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2016届上海市金山区高三一模数学试题及答案

金山区2015学年第一学期期末考试

高三数学试卷

(满分:150分,完卷时间:120分钟)

(答题请写在答题纸上)

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.3

21

3lim

+-∞→n n n = .

2.已知全集U =R ,集合M ={x | x 2–4x –5<0},N ={x | x ≥1},则M ∩(U N ) = . 3.若复数z 满足i

21i

43-+=

z (i 为虚数单位),则z = . 4.若直线l 1:6x +my –1=0与直线l 2:2x -y +1=0平行,则m = .

5. 若线性方程组的增广矩阵为???? ??212332c c ,解为?

??==12y x ,则c 1–c 2= . 6.方程4x – 6?2x +8=0的解是 . 7.函数y =sec x ? sin x 的最小正周期T = . 8.二项式6

2)1(x

x -

展开式中3x 系数的值是 . 9.以椭圆

116

252

2=+y x 的中心为顶点,且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是 . 10.在报名的5名男生和3名女生中,选取5人参加数学竞赛,要求男、女生都有,则不同的选取方式的种数为 .(结果用数值表示) 11.方程cos2x +sin x =1在(0,π)上的解集是 . 12.行列式

d

c b a (a 、b 、c 、

d ∈{–1,1,2})所有可能的值中,最小值为 .

13.已知点P 、Q 分别为函数1)(2+=x x f (x ≥0)和1)(-=x x g 图像上的点,则点P 和

Q 两点距离的最小值为 .

14.某种游戏中,用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”,它们从棱长为1的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…,黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…,它们都遵循如下规则:所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线(其中i 是正整数).设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、黄“电子狗”间的距离是 .

A

P

M x

y B

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.“直线l 1、l 2互相垂直”是“直线l 1、l 2的斜率之积等于–1”的( ).

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件 16.若m 、n 是任意实数,且m >n ,则( ).

(A) m 2>n 2 (B)

1

(C) lg(m –n )>0 (D) n

m )2

1()21(<

17.已知,是单位向量,0=?,

且向量满足||--=1,则||的取值范围是( ). (A) ]12,12[+- (B) ]2,12[-

(C) ]12,

2[+ (D) ]22,22[+-

18.如图,AB 为定圆O 的直径,点P 为半圆AB 上的动点.过点P 作AB 的垂线,垂足为Q ,过Q 作OP 的垂线,垂足为M .记

弧AP 的长为x ,线段QM 的长为y ,则函数y =f (x )的大致图像是( ).

三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分12分)

在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a =3,cos A =3

6

,B=A +2π.

试求b 的大小及△ABC 的面积S .

(A)

)

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(B)

(C)

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y

(D)

20.(本题满分14分,第(1)小题6分,第(2)小题8分)

在直三棱柱111C B A ABC -中,1==AC AB ,

90=∠BAC ,且异面直线B A 1与1

1C B 所成的角等于

60,设a AA =1.

2016届上海市金山区高三一模数学试题及答案

(1) 求a 的值;

(2) 求三棱锥BC A B 11-的体积.

21.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.

2016届上海市金山区高三一模数学试题及答案

22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.

已知函数()()01||≠-+

=x x

m

x x f . (1) 当m =2时,证明f (x )在(–∞,0)上是单调递减函数; (2) 若对任意x ∈R ,不等式f (2x ) > 0恒成立,求m 的取值范围; (3) 讨论函数y

=f (x )的零点个数.

23.(本小题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.

已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S 1>1,且2362

++=n n n a a S (n ∈N *).

(1) 求{a n }的通项公式; (2) 设数列{}n b 满足??

?=为奇数

为偶数

n n a b n

a n n ,2,,T n 为数列{

b n }的前n 项和,求T n ; (3) 设为正整数)

n b b C n

n n (,1

+=

,问是否存在正整数N ,使得当任意正整数n > N 时恒有C n >2015成立?若存在,请求出正整数N 的取值范围;若不存在,请说明理由.

金山区2015学年第一学期期末考试高三数学试卷

评分参考意见

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.

2

3

; 2.{x | –1< x <1}; 3. 5; 4.–3; 5. –1;

6. x=1或x =2; 7.π; 8.–6; 9.y 2=12x ; 10.55 11.?

??

??

?65,6ππ; 12. –6; 13.423; 14.3. 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.B ; 16.D ; 17.A ; 18.A

三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.解:因为cos A =

36,所以sin A =3

3

,………………………………………………1分 又B=A +

2π,所以sin B =sin(A +2π)=cos A =3

6

,……………………………………………2分 又因为B b

A a sin sin =,………………………………………………………………………4分 所以b =A

B

a sin sin ?=23,……………………………………………………………………6分

cos B =cos(A +

2π)= –sin A = –3

3………………………………………………………………8分 sin C =sin(A+B )=sin A cos B +cos A sin B =3

1

,…………………………………………………10分 所以△ABC 的面积S =C ab sin 21=

22

3

. ……………………………………………12分 或解:因为a 2=b 2+c 2–2bc cos A (2分)

即:c 2–43c +9=0,解之得:c =33(舍去),c =3,(2分) △ABC 的面积S =

A bc sin 21=22

3.(2分) 20.解(1)∵BC ∥B 1C 1,∴∠A 1BC 就是异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角,

即∠A 1BC =60?,…………………………………………………………………………2分 又AA 1⊥平面ABC ,AB=AC ,则A 1B =A 1C ,∴△A 1BC 为等边三角形,…………4分

由1==AC AB ,

90=∠BAC 2=

?BC ,

∴121221=?=+?=

a a B A ;……………………………………………6分

(2)连接B 1C ,则三棱锥B 1–A 1BC 的体积等于三棱锥C –A 1B 1B 的体积,

即:B B A C BC A B V V 1111--=,………………………………………………………………9分 △B B A 11的面积2

1

=

S ,……………………………………………………………11分 又⊥∴⊥⊥CA AB CA A A CA ,,1平面B B A 11, 所以611213111=??=

-B B A C V ,所以6

1

11=-BC A B V .………………………………14分 21.解:(1)由题意得:圆R 的半径为22,因为直线OQ OP ,互相垂直,且与圆R 相切,所以四边形OPRQ 为正方形,故42==

r OR ,即162

020=+y x ① ………………3分

2016届上海市金山区高三一模数学试题及答案

22.解:(1) 当m =2,且x <0时,1)(-+

-=x

x x f ,………………………………1分

证明:设x 1

(12)()(2

21121-+---+

-=-x x x x x f x f )22(

)(2112x x x x -+-=)2

1)((2

112x x x x +-= 又x 10,x 2x 1>0,,所以0)2

1)((2

112>+-x x x x 所以f (x 1)–f (x 2)>0,即f (x 1) >f (x 2),

故当m =2时,12

)(-+

-=x x x f 在(–∞,0)上单调递减的. …………………………4分 (2)由f (2x )>0得012

|2|>-+x x

m ,

变形为02)2(2>+-m x

x ,即4

1)212(2)2(22+--=+->x x x m ,

当212=x 即x =–1时, 41]2)2([max 2=+-x

x ,所以4

1>m .…………………………10分

(3)由f (x )=0,可得x |x |–x +m =0 (x ≠0),变为m =–x |x |+x (x ≠0),

令,??

???<+>+-=-=0,0

,||)(22

x x x x x x x x x x g , 作y=g (x )的图像及直线y=m ,由图像可得:

当41>

m 或41

-

1

-=m 时,y=f (x )有2个零点;

当410<

1

<<-m 时,y=f (x )有3个零点.………………………………16分

23.解:(1)1=n 时,23612

11++=a a a ,且11>a ,解得21=a

2≥n 时,,2362++=n n n a a S 2361211++=---n n n a a S ,两式相减得:

12

12336---+-=n n n n n a a a a a 即0)3)((11=--+--n n n n a a a a ,01>+-n n a a , 31=-∴-n n a a ,{}n a ∴为等差数列,13-=n a n . ……………………………4分

(2)?

?

?-=-为奇数为偶数

n n n b n n ,2,131

3,n n b b b T +++= 21. 当n 为偶数时,T n =(b 1+b 3+…+b n –1)+(b 2+b 4+…+b n )

4

)

43()18(6342)

135(2641)81(4++

-=-++--=n n n n

n n

, 当n 为奇数时,T n =(b 1+b 3+…+b n )+(b 2+b 4+…+b n –1)

.4

)13)(1()18(6342)

435(21

641)81(411

+-+-=-+-+--=++n n n n n n ????

?+-+-++-=∴+为奇数

,为偶数n n n n n n T n n

n 4)13)(1()18(63

4,4)43()18(6341………………………………10分 (3)???????+=-==-+++为奇数为偶数n n a n n a C n a n n n a n n

n ,2232,13221312

31, 当n 为奇数时,0)]23(6483[2

1

2232835313532<+-+=+-+=-+-++n n n n C C n n n n n ,

∴C n +2

5

1<=

≤C C n , 因此不存在满足条件的正整数N .……………………………………………………18分