣12．HR＝．
∴KH＝HR?cot∠HKR＝＝，
∵NK+KH＝NH，
∴，
解得：t＝，
Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作QH⊥PR，
∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形PCQH为矩形，
∴HQ＝QR?sin∠QRH＝
∵PC＝20﹣5t，
∴20﹣5t＝，解得t＝．
综上所述：当t＝或时，点P且平行于BC的直线经过?PQMN一边中点时，
24．【分析】（1）①将P（4，b）代入y＝﹣x2+x+；②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；当x＜5时，当x＝时有最大值为；故函数的最大值为；
（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，得到n＝，所以＜n≤4时，图象与线
段AB只有一个交点；将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n和y＝﹣x2+x+中，得到n ＝2，n＝，
所以2≤n＜时图象与线段AB只有一个交点；
（3）当x＝n时，＞4，得到n＞8；当x＝时，+≤4，得到n≥，当x＝n时，y＝﹣n2+n2+n＝n，n＜4．
【解答】解：（1）当n＝5时，
y＝，
①将P（4，b）代入y＝﹣x2+x+，
∴b＝；
②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；
当x＜5时，当x＝时有最大值为；
∴函数的最大值为；
（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，
∴n＝，
∴＜n≤4时，图象与线段AB只有一个交点；
将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，
∴n＝2，
将点（2，2）代入y＝﹣x2+x+中，
∴n＝，
∴2≤n＜时图象与线段AB只有一个交点；
综上所述：＜n≤4，2≤n＜时，图象与线段AB只有一个交点；
（3）当x＝n时，y＝﹣n2+n2+＝，
＞4，∴n＞8；
当x＝时，y＝+，
+≤4，∴n≥，
当x＝n时，y＝﹣n2+n2+n＝n，
n＜4；
∴函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n＞8或n≤＜4．