关于几何直观的思考
关于几何直观的思考
——探索数列的几何直观
贵州省兴仁县百德中学包远平摘要：《普通高中数学课程标准（实验）》[1]提出培养和发展学生的几何直观能力，几何直观成为数学教育中的热点问题。教学过程中探讨几何直观的概念以及对相对概念的辩析，探索数列的几何直观，挖掘几何直观能力培养的教育价值。
关键词：几何直观直觉空间想象能力数列的几何直观。
一、几何直观概念的内涵及观点
1、几何直观
蒋文蔚指出:几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及联系的一种直接的识别或猜想的心理状态。[2]徐利治先生指出，几何直观是借助见到的或想到的几何图形关系产生对数量关系的直接感知。[3]
我想：几何直观是一种感知，一种洞察力的定势。需要通过观察、分析、揭示出事物的内在联系，使之在人脑海中形成一种形象，更有助于解答数学问题。
2、几何直观与空间想象能力
空间想象能力是指脱离背景也能想象出图形的形状、关系的能力，而直观是在有背景的条件下进行，想象是没有背景的，几何中的推理证明始终在利用几何直观想象图形。
东北师大秦德生和孔凡哲建议：[4]普通高中数学课程标准中对几何目标的叙述修改为“培养和发展学生的几何直观能力以及借助几何直观进行
推理论证的能力，从而培养运用图形语言进行交流的能力及空间想象能力，是高中阶段数学课程的基本要求。”我想这样叙述应该更恰当和准确。从而“几何直观”成为几何学的一大特征。
二、 数列的几何直观
在数列中使之直观化，如：数列4、5、6、7、8、9、10对应的序号为：1、2、3、4、5、6、7。可以看成是一个序号集合到一个数的集合的映射，
[5]从映射函数的观点看数列可以看作是一个定义域为正整数集N*的函数自变量，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应的解析式。
然而，数列与函数的关系，用图像来表示数列就是一群孤立的点在平面上，即对应点（1，4）、（2，5）、（3，6）、（4，7）、（5，8）、（6，9）、（7，10），你会发现｛a n ｝是等差数列，在平面坐标上这群孤立点在一条直线上。从而使问题的解决得以形象化和直观化。不妨来看下面的例子。
设｛a n ｝为等差数列，Sn 为数列｛a n ｝的前几项和，已知：S 7=7、S 15=75，Tn 为数列｛Sn /n ｝的前几项和，求Tn 。
常规解法：由S 7=7、S 15=75可求出a 1与d 代入Sn/n ，即可求出等差数
列前几项和或者利用待定系数法，因为｛a
n ｝为等差数列，故可令Sn=An 2+Bn,求出系数A 、B 得到Sn/n 的通项后使问题获解。
巧妙的的解法是将数列几何直观化，如下
因为 （Sn/n-S 7/7）/（n-7）=(S 15/15-S 7/7)/（15-7）=
71515--=2
1 （Sn/n-S 7/7）/（n-7）=2
1
所以n Sn =2)7(-n +1=25-n ，因此Tn=4
)9(n n - 后面的一种解法用到了如下的事实，而避开了求公差d ，注意到Sn=na 1+2)1(d n n -是n 的一次式，对照直线y=x d 2+（a 1-2
d ），可知点（n,Sn/n ）在斜率为1/2的直线上，对于等差数列有：表示每一项的点（n, a n ）都对应在直解坐标系直线上，斜率为公差d ，当然我们也可以将前n 项的和对应于抛物线的图像。数列和函数有着紧密的联系，数列是函数的一个特例，即自变量为正整数的函数，以联系的观点看待数学问题，可以取得事半公倍的效果。
1、 数学形象直观感是数学几何直观的源泉之一，对于非几何问
题则要用几何眼光去审视和分析就能过渡到几何思维，从而形成了几何直观感。于是用几何直观的眼光来看下面的题目。
（1）在等差数列｛a n ｝中，若a 15=10,a 45=90,求a 60
分析：首先把数列｛a n ｝的（n,
a n ）对应于直角坐标系的一条直线上的孤立点
解：因为｛a n ｝是等差数列，于是有（15，10），（45，90），（60，a 60） (a 45-a 15)/(45-15)=(a 60-a 45)/(60-45)
(90-10)/(45-15)=(a 60-90)/(60-45)
所以：a 60=130
(2)等差数列｛a n ｝中，S 10=100，S 100=10，求S 110
分析：在等差数列｛a
n ｝中，Sn=An 2+Bn,Sn/n=An -B 从而形成了一条直线上的一些孤立点
解：设A（10，100/10）、B（100，10/100）、C（110，S110/110）三点共线有
（100/10-10/100）/（10-100）=（10/100-S110/110）/（100-110），所以S110=-110
（3）设数列｛a n｝前几项和Sn=na+n（n-1）b（n=1,2……），其中a、b 是常数且b≠0。证明以(a n，Sn/n-1)为坐标的点Pn(n=1,2……)都在同一条直线上，并写出此直线的方程。
证明：由a n和Sn的关系可知a n =a+2(n-1)b,P1(a,a-1)，Pn（a n,Sn/n-1）Kp1p n=[(Sn/n-1)-(a-1)]/( a n -a)=21
所以对任意n∈N*,Pn(a n,Sn/n-1)都在经点P（a1,a-1）且斜率为
1的直线上，此直线方程为X-2y-2=0
K=
2
2、在学习过程中，我们应该学会某些数学思维方法，力求把问
题几何直观化，从而达到“熟能生巧”的效果，使复杂的数学问
题得到解决。
三、几何直观能力培养的教育价值
几何直观被喻为“心智的磨刀石”，数学教育家们运用直观加
强对数学问题的理解，有效地推动了数学科学的发展。几何直观
是一种创造性思维，是一种重要的科学研究方式，对于数学中的
很多问题，灵感往往来自于几何直观。随着现代科技的发展，几
何直观在计算机图形、图像处理、图像控制领域都有着广阔的运
用前景。几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成
科学的世界观和方法论。借助几何直观，揭示研究对象的性质和
关系，使思维转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，开发学生的创造激情，从而形成良好的思维品质。
总之，几何直观已经成为数学界和数学教育界关注的问题。
那么如何培养学生的几何直观能力，如何更好地发挥几何直观的教育价值，是每个教育工作者都应该深思的问题。因此学习数学通过对几何模型或图形的直观感，形成几何直觉，几何直观是几何学的最独特的教育价值之一。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定，普通高中数学课程标准（实
验）[M]·北京人民教育出版社2003。
[2]蒋文蔚·几何直观思维科学研究以及数学教学研究中的作
用[J]，数学教育报，1997年4月。
[3]徐利治·谈谈我的一些数学治学经验[J]·中学教学参考
2005年10月。
[4]秦德生和孔凡哲·关于什么是直观直觉想象[J]·中学教
学参考2005年10月。
[5]人民教育出版中学数学室编辑著，全日制普通高中数学教
科书（必修）数学第一册（上）[M]北京人民教育出版社，2003年。
文章署名：关于几何直观的思考
署名单位：贵州省兴仁县百德中学
邮编：562303
邮寄地址：贵州省兴仁县百德中学
收件人姓名：包远平联系人常用电话：138********