高一数学导学案教案-柯西不等式
本讲将讨论竞赛中除均值不等式之外最重要的不等式：柯西不等式.其形式如下： 设,,1,2,,i i a b i n ∈∈=???R R ，则2221
1
1
()n
n
n
i
i
i i i i i a b a b ===?≥∑∑∑，
其展开形式即：
222222
212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++???+++???+≥++???+
等号当且仅当i i a b λ=（1,2,,i n =???，λ为常数）时成立.
这个不等式在初等数学与近代数学中都有非常重要的地位，在竞赛中也常常出现.
竞赛中一般的不等式问题是直接应用上述的柯西不等式，但有些题目也需要我们主动构造，即题目中只出现一个平方和：2
21
211()n
i i n
i i n
i i
i a b a b
===≥
∑∑∑；这时我们可以根据具体问题的需要，添加合适的12,,,n b b b ???.
下述的变形形式也常常用到：2
211
1
()n
i n
i
i n
i i
i
i a a b b
===≥∑∑
∑.
事实上柯西不等式还有加权形式与反向柯西不等式，但是竞赛中用的极少，本讲不涉及.也就是说本讲只涉及利用上述基本的柯西不等式来解决的问题以及部分还涉及到均值不等式的综合性问题.
第4讲 柯西不等式
4.1柯西不等式
【例1】 已知,,1,2,,i i a b i n ∈∈=???R R ，证明柯西不等式：
222222
212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++???+++???+≥++???+
【例2】 ⑴设*
i a ∈R ，1,2,,i n =???，则211
1
n n
i i i i
a n a ==?≥∑∑
；
⑵设*,,a b c ∈R ，且1a b c ++=，则222111100
()()()3
a b c a b c +++++≥；
并尝试将其推广到一般形式.
【例3】 三角形三边a,b,c 上高分别记为,,a b c h h h ，内切圆半径记为r ，如果9a b c h h h r ++=，求证：此
三角形为等边三角形.
【例4】 设*
,1,2,,i a i n ∈=???N ，且互不相同，则2111
n
n
k k k a k k
==≥∑∑.
【例5】 已知实数,,,,a b c d e 满足
22222
8
16a b c d e a b c d e ++++=??++++=?
试确定e 的最大值.
【例6】 设三角形三边为a,b,c ，面积为S ，试证明外森比克不等式：222a b c ++≥.
【例7】 ⑴设三个正实数,,a b c 满足条件2222444()2()a b c a b c ++>++，
求证：,,a b c 一定是某个三角形的三条边长.
⑵设n 个正实数12,,,n a a a ???满足不等式222244412
12()(1)()n n a a a n a a a ++???+>-++???+， 其中3n >，求证：12{,,,}n a a a ???中任何三个数一定是某个三角形的三条边长.
【例8】 设,,0a b c >且1abc =，试证：3
331113
()()()2
a b c b a c c a b ++≥+++.
【例9】 已知*n ∈N ，且2n ≥，求证：41111117234212n n <-+-+???+-<
-
【例10】 （*选讲）设正实数12,,,n a a a ???，满足121n a a a ++???+=，求证：
121
2231222223311()()1
n n a a a n
a a a a a a a a a a a a n ++???+++???+≥
++++
【演练1】设0,0,0a b c ≥≥≥，且3a b c ++≤，求证：2223111
1112111a b c a b c a b c
++≤≤++
++++++.
实战演练
【演练2】设12,,,n x x x ???为正实数，证明：12
22222
11212
111n x x x x x x x x ++???+<+++++???+
【演练3】已知正实数c b a ,,满足1ab bc ca ++=
2
<. 提示：可代换：tan
,tan ,tan 222
A B C a b c ===， 由tan
tan tan tan tan tan 1222222
A B B C C A
?+?+?=知A,B,C 是三角形内角， 在三角形中有不等式3
cos cos cos 2
A B C ++≤
（以后会证明）.
【演练4】设+∈R d c b a ,,,，证明：2
232323233
a b c d b c d c d a d a b a b c +++≥++++++++.