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九上第6周图形与证明二综合训练三

九上第6周图形与证明二提优训练三

1．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（1，），M 为坐标轴上一点，

E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（）

A ．3

B ．3.5

C ．2.5

D ．2.8

3．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，则下列结论： ①EF ∥AD ； ②S △ABO =S △DCO ；③△OGH 是等腰三角形；④BG=DG ；⑤EG=HF. 其中正确的个数是（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若AC=4，则四边形CODE 的周长（）

A ．4

B ．

6 C ．

8 D ．10

5．已知：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD =3，BC =7，则梯形的面积是

A ． 25

B ．50

C ．

D ．4

6．如图，梯形ABCD ，BD ＝AC 且BD ⊥AC ，若AB ＝2，CD ＝4，则S 梯形ABCD ＝ .

7．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，则∠A 的度数是．

8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （

2，3），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P

个．

．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，

CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC

上的点B`处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落

在直线EB`与AD 的交点C`处.则BC ∶AB 的值

为．

10．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED=2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE=1，AG=4，则AB 的长为．

11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，0），（0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为．

12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为BC 的中点，BC ＝2AD ，EA ＝ED ＝2，AC 与

ED 相交于点F ．

（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；

（2）当AB 与AC 具有什么位置关系时，四边形AECD 是菱形？请说明理由，并求出此

时菱形AECD 的面积．

13．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BDC=900，E 为BC 上一点，∠BDE=∠DBC ．

（1）求证：DE=EC ；

（2）若AD=1

BC,试判断四边形ABED 的形状，并说明理由．

14．如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．

（1）求证：△ADF≌△CBE；

（2）求正方形ABCD的面积；

（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．

15．如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．

（1）求证：AE=BC；

（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；

（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．

16．问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．

探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：

解：OM=ON，证明如下：

连接CO，则CO是AB边上中线，

∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）

∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）

反思交流：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：；

依据2：．

（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．

拓展延伸：

（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE 垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

(word完整版)初中数学几何证明题技巧

初中数学几何证明题技巧几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论（就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单），然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有（1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换

图形与证明(二)复习(1)练习2

D C B A D 九年级数学作业（06-09-15）姓名 1、如图，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE 上AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，M 与N 恰好重合，则AE ：BE 等于（） A ．2:1 B ．1:2 C ．3:2 D ．2:3 2、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（） A ．0.5cm B ．1cm C ． 1.5cm D ．2cm 3、如图，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于。 4、矩形ABCD 中，22 =AB ，将角D 与角C 分别沿过A 和B 的直线 AE 、BF 向内折叠，使点D 、C 重合于点G ，且AGB EGF ∠=∠，则 =AD ． 5、已知平行四边形A B C D ，AD a AB b ABC α===，，∠．点F 为线段B C 上一点（端点 B C ，除外），连结A F A C ，，连结D F ，并延长D F 交A B 的延长线于点E ，连结C E ．（1）当F 为B C 的中点时，求证E F C △与A B F △的面积相等；（2）当F 为B C 上任意一点时，E F C △与A B F △的面积还相等吗？说明理由．左右左右第二次折叠第一次折叠图1 图2

6、在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有组；（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？ 7、如图：把一个矩形如图折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF 。（1）找出全等三角形；（2）△DEF 是什么三角形,并证明；（3）连接BE ，判断四边形BEDF 是什么特殊四边形，BD 与EF 有什么关系？并证明。 8、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式；（2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由． A B C D A B C D D C B A P C Q B

图形的认识、图形与证明

【模拟试题】（答题时间：45分钟）一、选择题 1、如图所示，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形，则△AFC 的面积为S ，则（） A 、S=2 B 、S=2.4 C 、S=4 D 、S 与B E 长度有关 2、下列四边形①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形的对角线一定相等的是（） A 、①②③ B 、①②③④ C 、①② D 、②③ 3、如图直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=3，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连AE 、CE ，则△ADE 的面积是（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、不能确定 4、如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB//DC ，AC ⊥BC ，点E 是AB 的中点，EC//AD ，则∠ABC 等于（） A 、75° B 、70° C 、60° D 、30° 5、如图所示，是一个正方形与一个直角三角形所拼成的图形，则该图形的面积为（） A 、mn 21 m 2 + B 、2m mn 2- C 、2 mn m 2+ D 、2 n m 22+ 二、填空题

1、如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_________。 2、已知任意直线l把平行四边形ABCD分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在位置需满足的条件是__________（只需填上一个你认为合适的条件）。 2，3、已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=3 那么AP的长为____________。 4、如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形，请写出其中两个不同的四边形的名称： 5、如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于_________cm，四边形EFGH的面积等于cm。 _________2 三、解答题 1、已知：如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF。（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论。

初中几何常见的基本图形及证明

初中几何基本图形及证明说明：本资料中所有虚线为证明用的辅助线一：与角平分线有关的基本图形基本图形1 结论：如图，若P点是B和C 的平分线的交点，则P和A的数量关系 1为： P 90 A 2 基本图形2 结论：如图，若P点是FBC的平分线和ECB 的平分线的交点，则P与 A 的数量关系为：P 1 90 A 2 基本图形3 如图，若P是ABC 的角平分线和ACB的外角平分线的交点，则P与A 的数量关系为：P 1 A 2

二：等腰直角三角形与其共斜边的直角三角形基本图形 4 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，D 点与C 点分别在 AB 两侧，且 AD BD ，基本图形 5 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，点 D 与C 在 AB 同侧，且 AD BD ，形三：线段和最短与轴对称基本图形 6 两定点一动点如图，A ，B 为直线l 同侧两定点， P 为直线l 上一动点， A 和A 1关于l 成轴对形成共斜边的两个直角三角形。结论： AD BD 2CD 延长 DA 使 EA BD ) AD BD 2CD B （截取 AE BD ） E B 成共斜边的两个直角三角形。结论：

称，连接A1B交直线l于P点。结论：PA PB最短 A1 基本图形7 一定点两动点如图P为AOB内一点，点P1与P关于OB成轴对称，P2与P关于OA成轴对称，连接P1P2交OB于E点，交OA于F 点。结论：△ PEF 的周长最短 P2 基本图形8 两定点两动点如图，A ，B为直角坐标系中的两定点，A1与A关于y轴对称，B1与B关于x 轴对称，连接A1B1分别交x轴、y轴于C、D两点，连A，B，C，D 结论：

图形的认识图形与证明(一)

【本讲教育信息】一. 教案内容：图形的认识、图形与证明（一）几何初步、三角形二. 教案目标：通过对几何初步、三角形基础知识的复习，解决中考中常见的问题。三. 重点、难点：熟练地解决与几何初步、三角形相关的问题四. 课堂教案：中考导航一 ???????? ? ???? ? ?????? ????????????质互余、互补的意义、性角的比较与度量角的和、差及角平分线射线平行线相交线直线公理直线线段的比较与度量线段公理与中点线段的和、差、倍、分线段几何初步知识中考课程标准要求一

中考导航 ???? ?? ? ????? ? ??? ???????????????????????作图性质判定概念全等直角三角形钝角三角形锐角三角形按角等腰三角形不等边三角形按边分类三角形中考课程标准要求【典型例题】例1. 如图能折叠成的长方体是（）（2006年大连市）答案：D 例2. 如图，AC ＝BC ，AE 平分∠CAD ，且∠C ＝40°，则∠DAE ＝_________。（2005年邵阳市）

答案：55° 例3. 如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD//BC ，则有以下结论：①AB//CD ②AB ＝BC ③AB ⊥BC ④AO ＝CO 那么其中正确的结论序号是________________。（2006年烟台市）答案：①②④ 例4. 如图1所示，△ABC 为等边三角形，面积为S 。D 1、E 1、F 1分别是△ABC 三边上的点，且AB 2 1 CF BE AD 111= ==，连结11E D 、11F E 、11D F ，可得△111F E D 是等边三角形，此时△11F AD 的面积S 4 1S 1=，S 41S F E D ' 1111=?的面积。图1 （1）当D 2、E 2、F 2分别是等边△ABC 三边上的点，且AB 3 1 CF BE AD 222===时（如图2所示）

初中数学几何证明技巧资料讲解

辅助线的添加一、添辅助线有二种情况： 1.按定义添辅助线：如：证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2.按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质，但基本图形不完整时。因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线也有规律可循。（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时，添辅助线的关键是：添与二条平行线都相交的第三条直线（2）等腰三角形是个基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时，往往要补全完整的等腰三角形；（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点，添底边上的中线；（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点，往往添斜边上的中线。（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时，往往添加三角形中位线基本图形（6）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时，（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。（8）特殊角直角三角形当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为 1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3 （9）半圆上的圆周角出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；二、基本图形的辅助线的画法 1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理（1）连对角线或平移对角线（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

如何做几何证明题(方法总结)

如何做几何证明题知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。一. 证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两

的角平分线AD、CE相交于O。（补

AE＝BD，连结CE、DE。

求证：BC＝AC＋AD B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。求证：MP＝MQ

图形证明

知识点2：相似三角形判定和性质（1）（2008年山东潍方）如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=（ C ） A. B. C. D. （2）(2008年乐山市)如图（2），小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为（C） A、B、1 C、D、（3）（2008湖南常德市）如图3，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）AB边上的高为，（3）△CDE∽△CAB，（4）△CDE的面积与△CAB 面积之比为1：4.其中正确的有（D） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（4）(2008山东济宁)如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，

发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行20m到达点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（D ） A．24m B．25m C．28m D．30m （5）（2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ B ）（6）(2008 重庆)若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF 为（B ） A、2∶3 B、4∶9 C、∶ D、3∶2 （7）(2008 湖南长沙)在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ C ） A、4.8米 B、6.4米 C、9.6米 D、10米（8）（2008江苏南京）小刚身高1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（ A） A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m （9）（2008湖北黄石）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ B ）

八年级数学几何图形证明之令狐采学创编

八年级数学（上）几何证明练习题令狐采学 1、已知：在⊿ABC中，∠A=90度，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：⊿RDQ是等腰直角三角形。 2、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证： ∠ADB=∠FDC。 3、已知：在⊿ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB，求证：MA⊥NA。 4、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠A BC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC． 5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。 (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)； (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。 6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，求证：CE=DE 7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平

分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。例1（6分题）：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论。（2）DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由。（3）求证：AD＝AB+CD 练2（6分题）：如图，AB∥CD，DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，求证：AD=AB+CD 例3（6分题）：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AD＝AB+CD

图形与证明

13、（05年）如图，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌ △DCB ，则还需增加一个条件是__。（13）（15） 15、（05年）如图，口ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在 CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为__。 18、（05年）（8分）大楼AD 的高为10米，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得踏顶B 处的仰角为60o，爬到楼顶D 点测得塔顶B 点的仰角为30o，求塔BC 的高度。 22、（05年）（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。（1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HB ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 D B A O D B H E C D

图10－1 M G O D B E A C x y F 图10－2 p B G C E M O D A x y ９．（06年）如图4，王华晚上由路灯A 下的B 处走到Ｃ处时，测得影子CD 的长为１米，继续往前走３米到达Ｅ处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于Ａ．4.5米Ｂ．6米Ｃ．7.2米Ｄ．8米图4 10．（06年）如图5，在□ABCD 中，AB : AD = 3:2，∠ADB=60°，那么cos Ａ的值等于Ａ．36- Ｂ．322+ Ｃ．36± Ｄ．322± 图5 13．（06年）如图6所示，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA ，对角线AC 与BD 相交于点O ．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD 是正方形，则还需增加的一个条件是______________．图6 15．（06年）在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为__________________． 18．（06年）（７分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC , AD DC AB ==， 120ADC ∠=．（1）（３分）求证：DC BD ⊥ 证明：（2）（４分）若4AB =，求梯形ABCD 的面积．解：得分 22．（06年）(10分)如图10-1，在平面直角坐标系xoy 中，点M 在x 轴的正半轴上， ⊙M 交x 轴于 A B 、两点，交y 轴于C D 、两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为（－2，0），AE 8= (1)(3分)求点C 的坐标. 解： (2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC 证明： (3)(４分) 如图10-2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时， PF OF 的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. 解： A D B C A B C D A B C D E F A B C D O

图形与证明热点试题

图形与证明一、选择题 1．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【】 A．32B ．26C．25D．23 2．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于【】 A.3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm 3．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【】 A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 4．如图，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是【】 A．△AED≌△BFA B．DE﹣BF=EF C．△BGF∽△DAE D．DE ﹣BG=FG 5．如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.下列结论：①∠DOC=90° , ②OC=OE，③tan∠OCD =4 3 ，④ ODC BEOF S S ? = 四边形中，正确的有【】 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形A n B n C n D n的边长是【】（A） n1 1 3- （B） n 1 3 （C） n1 1 3+ （D） n2 1 3+ 7．已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为【】 A．0 B．1 C．2 D．无法确定 8．一个圆锥的三视图如图所示，则此圆锥的底面积为【】 A．30πcm2 B．25πcm2 C．50πcm2 D．100πcm2 9．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=【】 A．20° B．40° C．50° D．80° 10．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种侧面展开图，那么在原正方体的表面上，与汉字“美”相对的面上的汉字是【】 A．我 B．爱 C．枣D．庄 11．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是【】 A、 B、 C、 D、 12．如图，小明要测量河小岛B到河边公路l的距离，在A点测得30 BAD ∠=°，在C点测得60 BCD ∠=°，又测得50 AC=米，则小岛B 到公路l的距离为【】米．

几何证明Ⅰ：基本图形专题C(教师版)

学科教师辅导讲义年级：科目：数学课时数：课题几何证明教学目的能够结合基本图形及常见图形解决问题教学内容【例题讲解】题型一：基本图形【例1】证明：三角形的内角和180°. 【证明】略基本图形一：（在初三学习三角形一边平行线定理时用于构造“X”型，此处让学生知道有“过顶点作对边的平行线”这一添加辅助线的方法即可.）题型二：基本图形【说明】此处设计的题目主要是让学生熟悉基本图形及其变形.在之后学完四边形和中位线后，经常会运用此基本图形进行证明.

【例2】已知：如图，AC、BD相交于点O，AC BD =∠DBC=∠ACB.求证：OA OD =. 【答案】略【提示】证明△ABC≌△DCB 题型三： A B C E D A B C D E F G 【例3】已知：等边△ABC和等边△CDE，联接AE、BD.求证AE=BD A B C E D 【答案】略 A B C D D

题型四： “角平分线+平行”图中通常会出现等腰三角形【例6】已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，GE∥AD.求证：△AFG是等腰三角形. 【提示】图中标出的四个角相等. 【借题发挥】 .求证：△AEF是1．已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上的一点，F是CB延长线上的一点，DE BF 等腰直角三角形. 【提示】证明全等即可. 2．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB边上的一点，AE=AC，EF∥BC交AC于点F.求证：∠DEC=∠FEC.

【提示】AD 是等腰△AEC 的“三线”，通过全等证得△DEC 是等腰三角形，根据平行证得∠DEC =∠DCE =∠FEC 3.已知：如图，AB AD =，CB CD =.求证：∠ABC =∠ADC . 【答案】略【提示】联接AC 证全等. 4．已知：如图，在△ABC 中，,AB AC BD =⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ,BD 、CE 相交于点O . 求证：OA 平分∠BAC

图形与证明二复习教学案教案

图形与证明二复习教学案教案 Updated by Jack on December 25,2020 at 10:00 am

第一章图形与证明（二）复习教学案一、知识回顾： [1]等腰三角形的性质和判定（1） 1、等腰三角形的性质定理。定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）2 文学语言图形符号语言等边对等角在∵＿＿＿＿＿＿＿＿； ∴＿＿＿＿＿＿＿＿。三线合一（（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD ＿∴＿＿＿，＿＿＿＿＿。（2）∵＿＿＿，＿＿＿＿＿ ∴＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。（（3）∵＿＿＿，＿＿＿＿ ∴∴＿＿＿＿＿，＿＿＿＿。 3 ∵_________________________ ∴_________________________ 4、三角形中位线：图形：几何语言：∵__________________________________ ∴__________________________________ 三角形中位线性质：__________________________________________ [2] 直角三角形的全等判定 1、全等三角形判定定理：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（）（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（）（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（）（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（） 2、角平分线性质：＿＿＿＿＿＿＿＿角平分线判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ∵_________________________ ∵ _________________________ ∴_________________________ ∴_________________________ [3] 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定 1、平行四边形的三条性质：__________________________________________

中考数学热点专题六图形与证明

热点专题六图形与证明【考点聚焦】图形与证明是空间与图形的核心内容之一，它贯穿在整个几何知识的学习及运用之中．内容主要有：了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义；掌握平行线的性质定理和判定定理、全等三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等的判定定理；掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理；掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理；掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理．【热点透视】热点1：把握三角形全等的性质，考查线段相等的证明．例1 （2008郴州）如图１，菱形ABCD 中，E F ，分别为BC 、 CD 上的点，且CE CF =．求证：AE AF =．分析：本题中灵活运用菱形的性质：四边相等，两组对角分别相等．找到全等三角形的对应元素是解本题的关键．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB BC CD AD ===，B D ∠=∠． ∵CE CF =，∴BE DF =．在ABE △与ADF △中，AB AD =，B D ∠=∠，BE DF =． ∴ABE ADF △≌△，∴AE AF =．点评：掌握全等三角形的概念和性质，还要能准确辨认全等三角形中的对应元素，通过证明全等来证明线段相等或者角相等．热点2：紧扣三角形全等的判定，考查三角形全等的开放型问题．例2 （2008湘潭）如图2，在正五边形ABCDE 中，连结对角线AC 、 AD 和CE ，AD 交CE 于F ．（1）请列出图中两对全等三角形_________________（不另外添加辅助线）；（2）请选择所列举的一对全等三角形加以证明．分析：由正多边形的性质可知：正多边形的各边相等，各角相等．这是一类结论不惟一的试题．解决此类问题的关键是依据图形，通过准确辨认全等三角形的对应元素，证明三角形全等．解：（1）△ABC ≌△AED ，△ABC ≌△EDC ；（2）证明：在正五边形ABCDE 中，AB BC CD DE EA ====， ∠EAB =∠B =∠BCD =∠CDE =∠DEA ，故在△ABC 与△AED 中，AB =AE ，∠B =∠DEA ，BC =DE ，∴△ABC ≌△AED ，在△ABC 与△EDC 中，AB =ED ，∠B =∠CDE ，BC =DC ，∴△ABC ≌△EDC ．点评：本考题题干简单清晰，但考点的内容与正多边形的知识相结合，需要具有分解基本图形的能力和基本的探究能力，才能顺利解题．热点3：合理添加辅助线，构造全等三角形解决相关问题．例3 （2008常德）如图3，已知AB AC =，（1）若CE BD =，求证：GE GD =；（2）若CE m B D = （m 为正数），试猜想GE 与GD 有何关系（只写结论，不证明）．

几何图形三要素——欧拉公式的证明

几何图形三要素——欧拉公式的证明摘要：平面几何图形不计长短曲直，数字“1”统帅全局；简单多面体无关体大面小，数字“2”展示共性。著名的欧拉公式深刻揭示了几何图形的本质属性。关键词：平面几何图形（连通图①）、简单多面体②、欧拉公式 ①连通图是指从图中任何一点出发，沿着边可到达任何顶点的图形。 ②没有空洞的多面体称为简单多面体，或者用拓扑学解释，对于一个多面体的表面能够连续地变形为一个球面，这样的多面体就叫做简单多面体。正文：当我们踏进平面几何学大门时，就学到了一个简单的定理：三角形三个内角和等于180°，我们称它为180°定理。由180°定理，可进一步得知，凸n变形的内角和为（n-2）180°（弧度制中为(n-2)π），顺着一个方向的外角和为360°。外角和为360°，是平面上凸多边形的共性，与其边数无关，这是180°定理所揭示的平面图形的基本属性.但在中学数学中只注重180°定理在各种图形研究中的应用，而忽略了它所反映的平面图形比长短曲直更本质的属性，即欧拉公式。今天，我们用简单的180°定理来推演几何图形的三要素：点、线、面之间的特定关系，领悟数学之美妙，感慨前人之杰作，激发心中之追求，萌发研究之创意。一、平面几何图形（连通图）欧拉公式:V-E+F=1的证明情形1.平面多边形（附图1：⑴、⑵、⑶）：设其顶点数V=n，边数E=n，区域（面）数F=1，则V-E+F=1. 情形2.将多边形用不交的对角线剖分成多个三角形所构成的平面图形（附图1：⑷）：设其顶点数V=n，面数(不交的三角形)F=n-2，不交的对角线条数为n-3，得边数E=2n-3，则V-E+F=n-(2n-3)+(n-2)=1，即证. 情形3. 平面上一般的封闭图形（附图1：⑸）：方法一：设F个面(不交区域)分别为n1、n2、…、nF边形，则所有内部面角总和: A =（n1-2)π+(n2-2)π+…+(nF-2)π=(n1+n2+…+nF)π-2Fπ=(2E-n)π-2Fπ…(1). 方法二：由内部V-n个顶点的周角加上外层n边形的内角和(n-2)π得: A=(V-n)2π+(n-2)π…(2). 联立(1)、(2)得V-E+F=1. 情形4.平面连通图（附图:⑹、⑺）：在情形1、2、3的外层任何地方增加一条边，增加的顶点数和边数相同，面数不变.故V-E+F=1对连通图也成立. 情形5.平面连通图特殊情况（附图1：⑻）：

图形与证明1

第一章图形与证明复习题（1）一、基础练习 1、若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是正方形，那么这个四边形的对角线 A 、互相垂直 B 、相等 C 、互相平分 D 、互相垂直且相等 ( ) 2、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，下列结论不正确．．．的是( ) A 、BF= 2 1DF B 、S △FAD =2S △FBE C 、四边形AECD 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ADC ， 3、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（） A ． B ． C ．3 D 4、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF=18㎝，MN=8㎝，则AB 的长等于。 5、如图，直线L 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是。二、例题精讲例１、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点 B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处， (1)求证：B ′E=BF ； (2)设AE=a ，AB=b, BF=c,试猜想a 、b 、c 之间有何数量关系，并给予证明. 例2、如图在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝10 3 ，AD 、BC 的长是x 2 -20x+75=0方程的两根，判断以点D 为圆心、AD 长为半径的圆与以C 圆心BC 为半径的圆的位置关系。 21L D C B A 第5题图 N M F E D C B A 第4题图 A E P B C A C A B C D E F A ′ B ′

关于几何级数的图形证明

关于几何级数的图形证明某日夜里我突发奇想，想到用分形图形来表示各种几何级数，于是写下了上一篇日志。日志发出后我收到了相当多的回复，很多网友告诉我说，这篇日志还留下了很多空白，大有扩展的潜力和推广的空间，非常具有启发性。网友morrowind在原日志第29楼评论说，大图形里面放置若干个相似的小图形时，并不一定要对应边与对应边相拼。考虑一个边长分别为1和根号5的矩形，它能够轻易地分成五个相同的小矩形，并且每一个都和原来的相似。这样的话，我们便又能递归地表示(1/5)^n了。只要能够递归地表示出(1/5)^n，从图形上我们总可以得出Σ(1/5)^n=1/4的结论，因为在每一个尺度下总有四个未被继续分割的区域，其中染色的区域始终占据了1/4。 12楼的est用一个极其简单的式子给出了Σ(1/5)^n=1/4的证明：在五进制中，0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ... = 0.11111...，这恰好就说明了 1/5 + 1/25 + 1/125 + .. = 1/4。上述两套证明方案对所有大于2的正整数n 都成立，并且仔细思考你会看出它们的本质是相同的：0.11111...就是 0.44444...的1/4，因为在每一个小数位上前者都是后者的1/4。网友陈熙发来邮件说，我们不见得非要把原图形分割为n个互相全等的小区域，只要它们面积相等就可以了。为了用图形说明1/5 + 1/25 + 1/125 + .. = 1/4，只需要在大正方形正中间画一个边长为1/sqrt(5)的小正方形即可，然后将“外框”的其中1/4染色，并递归地处理小正方形。这样，我们就非常直观地得到了想要的结论。这个方法同样对所有大于2的正整数n都成立——把正方形改成正n-1边形即可。或者更简单地，我们可以直接用圆来代替正多边形。

苏科版九年级上数学期末复习试卷一(图形与证明)

初三数学期末复习一（图形与证明）一、基础练习 1、下列图形：线段、正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的共有（） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 2、一个菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm,则这个菱形的面积为 ( ) A.48cm 2 B.24cm 2 C.12cm 2 D.18cm 2 3、等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为8cm,则它的高为 ( ) A.4cm C.8cm 4、如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（） A ．9 B ．10.5 C ．12 D ．15 ５、已知菱形的一个内角为60° ，一条对角线的长为角线的长为__________．６、如图，有一底角为350的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是__________. 二、例题精讲例１、已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．例２、在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．过点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ．（1）求BDE △的周长；（2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ．求证：BP DQ =． A B C D E F P A D G C B F E A Q D E B C O

图形与证明5

数学测试（5）一、选择题: 1.如图1所示,AB ∥CD,EG ⊥AB,若∠1=58°,则∠E 的度数等于( ) A.122° B.58° C.32° D.29° 2.如图2所示,DE ∥BC,EF ∥AB,图中与∠BFE 互补的角共有( ) A.3个 B.2个 C.5个 D.4个 3.在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则a:b:c=( ) A.1:2:3 B.1:2: C.1: 4.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是( ) A.30° B.60°; C.30°或150° D.不能确定 5.如图3所示,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块, 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那最省事的办法是( ) A.带①去 B.带②去; C.带③去 D.带①和②去 6.等腰三角形周长是32cm,一边长为10cm,则其他两边的长分别为( ) A.10cm,12cm; B.11cm,11cm; C.11cm,11cm 或10cm,12cm D.不能确定 7.若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长,那么它的最小内角为( ) A.10° B.20° C.30° D.60° 8.如图4所示,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AC,BD 相交于点O, 则图中全等三角形共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 9.矩形ABCD 中,E 在AD 上,AE=ED,F 在BC 上,若EF 把矩形ABCD 的面积分为1:2,则BF:FC=( )(BF