高中数学最值问题
最值问题大盘点
最值问题一直是高中数学的重要内容之一,也是高考的热点问题.它综合性强,且在生产与生活中有这广泛的应用.因此,求最值问题是我们在高中阶段必须掌握的内容.下面结合具体例子来说明,不同条件下求最值的方法. 一、二次函数求最值问题
二次函数是我们最熟悉的函数之一,求二次函数的最值一般需要考虑对称轴,而对于一些含参数的二次函数在限定区间上的最值还要进行分类讨论.这也是主要的考查方式. 例1.设函数2()(21)1f x ax a x =+-+在区间3[,2]2
-上的最大值为3,求实数a 的值.
[解析]:令(2)3f =,即44213a a +-+=,解得12a =
,此时21()12f x x =+,可知, 12
a =适合题意;令3()32f -=,即
9331342a a -++=,可得23a =-,此时对称轴为7
4
x =-,开口向下,适合题意;令12()32a f a -=,即2144(21)(12)
1342a a a a a a
-+--++=,可得12a =-,此时对称轴为32[,2]2x =-?-,不适合题意;0a =时显然也不适合题意.故22a =-
或12
. [点评]:解决二次函数在某一区间上的最值,应注意二次函数图象的开口方向,对称轴的位置以及二次函数在此区间上的但调性等.对于含参数求最值的讨论,其主要依据就是对称轴与区间的关系,一般可以分为三种情况:对称轴在所给区间的左边,在区间内及在区间的右边. 二、抽象函数的最值问题
抽象函数由于没有具体的解析式,一般都是在单调性与奇偶性等基础进行求最值.有时候需要先证明这些性质.
例 2.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且满足如下两个条件:①对于任意的x ,y R ∈都有
()()()f x y f x f y +=+;②当0x >时,()0f x <,且(1)669f =-.求函数()f x 在区间
[3,3]-上的最大值和最小值.
[解析]:本题没有具体的解析式,要求其最值,,可先根据已知条件确定函数在[3,3]-上的单调性.设12x x <,则由条件①可得2211211()[()]()()f x f x x x f x x f x =-+=-+,即
2121()()()f x x f x f x -=-.因为210x x ->,由条件②可得21()0f x x -<,即
21()()0f x f x -<,即12()()f x f x >.所以,()f x 在R 上单调递减.所以,()f x 的最大值为
(3)(3)(12)(1)(11)3(1)2007f f f f f f -=-=-+=--+=-=,最小值为(3)2007f =-.
[点评]:对于抽象函数求最值,由于没有具体函数,一般是通过研究函数的单调性来确定其最值.而对于抽象函数单调性的证明一般是直接采用定义直接证明即可. 三、数列中的最值问题
数列是一种特殊的函数,它和函数一样也有相应的最值,尤其是等差数列的前n 项和,它的形式是关于正整数n 的二次函数的形式,可以借助二次函数的方法求最值,也可以根据数列的特点求最值.
例3.已知9(1)
10
n n n
n a +=(*n N ∈),试问:数列{}n a 有没有最大项?如果有,求出最大项,如果没有,请说明理由.
[解析]:设{}n a 中第n 项最大,则11n n n n a a a a -+≥??≥?,即11119(1)91010
9(1)9(2)1010n n n n n n n
n n n
n n --++?+?≥???++?≥??解之得89n ≤≤,即第
8项和第9项最大.
[点评]:如果数列的第n 项最大,则1
1
n n n n a a a a -+≥??
≥?,则{}n a 从第1项到第n 项是递增的,从第n 项开
始是递减的;其实,若第n 项最小,类似有1
1n n n
n a a a a -+≤??≤?.这是求数列中最小项的基本方法.
例4.等差数列{}n a 中,125a =,179S S =,问数列前多少项之和最大,并求此最大值. [解法一]:设公差为d,则由117259
a S S =??=??11171698
17922a d a d ??+=+,可得2d =-. 故2(1)
25(2)(13)1692
n n Sn n n -=+
?-=--+,所以,前13项和最大,最大值为169. [解法二]:由前n 项和的定义及179S S =可得:1217129a a a a a a +++=+++ ,即
101112170a a a a ++++= ,根据等差数列的性质可得:13144()0a a +=,即13140a a +=,而1250a =>,故数列递减,所以,130a >且140a <,所以,前13项的和最大.再代入求出最大值
为169.
[解法三]:由解法一可得2d =-,所以,25(1)(2)272n a n n =+--=-,由10
n n a a +≥??
≤?,即
2720272(1)0n n -≥??-+≤??13.5
12.5
n n ≤??
≥?,故13n =.即前13项和最大,同样可得最大值169. [点评]:二次函数的前n 项和的最大(小)值有两种求解方法.一是利用二次函数的性质找对称轴,根据对称轴确定最大值对应的n;而是利用数列的特点,若前n 项和最大,则10
n n a a +≥??
≤?,若前
n 项和最小,则10
n n a a +≤??
≥?,根据不等式组来确定对应的n 值,再求最值.
四、三角函数的最值问题
由于三角函数本身取值范围就有一定的限制,因此三角函数的最值问题也是考查的重要内容.其中以正弦与余弦有关的最值问题居多.
例5. 已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间. [解析](I) 解法一:
1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 22)224
x x f x x x x x π
-+=
++=++=++ ∴当224
2
x k π
π
π+
=+
,即()8
x k k Z π
π=+
∈时, ()f x
取得最大值2函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8
x x R x k k Z π
π∈=+∈.
解法二:
2222()(sin cos )2sin cos 2cos 2sin cos 12cos sin 2cos 22
f x x x x x x x x x x x =+++=++=+
+2)4
x π
=++
,∴当224
2
x k π
π
π+
=+
,即()8
x k k Z π
π=+
∈时, ()f x 取得最
大
值2+.函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为
{/,()}
8
x x R x k k Z π
π
∈=+
∈. (II)解
: ()2)4
f x x π
=++由题意得: 222()2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈
即: 3()88k x k k Z ππππ-
≤≤+∈因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88
k k k Z ππ
ππ-+∈. [点评]:本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运
用三角有关知识的能力.解此类问题的关键是把函数进行合并,利用正弦与余弦函数的有界性判定最值.
例6. 求当函数2
13
sin cos 22
y x a x a =+-
-的最大值为1时a 的值. [解析]:2
1cos cos 22a y x a x =-+--2211
(cos )2422
a a x a =--+
--,设cos x t =则11t -≤≤,所以转化为求二次函数2211
()2422
a a y t a =--+--(11t -≤≤)的最大值为1
时a 的值.
(1).当
12a <-,即a ＜－2时,t ＝－1,y 有最大值3322a --,由题设可知,33
122a --=,所以,5
23
a =->-(舍去);
(2).当112a -≤≤,即22a -≤≤时,2a t =,y 有最大值
21
422
a a --,由题意可得21
1422
a a --=,解得1a =正号舍去),即1a =(3).当
12
a >,即a ＞2时,t ＝1,y 有最大值322a -,由题意可知,3
122a -=,所以,a ＝5.
综上可知,1a =a ＝5.
[点评]:此题实际上就是在限定区间上求二次函数的最值问题.解题的关键是对所转化的二
次函数进行配方,找出函数的对称轴,根据三角函数的取值范围对对称轴中字母的讨论.讨论的依据就是看对称轴是否在t 的取值范围内,也即t 是否可以等于对称轴. 五、不等式中的最值问题
不等式本身就是来解决最大值与最小值的一种工具.而“两个正数的算术平均数不小于这两个数的算术平均数”这一结论为求最值提供了依据.
例7. 求函数()()
y x x x
=
++49的最值.
[解析]:(1).当x >0时，2536
2133613=?+≥++=x
x x x y
当且仅当x x
=36
即6=x 时取等号。所以当x =6时，y min =25
(2).当x <0时，->-
>x x 0360，， ()()-+-?? ???≥--?? ??
?=x x x x 36236
12 11213)]36
()[(13=-≤-+--=∴x x y
当且仅当-=-x x
36
，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121
[点评]:本题主要应用均值不等式，不要忽略了应用均值不等式求最值时的条件:两个数都应大于零，否则可能导致错误.因为函数()()
y x x x
=
++49的定义域为()()-∞+∞，，00 ，
所以必须对x 的正负加以分类讨论. 六、与导数中有关的最值问题
导数是判断高次函数性质的重要方法,它从函数的单调性入手分析函数的图像特征,从而得出函数的极值或最值.
例8. 已知函数ax x x f +-=2)(，3
)(x x g =，方程0)(=x f 的一个根是6.
（1）求函数)(x f 和)(x g 的图象在第一象限内的交点A 的坐标；
（2）若直线)20(<<=t t x 与函数)(x f 和)(x g 的图象的交点分别是M 、N ，试求当t 取何
值时线段MN 的长度取得最大值；
（3）已知函数)(x f 图象在M 点处的切线为1l ，)(x g 的图象在N 点处的切线为2l ，若1l 、2l 与x 轴的交点分别为P 、Q ，试求P 、Q 两点之间距离的取值范围.
[解析]：(1).方程0)(=x f 即02
=+-ax x ，它有一个根6，所以得6=a ，这样
x x x f 6)(2
+-=.由?????=+-=3
2
6x
y x x y 得x x x 62
3+-=，解得3,2,0-=x .当2=x 时得8=y ，所以函数)(x f 和)(x g 的图象在第一象限内的交点A 的坐标是)8,2(；
(2).依题意得线段
MN
的长度t t t t t t MN 6)6(||2332+--=-+-=,设
t t t t h 6)(23+--=，则623)(2'+--=t t t h ，令0)('=t h ，得3
19
1±-=
t ， 由于20< 19 1+-= t ，当31910+-< 23191<<+-t 时0)(' 1+-= t 时函数)(t h 取得最大值.即当3 19 1+-= t 时，线段MN 的长度取得最大值； （3）由于)6,(2t t t M +-，62)(' +-=x x f ，所以函数)(x f 图象在M 点处的切线1l 的斜率为62+-t ，于是1l 的方程为))(62()6(2 t x t t t y -+-=+--，令0=y 得 6 22662 2-=+--=t t t t t t x P ;同理,),(3t t N ，2'3)(x x g =，所以2l 的方程为 ) (323t x t t y -=-，令 =y 得 3 2t x Q = .所以 ]63 27 )3[(61)3(6126232||22----?=--=--=-=t t t t t t t t x x PQ P Q ,因为20< 133-<-<-t ，于是可得)3 10 ,0(]6327)3[(61∈----?t t ，故P 、Q 两点之间距离的取值 范围是)3 10 ,0(. [点评]:我们知道,在闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.极值有时候就是最值,但最值也有可能在区间端点处取.因此解决这一类问题的方法是:先求出在对应区间上的极值,再与区间端点的函数值进行对比.最大的为最大值,最小的为最小值. 七、应用题中的最值问题 应用题是考查综合知识的载体,它可以把各方面的知识进行整合、联系,而求最值问题也是应用题中出现频率较高的问题. 例9.(2006年湖南高考题)对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1() - 污物质量 物体质量含污物)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供 选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a (1≤a ≤3).设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 0.8 1 x x ++(1x a >-),用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是 y ac y a ++,其中(0.80.99)c c <<是该物体初次清洗后的清洁度. (Ⅰ)分别求出方案甲以及0.95c =时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙,当a 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响. [解析]:(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z,由题设有 0.8 1 x x ++=0.99,解得x=19. 由0.95c =得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y 满足方程: 0.950.99,y a y a +=+解得y=4a ,故z=4a +3.即两种方案的用水量分别为19与4a +3. 因为当13,4(4)0,a x z a x z ≤≤-=->>时即,故方案乙的用水量较少. （II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似（I ）得 54 5(1) c x c -= -，(99100)y a c =-（*） 于是545(1)c x y c -+=-+(99100)a c -1 100(1)15(1)a c a c = +---- 当a 为定值时,11x y a a +≥-=-+, 当且仅当 1100(1) 5(1)a c c =--时等号成立.此时1c =(不合题意,舍去)或 1(0.8,0.99) c =,将1c =*）式 得11,.x a y a =>-= 故1 c =- 时总用水量最少, 此时第一次与 第二次用水量分别为 1a 与,最少总用水量是()1T a a =-+. 当'13,()10a T a ≤≤= >时,故T(a )是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着a 的值的增加,最少总用水量增加. [点评]:应用题中的变量必须根据实际问题进行约束,它可以把“均值不等式”、函数的单调性及导数等知识综合起来考查.要正确解决此类问题首先要正确理解题目的含义进行正确转换,进而选用相关数学知识进行求解. 由以上可知,不等式的知识贯穿了整个高中数学教材,要注意各部分知识之间的互相联系和区别,在不同的知识中选择最合适的方法加以应用. 一、配方法 例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值． 解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值． 解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5≤ y ． 因此 4 5 max = y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤ x ．即 8 1max =x ． 同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ． 注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 例4：已知函数1 1 3452 2+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ． 因此 7max =y ，1min -=y ． 例5：已知函数)(1 2R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a , 解析： 01 2 22 =-+-?+=+?++= b y ax yx b ax y yx x b ax y 含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4 目录 1 引言 0 2 文献综述 (1) 2.1国内研究现状 (1) 2.2国内研究现状评价 (2) 2.3提出问题 (2) 3 高中数学常见最值问题及解题策略 (2) 3.1无理函数的最值问题 (2) 3.2三角函数的最值问题 (4) 3.3 数列的最值问题 (6) 3.4 平面向量的最值问题 (10) 3.5 圆锥曲线的最值问题 (11) 3.6具有几何意义的最值问题 (14) 3.7几个特殊类型函数的最值问题 (17) 3.8用特殊方法求一类函数的最值问题 (23) 4. 结论 (24) 4.1主要发现 (24) 4.2启示 (24) 4.3局限性 (24) 4.4努力的方向 (25) 参考文献 (25) 1 引言 最值问题是人们在生产和日常生活中最为普遍的一种数学问题，它的应用性和实用性非常广泛，无论是在生产实践中还是在科学研究领域我们都会遇到一些关于“最好”、“最省”、“最低”、“最优”、“最大”、“最小”等问题，这些问题一般都是转化为最值问题进行求解．此类问题的求解，不仅充分训练了学生把实际问题抽象成数学问题的思维方式，还培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时也使学生逐步形成了应用数学的意识．在近几年的高考题中，最值问题是考试命题的一个重点，它占了高考分数的5%~23%．从题型上讲，主要以选择题、填空题和解答题三种形式出现．从难易程度上讲，主要有基础题、中档题和高档题三种题型．它在考查基础知识的同时，也逐步加强了对能力的考查，高考将注重检查学生对所学课程内容达到融会贯通的程度．因此，求解最值问题将会是高考的一个难点，学生不但要较好地掌握各个分支的知识，还要善于捕捉题目信息，有较强的思维能力，能够运用各种数学技能，灵活选择适当的解题方法，方能达到事半功倍之效．文章从高中数学试题中经常出现的无理函数、三角函数、数列、向量、圆锥曲线和解析式具有几何意义的最值问题以及三类特殊最值问题几个方面对高中数学最值问题进行相关探讨，给出求高考数学最值问题的解题策略，为学生的备考和教师的教学提供相应的指导． 2 文献综述 2.1国内研究现状 对于中学数学中最值问题的求解，国内已经有了一定的探讨，文[1]－[5]中总结归纳了最值问题的常用求解方法；文[6]通过举例讨论了一类无理函数最值的求解策略；文[7]讨论了如何巧求一类二元函数的最值；文献[8]针对解析式具有几何意义的函数的最值巧妙求法方法进行了归纳总结；文[9]给出了三类最小值问题的统一解法及一般结果；文[10]对一类函数最小值问题的处理方法进行了探讨；文[11]对一类函数最小值问题的处理方法进行了相关的补充；文[12]介绍了几种关于应用均值定理求最值的方法；文[13]给出了2005～2009年中最新五年高考真题及其详解；文[14]～[15]介绍了函数最值的 1 精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年级：高三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学 学科教师：刘剑授课 类型 T (同步知识主题) C （专题方法主题） C （专题方法主题） 授课日 期时段教学内容 绝对值类型（2） 专题二：局部绝对值 例1：若不等式a ＋21 x x ≥2log 2x 在x ∈(12，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为． 例2：关于x 的不等式x 2＋9＋|x 2－3x |≥kx 在[1,5]上恒成立，则实数k 的范围为________．例3：设实数1a ，使得不等式a a x x 23，对任意的实数2,1x 恒成立，则满足条件的实数a 的范围是 . 2 例4：设函数f(x)＝x 2＋|2x －a|(x ∈R ，a 为实数)． (1)若f(x)为偶函数，求实数 a 的值；(2)a=2时，讨论函数)(x f 的单调性； (3)设a>2，求函数f(x)的最小值． 例习1：已知函数f(x)＝|x －m|和函数g(x)＝x|x －m|＋m 2 －7m. (1)若方程f(x)＝|m|在[4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；[来源学#科#网Z#X#X#K](2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f(x 1)>g(x 2)成立，求实数m 的取值范围．练习2：设 a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a . （1）若 (0)1f ，求a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值； （3）设函数 ()(),(,)h x f x x a ，求不等式()1h x 的解集. 3 专题三：整体绝对值 3 例1.已知函数f(x)＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f(a)＝f (b)，则ab ＋a ＋b 的取值范围是． 例2.设函数d cx bx ax x f 23)(是奇函数，且当33x 时，)(x f 取得最小值932设函数)1,1()13()()(x x t x f x g ，求)(x g 的最大值)(t F 练习3：21 0x 时，21 |2|3x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为． 练习4：设函数3221() 23(01,)3 f x x ax a x b a b R . （Ⅰ）求函数f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的 ],2,1[a a x 不等式f x a 成立，求a 的取值范围。 高中数学：导数与函数的极值、最值练习 (时间:30分钟) 1.函数f(x)=ln x-x在区间(0，e]上的最大值为( B ) (A)1-e (B)-1 (C)-e (D)0 解析:因为f′(x)=-1=，当x∈(0，1)时，f′(x)>0;当x∈(1，e]时， f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x=1时，f(x)取得最大值ln 1-1=-1. 2.(豫南九校第二次质量考评)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值，则常数c的值为( C ) (A)4 (B)2或6 (C)2 (D)6 解析:因为f(x)=x(x-c)2， 所以f′(x)=3x2-4cx+c2， 又f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值， 所以f′(2)=12-8c+c2=0，解得c=2或6， c=2时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值; c=6时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值; 所以c=2. 3.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 解析:函数定义域为(0，+∞)，且f′(x)=6x+-2=，不妨设g(x)=6x2-2x+1. 由于x>0，令g(x)=6x2-2x+1=0，则Δ=-20<0， 所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立， 即f(x)在定义域上单调递增，无极值点. 4.(银川模拟)已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x-ax(a>)，当x∈(-2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( D ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为-1. 令f′(x)=-a=0，得x=， 2019人教版精品教学资料·高中选修数学 一、选择题 1．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】已知点P 是抛物线2 2y x =上的一个动点，则点 P 到点()0,2A 的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ） A . 9 2 B C . 2 D . 2 【答案】D 2．【吉林省舒兰一中2017-2018学年高二上学期期中】如图，已知椭圆 22 13216 x y +=内有一点()122,2,B F F 、是其左、右焦点， M 为椭圆上的动点，则1MF MB +的最小值为（ ） A . B . C . 4 D . 6 【答案】B 【解析】() 122MF MB a MF MB +=-- 2 2BF a ≥-→ == 当且仅当2,,M F B 共线时取得最小值故答案选B 3．【北京朝阳垂杨柳中学2016-2017学年高二上学期期中】已知经过椭圆 22 12516 x y +=右焦点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1AF B 的周长等于（ ） A . 20 B . 10 C . 16 D . 8 【答案】A 【解析】因为椭圆的方程为 22 12516x y +=，所以由椭圆的定义可得1212210,210AF AF a BF BF a +==+==， 1ABF ∴?周长为112220AF BF AF BF +++=，故选A . 4．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中】设为定点，动点满 足 |，则动点的轨迹是（ ） A . 椭圆 B . 直线 C . 圆 D . 线段 【答案】D 5．【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考】已知椭圆： 22 2 1(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ） A . 1 B C . 3 2 D 【答案】D 【解析】试题分析：由椭圆定义，得2248AB AF BF a ++==，所以当线段AB 长度达最小值时， 22BF AF +有最大值．当AB 垂直于x 轴时， 22 2min ||222 b b AB b a =?=?=，所以22BF AF +的最大 值为2 85b -=，所以23b =，即b = D ． 考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系． 【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定 1、在C语言中，求绝对值的数学函数是( A )。 A、fabs() B、exp() C、pow() D、sqrt() 2、C语言可以使用printf函数实现输出，该函数在头文件( A )中定义。 A、stdio.h B、lib.h C、math.h D、printf.h 3、以下关于变量定义错误的是(A )。 A、char for; B、float USS; C、double int_; D、int _int; 4、在C语言中，求平方根的数学函数是( B )。 A、exp() B、sqrt() C、pow() D、fabs() 5、在C语言中，用printf函数输出float型数据时，可以使用格式控制符( B )。 A、%d B、%f C、%c D、%lf 6、以下说法正确的是( B )。 A、do-while语句构成的循环必须用break语句才能退出 B、do-while语句构成的循环，当循环条件为假时结束循环 C、do-while语句构成的循环，当循环条件为真时结束循环 D、不能使用do-while语句构成的循环 7、执行语句for(i=1;i<=10;i++) continue;后，i值为( C )。 A、9 B、无穷 C、11 D、10 8、C语言程序的基本控制结构是( B )。 A、循环结构 B、顺序、分支、循环 C、分支结构 D、顺序结构 9、float x ; 该语句将变量x定义为（B ）类型。 A、双精度实型 B、单精度实型 C、字符型 D、整型 10、C 语言可以使用getchar()函数实现输入，该函数在系统头文件（ D ）中定义。 A、string.h B、用户自定义函数 C、math.h D、stdio.h 11、设x、y、z都是整型变量，x、y的初值都是5，执行z=(++x)+(y--)+1后，x、y、z三变量的值按顺序是( D )。 A、6，5，11 B、5，5，11 C、6，4，11 D、6，4，12 12、C语言中，三条边a、b、c能构成三角形的逻辑表达式是( D )。 A、a+b>c B、a>b>c C、a-b 高中数学函数最值问题的常见求解方法 一、配方法 例１.当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322?-=+的最大值和最小值． 解析：3 4)322(32 + - -=x y ，当01≤≤-x 时， 12 2 1≤≤x ．可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法:若能将问题转化为一元二次方程有无实根的问题，则常利用判别式求得函数的最值． 例2.若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则max x = ， min y = . 解析：由已知，变形得：0)()12(22=++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(2 2≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 8 1≤ x ．即 8 1max = x ． 同理，0)()12(22=-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(2 2 ≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 8 1- ≥y ．即 8 1min - =y ． 例3.在2 0π ≤ ≤x 条件下，求2 ) sin 1()sin 1(sin x x x y +-= 的最大值． 解：设x t sin =，因0(∈x ，)2 π，故 10≤≤t ，则2 ) 1()1(t t t y +-= ，即 0)12()1(2 =+-++y t y t y 因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2 ≥+--=?y y y 即 8 1≤ y 。 将8 1= y 代入方程得 0[3 1∈= t ，]1，所以8 1max = y . 注意：因0≥?仅为方程0)12()1(2 =+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须 将8 1= y 代入方程中检验，看等号是否可取． 练习：已知函数)(1 2 R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a ,.（答案： 3=b ，4±=a ） 三、换元法 (一)局部换元法 例4.求函数x x y 21-+=的最值． 解析：设x t 21-= (0≥t )，则由原式得11)1(2 12 ≤+-- =t y 当且仅当1=t 即0=x 时取 等号．故1max =y ，无最小值． 例5.已知20≤ ≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值． 解析：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin 则 22≤ ≤- t 且2 1cos sin 2 -= t x x ，于是]1)[(2 12 2-++= a a t y 当2= t 时，21 22 max + + =a a y ；当a t -=时，)1(2 1 2 min -= a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解． (二)三角代换法(有时也称参数方程法) 例6.已知x 、y R ∈，4122≤+≤y x ．求22y xy x u ++=的最值． 解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数),因 4122≤+≤y x ，故 412≤≤t )2sin 2 11()sin sin cos (cos 2 2 2 2 θθθθθ+ =++=∴t t u 故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，2 1max =u ． 练习1：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设22y x S +=，则 max 1S +min 1S =____。 练习2：已知x 、y R ∈且x y x 6232 2=+，求y x +的最值． 解析：化x y x 6232 2=+为123)1(2 2 =+-y x ，得参数方程为?? ? ??=+=θθsin 26 cos 1y x )sin(2 101sin 26cos 1?θθθ++ =+ +=+∴y x ， 故 2 101)(max +=+y x ，2 101)(min - =+y x ． (三)均值换元法 例7.已知1=+b a ，求证：4 4b a +的最小值为 8 1． 解析：由于本题中a 、b 的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可 1. 已知函数2 ()(1)x f x x e ax =-+ 有两个零点. （1）当a =1时，求()f x 的最小值； （2）求a 的取值范围； （3）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明12+0x x <. 【（1）(,0)-∞ 减(0,)+∞ 增（2）0a > ；说明零点存在，用不等式放缩，半a 与-1的较量；极值点偏移】 2. 【★★】已知函数2 ()ln 2()f x x x x ax a R =+-+∈ 有两个不同的零点12,x x . （1）求实数a 的取值范围. （2）求证：12+2x x >. （3）求证：121x x ?>. 【（1）3a > 】 3. 已知函数2()ln f x x x ax =- ，a R ∈ . （1）当12 a = 时，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x < ，求1()f x 的取值范围. 4. （2016全国一：21）已知函数2)1(2)(-+-=x a e x x f x ）（有两个零点. (I)求a 的取值范围； (II)设12x x ，是的两个零点，证明：12 2.x x +< 5. 已知函数ln ()=x f x x . （1）求函数()f x 的极值； （2）当0x e << 时，求证：()()f e x f e x +>- ； （3）设函数()f x 图像与直线y m = 的两交点分别为11(,())A x f x ，11(,())B x f x ，AB 中点横坐标为0x ，证明：0'()0f x < . 高考数学函数专题训练 含绝对值的函数 一、选择题 1.函数x x x x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域为（ ） A ．{ }3,1 B.{}3,1- C.{}3,1-- D.{}3,1- 【答案】B 【解析】当sin 0,cos 0x x >>时3y =,sin 0,cos 0x x ><时1y =-,sin 0,cos 0x x <>时1y =-,sin 0,cos 0x x <<时3y =,∴值域为{}3,1- 2．函数()ln 1 1x f x x -=-的图象大致为 ( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】由于()ln 3022f =>，排除C 选项，()ln 1220f =->，排除B 选项，11221 ln 20f ??=< ??? ，不选A,故选D. 3．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,设)1()1()(-+-=x g x f x h ,则下列结论中正确的是( ) A ．)(x h 关于)0,1(对称 B ．)(x h 关于)0,1-(对称 C ．)(x h 关于1=x 对称 D ．)(x h 关于1-=x 对称 【答案】C 【解析】因为函数()f x 是奇函数,所以()f x 是偶函数,即()f x 与()g x 均为偶函数,其图象均关于y 对称,所以(1)f x -与(1)g x -的图象都关于直线1x =对称,即()(1)(1)h x f x g x =-+-的图象关于直线1x =对称,故选C ． 4.已知()()2 11f x ax x a x =+--≤≤且1a ≤,则()f x 的最大值为( ) A ．54 B ．34 C ．3 D ．1 【答案】A 【解析】由题意得：()() 222111f x a x x a x x x x =-+≤-+≤-+ 11x -≤≤Q 2 2221511124x x x x x x x ??∴-+=-+=-++=--+ ??? ∴当12x =，即12x =±时，()2max 514 x x -+= 即：()54 f x ≤，即()f x 的最大值为54，故选A . 5．若函数()111101x x f x x x ?+-≠?=-??=? ，，，关于x 的方程2() ()0f x b f x c ++=有3个不同的实数根，则 （ ） A ．b ＜﹣2且c ＞0 B ．b ＞﹣2且c ＜0 C ．b ＝﹣2且c ＝0 D ．b ＞﹣2且c ＝0 【答案】C 【解析】令t ＝f （x ），则t 2+bt +c ＝0，设关于t 的方程有两根为t ＝t 1，t ＝t 2， 关于x 的方程2() ()0f x b f x c ++=有3个不同的实数根等价于函数t ＝f （x ）的图象与直线t ＝t 1，t ＝t 2的交点个数为3个，作出()f x 的简图如下： 最值问题 一、点击高考 最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面。以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。因此，它在高考中占有比较重要的地位。 回顾近几年高考，从题型分布来看，大多数一道填空或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右。特别是2003年北京卷，选择、填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题一道，解答题也是两道，总分值有近30分，两份试卷中均有一道实际应用问题。 由此看来，最值问题虽然是老问题，但一直十分活跃，尤其导数的引入，更是为最值问题的研究注入了新的活力。 可以预见：2005年的高考命题中，有关最值问题，题型、题量、分值将保持稳定，题目的背景会更贴近学生的实际生活，更关注社会热点问题，难度不会太难。 二、考点回顾: 分析已有考法，最值问题的呈现方式一般有以下几种： 1、函数的最值； 2、学科内的其它最值，如三角形的面积最值问题、几何体的体积最值问题、数列的最大项等等； 3、字母的取值范围； 4、不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，例如： f(x)≥0对x∈R恒成立?f(x)的最小值≥0成立， f(x)≤0对x∈R恒成立?f(x)的最大值≤0成立； 5、实际应用问题： 实际应用问题中，最优化问题占的比例较大，通过建模可化为最值问题。这类题已成为这几年高考的热点。可以肯定，这个热度会继续保持。 三、知识概要 1、求函数最值的方法： “数”和“形”，数形结合： 配方法 直接法 均值不等式法 单调性 代数方法 导数法 判别式法 间接法 有界性 函数的图像 平面几何知识 几何方法 线性规划 解析几何 斜率 两点间距离 2、求几类重要函数的最值方法； （1）二次函数：配方法和函数图像相结合； （2）),0()(R a a x a x x f ∈≠+=:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数。 3、实际应用问题中的最值问题一般有下列三种模型： 能直接判断 线性规划 建立目标函数 曲函数的最值 四、典型例题分析 例1(2002·全国卷·理·21) 设a 为实数，)(1)(2R x a x x x f ∈+-+=， （1）讨论)(x f 的奇偶性； 纵观近几年的高考试卷，有关含绝对值函数的问题呈现出综合性强、立意新颖、难度大等特点，正日益成为高考的热点. 利用绝对值函数的图象和性质 在解有关含绝对值函数的客观题时，要运用好绝对值函数的图象和性质，根据题意，利用函数y=f（x）图象的翻折和平移得到y=f（x），y=f（x），y=f（x-m）等含绝对值函数的图象，然后利用图象求解. 对于常见的含绝对值的函数的图象和性质，要熟练掌握，才有利于提升解题速度.如：y=ax（a>0，a≠1），y=ax-1，y=logax，y=logax（a>0，a≠1），y=ax2+bx+c，y=，y=x+（a>0），y=ax-b，y=ax2+bx+c等. 例1 函数f（x）=2xlog0.5x-1的零点个数为 . （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解析：由f（x）=2xlog0.5x-1=0可得log0.5x=x，设h（x）=x，g（x）=log0.5x，在同一坐标系中分别画出函数g（x）和h（x）的图象（如图1所示），可以发现两个函数的图象有2个交点，即函数f（x）有2个零点.所以答案选B. 点评：解例1的关键是作出g（x）=log0.5x的图象，然后观察它与函数h（x）=x 的图象的交点个数，交点个数即为函数f（x）零点的个数. 例2 已知函数f（x）=x-4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）=x+b的图象为 . 解析：f（x）=x-4+=（x+1）+-5≥2-5=1，当且仅当x+1=时函数f（x）取到最小值1，即（x+1）2=9. 因为x∈（0，4），故x=2.由题意可知：a=2，b=1，故g（x）=x+1，其图象可由函数y=x的图象先进行翻折变换得到函数y=x的图象，然后再将所得图象向左平移1个单位后得到，所以答案为B. 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】 试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为 高中数学例说圆锥曲线有关最值问题论文 例说圆锥曲线有关最值问题 中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切，最值问题有两个特点：①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素间关系，对称性，四边形面积，解二元二次方程组，基本不等式等）②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法，判别式法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。 常见求法： 1、回到定义 例1、已知椭圆 22 1259 x y +=，A （4，0），B （2，2）是 椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求 5 ||||4 PA PB +的最小 值； （2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值。 略解：（1）A 为椭圆的右焦点。作PQ ⊥右准线于点Q ，则由椭圆的第二定义||4|| 5 PA e PQ ==， ∴5 ||||||||4 PA PB PQ PB +=+.问题转化为在椭圆上找一点P ，使其到点B 和右准线的距离之和最小，很明显， x y O P'P" P A Q B C 点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为17 。 4 （2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC| ∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|) 根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即-|BC|≤|PB| -|PC|≤|BC|.当P到P"位置时，|PB| -|PC|=|BC|，|PA|+|PB|有最大值，最大值为 10+|BC|=1010 +；当P到P"位置时，|PB| -|PC|=-|BC|，|PA|+|PB|有最小值，最小值为 10-|BC|=10210 - 回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。另外，（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。 2、利用闭区间上二次函数最值的求法 例2、在抛物线24x y=上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。 解：设抛物线上的点)4,(2t t P，点Ｐ到直线4x-y-5=0 高中数学常见题型解法归纳 绝对值常考题型的解法 【知识要点】 一、去绝对值常用的有两种方法. 方法一：公式法 0||000 x x x x x x ì>??==í?-||x a x a x a a x a ?<- 【点评】解含一个绝对值的不等式，一般利用公式法解答，解答含两个绝对值的不等式，一般利用零点讨论法. 【反馈检测1】已知函数2 ()|1|f x x =-. （Ⅰ）解不等式()22f x x ≤+； （Ⅱ）设0a >，若关于x 的不等式()5f x ax +≤解集非空，求a 的取值范围. 【例2】已知函数()12f x x x =+-。 （Ⅰ）求不等式()6f x ≤-的解集； （Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，求实数a 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）()1,1,1231,10,1,0.x x f x x x x x x x -<-??=+-=+-≤≤??->? 则不等式()6f x ≤-等价于1,16x x <-?? -≤-?或10,316x x -≤≤??+≤-?或0,1 6.x x >??-≤-? 解得5x ≤-或7x ≥. 故该不等式的解集是{ 5x x ≤-，或}7x ≥. （Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =， 函数的最值问题（高一） 一．填空题： 1. ()35,[3,6]f x x x =+∈的最大值是 。1 ()f x x =，[]1,3x ∈的最小值是 。 2. 函数y =的最小值是 ，最大值是 3.函数21 2810y x x =-+的最大值是 ，此时x = 4.函数[]23 ,3,21x y x x -=∈--+的最小值是 ，最大值是 5.函数[]3 ,2,1y x x x =-∈--的最小值是 ，最大值是 6.函数y=2-x -21 +x 的最小值是 。y x =-的最大值是 7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 最小值是 . 8.函数()2 1f x x =-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。 9.函数y =x x 213+-（x ≥0）的值域是______________. 10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值 11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值 。 12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值 13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 22225 1x x y x x ++=++的最大值是 14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是 15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是 16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为： 18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是 19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是 。 二、解答题 20.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 a 的值。 21.已知二次函数 在 上有最大值2，求a 的值。 []2,3-∈x 12)(2++=ax x a x f []1,0∈x a ax x x f -++-=12)(2 极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权 一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b ）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解 分别为 且 < 2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x 对称若 则 <=> ,( =0, ); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若 则则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性 ③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f(( f(x+)与f( f(x)与f(的大小关系; 答题模式： 已知函数y=f(x)满足 ,为函数y=f(x)的极值点,求证： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性 第八课时 函数的最值 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．了解函数的最大值与最小值概念； 2．理解函数的最大值和最小值的几何意义； 3．能求一些常见函数的最值和值域． 自学评价 1．函数最值的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ． 若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =； 若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =； 2．单调性与最值： 设函数()y f x =的定义域为[],a b ， 若()y f x =是增函数，则max y = ()f a ，min y = ()f b ； 若()y f x =是减函数，则max y = ()f b ，min y = ()f a ． 【精典范例】 一．根据函数图像写单调区间和最值： 例1：如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间． 【解】 由图可以知道： 当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-； 当3x =时，函数取得最大值为3； 函数的单调递增区间有２个：( 1.5,3)-和(5,6)； 该函数的单调递减区间有三个：(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7) 二．求函数最值： 例2：求下列函数的最小值： （1）22y x x =-； （2）1()f x x = ，[]1,3x ∈． 【解】 （１）222(1)1y x x x =-=-- ∴当1x =时，min 1y =-； []1,3x ∈上是单调减函数，所以当3x =时函数1()f x x =取得1. 函数()4(0)f x x mx m =-+>在(,0]-∞上的最小值（A ） ()A 4 ()B 4- ()C 与m 的取值有关 ()D 不存在 2. 函数()f x =的最小值是 ０ ，最大值是 32 ． 3. 求下列函数的最值：高中数学函数最值问题的常见求解方法
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