南京理工大学高等数学历年期末试卷

2009级（下）A 卷

一：填空与选择题(每空3分，共30分)

1. 一动点到(1,0,0)的距离为到平面4x =的距离的一半, 则动点的轨迹方程是___________________。

2. ),(y x z z =由方程

ln x z z y

=所确定，则y z

??=______________ 。

3. 改变积分顺序

=??

-1

22)d (d y y

x y x,f y _________ _。

4. 若级数

1

()1

n n n

u n ∞

=+

+∑收敛，则n n u ∞→lim = ______________。

5 L 为圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t a y t a x , 则积分

222

()d L

x y s +? =_______。 6 方程(2)0x y dx xdy ++=的通解是_________________。 7 设222:1x y z Ω++≤，则

3

(2)x dxdydz Ω

+???= ( ) A 0 B 443π+ C 843π+ D 83

π 8. 下列级数中收敛的是( )

A 2311

2n n n n

∞

=+-∑ B ∑∞=1sin n n π C ∑∞=+1123n n D ∑∞

=+112cos n n n π

9. 设∑是半球面2

222a z y x =++(0z ≥)，则

??

∑

++S z y x d 222的值为( )

A 34a π

B 3

2a π C 3

2a -π D 3

4a π- 10. 设二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解为：,1x y =,e 2x

x y +=

x x y e 13++=，则该微分方程的通解可表达为( )

A x C x C x x +++e e 21

B x x

C x C x x +++++)e 1()e (21

C x C C x x +++)e 1(e 21

D x x x C x C e )e 1(21++++

二： （9分） 求过点)2,1,3(-M 且通过直线1

2354z

y x =+=

-的平面方程。 三： （8分）设(,)f u v 的二阶偏导连续, (,)y

y z f x x =,求2z

x y

???。

四： （9分） 求微分方程2

2(3)x y y e x x '''-=+-的通解。

五：（9分）计算σd y x y D

??-2

2, 其中D 是由直线0,1,===y x x y 围成的闭区域。. 六：（9分）计算2(sin 5)(cos )x x L

e y y dx e y x dy ++-?

，其中L 是从)0,3(-O 到)0,3(A 的

上半圆周。

七：（８分）将函数1

()41

f x x =

-，展开为(1)x +的幂级数并给出收敛域． 八：（9分）在平面xoy 上求一点，使它到0,0==y x 及0162=-+y x 三条直线的距离平

方之和为最小。

九：（9分）设曲面为抛物面)10(122≤≤--=z y x z ，取上侧, 计算

33

2x dydz y dzdx dxdy ∑

++??．

2008级（下）A 卷

一：填空题)7293('=?'

1 曲面33z x xy y =++在(1,1,3)处的切平面方程是___ ____。

2 曲线L ：??

?==0

z x

y 绕x 轴旋转所形成的旋转曲面的方程为 。

3 函数),(y x z z =由方程z e xy z -=所确定,则dz = 。 4

累次积分011

(,)x I dx f x y dy --=

?

交换积分次序后，I = 。

5 设L 是2y x =上从1x =-,到1x =的一段弧, 则

22L

y dx x dy -=?

______ __。

6 微分方程x xe y y y 265=+'-''的特解形式是___ ______。

7 幂级数

∑∞

=--1

1

3)

1(n n

n n n

x 的收敛区间是 8 直线L ：

34273

x y z

++==--与平面π：4223x y z --=的关系是 。 A 平行； B 垂直相交； C L 在π上； D 相交但不垂直。

9 下列级数中，发散的是 。

A 21ln n n

n

∞

=∑； B

∑∞

=+1

1

2

tan n n n π

； C

∑∞

=-1

)cos 1(n n π

； D ∑

∞

=++1

1

1n n n ；

二：)6(' 设)(t f z =，),(2

2y x xy t +=?，其中f 有二阶连续导数,?有二阶连续偏导数，

求xy z 。 三：)6('将函数2

1

()43

f x x x =++展开成x 的幂级数。 四：)6('计算

D

xd σ??，其中D 为由不等式x ≤y

≤

确定。

五：)7('计算2

()I xdydz ydzdx z z dxdy ∑

=

+++??

，其中∑

是下半球面z =取上侧.

六：)7('判断级数

2

1

sin()ln n n n

π∞

=+

∑是绝对收敛,条件收敛还是发散。 七：)7(' 求解方程0)ln (ln 2=-+dx x y y xdy 。

八：)7(' 将长为l 的细铁丝剪成三段，分别用来围成圆、正方形和正三角形，问怎样剪法，

才能使它们所围成的面积之和最小？并求出最小值。

九：)7('设D 是单连通区域，函数,P Q 在区域D 上一阶偏导是连续的，证明：在区域D 内

(,)(,)P x y dx Q x y dy +是某函数的全微分的充要条件是

y

P

x Q ??=??在区域D 内恒成立。 2007级（下）A 卷

一：填空题)42122('=?'

1设x y

z arctan

=，则1

2|-==y x dz __________________=。 2级数

∑∞

==-+1

______________

)12)(12(1

n n n 3曲面412=-++z y x 在)2,1,1(处的切平面方程是________________。

4设Ω是22

z x y =+及1=z 所围成的闭区域，则

???Ω

+dv z y x f ),(

22在柱坐标系下的三

次积分是________________。

5设L 是直线x y -= 在)0,0(与)1,1(-的一段，则ds e

L

y x ?+2

2=________________。

6设)(x f 是以2π为周期的周期函数，在(,]ππ-上()1f x x =+，它的Fourier 级数为

,)sin cos (21

0∑∞

=++n n n nx b nx a a 则1a =________________。 7幂级数∑∞

=-+1

)41

(42n n n n x n 的收敛区间（不考虑端点收敛性）是________________。

8方程0223

3=+++y dx dy dx

y d dx y d 的通解是________________。 9 交换二重积分的积分次序

?

?=2

2________________________),(x

x

dy y x f dx 。

10微分方程y x e y -='2满足初始条件0)0(=y 的特解为________________。

11)21ln(

x +的麦克劳林级数为________________。 12若??+=

1

)1(1D d x I σ，其中1

D ：1≤x

，1≤y ；??=2

2D xyd I σ，其中2D ：122≤+y x

则_______。

0,021=I I B ；0,021>=I I C ；0,021<>I I D 二：)6('求过点)2,1,3(-A 且通过直线

1

2354z

y x =+=-的平面方程。 三：)6('

已知(,,),(,)z f x u v u v g x y ===，其中,f g 均可微，求

z

x

??。 四：)6('求函数22

(,)(2)x f x y e x y y =++的极值。

五：)6('计算(sin 8)(cos 7)x x L

e y y dx e y x dy ++-?

，其中L 是从(0,0)O 到(6,0)A 的上半

圆周。

六：)8('求球面222

4x y z z ++=

与锥面z =

所围的包含球心的那部分区域Ω的

体积。 七：)8('计算

22

()x y z dxdy ∑

++??

，其中∑为22z x y =+(1)z ≤的下侧。 八：)8('设可微函数f 在),(+∞-∞上满足

422222

22)()(2

)(t dxdy y x f y x t f t y x +++=??

≤+，求)(x f 。

九：)8('设0n a >，且1

ln

lim

ln n

n a q n →∞=存在，证明：当1q >时，级数1

n n a ∞

=∑收敛。

2006级（下）A 卷

一 填空 （每小题3分 共15分 ）

1 曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(的切平面的方程为___________。

2 设隐函数),(y x z z =是由方程2=++y

z

e xz e 确定的，则______)

0,0(=??x z

。

3 设∑是平面1=++z y x 在第一卦限部分，则

__________

)(=++???∑

dS z y x 。

4 设)(x f 周期为π2，且 ??

?<≤<≤-=π

πx e x x x f x

0,0

,)(，)(x S 是)(x f 的Fourier 级数的和函数，则)0(S ______________。

5 设幂级数

∑∞=1

n n

n x a 在2=x 处条件收敛，则幂级数∑

∞

=13

n n n

n

x a 的收敛半径为 。

二 选择（每小题2分 共10分 ）

1 设D 是平面区域，则下面说法正确的是（ ）

（A ）若),(y x f 在D 上可微，则),(y x f 的一阶偏导在D 上一定连续； （B ） 若),(y x f 在D 上一阶偏导存在，则),(y x f 在D 上一定可微； （C ） 若),(y x f 在D 上一阶偏导存在，则),(y x f 在D 上一定连续； （D ） 若在D 上xy f 与yx f 均连续，则),(y x f xy ),(y x f yx =。 2 下列级数中绝对收敛的级数是 （ ）

（A ）∑∞

=-1

2)1(n n

n

n ； （B ）∑∞=+1)11ln(n n ; （C ）∑∞=-11sin )1(n n n ; （D ）∑∞

=+-11)1(n n n n 。 3 直线过点)03,0(且与直线z y x ==垂直相交，则交点的坐标是（ ） （A ） )1,2,2(-； （B ）)1,1,1(； （C ）)2,1,1(--； （D ）)0,0,0(。 4 方程08422=+-+x z y 表示 。

(A) 单叶双曲面； （B ） 双叶双曲面 ； （C ） 锥面 ； （D ） 旋转抛物面。 5 一阶微分方程0)(332=+-dy y x ydx x 的类型是（ ）

（A ）全微分方程； （B ） 可分离变量方程；（C ）齐次方程； （D ）一阶线性微分方程。 三(6')设)(r f u =是具有二阶连续导数的函数，2

22z

y x r ++=

，求22x

u

??。

四（7'）计算??

=

D

d y

x I σ22

，其中D 是直线x y x ==,2及双曲线1xy =所围区域。 五（7'）修建一个容积为V 的长方体地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积造价分别是地

面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计仓库的长、宽和高，可使它的造价最小。 六（7'）求微分方程)3(2-='-''x e y y x 的通解。 七（7'）计算 ???Ω

=

zdv I ，其中Ω是由曲面224y x z --=

及z y x 322=+所围的

空间区域。 八（7'）求

?+-++L

y

x dy y x dx y x 2

2)()(，其中L 是曲线12

2=+y x ，取逆时针方向。 九(7'）计算曲面积分

??∑

++dS z x y )cos cos cos (222γβα，其中∑是锥面2

2y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，而γβαcos ,cos ,cos 是∑在),,(z y x 处的外法线向量的方向余弦。

十（7'）已知如下命题成立：设{}n a 是单调减少的正数列，级数

∑∞

=1

n n a 收敛当且仅当

∑∞

=1

22n k k a 收敛。⑴请用此命题证明∑

∞

=11

n p

n

当10≤

p 时收敛； ⑵证明所给的命题。

2006级（下）B 卷

一 填空（每小题3分，共15分）

1 设y xy z 2)tan(+=，则__________________=dz 。

2 方程

y

x

dx dy -=的满足1)0(=y 的特解为__________________。 3 曲线t e z t y t x ===,sin ,cos 在)1,0,1(点的切线方程为 ____________。

4 幂级数∑∞

=-13)2(n n

n

n

x 的收敛域为 _____________。

5 设)(x f 是周期为π2的函数，且),[,2)(ππ-∈=x x x f ，其Fourier 级数为

∑∞

=++1

0)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则_________

3=a （要计算出结果）。

二 选择（每小题3分，共15分）

1 若 c a b a ?=?且0

≠a ，则必有___________。

（A ）c b =； （B ）c b =； （C ）a j c Pr b j c Pr =； （D ）c j a Pr b j a Pr =。

2 下列命题正确的是（ ）。 （A ）若

∑∞

=1

n n a 发散,则必有0lim =∞

→n n a ； （B ）若

∑∞

=1n n

a

收敛,

∑∞

=1

n n

b

发散,则

∑∞

=+1

)(n n n b a 必发散；

（C ）若

∑∞

=1n n

a

部分和数列n S 有界,则

∑∞

=1

n n

a

必收敛；

（D ）若

∑∞

=1

n n

a

绝对收敛,则

∑∞

=1

n n

a

条件收敛。

3 对于),(y x f z =，如果在区域D 上_________，则),(y x f z =的全微分存在。 （A ）y x f f ,存在； （B ）),(y x f 连续且y x f f ,存在； （C ）y x f f ,存在且连续； （D ）以上答案都不对。

4 设Ω是由球面222y x a z --=

和0=z 所围的空间区域，则

???Ω

=++________)(222dv z y x （A ）?

??2

2

20

π

π

θ?a

dr r d d ； （B ）?

??2

420

sin π

π

θθ?a

dr r d d ；

（C ）

???Ω

dv a

2

； （D ）?

??2

40

sin π

π

θθ?a

dr r d d 。

5 方程x e y y y x sin 22=+'-''的特解形式为

（A ）)cos sin (x B x A xe y x +=； （B ）]sin )[(x B Ax e y x +=； （C ）)cos sin (x B x A e y x +=； （D ）]cos )[(x B Ax e y x +=。

三（7 分）求过点)1,2,1(且与直线??

?

??-===t

z t y t

x 123和11110--=+=z y x 都平行的平面方程。

四（9分）设),(v u f 是具有二阶连续偏导的函数，),(y

x xy z =，求xy x z z ,。

五（9分） 长为a 的铁丝分为两段，一段围成正方形，另一段围成圆，问怎样分才能使正

方形与圆的面积和最大？ 六（9分）将函数6

51

)(2++=x x x f 展开成x 的幂级数。

七（9分）计算

??D

xyd σ，其中D 为抛物线2

x

y =与直线2+=x y 所围的区域。

八（10分）求曲面积分

??

∑

-+-dxdy z x dzdx y z )()(22，其中∑为抛物面222y x z --= 位于0≥z 部分的上侧。

九(10分) 设)(x f 具有二阶连续导数，1)0(,0)0(='=f f ，在整个平面区域积分

?'+-L dy x f dx y x f y x

)(])([2

与路径无关，求)(x f 。

十（7分）设)(x f 在],[b a 上连续，利用二重积分证明：??-≤??

????b a b a dx x f a b dx x f )()()(2

2

2005级（下）A 卷

一、填空题：(14分)

1 设函数,),,(z x z y x u y =则________________)

3,2,1(=du

。

2 已知,1=a ,2=b ,3=-b a 则b a

,的夹角为_____________。

3 微分方程x e y y y x 2cos 52=+'-''的特解形式为_____________。

4 设向量场),3,6,3(),,(2

23xy xyz z y x z y x A += 则________

__________=A div 。 5 幂级数

∑∞

=--2

1221)1(n n n n

x n

的收敛半径为_____________。

6 设??

?

??≤≤+<<---=ππππx x x x x f 0,20,)(以π2为周期，则)(x f 的Fourier 级数在π=x 处收敛于_____________。

7 ∑是球面1222=++z y x 在0,0,0≥≥≥z y x 部分，取外侧，则

____=??∑

zdxdy 。

二 （6分）在有界闭区域D 上的二元函数f 一定能取到最（大，小）值吗？若能，请问f

可能在那些点取最值，并给出在D 上求f 最值的一般步骤。

三 （6分）设平面区域D 由曲线2x y =与直线1=y 所围成，计算二重积分??+D

dxdy y x )(。

四（6分）计算

??Ω

zdxdydz ，其中Ω由1,1,022

=+==y x

z z 所围。

五（8分）设曲线L ：,222x y x =+计算第一型曲线积分ds y x L

?+22。

六（8分）计算

,)2()2(22?-+-L

dy xy y dx xy x 其中L 是抛物线2x y =上从)1,1(-到)1,1(

的一段弧。

七（8分）已知具有二阶连续导数的函数f 在)1,1(的偏导数为,2)1,1(1=f ,1)1,1(2=f

,2)1,1(11=f ,1)1,1(12=f ,3)1,1(22=f 求),(y x xf z =在)1,1(点的二阶偏导数)1,1(xy z 。

八（8分）求微分方程的特解：

1)1(,0)1(,='='=''y y y y x 。

九（8分）过直线??

?=-+=-+0

27

2210z y x z y x 作曲面273222=-+z y x 的切平面，求此切平面

的方程。

十（8分）利用??? ??-x x dx d 1cos 的幂级数展开式，求级数∑∞

=--1

2)2()!2(12)

1(n n

n n n π的和。 2004级（下）A 卷

一、填空题：(20分)

1曲线t z t y t x 2,sin ,cos ===在4

π

=

t 处的法平面方徎为________。

2点(1,2,1)到平面1022=++z y x 的距离为_______。

3设平面过点)2,1,1(),2,2,2(),1,1,1(----.则平面方程为________。 4已知x

y

z arctan =,则xy z =________。 5交换积分

??

1

),(y y

dx y x f dy 的积分次序为___________。

6设∑：2

2

2

2

a z y x =++．则

dS z

??∑

2

=_________ 。

7函数)ln(2

22z y x u ++=, 则___________

)(=gradu div 。 8设函数)(x f 是以π2为周期，且2

)(x x x f +=(ππ≤<-x )，)(x f 的Fourier 级数为

)sin cos (21

0∑+∞

=++n n n nx b nx a a ，则_____________3=b 。

9设)(x f 是以π2为周期的奇函数，其Fourier 级数为)sin cos (21

0∑+∞

=++n n n nx b nx a a ，

则级数

∑∞

=0

n n

a

= 。

10下列四个命题：（1）.若级数

∑∞

=1

2004

n n

a

发散，则级数

∑∞

=1

2005n n

a

也发散；（2）.若级数

∑∞

=1

2005

n n a 发散，则级数

∑∞

=1

2006

n n

a

也发散；（3）.若级数

∑∞

=1

2004

n n

a

收敛，则级数

∑∞

=1

2005n n

a

也收敛；

（4）.若级数

∑∞

=1

2005n n

a

收敛，则级数

∑∞

=1

2006n n

a

也收敛。上述正确的命题是______。

二（8分）求函数y y y x y x f -+=32),(的极值，并指出是极大值，还是极小值。 三（8分）求级数∑∞

=-1

1

n n nx

的收敛域和它的和函数。

四（8分）计算

?

L

ds y ，其中L 是抛物线2x y =上自点)0,0(到)1,1(的一段弧。

五（8分）计算曲面积分??∑

-+=

dxdy z

yzdzdx xzdydz I 2

2,其中∑是由锥面22y x z +=

与半球面222y x z --=

所围立体的表面外侧。

六（10分）求下列方程的通解。

1.2

'''x y xy =-; 2. x

xe y y =+''

七（8分）两个物体A 、B 的形状如图（一），体积相等，物体A 是由抛物面（2

2

y x z +=）

和平面（1=z ）所围。物体B 是柱体，它的母线平行于z 轴，底面是由1,2

==y x y 所

围的平面区域，求柱体B 的高。

八.（5分）设),(y x u 有二阶连续导数，n 为光滑的简单闭曲线L 的外法向量（如图二），D

为L 围成的区域，有人利用切向量和外法向量的夹角的关系，以及格林公式，证明了

如下结论：dxdy y u

x

u ds n u D L )(2222??-??=?????。若你认为是正确的，请给出证明过程；若

你认为是错误的，请推理出正确的结论。 九.（5分）证明不等式：

)1

1(41

2

e

dx e x ->

?

-π

。 2003级（下）A 卷

一、判断题：（对的划“√”，错的划“Ⅹ”，每题1分共14分）

1 二元函数f 在P 点可微，则f 在P 点连续。

2 二元函数f 在P 点的偏导数存在，则f 在P 点可微。

3 },|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=，)()(y g x f ?在D 上可积，则等式

????

?=d

c

b a

D

dy y g dx x f dxdy y g x f )()()()(成立。

4 若),(lim 0

0y x f y y x x →→存在，则),(lim 0

0y x f y y x x →→和),(lim lim 0

0y x f x x y y →→一定相等。

5 0=??⊥，其中,为两个向量。

6 方向向量l 的方向余弦为}cos ,{cos βα，),(y x f 在0P ),(00y x 的偏导数存在，则

βαcos cos 0

p p p y

f x

f l

f ??+

???=

??。

7 三个向量的混合积的绝对值就是以这三个向量为邻边的平行六面体的体积。 8 两个向量的向量积就是以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。 9 0P 是函数),(y x f 的极值点，则0P 一定是函数),(y x f 的驻点。

10 级数

∑∞

=1

n n a 收敛，其中0>n a ，则1lim

1

<=+∞→l a a n

n n 成立。

11 微分方程02)(2=+'-'+x y y y x y 是二阶微分方程。

12 )(x f 是以π2为周期的连续的奇函数，则它的傅立叶级数展开式是余弦级数。

13

∑∞

=1

n n

a

收敛，则级数

∑∞

=1

2

n n

a

一定收敛。

14 幂级数∑∞

=1n n

n

x 的收敛域为)1,1[-。

二、计算题（1）（每小题4分共8分）

1．3

),(,2,5π===Λb a b a ，求：2)32(b a

-

2. 设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在区间),[ππ-上定义为

?

??<<+≤≤--=)0(,1)

0(,2)(2

ππx x x x x f ,求)(x f 的傅立叶级数的和函数)(x S 。 三、计算题（2）（每小题4分共8分）

1．求)

2()2sin()4(lim

4

-?-→→y xy y x y x 。

2. 求过点M(1，2，1)且平行于直线???=+-=+-0251

25z y z y x 的直线方程。

四．（6分）已知),2(xy

e x

f z =,f 具有二阶连续偏导数，求y

x z

???2

五.（6分）把二重积分

??D

d y x f σ),(化为两种次序（先x 后y 、先y 后x ）的二次积分，

其中D 由x y =、x y -=2和0=y 所围。

六．（8分）计算?

-L

dy x ydx x 3

2

3，其中L 为从)0,0(到)0,2(的顺时针方向的上半圆弧：

)0(222≥=+y x y x 。

七．（8分）计算

zdxdy ydzdx x dydz xy ++??

∑

2

2，其中∑为曲面22y x z +=被平面1=z 所截下的下面部分，且它的方向向下（注：坐标系的z 轴正向是向上的）。 八．（8分） 求微分方程x y y 3sin 9=+''的通解。

九．（8分）求经过点)3

1

,1,2(的所有平面中，哪一个平面与坐标平面所围成的立体(在第一

卦限）的体积为最小，并求其最小值。 十．（6分）设正项数列n a 单调减少，且级数

∑∞=-1

)1(n n n

a 发散，试问：级数n

n n a )1

1(

1

∑∞

=+是否收敛？并说明理由。

2008级（下）A 卷

一． 填空与选择题(每空3分，共30分)

1 222

34412x y z ++=; 2 2

()

z y x z +; 3????-+212010022d ),(d d ),(d x x y y x f x y y x f x 4 1-; 5 52a π; 6 2x xy c +=; 7 D ; 8 D ; 9 B ; 10 C 二（9分） 解：在直线1

2354z

y x =+=-取点)0,3,4(-P ，则)2,4,1(-=

已知直线的方向向量为)1,2,5(= 设所求平面的法线向量与向量

)22,9,8(2

41125-=-=?=.

所求平面的方程为: 0)2(22)1(9)3(8=+----z y x 即 0592298=---z y x 三（8分） 解

1122y z y yx f f x x

-?=-? 21211111222122221((1))[ln ]11[ln ]y y y y y z x y y x f yx f x x f x y x

y f f x x f x x x

---?=+-++??--+

四 （9分）解：对应齐次方程的特征根为：01=r ，22=r ，故对应齐次方程的通解为：

x e C C y 221+=。

自由项)x x (e )x (f x 32

-+=，1=λ不是特征根。所以方程特解为：

)C Bx Ax (e y x *++=2。

代入方程解得1-=A ，1-=B ，1=C 。

所以)x x (e y x *12-+-=，

故方程的通解为：)x x (e e C C y x x 12221-+-+=。

五 （9分）解 画出区域D , 可把D 看成是X --型区域: 0≤x ≤1, 0≤y ≤ x 于是

????-=-x

D

dy y x y dx d y x y 02

21

22σ ?-?-=10

023

22)(3221dx y x x

?=10331dx x 121=

六 （9分）解 附加有向线段：x y ,0=从3到-3 原式??

→

→

-=

+AO

AO

L 2[

(sin 5)(cos )]0x x D

e y y e y x dxdy y x

??

=+---???? 3

(52)(52cos )D

x dxdy d d π

?ρ?ρρ=

+=+????45

2

π=

七 （8分）解：

1111

4(1)4154(1)515

x x x ==-?

+--++- 014(1)55n

n x ∞=+??=-????∑10

4(1)5n n

n n x ∞

+==-+∑ 收敛域满足

4(1)

15

x +< 解出得 9144x -<<-

八（9分） 解：设所求点为),(y x ，则它到三已知直线的距离分别为5

6

2,

,-+y x y x ，

令22

2

)62(5

1

-++

+=y x y x u 。 22(26)05

42(26)05x x y y x y ?++-=???

?++-=??

得驻点为

）（516,58，此时u 取极小值，且驻点唯一，从而为最小值，点）（5

16,58即为所求 九（9分） 解：补充平面)1(0:220≤+=∑y x z 取下侧，则0∑与∑围成空间区域Ω 于是 ????∑∑

+∑-=

0I 223()2x y dv πΩ

=++???

2

21

13

32r d dr r dz πθπ-=+???

1

350

6()2r r dr ππ=-+?522

2

π

ππ=

+=

2008级（下）A 卷

一：1 445x y z +-=； 2 222x y z =+； 3 1

()1

z dz ydx xdy e =

+-；

4

1210

1

1

1

(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?

?

??

； 5

25

； 6 2*()x y x Ax B e =+； 7 11(,]33

-； 8 A ； 9 D ； 二：

12'()(2)z

f t y x x

???=+? 22212121111222"()(2)(2)'()[2()4]z

f t x y y x f t xy x y xy x y

?????????=+++++++?? 三 ：1011111

()()(1)(1)21323

n n n n f x x x x +∞+==-=--++∑, 11x -<<

四：D 的极坐标表示是：

4

2

π

π

θ≤≤

，02cos r θ≤≤．故

2cos 2

4220

4

482

cos cos 343

d r dr d π

πθ

πππθθθθ===-??

?原式

五：设 2221:0

()z x y a ∑=+≤取下侧，则由高斯公式得 :

1

2()(32)xdydz ydzdx z z dxdy z dv ∑+∑Ω

+++=-+?????

22340

/2

(32cos )sin 2.2a

d d r r dr a a π

π

ππ

?θθθπ=-+=-+

??

?

而 1

2()xdydz ydzdx z z dxdy ∑+++??1

1

2

()00z z dxdy dxdy ∑∑=+=-=????.

因此3

4

1(2)2

I a a π=-+

。 六： 级数

21

sin()ln n n n

π∞

=+

∑是条件收敛的。 由于2

211

sin()(1)sin

ln ln n n n n n n π∞

∞

==+=-∑∑, 令 1sin 0ln n u n =>， 则{}n u 是单调减少且区域0的数列,因此交错级数收敛， 另一方面 当2n ≥时, 11sin

,ln ln n u n n n =→∞:,而 11

,2ln n n n

>≥,

又

2

1

n n ∞

=∑发散,因此 原级数条件收敛。

七：方程变形得：

x

y

x y dx dy ln 2-=，这是齐次方程。 令x y u =

得：dx du x u dx dy +=，代入方程得：x

dx u u du -=+)1ln 2( 由原方程知0,0>>y x ，因此0>u ，对上式积分，得： x c u 1ln 1ln 2ln 2

1

-=+ 即==+∴=+c cx

x y x

c x y ,1

1ln

211ln

2222121c ± 故方程的通解为：2

11

(1)2c x y xe -=

八：设剪成的三段分别为z y x ,,，则围成的面积之和为

36

31642

22z y x S +

+=π，且l z y x =++ 这是条件极值问题。作Lagrange 函数为 )(3631642

22l z y x z y x L -+++++=λπ

由????????

???

=++=+==+==+=l

z y x z L y L x L z y

x 0

1830802λλλπ 得条件驻点()000,,z y x M ，其中

,3340π

π++=

l x ,33440π

++=

l y π

++=

334330l z

由实际问题有解，而驻点唯一，故问题的解在驻点取得。 所求的最小面积为)

334(4)(2

π++=l M S

九：下册207页。

2007级（下）A 卷

一：1

dy dx 5251+； 2 2

1

； 3 62=++z y x ； 4 ???πρρρρ?201012),(dz z f d d ；

5 12

-e ； 6 0； 7 )2

1

,0(； 8 x e c x c x c -++321sin cos ；

9

?

?20

2

),(y

y dx y x f dy ??+4

2

2

2

),(y dx y x f dy ； 10 2ln )1ln(2-+x e ；

11 ]21,21(,2)1(1

1-∈-∑∞

=-x x n n n n n ； 12 B 。

二：)2,1,3(-A ，)0,3,4(-B ，)2,4,1(-=AB ，)1,2,5(=s

)22,9,8()2,4,1()1,2,5(--=-?=n

0)2(22)1(9)3(8=+----z y x ，即592298=--z y x 。 三：x x x v f u f f z 321++=x g f y

x x y

x f f 32

22122cos ++++=

四：x x x e y y x e f 222)(2+++=，)22(2+=y e f x

y

令???==0

0y x f f ，得驻点：1,21-==y x 。

e f C f B e f A yy xy xx 2,0,2======，

0,02><-A AC B ，故f 在)1,21(-处取极小值2

e

-。

五：添加_____

AO ：x y ,0=从6到0,0=dy 。

π2

135__________

=

-=??

+AO

AO

L I π213515)(

_____

==??-??-=?????

+D

D

AO

L dy dx dy dx y P x Q ， 000

6

_____

==??

dx AO

六：πρρ?ρρ

π

82

422

20

===

?

??

???-+Ω

dz d d dv V

七：添加∑'：)1(12

2≤+=y x z ，取上侧。

π-=-=

??

??∑'

∑'

+∑I

==?????Ω

∑'

+∑dv 2

1

1

0202π

ρρ?ρπ

=

???dz d d

πρρρ?π23

)1()1(1022022??????

=+=++=∑'

d d dxdy y x D

八：当0>t 时，40

30

4320

)(4)(2

)(t d f t d f d t f t

t +=+=???

ρρρπρρρ?π

，

334)(4)(t t f t t f +='π，可分离变量方程，解得，π

π1

)(4

-

=t ce t f ，

又,0)0(=f π

1

=

c ，π

π

π1

1

)(4

-

=

t e

t f ，

当0

π

π1

1

)(4

-

=

t e t f

九：取00>ε，且10>-εq ，存在0>N ，当N n >时，

0ln 1

ln

ε->q n

a n

， )(10

N n n a q n >>-ε，01ε-

=1

n n a 收敛。

2006级（下）A 卷 答案

一 1 0624=--+z y x ； 2 0； 3 2

3

； 4 21； 5 6。

二 D A B D C

三 ,)(r x r f x u '=?? )()()1(22

3222r f r

x r f r x r x u ''+'-=??。 四 49

12

221==

??x

x

dy y

x dx I 五 设地面每个单位造价为1，则墙壁和仓顶分别为 2， 3。 设长宽高分别为),,(z y x ，

则现在的要求是 ：yz xz xy z y x f 444),,(++=在v xyz =约束下的极值。 考虑yz xz xy z y x F 444),,,(++=λ)(v xyz -+λ，

则条件极值点满足以下方程组：???????=-==++==++==++=0

000

v xyz F xy y x F xz z x F yz z y F z y

x λλλλ

由上述方程组可解得：),,(),,(333v v v z y x =，根据实际情况可知，此时造价最小。 六 特征方程为：2,0,02212===-r r r r ，

对应的齐次方程的通解为： x e c c Y 221+=

设特解为)(B Ax e y x +=*，代入到原方程化简可得：3-=--x B Ax 原方程的通解为：)3(221--+=x e e c c y x x 。 七 由224y x z --=

及z y x 322=+，得 322=+y x ，

于是 ????

??Ω

-=

==4

1330

43

20

2

2

π

ρρ?ρρ

πzdz d d zdv I 。 八 原式dy y x dx y x L )()(-++=???=-=D

dxdy 0)11(，

（格林公式） 九 原式??∑

++=

dxdy z dzdx x dydz y 2

22，∑取外侧， 设1∑：1,122≤+=y x z ，取上侧，则

??

∑+∑++1

2

22dxdy z dzdx x dydz y ??????Ω

===2

22101

20π

ρρ?ρ

πzdz d d zdv

而

??∑++1

222

dxdy z dzdx x dydz y

π????=+==∑D

dxdy dxdy 1

，

于是 原式2

2

π

ππ

-

=-=

。

十1 设p n n a 1=，则k

p k k a )2(212-=，于是由已知∑∞=11n p n 的敛散性与等比数列∑∞

=-1

1)2(k k

p 敛散性一致。因此当10≤

p 时收敛；

2令∑+=-=

k

k i i k a b 21

21，当设{}n a 是单调减少的正数列时，有k k b a k

≤2

2 1212--≤k a k

由比较判别法，

∑∞

=1

k k a 收敛当且仅当∑∞

=1

2

2n k k

a 收敛，

即

∑∞

=1

n n a 收敛当且仅当∑∞

=-1

1)2(k k p 收敛。

2006级（下）B 卷 答案

一1 dy xy x dx xy y dz y ]2ln 2)(sec [)(sec 22++=； 2 21x y -= 3

101-==-z y x ； 4 )5,1[-； 5 π

98-。

二 D B C B A.

三 两条直线的方向向量分别是：)1,1,0(),1,2,3(--

于是所求平面的法向量是 )3,3,1()1,1,0()1,2,3(-=-?-=n

因此所求平面的方程为 833-=--z y x

四 211

f y

yf z x +

=， )(11)(2222122122111f y x xf y f y f y x xf y f z xy -+--

+=223

2

21111f y x f y xyf f --+= 五 设长为x 4的铁丝用来围正方形，长为y π2的铁丝用来围圆， 则其面积和为22y x z π+=，约束条件为a y x =+π24，

设 )24(),,(22a y x y x y x F -+++=πλπλ，则极值点满足方程

??

?

??=-+=+==+=0

240220

42a y x y F x F y x ππλπλ， 解得：,4π+=

a x ,28π+=a y 根据实际情况，可知此时面积和取得最大值。 六 3121)3)(2(1)(+-+=++=

x x x x x f 1111

231123

x x =-

++ 0011()()2233n n n n x x ∞∞===---∑∑110

11

[()()],||232n n n n x x ∞

++==---<∑ 七 抛物线2x y =与直线2+=x y 的交点为)4,2(),1,1(-。于是

=

??D

xyd σ8

45

22

1

2

=

?

?+-x x ydy xdx 八 设1∑：2,022≤+=y x z 的下侧，Ω为1,∑∑所围的空间区域。

则由Gauss 公式可得

??∑+∑-+-1

)()(2

2

dxdy z x dzdx y z

????

?

?Ω

--==-=πρρ?ρπ4222

20

20

2

dz d d dv

而

??

∑-+-1

)()(2

2dxdy z x dzdx y z ??-=D

dxdy x 2

同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

高数 下 期末考试试卷及答案

2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数 1n n a ∞ =∑发散，则级数 21n n a ∞ =∑也发散 （B ）若级数 21 n n a ∞ =∑发散，则级数 1 n n a ∞=∑也发散 （C ）若级数 21n n a ∞ =∑收敛，则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛 （D ）若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛，则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛 二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线3426030x y z x y z a -+-=??+-+=? 与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………

高等数学(同济第六版)上册-期末复习题(含答案)

※高等数学上册期末复习 一.填空题 1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim 30 2 3 2.曲线x xe y -=的拐点是 )2,2(2 -e 3．设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x x f x ) (lim 0 )0(f ' 4.曲线x x y +-= 22cos 1在)2 1,2(π π+处的切线方程为 1y x =+ 5．曲线1 22 -=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y 6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =,则=dy dx e e f e f x x x ?'?)()]([2sin #7.=?dx e x 4 )1(22 +e 8．若3)(0-='x f ,则=--+→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 12- 9.若 dx x p ? +∞ 1 收敛,则p 的范围是 1-

=0 ,0,)(2x x x x x f ，则?-=11)(dx x f 61 - #14．过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12 +=x y 15.已知函数?????=≠=0 ,0 ,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时,函数)(x f 是无穷小；当 =a 1时,函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 (一）类间断 点。 １6.已知 ?+=c x F dx x f )()(，则? =-dx x f x )(arcsin 112 c x F +)(arcsin

期末高等数学(上)试题及答案

1 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5分） 3 求极限 lim 一3x - x 2 2x 3 （本小题5分） 求 X 2 2 dx. （1 x ） （本小题5分） （本小题5分） 设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6 所确定，求鱼. dx （本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值 （本小题5分） 2 2 2 2 求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」 x （10x 1）（11x 1） （本小题5分） cos2x d x. sin xcosx 二、解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分） 3 . ---------- 求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2 x （本小题5分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos 4sin t), 求 dx . 12x 16 9x 2 12x .1 arcs in x 求极限 limarctan x x （本小题5分） 求—^dx. 1 x （本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0 （本小题5分） 求 cot 6 x esc 4 xdx. （本小题5分） 求-1 1 , 求 cos dx. x x 5分） ［曲2确定了函数y es int 5分） （本小题 设 x y （本小 y(x),求乎 dx

（本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根 一学期期末高数考试（答案） 、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） lim 」^ x 2 12x 18 2、（本小题3分） (1 2 1 d(1 x ) 2 (1 x 2)2 1 1 2 1 x 2 3、（本小题3分） 故 limarctan x 4、（本小题3分） dx dx 」 dx dx 1 x x In 1 x c. 5、 (本小题3分) 原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分) .6 4 cot x csc xdx cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x) 1、（本小题7分） 某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省? 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8 沿， 体积. 解:原式 lim x 2 6x 3x 2~ 2 12 18x 12 c. 因为 arctanx —而 limarcsin 2 x .1 x arcs in x

高等数学上期末试卷(含答案)

一． 选择题：（每小题3分，共15分） 1. 若当0x →时，arctan x x -与n ax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B. 13 C. 3- D. 1 3 - 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3 ()f x x = C. ()e e x x f x -=+ D. 1,10 ()0,01 x f x x -≤≤?=?<≤? 3. 如果()e ,x f x -=则(ln ) d f x x x '=? ( )B A. 1C x - + B. 1 C x + C. ln x C -+ D. ln x C + 4. 曲线y x = 渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为 偶函数，则 [()()]d a a f x g x x -''''+=?( ) D A. ()()f a g a ''+ B. ()()f a g a ''- C. 2()f a ' D. 2()g a ' 二． 填空题：（每小题3分，共15分） 1. 要使函数22 32()4 x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = . 14 2. 曲线2 e x y -=在区间 上是凸的. (,22 - 序号

3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+ 4. 曲线2 3 1x t y t ?=+?=?在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5. 定积分1 1 (cos x x x -+=? . π2 三．解下列各题：（每小题10分，共40分） 1．求下列极限 （1）22011lim .ln(1)x x x →?? -??+? ?. 解：原式=2240ln(1) lim x x x x →-+ …………..2分 2302211lim .42 x x x x x →-+== ………….3分 （2）()2 2 2 20 e d lim e d x t x x t t t t -→?? . 解：原式= () 2 2 2 20 2 e d e lim e x t x x x t x --→?? ………….3分 2 2 00 0e d e =2lim 2lim 2.1 x t x x x t x --→→==? …………..2分 2. 求曲线0π tan d (0)4 x y t t x =≤≤?的弧长. 解： s x x == …………..5分 π π440 sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+? ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++?求()d .f x x ?

高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．

2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．

医用高等数学题库复习课程

医用高等数学题库 第一章函数与极限 1．设，求，并作出函数的图形。 2．设，，求，并作出这两个函数的图形。 3．设，求。 4．试证下列函数在指定区间内的单调性： （1） （2） 5．下列函数中哪些是是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1） （2） 6．设。试求下列复合函数，并指出x的取值范围。 7．已知对一切实数x均有，且f(x)为单调增函数，试证：

8．计算下列极限： （1） （2） （3） 9．（1）设，求常数a，b。 （2）已知，求a，b。10．计算下列极限： （1） （2）（x为不等于零的常数） （3） （4） （5）（k为正整数） 11．计算下列极限：

（1） （2） （3） （4）（k为常数） （5） （6） （7） （8）（a>0，b>0，c>0）（9） （10） （11） （12）

（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）

（24） 12．当时，无穷小1-x和（1）（2）是否同阶？是否等价？ 13．证明：当时，有（1）（2） 14．利用等价无穷小的性质求下列极限： （1）（n，m为正整数） （2） 15．试确定常数a，使下列各函数的极限存在： （1） （2） 16．讨论下列函数的连续性：

（1）的连续性 （2）在x=0处的连续性 17．设函数在[0，2a]上连续，,试证方程在[0，a]内至少存在一个实根。 18．设函数在开区间（a，b）内连续，，试证：在开区间(a，b)内至少有一点c，使得（其中）。 第二章导数与微分 1．讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性： （1） （2） 2．设存在，求 3．设，问a，b为何值时，在x=0处可导？ 4．已知，求及，并问：是否存在？

2014-2015(1)微积分(上)期末试卷A答案(1)

（3）若00()0()0f x f x '''=<，，则下列结论正确的是（ A ） A 0x 是()f x 的极大值点 ， B 00(,())x f x 是()f x 的拐点 ， C 0x 是()f x 的间断点 ， D 0x 是()f x 的极小值点 。 （4）若在区间I 上，()0()0f x f x '''><， ，则曲线y=f(x)在I 上是（ D ） A 单调减的凹弧 ， B 单调增的凹弧 ， C 单调减的凸弧 ， D 单调增的凸弧 。 （5）设(),()(0,1)ln x x a f x a g x a a a ==>≠则（ C ） A ()()g x f x 是的不定积分 ， B ()()g x f x 是的导函数 ， C ()()g x f x 是的一个原函数 ， D ()()f x x 是g 的一个原函数 。 三、计算题：（共9小题，每题5分，共45分）（要求写出计算过程） （1）已知arccos ,y x x =求：0 ' x y ='； （2）已知)0(arcsin 2222 2>+-=a a x a x a x y ，求：dy

（3） 设(sin )(cos )x y x x = ，求： dy dx （4）求极限：30(cos sin )(1) lim sin x x x x x e x x →-- （5 ）计算：2 （6）计算：12 x e dx x ? （7）计算：求2 1 4dx x -?． 解：

（8）计算：cos x e xdx -? 解：cos cos cos (sin )x x x x e xdx xde e x e x dx ----=-=-+-??? cos sin cos sin cos x x x x x e x xde e x e x e xdx -----=-+=-+-??---2’ 12cos (sin cos )x x x x x x C --∴=-+?e d e -------------------2’ （9）计算：dx x ? 所以，当3x >时， 当3x <-时，同理可得： 四、应用题：（10分）（要求写出计算过程） 设大型超市通过测算，已知某种手巾的销量Q (条)与其成本C 的关系为 23()100060.003(0.01)C =+-+Q Q Q Q (元), 现每条手巾的定价为6元, 求使利润最大的销量. 解： 利润函数为 ()L Q 236()10000.003(0.01)C ==-+-Q -Q Q Q -----2’， 求导2()0.0060.03(0.01)L '=-Q Q Q ------------2’， 令()0L '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为2000=Q --------2’， 因此使利润最大的销量为2000条。------------------2’

微积分期末测试题及答案

微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.

期末高等数学(上)试题及答案(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) .d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π+20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分)

设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()() x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) . 8 23 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 一学期期末高数考试(答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分) 解原式:lim =--+→x x x x 222 312 61812 =-→lim x x x 261218 =2 2、(本小题3分) ? +x x x d )1(2 2

高等数学(级数)期末试卷

《高等数学》--级数期末考试试卷 班级 学号 姓名 一、填空：本大题共8小题，每题2分，共16分。 1、写出几何级数 ，通项为 。 2、写出调和级数 ，通项为 。 3、写出p 级数 ，第100项为 。 4、设级数1 n n u ∞ =∑收敛于s ，a 为不等于零的常数，则级数1 n n au ∞ ==∑ 。 5、已知级数1 2!n n n ∞ =∑收敛，则2lim !n n n →∞= 。 6、若级数1 n n u ∞=∑发散，则原级数1 n n u ∞ =∑ （填敛散性）。 7、将函数()sin f x x =展开成马克劳林级数为 。 8、将函数()cos f x x =展开成幂级数为 。 二、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题意要求的。 9、lim 0n n u →∞ =是级数 1 n n u ∞ =∑收 敛的------------------------ --------------------------------------------------------------------------------------------（ ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 既非充分又非必要条件

10、设级数1 n n u ∞=∑收敛，级数1 n n v ∞=∑发散，则级数1 ()n n n u v ∞ =+∑------（ ） A 、收敛 B 、绝对收敛 C 、发散 D 、敛散性不定 11、下列级数收敛的是----------------------------------------------------（ ） A 、1n n ∞ =∑ B 、1ln n n ∞ =∑ C 、11n n n ∞ =+∑ D 、1 1 (1)n n n ∞ =+∑ 12、下列级数的发散的是-------------------------------------------------（ ） A 、1n ∞ = B 、111 248+++ C 、0.001 D 、13 ()5n n ∞ =∑ 13、若级数1 n n u ∞ =∑收敛，n s 是它的前n 项部分和，则1 n n u ∞ =∑的和为（ ） A 、n s B 、n u C 、lim n n s →∞ D 、lim n n u →∞ 14、幂级数0! n n x n ∞ =∑的收敛区间为 -----------------------------------（ ） A （-1，1） B 、(0,)+∞ C 、(,)-∞+∞ D 、（1，2） 15、被世界公认的微积分的创始人为----------------------------（ ） A 、阿基米德和刘徽 B 、牛顿和庄子 C 、莱布尼兹和牛顿 D 、欧拉 16、若幂级数0n n n a x ∞ =∑的收敛区间为(1,2)-则-------------------（ ） A 、在1x =-处收敛 B 、在4x =处不一定发散 C 、在2x =处发散 D 、在0x =处收敛

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

高等数学(A)下期末试卷及答案

《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）

(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2

川北医学院2011级医用高等数学期终试题(A卷)

川北医学院试卷

(A) x x x y 23 12 3+-= （B ）x x x y 23 12 3++= （C ）x x x y 23 12 3 +--= （D ）x x x y 23 12 3 ++- = 10. 微分方程044=+'-''y y y 的通解是( ) （A ）x e c c y 221)(-+= （B ）x e x c c y 221)(+= （C ）x e x c c y 421)(-+= （D ）x e x c c y 421)(+= 二、多项选择题（每小题2分，共10分） 1.设函数)(x f 在0x 处具有一阶导数)(0x f '，则（ ） （A ）[]0)()(lim 00 =-→x f x f x x （B ）)()(lim 00x f x f x x =+ → （C ）[]0)()(lim 000 =-?+→?x f x x f x （D ）)()(0x f x f = 2.设)(x f 在0x 处具有二阶导数)(0x f ''，且0)(0='x f ，下列各式正确的有（ ） （A ）当0)(0<''x f 时，则)(x f 在0x 处取得极大值。 （B ）当0)(0<''x f 时，则)(x f 在0x 处取得极小值。 （C ）当0)(0>''x f 时，则)(x f 在0x 处取得极大值。 （D ）当0)(0>''x f 时，则)(x f 在0x 处取得极小值。 3.设,],[)(上连续在b a x f ),()(b f a f =且内则在不恒为常数但),(,)(b a x f （ ） （A ）必有最大值和最小值 （B ）可能有最大值或最小值 （C ）至少存在一点0)(',=ξξf 使 （D ）函数)(x f 存在原函数 4.对于不定积分?dx x f )(, 下列等式中正确的有（ ） (A) )()(x f dx x f dx d =? (B) C x f dx x f +='? )()( (C) C x f dx x f +'=?)()( (D) dx x f dx x f d ?=)()( 5.?=xdx x cos sin （ ） (A) C x +2 sin 21 (B) C x +-2 cos 2 1 (C ) C x +- 2cos 4 1 (D) C x +2sin 4 1

(完整word版)同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.

高等数学(上)期末试卷

精品文档 2009—2010学年第一学期 《高等数学I(一)》课程考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准 注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟 3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名： 一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）. 1.设()lim 1t t x f x t →+∞? ?=+ ??? ()0x ≠，则=)3(ln f 3 . 2.设x e x sin +是()f x 的一个原函数，则()f 'x = sin x e x - ． 3.曲线1662 3-+=x x y 的拐点坐标是 ()2,0- . 4.若0 21 2 1A dx x -∞= +? ，则A = 1π ． 5．2 1 lim(2)cos 2 x x x →-=- 0 . 二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）. 将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中. 1．已知函数()f x 的定义域为[]12,-，则函数()()()22F x f x f x =++的定义域为（ ）. A ．[]30,-； B ．[]31,-； C ．112,??-????； D ．102,?? -???? . 2．3x =是函数1 ()arctan 3f x x =-的（ ）. A ．连续点； B ．可去间断点； C ．跳跃间断点； D ．第二类间断点. 3．当0→x 时，1ax e -与x 2sin 等价，则a =（ ）. A ．1 ； B ．2 ； C ．2- ； D ． 2 1. 4．函数()2 1sin ,00 ,0x x f x x x ?≠?=??=? 在0=x 处（ ）. A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导； D ．不连续且不可导. 5.下列等式中正确的是（ ）． A ． ()()b a d f x dx f x dx =?； B . ()()()x a d f x dx f x f a dx =-? ； C ．()()d f x dx f x dx =?； D . ()()f x dx f x '=? . 6．函数()21x f x x =+（ ）. A ．在(),-∞+∞内单调增加； B ．在(),-∞+∞内单调减少； C ．在()11,-内单调增加； D ．在()11,-内单调减少. 7．若()f u 可导，且() x y f e =，则（ ）. A ．()x dy f e dx '=； B ．() x x dy f e e dx '=； C ．()x x dy f e e dx =； D ．()x x dy f e e dx ' ??=?? . 8． 20 |1|x dx -=? （ ）. A ．0 ； B ．2 ； C ．1 ； D ．1-. 9．方程sin y x '''=的通解是( ). A .21231cos 2y x C x C x C =+ ++； B .21231 sin 2 y x C x C x C =+++； C .1cos y x C =+； D .2sin 2y x =. 10.曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴围成的图形的面积为（ ）． A ．10()x e ex dx -? ； B ．1 (ln ln )e y y y dy -? ； C ．1 ()e x x e xe dx -? ； D ． 10 (ln ln )y y y dy -? ．

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .