长郡中学2019届高三第一次月考理科数学试卷(含答案)

长郡中学2019届高三月考试卷（一）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数121i z i i

+=+-，则z =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

2.已知集合{}240A x x x =-+≥，1{327}18x B x

=<<，{}2,C x x n n N ==∈，则()A B C =U I （ ） A ．{}2,4 B ．{}0,2

C ．{}0,2,4

D ．{}2,x x n n N =∈

3.若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()3log f x x =的零点个数是（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

4.计算sin133cos197cos47cos73??+??的结果为（ ）

A ．12

B ．12

- C. 2 D 5.已知A 、B 、P 是双曲线22

221x y a b

-=上不同的三点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率乘积3PA PB k k ?=，则该双曲线的离心率为（ ）

A B 2 D ．3

6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：

由表中数据得线性回归方程：??2y

x a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ） A ．56千瓦·时 B ．62千瓦·时

C. 64千瓦·时 D ．68千瓦·时

A ．5003π

B ．3 C.1253

π D ．3 8.知平面向量a r ，b r 满足()

3a a b ?=r r r ，且2a =r ，1b =r ，则向量a r 与b r 夹角的正弦值为（ ）

A ．12-

B ．2- C.12

D ．2 9.设,a b R ∈，则“()20a b a -?<”是“a b <”的（ ）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）

A ．112

B ．114 C. 115 D ．118

11.过抛物线24y x =焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与圆()2221x y r -+=交于C 、D 两点，若有三条直线满足AC BD =，则r 的取值范围为（ ）

A ．3(,)2+∞

B ．(2,)+∞ C. 3(1,)2 D ．3(,2)2

12.设函数()()1x f x e x =-，函数()(),0g x mx m m =->，若对任意的[]12,2x ∈-，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．213,3e -??

-???? B ．21,3e ??

????

C.1

,3??+∞????

D ．2,e ??+∞??

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤??-≥??≥?，则y z x =的最大值为 ． 14.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟。”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”

：=

=

=

=

=，则n = ． 15.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m N ∈，满足

29m m S S =，2511m m a m a m +=-，则数列{}n a 的公比为 ．

16.如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c

()

cos 2cos C b A =.

（1）求角A 的大小；

（2）若2a =，求ABC ?面积的最大值.

18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.

（1）证明：BE PD ⊥；

（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB D --的余弦值.

19. 某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[]2,22（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[)2,6，[)6,10，[)10,14，[)14,18，[]18,22，并绘制出如下的频率分布直方图.

（1）求a 的值，并计算完成年度任务的人数；

（2）用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，

求这5组分别应抽取的人数；

（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，

奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.

20. 已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左右顶点是双曲线2

22:13

x C y -=的顶点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C 的渐近线的距离为尝

（1）求椭圆1C 的方程；

（2）若直线l 与1C 相交于12,M M 两点，与2C 相交于12,Q Q 两点，且125OQ OQ ?=-u u u u r u u u u r ，求12M M 的取值范

围.

21. 已知函数()ln ,m x f x m R x

+=∈，1x >. （1）讨论()f x 的单调区间；

（2）若()f x mx <恒成立，求m 的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t y a t =+??=-?

（其中t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.

（1）分别写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；

（2）若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.

23.选修4-5：不等式选讲 设函数()f x x a x a =++-.

（1）当1a =时，解不等式()4f x ≥；

（2）若()6f x ≥在x R ∈上恒成立，求a 的取值范围.

长郡中学2019届高三月考试卷（一）

数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5:DCCBC 6-10:ADDAC 11、12：BD

二、填空题 13.13

14. 63 15.2 16.22e - 三、解答题

17.【解析】（1cos 2sin cos cos A C B A C A =.

()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =

又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos A =

又A 为三角形内角，所以6A π

=.

（2）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：22422b c bc =+-≥，

所以如(42bc ≤+，所以1sin 22

ABC S bc A ?=≤ABC ?面积的最大值为2. 18.【解析】依题意，以点A 为原点，以AB 、AD 、AP 为轴建立空间直角坐标系如图， 可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，

由E 为校PC 的中点，得()1,1,1E ，

（1）向量()0,1,1BE =u u u r ，()0,2,2PD =-u u u r ，

故0,BE PD ?=u u u r u u u r BE PD ⊥

（2）()1,2,0BC =u u u r .()2,2,2CP =--u u u r ，()2,2,0AC u u u r .()1,0,0AB =u u u r ，

由点F 在棱PC 上，设

,01CF CP A λ=≤≤u u u r u u u r ， 故()12,22,2BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，

由BF AC ⊥，得0BF AC ?=u u u r u u u r .

因此，()()2122220λλ-+-=，34

λ=

即113(,,)222BF =-u u u r ，

即1100n AB n BF ??=???=??u r u u u r u r u u u r ,即01130222

x x y z =???-++=??

不妨令1z =-，可得()10,3,1n =-u r 为平面FAB 的一个法向量，

取平面ABD 的法向量()20,0,1n =-u u r ，

则121212

cos ,10n n n n n n ?===?u r u u r u r u u r u r u u r 所以二面角F AB D --

的余获值为10

19.【解析】（1）∵()0.020.080.09241a +++?=，∴0.03a = 完成年度任务的人数为2420048a ??=

（2）第1组应抽取的人数为0.024252??=，

第2组应抽取的人数为0.084258??=.

第3组应抽取的人数为0.094259??=，

第4组应抽取的人数为0.034253??=，

第5组应抽取的人数为0.034253??=

（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为123,,A A A ；第5组有3人，记这3人分别为123,,B B B ；

从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B ，23A A .21A B ，22A B ，23A B ，

A.B112A A ，A ，B212A A ，AsB 12A A ，B1B212A A ，B1B112A A ，

B.B112A A ，共有15个基本事件。 获得此奖励的2名销售员在同一组的基本事件有6个， 故所求概率为62155

= 20.【解析】（1）由题意可知：23a =，

又椭圆1C 的上顶点为()0,b ，

双曲线2C

的渐近线为：0y x =?±=，