2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第8章 第6讲 空间向量及其运算 Word版含解析

第6讲 空间向量及其运算

最新考纲 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

知 识 梳 理

1.空间向量的有关概念

(1)共线向量定理

空间两个向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa .

推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是OP

→＝OA →＋t a ①

其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →

＝OA

→＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →

或OP

→＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝1. (3)空间向量基本定理

如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，空间中不共面的三个向量e 1，e 2，e 3叫作这个空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角

已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA

→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做

向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π

2，则称a

与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)空间中任意两非零向量a ，b 共面( )

(2)对任意两个空间向量a ，b ，若a·b ＝0，则a ⊥b ( )

(3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量( ) (4)若a·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角( )

解析 对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a ，b ，c 中有一个是0，则a ，b ，c 共面，所以(3)不正确；对于(4)，若〈a ，b 〉＝π，则a ·b <0，故(4)不正确.

答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.在空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A.垂直 B.平行

C.异面

D.相交但不垂直

解析 由题意得，AB

→＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)， ∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点. ∴AB ∥CD . 答案 B

3.(选修2－1P97A2改编)如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB

→＝a ，AD →＝b ，AA →

1＝c ，则下列向量中与BM →

相等的向量是(

)

A.－12a ＋1

2b ＋c B.12a ＋1

2b ＋c C.－12a －1

2b ＋c

D.12a －1

2b ＋c

解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB →1＋B 1M →＝AA →1＋12(AD →

－AB →

)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c . 答案 A

4.已知a ＝(2，3，1)，b ＝(－4，2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________. 解析 a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0，∴x ＝2，∴|b |＝（－4）2＋22＋22＝2 6.

答案 2 6

5.O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP

→＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________.

解析 ∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝1

8. 答案 18

6.(2017·浙江三市十二校联考)已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ＝________；y ＝________.

解析 由题意知a ∥b ，则x 1＝x 2

＋y －22

＝y

3，可得

把①代入②得x 2＋x －2＝0，解得x ＝－2或x ＝1. 当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.

当时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，向量a 与b 反向，不符合题意，

故舍去.

当时，b ＝(1，2，3)＝a ，向量a 与b 同向，故

答案 1 3

考点一 空间向量的线性运算

【例1】 如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)MP →＋NC 1

→.

解 (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →

＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋1

2b .

(2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP → ＝12A 1A →＋AP →

＝－12a ＋? ?

???a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1

→

＝12AD →＋AA 1→ ＝1

2

c ＋a ， 所以MP →＋NC 1→＝? ????12a ＋12b ＋c ＋? ????a ＋12c ＝32a ＋12b ＋3

2c .

规律方法 (1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.

(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.

提醒 空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.