定积分习题及讲解
第四部分 定积分
[选择题]
容易题1—36，中等题37—86，难题87—117。
1．积分中值定理?-=b
a a
b f dx x f ))(()(ξ，其中（ ）
。 (A) ξ是],[b a 任一点；
(B). ξ是],[b a 必定存在的某一点； (C). ξ是],[b a 唯一的某一点； (D). ξ是],[b a 的中点。
答B
2．???????=≠?=0
,0,)()(2
x c
x x dt t tf x F x
,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ）
。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c . 答A
3．a dx x
x I a
n n
n (,1sin lim ?=+∞→为常数）由积分中值定理得?=+a n n a dx x x ξξ1sin 1sin ，则
=I （ ）。
(A)a
a a a a
n 1sin
1
sin
lim 1
sin
lim 2==→∞
→ξ
ξξ
ξξ; (B).01
sin
lim 0
=→ξ
ξa ;
(C).a a =∞
→ξ
ξξ1
sin
lim ;
(D).∞=∞
→ξ
ξξ1
sin
lim a .
答C
4．设)(x f 在],[b a 连续，?=x
a dt t f x )()(?，则（ ）
。 (A).)(x ?是)(x f 在],[b a 上的一个原函数； (B). )(x f 是)(x ?的一个原函数;
(C). )(x ?是)(x f 在],[b a 上唯一的原函数; (D).)(x f 是)(x ?在],[b a 上唯一的原函数.
答A
5．设0)(=?b a dx x f 且)(x f 在],[b a 连续，则（ ）
。 (A).0)(≡x f ;
(B).必存在x 使0)(=x f ；
(C).存在唯一的一点x 使0)(=x f ； (D).不一定存在点x 使 0)(=x f 。
答B
6．设?=a dx x f x I 023)( (0.>a ), 则（ ）。 (A).?=2
0)(a dx x xf I ;
(B).?=a dx x xf I 0)(;
(C).?=2
0)(21a dx x xf I ;
(D).?=a
dx x xf I 0)(21.
答 C
7．=-+?-11
21)1(dx x x ( )
（A ）π
（B ）
2
π （C ）π2 （D ）
4
π
答（A ）
8．设?????
<≤=其余0
3sin )(ππx x
x f ，则=?π0
2cos )(xdx x f ( ) （A ）4
3 （B ）4
3-
（C ）1 （D ）－1
答（B ）
9．设]1,0[C f ∈，且2)(1
=?dx x f ，则=?
20
22sin )(cos π
xdx x f ( )
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）1
答（A ）
10．定积分的值与哪些因素无关？( ) (A) 积分变量。 (B) 被积函数。 (C) 积分区间的长度。 (D) 积分区间的位置。 答 A
11．闭区间上的连续函数当然是可积的。假如在该区间的某个点上改变该函数的值，即出现 一个有限的间断点，问结果如何？( ) (A) 必将破坏可积性。
(B) 可能破坏可积性。
(C) 不会破坏可积性，但必将改变积分值。 (D) 既不破坏可积性，也不影响积分值。 答 D
12．定积分的定义为∑?=→?=n
i i i b
a x f dx x f 1
)(lim )(ξλ，以下哪些任意性是错误的？
( )
(A) 随然要求当0max →?=i i
x λ时，i i
i x f ?∑)(ξ的极限存在且有限，但极限
值仍是任意的。
(B) 积分区间],[b a 所分成的分数n 是任意的。
(C) 对给定的份数n ，如何将],[b a 分成n 份的分法也是任意的，即除区间端点
n x b x a ==,0外，各个分点121-<< (D) 对指定的一组分点，各个],[1i i i x x -∈ξ的取法也是任意的。 答 A 13．?20 2sin π dx x dx d 等于( ) （A ） 0 （B ） 1 （C ） 1- （D ） 2 π 答 A 14．定积分 dx x x ? -π 3sin sin 等于( ) （A ） 34 （B ） 0 （C ） 32 （D ） 23 答 A 15．定积分 dx x x ? -π 3cos cos 等于( ) （A ） 0 （B ） 2 3 （C ） 34 （D ） 34 - 答C 16．定积分?-20 |cos sin |π dx x x 等于( ) （A ） 0 （B ） 1 （C ） 12+ （D ） )12(2- 答D 17．定积分dx x x ?-2 223}1,,max {等于( ) （A ） 0 （B ） 4 （C ） 3 16 （D ）1297 答 D 18．当 0→x 时，函数 dt t x f x ? =sin 0 2tan )( 是x 的( ) （A ） 1阶无穷小量 （B ） 2阶无穷小量 （C ） 3阶无穷小量 （D ） 4阶无穷小量 答 C 19．设)(x f 在],[a a -上连续且为奇函数，?=x dt t f x F 0)()(，则（ ）。 （A ）)(x F 是奇函数； （B ）)(x F 是偶函数； （C ）)(x F 是非奇非偶函数； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都不对。 答B 20．设)(x f 在],[b a 上连续，且?=b a dx x f 0)(，则（ ）。 （A ）在],[b a 的某个子区间上，0)(=x f ； （B ）在],[b a 上，0)(≡x f ； （C ）在],[b a 至少有一点c ，0)(=c f ； （D ）在],[b a 不一定有x ，使0)(=x f 。 答C 21．设)(x f 在],[b a 上连续，且?=b a dx x f 0)(，则?=b a dx x f 0)]([2（ ）。 （A ）一定成立； （B ）一定不成立； （C ）仅当f 单调时成立； （D ）仅当0)(≡x f 时成立。 答D 22．dx x x x ?+-2 232=( ) (A) )22(154 + (B) )22(154 +- (C) 52 8324- (D) 5 2 8324+- 答 A 23．设dx x I b a ?=,则I =( ) (A) )(22a b -- (B) )(22a b - (C) ))(21 a a b b - (D) ))(21 a a b b -- 答 C 24．设,2arcsin )(,)1ln()(2 02 dt t x g dt t x f x x ??=+=则当0→x 时,)(x f 是)(x g 的( ) (A) 同阶无穷小,但不等价 (B) 等价无穷小 (C) 低价无穷小 (D) 高价无穷小 答 D 25．?-=x t tdt e x F 0,cos )(则)(x F 在],0[π上有( ) (A) )2(πF 为极大值,)0(F 为最小值 (B) )2(πF 为极大值,但无最小值 (C) )2(πF 为极小值,但无极大值 (D) )2(π F 为最小值,)0(F 为最大值 答 A 26．设?=x dt t f x F 0)()(,则=?)(x F ( ) (A) dt t f t t f x ?-?+0 )]()([ (B) x x f ?)( (C) ??-?+x x x dt t f dt t f 0 )()( (D) ??-?+x x t f t t d t f 0 )()()( 答 C 27．?+x x dt t dx d ln 2)1ln(=( ) (A) )21ln(2)ln 1ln(1 x x x +-+ (B) )21ln()ln 1ln(1 x x x +-+ (C) )21ln()ln 1ln(x x +-+ (D) )21ln(2)ln 1ln(x x +-+ 答 A 28．?????????>=<-=?x x dt t x x x x x x f 0 2 20 cos 101 )cos 1(2 )(,则)(x f 在0=x 点( ) (A) 连续,但不可导 (B) 可导,但导函数不连续 (C) 不连续 (D) 导函数连续 答 D 29．设??==x e x e tdt I dt t I 221ln ,ln ),0(>x 则( ) (A) 对一切的,e x ≠有21I I < (B) 对一切的,e x ≠有21I I ≥ (C) 仅当e x >时, 21I I < (D) 仅当e x <时, 21I I <