2018高二数学竞赛试题
2018年淅川二高二年级数学竞赛试题
一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b
；④
ln
>ln
.其中正确的不等式的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
2．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，
a =2，c =2，则B = ( )
A ．
π
12
B ．π6
C ．π4
D ．π3
3．当42
x ππ
≤<时，函数x x
x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为
（ ）
A ．2
B ．32
C ．4
D ．5
4.若{}n a 是等差数列，首项110071008100710080,0,0,a a a a a >?<+>则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是( )
A ．2 012
B ．2 013
C ．2 014
D ．2 015 5. 设集合则
A. 对任意实数a ，
B. 对任意实数a ，（2，1）
C. 当且仅当a<0时，（2，1）
D. 当且仅当
时，（2，1）
6. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则
S 3a 3与S 5
a 5
的大小关系为________． 8．已知,,a b c 分别为ABC ?的三个角,,A B C 的对边，a ＝2，且
(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 ．
三、解答题：每题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9. （本小题满分15分)
已知数列满足
，，设．
（1）求
；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求
的通项公式．
10.（本小题满分15分)
已知中国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元.设公司一年共生产该款手机 x 万部并全部销量完，每万部的销售收入为
()R x 万元，且2
4006,040
()
740040000,40
x x R x x x x (1)写出年利润 W （万元）关于年产量 x （万部）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利
润.
11.（本小题满分15分）
ABC △的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =
（I ）求C ； （II ）若7,c ABC △=
的面积为
33
2
，求ABC △的周长． 12（本小题满分15分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a S -=+ (2)n ≥，12a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n
n a b 2log 1
=
，n n n n b b b T 221+++=++ ，是否存在最大的正整数k ，使得对
于任意的正整数n ，有12
k
T n >
恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
四、附加题，每题10分，计入总分。
13.解下列不等式：
ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 14.（本小题13分）
设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???， 其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数．
（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，
n
c M n
>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列．
2018年淅川二高二年级数学竞赛试题答
一、1.C 2. A 3. D 4.C 5.D 6.A
1.解析：选C 法一：因为1a <1
b
<0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，
所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所
述，
可排除A 、B 、D ，故选C.
法二：由1a <1
b
<0，可知b ①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以 1a ＋b <1 ab ，故①正确； ②中，因为b －a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b －1b >0，所以a －1a >b －1 b ，故③正确； ④中，因为b a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③ 正确。 5.【答案】D 【解析】分析：求出 及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解. 详解：若 ，则 且 ，即若，则， 此命题的逆否命题为：若 ，则有 ，故选D. 点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设 ，若，则；若，则，当一个问题从正面思考 很难入手时，可以考虑其逆否命题形式. 6.【答案】A 【解析】分析：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体中， 平面与线所成的角是相等的， 所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的， 且过棱的中点的正六边形，且边长为， 所以其面积为 ，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果. 二、7．解析：当q ＝1时， S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5 a 5 . 当q ＞0且q ≠1时， S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q ) ＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4 ＜0， 所以S 3a 3＜S 5a 5 . 综上可知S 3a 3＜S 5 a 5. 答案：S 3a 3＜S 5 a 5 8．3 ( 2014) 三、9. 详解：（1）由条件可得a n +1= ． 将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12． 从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．……5分 （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得 ，即b n +1=2b n ， 又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列…5分 （3）由（2）可得，所以a n =n ·2n -1．……5分 10.（本小题满分15分) 解：（1）当 0 40x 时，2()(1640) 638440W xR x x x x ……2分 当 40x 时， 40000 ()(1640) 167360W xR x x x x …4分 所以2638440,040 40000 167360,40x x x W x x x …………7分 （2）①当 040x 时，26(32)6104W x ，所max (32)6104W W ；…8分 ②当 40x 时， 40000 ()(1640) 167360W xR x x x x ， 由于 4000040000 162161600x x x x ， 当且仅当 40000 16x x ，即 50(40,)x 时，等号成立 …13分 所以 W 取最大值为5760． …………14分 综合①②知，当 32x 时， W 取得最大值6104万元． …………15分 11.试题解析：（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =， ()2cosCsin sinC A+B =． 故2sinCcosC sinC =． 可得1cosC 2= ，所以C 3 π =． 12．（本小题满分15分） 解：（1）由已知a n =S n ﹣1+2，① a n+1=S n +2，② ②﹣①，得a n+1﹣a n =S n ﹣S n ﹣1 （n ≥2）， ∴a n+1=2a n （n ≥2）． 又a 1=2，∴a 2=a 1+2=4=2a 1， ∴a n+1=2a n （n=1，2，3，…） ∴数列{a n }是一个以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n =2?2n ﹣1=2n ．………………………………6分 （2）b n = = =， ∴T n =b n+1+b n+2+…+b 2n =++…+， T n+1=b n+2+b n+3+…+b 2（n+1） = + +…+++． ∴T n+1﹣T n = + ﹣ = = ． ∵n 是正整数，∴T n+1﹣T n ＞0，即T n+1＞T n ． ∴数列{T n }是一个单调递增数列， 又T 1=b 2=，∴T n ≥T 1=， 要使T n ＞ 恒成立，则有＞ ，即k ＜6……………15分 四、附加题，每题10分 13. 原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ? ?? ?? x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a <1时，解为1 a ＜x ＜1； 当a ＝1时，解集为?； 当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1 a . 综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为???? ?? x ??? 1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为?； 当a ＞1时，不等式的解集为???? ?? x ??? 1a ＜x ＜1. 14.【解析】 （Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则 12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--. 所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->?=? -≤?当时，当时， ① 10d >时，取正整数2 1 d m d > ，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,, m m m c c c ++是等差数列. ② 10d =时，对任意1n ≥， 1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}). n c b a n n d b a n d a =-+-=-+-- 此时，123,,,,, n c c c c 是等差数列. ③ 10d <时， 当2 1 d n d > 时，有12nd d <. 所以 1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n -+---==-+-++ 111212()||.n d d a d b d ≥-+-+-- 对任意正数M ，取正整数121122 11 ||max{ ,}M b d a d d d m d d +-+-->-， 故当时， n c M n >. 20. 设n 为正整数，集合A =．对于集合A 中的任意元 素和 ，记 M （）= ． （Ⅰ）当n =3时，若，，求M （）和M （）的值； （Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素，当相同时，M （）是奇数；当不同时，M （）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值； （Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素， M （）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由． 详解：解：（Ⅰ）因为α=（1，1，0），β=（0，1，1），所以 M (α，α)= [(1+1?|1?1|)+(1+1?|1?1|)+(0+0?|0?0|)]=2， M (α，β）= [(1+0–|1?0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1． （Ⅱ）设α=（x 1，x 2，x 3，x 4）∈B ，则M (α，α）= x 1+x 2+x 3+x 4． 由题意知x 1，x 2，x 3，x 4∈{0，1}，且M (α，α)为奇数， 所以x 1，x 2，x 3，x 4中1的个数为1或3． 所以B {(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}. 将上述集合中的元素分成如下四组：