计算二阶张量特征值的步骤

计算二阶张量特征值的步骤(见教材p59例3.7-1)：

(1) 输入二阶张量的9个分量:

????

? ??=333231232221131211)(T T T T T T T T T T ij (2) 计算二阶张量的三个不变量:

332211ii T T T T I ++==

)T T T (T II ij ij jj ii 21

-=

)det(T III ij =

(3) J2=1/3.0(I^2-II) //计算j2

(4) J3=2/27.0*I^3-1/3.0*I*II+III //计算j3 注意是I 的三次方

(5) R=sqrt(4*j2/3) //计算r

(6) Tfy=4*j3/r^3 //计算cos(3fy)

(7) Fy=atan(sqrt(1-tfy^2)/tfy) /3 //计算fy 值，反正切

(8) Bt1=r*cos(fy) //beta1

(9) Bt2=r*cos(3.14159*2/3-fy) //beta2

(10) Bt3=r*cos(3.14159*2/3+fy) //beta3

(11) E1=bt1+I/3

(12) E2=bt2+I/3

(13) E3=bt3+I/3

最后得到的E1、E2、E3即所求的特征值。

特征值与特征向量定义与计算

特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念及其计算 定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量， 称为A的特征多项式，记?(λ)=| λE-A|，是一个P上的关于λ 的n次多项式，E是单位矩阵。 ?(λ)=| λE-A|=λn+α1λn-1+…+αn= 0是一个n次代数方程，称为A 的特征方程。特征方程?(λ)=| λE-A|=0的根(如：λ0) 称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域有且仅有n 个根，而在实数域不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。 以A的特征值λ0代入(λE-A)X=θ，得方程组(λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为 |λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。

一.特征值与特征向量的求法 对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得： [λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是： 即说明特征根是特征多项式|λ0E-A| =0的根，由代数基本定理 有n个复根λ1, λ2,…, λn，为A的n个特征根。

当特征根λi (I=1,2,…,n)求出后，(λi E-A)X=θ是齐次方程，λi均会使|λi E-A|=0，(λi E-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λi E-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。 例1. 求矩阵的特征值与特征向量。 解：由特征方程 解得A有2重特征值λ1=λ2=-2，有单特征值λ3=4 对于特征值λ1=λ2=-2，解方程组(-2E-A)x=θ 得同解方程组x1-x2+x3=0 解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)

张量定义

§1 张量的定义 张量： 在三维笛卡儿（Descartes）坐标系中，一个含有三个与坐标相关的独立变量集合，通常可以用一个下标表示。 例如，对于位移分量u，v，w可以表示为u 1,u2,u3，缩写记为u i，i=1, 2, 3。对 于坐标x,y, z可以表示为x i。 对于一个含有九个独立变量的集合，可以用两个下标来表示。 例如九个应力分量或应变分量（由于对称，实际独立的仅有六个）可以分别表 示为σij和εij，其中σ11, σ22分别表示σx, σxy（就是τxy)；ε11 , ε22分别表示εx, εxy(）等。 同样，一个含有27个独立变量的集合可以用三个下标表示；而含有81个独立变量的集合可以用四个下标表示，依次可以类推。 为了给张量一个确切的定义，首先讨论矢量定义。在坐标系Ox 1x2x3中。矢量 OP的三个分量ζ 1， ζ 2，ζ3可以缩写作ζi，同一矢量OP在新坐标系Ox'1x'2x'3中，写作ζ '1，ζ '2，ζ '3，缩写为ζ'i。 设坐标系Ox 1x2 x3与Ox'1x'2x'3的夹角方向余弦如下表所示 方向余弦n i'j的第一下标对应于新坐标轴，而第二下标对应于原坐标轴。则矢量在新老坐标系中的关系为 或者 上式可以缩写为

或者。 a2, a3)和OP(ζ1, ζ2, ζ3)，作它们的标量积，则 考察矢量A(a 1, 显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标变换，则 反之，如ζ ' 为已知矢量，而a i为与坐标有关的三个标量，使一次形式在坐标变换时保持不变。根据矢量定义，则a i也是矢量。 推广上述的命题，可以给张量一个解析的定义。设(ζ 1, ζ 2, ζ3)和(η 1, η 2, η3)是矢量，a ij是与坐标有关的九个量，若当坐标变换时，双一次形式 保持不变，则称由两个下标i，j确定的九个量的集合a ij为二阶张量。a ij中的每一个分量被称作张量（对于指定的坐标系）的分量。 根据上述定义，可以推导出坐标变换时张量分量的变换规律。由题设条件，当坐标变换时，有 代入坐标变换关系，则 注意到

力学中的数学方法-张量-2

2. Kronecker δ 符号
一、 Kronecker 符号定义为：
?1, i = j δ ij = ? ?0, i ≠ j
δ ij 可确 其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， 定一单位矩阵：
?δ 11 δ 12 δ 13 ? ?1 0 0? ?δ ? = ?0 1 0 ? δ δ 22 23 ? ? ? ? 21 ? ?0 0 1 ? ? ?δ 31 δ 32 δ 33 ? ? ?
1

二、
δ ij 的性质
2

三、例题
例题1： 若
e1 , e 2 , e 3
是相互垂直的单位矢量，则
ei ? e j = δ i j
e i ? e i = e1 ? e1 + e 2 ? e 2 + e 3 ? e 3 = 3
δ i i = δ 11 + δ 22 + δ 33 = 3
ei ? ei = δ i i
3

注意：
δ i j与δ ii不同
是一个数值，即
δ ii δi j
例题2：
δ ii = 3
的作用：1）换指标；2）选择求和。
Ai → Ak
δ k i Ai = δ k k Ak = Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用任意字 母，因此可用变换后的字母 k 表示
4

例题3：
Tk j → Ti j
δ i kTk j = δ i iTij = Tij
特别地，
δ i kδ k j = δ ij , δ i kδ k jδ jm = δ i m
5

张量分析及公式

I.2 符号ij δ与rst e 符号ij δ称为“Kronecker delta ”，它的定义是： ???=0 1ij δ 时 当时当j i j i ≠= ()n ,,2,1j ,i = (I.14) 定义表明它对指标i 和j 是对称的，即 ji ij δδ= (I.15) ij δ的分量集合对应于单位矩阵。例如，在三维空间中： ???? ? ?????=??????????1000100013332 31232221131211δδδδδδ δδδ (I.16) 利用ij δ可以把线元长度平方的公式(I.6)改写成 j i ij dx dx ds δ=2 (I.17) 这里ij δ起了换标的作用，即：如果ij δ符号的两个指标中，有一个和同项中其他因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成ij δ的另一个指标，而ij δ自动消失。这样： i i j j j i ij dx dx dx dx dx dx ds ===δ2 类似地有 ik jk ij a a =δ；jk ik ij a a =δ ki kj ij a a =δ；kj ki ij a a =δ (I.18) 以及 ik jk ij δδδ=；il kl jk ij δδδδ= (I.19) 所以，ij δ也称为换标符号。 符号rst e 的定义是： ?? ? ??-=011 rst e 个以上指标值相同时中有当为逆序排列时当为正序排列时当2t ,s ,r t ,s ,r t ,s ,r (I.20a) 或 )r t )(t s )(s r (2 1 e rst ---= ()3,2,1t ,s ,r = (I.20b) 其中，正序排列是指（l , 2 . 3 ）及其轮流换位得到的（2 . 3 , l ）和（3 , 1 , 2 ），逆序排列是指（3 , 2 , l ）及其轮流换位得到的（2 , l , 3 ）和（l , 3 , 2 ）。 rst e 称为排列符号或置换符号。它共有27 个元素，其中只有3个元素为1，3个元素为－1 ，其余的元素都是0。 定义表明rst e 对任何两个指标都是反对称的，即： tsr rts srt rst e e e e -=-=-= (I.21) 当三个指标轮流换位时（相当于指标连续对换两次），rst e 的值不变： trs str rst e e e == (I.22) 下面举几个常用实例： 1． 三个互相正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质：

特征值与特征向量定义与计算

. 特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念及其计算 定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量， 称为A的特征多项式，记?(λ)=| λE-A|，是一个P上的关于λ 的n次多项式，E是单位矩阵。 ?(λ)=| λE-A|=λn+α1λn-1+…+αn= 0是一个n次代数方程，称为A 的特征方程。特征方程?(λ)=| λE-A|=0的根 (如：λ0) 称为A的特征根(或特征值)。 n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。 以A的特征值λ0代入 (λE-A)X=θ，得方程组 (λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为 |λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。

. 一.特征值与特征向量的求法 对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得： [λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是： 即说明特征根是特征多项式 |λ0E-A| =0的根，由代数基本定理 有n个复根λ1, λ2,…, λn，为A的n个特征根。

当特征根λi(I=1,2,…,n)求出后，(λi E-A)X=θ是齐次方程，λi 均会使 |λi E-A|=0，(λi E-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量， (λi E-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。 例1. 求矩阵的特征值与特征向量。 解：由特征方程 解得A有2重特征值λ1=λ2=-2，有单特征值λ3=4 对于特征值λ1=λ2=-2，解方程组 (-2E-A)x=θ 得同解方程组 x1-x2+x3=0 解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)

(完整版)张量分析中文翻译

张量 张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性 关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、 叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可 以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩） 表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例 如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该 阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示， 所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。 张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例 如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。 因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。 张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。 历史 现今张量分析的概念源于卡尔?弗里德里希?高斯在微分几何的工作，概念的 制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在 1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。 [注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。 “张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。 在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915 年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。 “我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。 柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩 阵： 312()()()111213212223313233 T T T =e e e σσσσσσσσσσ??=???????????? 该矩阵的各列表示作用在 e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。

张量第三章

第三章 几个基本的张量 §3.1 度量张量 一、 度量张量 j j i i g g δ= j i j i g g δ= 协变基矢量的逆变分量和逆变基矢量的协变分量是单位张量。若把每个基矢量看成是异名基矢量所构成的参照标架的一个特殊矢量，则可以表示为： j ij i g g g = j ij i g g g = ij g 是i g 的协变分量，ij g 是i g 的逆变分量。 ij g 和ij g 称为度量张量。 ij g ——度量张量的协变分量或协变度量张量。 ij g ——度量张量的逆变分量或逆变度量张量。 证明：ij g ， ij g 是二阶张量： ' '''i j i i g g g = 又 ij j j i i j i ij j j i i j i j ij j j i i j j j ij i i j ij i i i i i i g g g g g g g g g g g g '''''''''''''''''ββββββββββ==∴====同理， 度量张量的混变分量是单位张量，即 i j i j g δ= j i j i g δ= 二、 度量张量的性质和作用 1、 度量张量各分量等于同名基矢量的点积。 ij k j ik j k ik j i g g g g g g g ==?=?δ ij j k ik j k ik j i g g g g g g g ==?=?δ 2、 度量张量是二阶对称张量。 i j j i g g g g ?=? ji ij g g = i j j i g g g g ?=? ji ij g g =

3、 度量张量的协变分量和逆变分量相乘并按一对指标求和等于单位张量。 j i jk ik g g δ= jk ik hl jl ih l jl k ik j i j i g g g g g g g g g g ==?=?=δδ 由上式，可由度量张量的协变分量求逆变分量或者反过来求。 4、 度量张量是坐标微分二次型的系数 设坐标微分dx i ，空间线元i i dx g d =，则： j i ij j j i i dx dx g dx g dx g d d =?=? 5、 度量张量确定空间两矢量的夹角 i i g u u = k j kj k k g v g g v == θcos v u =? 又 j i ij k i j i kj v u g g g v u g =?=? v u v u g j i ij = ∴θcos 又 kl l k l l k k g v u g u g u u =?==2 2 1 2 1) ()(cos n m mn l k kl j i ij v u g v u g v u g = ∴θ 6、 度量张量确定矢量的逆变分量 和协变分量之间的关系。 j kj k j kj k k i ij j k i i i ij j j j i i u g u u g u g g g u g g u g g u g u g u u ==??=??=== 即ij g 起着下降某个指标作用，ij g 则上升某个指标。 7、 度量张量的混变分量是单位张量 j i jk ik g g g ?= j i jk ik g g g ?= j i j i j i j i g g g δ===?? 上式在任何参照标架中都成立。 8、 在正交坐标系中度量张量的性质。 正交坐标系中，

张量分析中文翻译(最新整理)

柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛

，其中新的基矢量按照如下公式由旧的基矢量变换得到，

指数之间的变换规律如下： 11111111,,,,11,,,,=n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R T ++++???∧???--????????????（）（）这样的张量称为阶或类型为（n,m-n ）型的张量[4].这样的讨论产生了张量的一般定义。 定义：（n,m-n ）型的张量是多线性映射的分配，即： 对于基f=(e 1,...,e N ) 是如此，如果应用如下基变换 多维阵列变成“协变”规律形式 11111111,,,,11,,,,[f,]=[f ] n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R R T ++++??????--????????????（）（）多维阵列定义张量满足“协变”规律，这个可以追溯到里奇的早期工作。如今，这种定义在一些物理和工程书籍中仍然经常使用。 张量场 在许多实际应用当中，特别是微分几何和物理领域，通常把张量的元素考虑成为函数形式。事实上，这只是Ricci 早期的工作。在当今的数学术语里面，这样的对象称为张量场，但是它们通常仅仅指的的张量本身。 本文当中的“协变”规律的定义采用一种不同的形式，张量场的基底由基础空间的坐标所决定，而且，“协变”规律的定义通过坐标函数的偏导数来表示， ，定义如下坐标变换 多线性映射 有一种定义张量的方法是站在多维阵列的角度的，从被定义对象基独立性和几何对象的本质来看，这种定义方法并不明显。尽管这种方法也可以说明变化规律对基独立性的觉得作用，但有时还是首选张量更本质的定义。一种方法是张量定义成多线性映射。这种方法中（n,m ）类型的张量被定义成一种映射。 copies copies :, n m T V V V V R **???????????→ 式中V 表示向量空间，V *表示该向量空间对应的共轭向量空间，其中的变元是线性的。 通过把多线性映射（n,m ）型的张量T 应用到V 的基{e 1}和V *的基共轭基{ε1}中，即： 1111(,,,,)i in i in j jm j jm T T e e εε??????≡??????

第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法

第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法 某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发,先求出特征多项式,再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定．常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。 §1 乘幂法 乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法,它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。 定理８·1 设矩阵Ａn ×n 有n 个线性无关的特征向量X ｉ（ｉ=1,２,…,n)，其对应的特征值λi (ｉ ＝1,2，…，n)满足 ｜λ１|＞|λ2｜≧…≧|λn ｜ 则对任何ｎ维非零初始向量Z ０，构造Ｚk ＝ AZ k-1 11()lim ()k j k k j Z Z λ→∞ -= (8·1) 其中(Ｚk )ｊ表示向量Z k 的第ｊ个分量。 证明 : 只就λｉ是实数的情况证明如下。 因为A 有n 个线性无关的特征向量X i ,(i = １,2,…,n)用X ｉ(ｉ = 1,2,…，n)线性表示,即Z 0=α1X 1 + α2Ｘ2 +用A 构造向量序列{Z k }其中 ? 21021010, ,k k k Z AZ Z AZ A Z Z AZ A Z -=====， (8.2） 由矩阵特征值定义知ＡＸi =λi X i (i=1,２, …,n),故 ? 0112211122211121k k k k k n n k k k n n n k n k i i i i Z A Z A X A X A X X X X X X ααααλαλαλλλααλ===++ +=+++???? ??=+ ?????? ? ∑ (８.3） 同理有 1 1 11 1121k n k i k i i i Z X X λλααλ---=? ? ????=+ ????? ? ? ∑ (8．４) 将(8.３）与(8．4)所得Ｚk 及Z k-１的第j 个分量相除，设α1≠0，并且注意到 |λi |<|λ1|(i=1,２,…，n ）得

1_3张量运算

张量运算 这一节将介绍如何由给定的张量来构造新的张量。 从定义容易验证如果T 是一个阶张量（分量为，当然，它是相对于 某个给定的坐标系而言的）而是一个标量（普通的数），那么，aT （其分量 由定义）也是一个n 阶张量；如果T 和是两个具有相同阶数（如n ） 的张量，那么T n ij k T "a ij k aT "S S +（分量由T ij k ij k S +""定义）也是一个n 阶张量。这两种 运算分别称为张量的数乘及张量的和，对于矢量，数乘意味着矢量的伸长或缩短， 而矢量和则满足通常的平行四边形法则。从这些性质我们马上可以推知位移、速 度、加速度都是矢量，那么力呢？它当然也是一个矢量，但是这一点并非数学的 结论，而是一个物理的假设（F ma =K K ）！一个有趣的结论是任何一个2阶张量 都可以由一个对称张量与一个反对称张量相加得到： ()()22ij ji ij ji ij S A ij ij T T T T T T +?=+=+T j ik (1) 顺便提一句，这两种运算实际上说明这样一个事实：任意两个阶张量的任意线 性组合仍是一个n 阶张量，也就是说，所有阶张量的集合构成了一个线性空间。 n n 第三种运算称为张量的缩并，例如一个分量为的3阶张量T ，如果令 并对i 求和，那么就得到了一个其第个分量为ijk T i =k k i C T =的1阶张量（即 矢量）。这是因为 k iik il im kn lmn lm kn lmn kn lln kn n C T T T T C λλλδλλλ′′===== (2) 当然，你也可以对其他的指标进行缩并，那么就得到了别的不同的矢量，例如和。类似的，对于二阶张量，就是分量矩阵的迹，我们知道它在坐标变换 （相似变换）下是不变的，也就是说它是一个标量。因此，将一个n 阶张量的两 个指标缩并就得到了一个阶的张量。 iji T ijj T ii T 2n ?最后一个张量运算称为张量积，对于任意两个张量T 和（阶数分别设为S n

第九章矩阵特征值与特征向量计算方法

第九章 矩阵特征值与特征向量计算方法 教学目的 1. 掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法；2. 掌握求矩阵特征值的QR 方法。 教学重点及难点 重点是求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法求矩阵特征值的QR 方法；难点是求矩阵特征值的带原点位移的QR 方法。 教学时数 12学时 教学过程 §2 幂法及反幂法 2．1幂法 在一些工程、物理力学部标题中，需要我们求矩阵的按模最大的特征值（称为A 的主特征值）和对应的特征向量。 幂法是一种计算矩阵A n n R ?∈的主特征值的一种迭代法，它最大优点是方法简单，适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值。 设n n R aij A ?∈=)(，其特征值为i λ，对应特征向量为),,,1(n i x i =即 i i i x Ax λ= ),,1(n i = 且},{,n i x x 线性无关。设A 特征值满足：（即1λ为强占优） ||||||21n λλλ≥≥> （2.1） 幂法的基本思想，是任取一个非零初始向量n R v ∈0，由矩阵A 的乘幂构造一向量序列 ?????=====++0 110 2 1201v A Av v v A Av v Av v k k k (2.2) 称}{k v 为迭代向量。 下面来分折关系与及}{11k v x λ。 由设},,{1n x x 为n R 中一个基本，于是，00≠v 有展开式 ∑=n i i i x a v 1 （且设01≠?） 且有 i k i n i i K k k x v A Av v λα ∑=-= ==1 01 ))( )( (1 2221111 n k n n k k k x x x v λλαλ λααλ+++= )(111k k x a ελ+≡ (2.3)

chapter5_高阶张量和对称性_595104899

5.1.点群对称性1 第5章对称性和高阶张量 对称是美的基础.如图3.1所示,雪花具有六方对称性,埃及金字塔具有四方对称性,任何一个晶体的内部结构则具有32类晶体点群所表征的对称性之一.本章介绍在固体力学,固体物理,材料科学中最常遇到的对称性-----点群对称性,及与之密切相关的高阶张量表示问题. Figure5.1:人工和自然界的对称性:(a)埃及金字塔,(b)雪花,(c)水晶 5.1点群对称性 5.1.1群的基本概念 如果说长度的度量是数,则对称性的度量是群(group).简而言之,对称性是指在某个群作用下的不变性. 群(G,?)是指一个非空集合G,和从G×G到G的一个运算?:(a,b)→a?b,满足如下三法则: (i)结合律:对于G中任意元素a,b,c,成立 (a?b)?c=a?(b?c) (ii)存在单位元素:在G中存在一个称作为单位的元素e,对G中任何元素a成立 e?a=a?e=a (iii)存在逆元素:对于G中每一个元素a,G都存在所谓的逆元素a?1,使得 a?1?a=a?a?1=e 例5.1.1全体整数的集合Z对加法构成一个群(Z,+),其单位元素是数零0,整数m的逆元素是?m.同理,全体有理数的集合Q,全体实数的集合R,全体复数集合C也分别对于加法成群.

2 例5.1.2全体正实数的集合R+对于数乘成群,单位元素是单位数1,任意正实数α的逆是α的倒数α?1.又如,全体非零实数的集合也是一个乘法群,单位为1. 例5.1.3全体实系数n×n可逆矩阵的集合,对于矩阵的乘法成群,叫一般线性变换群,单位元素为单位矩阵,逆元素为逆矩阵;全体正交n×n矩阵的集合关于矩阵相乘成群,叫完全正交群;n维内积空间全体二阶正交张量的集合成群,叫完全正交张量群;其中全体行列式为1的元素所构成的子集,也成群,叫转动张量群或特殊正交张量群. 一般地,一个群(G,?)的子群,是指G的一个子集合S,且S在运算?下成群.群的阶(order)是指群元素的个数.有限群和无限群分别指该群的阶有限或无限.为简单起见,今后隐去群运算?,将群直接记做G.例如,n维内积空间的完全正交张量群和转动张量群分别记做O(n)和SO(n). 例5.1.4对图3.1a所示平面上的正方形F,不难看出,保持正方形不变的正交变换只有:绕中 心点O旋转π 2,π,3π 2 和2π,以及对过中心点O的直线1,2,3,4的镜面反射.每一个这种变换,都 称作为F的对称变换.且易证全体对称变换的集合构成一个群G.进一步,若用R代表对O的π旋转,S代表对直线1的镜面反射,则有 G={R,R2,R3,R4,S,SR,SR2,SR3} 其中R2等于绕O旋转π,R4等于绕O旋转2π,正好就是单位变换,SR,SR2和SR3则分别是对2,3,4线的反射.因此,G是一个阶数为8的有限群. Figure5.2:几何体的对称变换:(a)正四边形,(b)正六边形薄板. 上述例题实际上引出了群生成元的概念.一个群称可由它的某些元素生成,是指群的任意元素都可表达成这些元素反复运算所得.例如,例4的集G可由两个元素R和S生成. 5.1.2点群描述几何对称性 本章以下限于讨论完全正交张量群的子群,简称为点群(point group).点群的几何含义,可以解释为保持一个几何体F的形状不变的所有正交变换的集合.用数学语言,则指存在一点O,

第二章 二阶张量

第二章：二阶张量 1. ij T ij ji i j j i i j T T T ;=?=?=?T g g T g g g g i j i j i j i j T ; T =??=??g T g g T g 2. T =T.u u.T T ij ij ij ij j i j i i j j i ( = T T u ;T T u )??==??=u.T u g g g T.u g g u g 3.i .j det()T =T 行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量：1-?T T =G 4.主不变量 ①1)()()ζ?????????=??T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )u (v w)（ 1.()::i i Tr T ζ====T T G G T )()()i j k ijk S u v w ?????????=T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )（ m m m ijk .i mjk .j imk .k ijm S T T T εεε=++ 由于 mik imk m m m iik .i mik .i imk .k iim S T T T εεεε ε =-?=++= 当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时 i j k m ijk .i .j .k ijk not sum ijk .m ijk S (T T T )T εε=++= ②2)[)][()(]()[()]()ξ????????????=??T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ 2......12212332311 3.1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.11 122 33.1 .2 .2..3 .3.1223311.1 .2 .2 ..3 .3.1 11 () 22ij l m i j i l lm i j i j l j T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ζδ==-=-+-+-= + + 注意：ij ijk lm lmk δδ=是张量的分量

3矩阵特征值与特征向量的计算

第3章 矩阵特征值与特征向量的计算 一些工程技术问题需要用数值方法求得矩阵的全部或部分特征值及相关的特征向量。 3.1 特征值的估计 较粗估计ρ(A ) ≤ ||A || 欲将复平面上的特征值一个个用圆盘围起来。 3.1.1 盖氏图 定义3.1-1 设A = [a ij ]n ?n ，称由不等式∑≠=≤-n i j j ij ii a a z 1 所确定的复区域为A 的第i 个盖氏图， 记为G i ，i = 1，2，…，n 。 >≤-=<∑≠=}:{1n i j j ij ii i a a z z G 定理3.1-1 若λ为A 的特征值，则 n i i G 1 =∈ λ 证明：设Ax = λx (x ≠ 0)，若k 使得∞ ≤≤==x x x i n i k 1max 因为 k n j j kj x x a λ=∑=1 ?∑≠= -n k j j kj k kk x a x a )(λ ?∑∑∑ ≠=≠=≠≤≤= -n k j j kj n k j j k j kj n k j k j kj kk a x x a x x a a 11λ ? n i i k G G 1 =? ∈λ 例1 估计方阵????? ?? ?? ???----=41 .03.02.05.013.012.01 .035.03.02.01.01A 特征值的范围 解：

G 1 = {z ：|z – 1|≤ 0.6}；G 2 = {z ：|z – 3|≤ 0.8}； G 3 = {z ：|z + 1|≤ 1.8}；G 4 = {z ：|z + 4|≤ 0.6}。 注：定理称A 的n 个特征值全落在n 个盖氏圆上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。 3.1.2 盖氏圆的连通部分 称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分。 孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。 定理3.1-2 若由A 的k 个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含A 的k 个特征值。 证明: 令D = diag(a 11，a 12，…，a nn )，M = A – D ，记 )10(00 0)(2 1 22111222 11≤≤?? ?? ? ? ? ??+??????? ? ?=+=εεεε n n n n nn a a a a a a a a a M D A 则显然有A (1) = A ，A (0) = D ，易知A (ε)的特征多项式的系数是ε的多项式，从而A (ε)的特征 值λ1(ε)，λ2(ε)，…，λn (ε)为ε的连续函数。 A (ε)的盖氏圆为：)10(,}||||:{)(11≤≤?=≤ -=∑∑≠=≠=εεεεi n i j j ij n i j j ij ii i G a a a z z G 因为A (0) = D 的n 个特征值a 11，a 12，…，a nn ，恰为A 的盖氏圆圆心，当ε由0增大到1时，λi (ε)画出一条以λi (0) = a ii 为始点，λi (1) = λi 为终点的连续曲线，且始终不会越过G i ； 不失一般性，设A 开头的k 个圆盘是连通的，其并集为S ，它与后n – k 个圆盘严格分离，显然，A (ε)的前k 个盖氏圆盘与后n – k 个圆盘严格分离。 当ε = 0时，A (0) = D 的前k 个特征值刚好落在前k 个圆盘G 1，…，G k 中，而另n – k 个特征值则在区域S 之外，ε从0变到1时， k i i G 1 )(=ε与 n k i i G 1 )(+=ε始终分离（严格） 。连续曲线始终在S 中，所以S 中有且仅有A 的k 个特征值。 注：1) 每个孤立圆中恰有一个特征值。 2) 例1中G 2，G 4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分，故它们各有一个特征值，而G 1，G 3构成的连通部分应含有两个特征值。 3) 因为例1中A 为实方阵，所以若λ为A 的特征值，则λ也是A 的特征值，所以G 2，G 4