高阶方程的降阶技巧

高阶方程的降阶技巧

目 录

一．高阶方程的引入及定义 (1)

二．几类常见的可降阶的高阶微分方程 (2)

（一）()y f x '

'=型的微分方程………………………………………2 （二）

(,)y f x y '''= 型的微分方程 (3)

（三）(,)y f y y '

''=型的微分方程.............................................4 （四）二阶方程的幂级数解...............................................................5 三．其他情况的高阶微分方程............................................................7 四．总结.......................................................................................12 参考文献 (12)

高阶方程的降阶技巧

摘要:对于高阶方程的解法问题，降阶是普遍的求解方法，利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程的求解问题。对于不同高阶微分方程给出了相应的降阶方法。

关键词:线性微分方程，降阶，非零特解

一．高阶方程的引入及定义

所谓阶,就是导数(或微分)的最高阶数. 函数未知，但知道变量与函数的代

数关系式，便组成了代数方程，通过求解代数方程解出未知函数.同样，如果知道自变量，未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程. 而高阶微分方程,即阶数大于二或者等于二的方程.一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。因为一般来说，低阶微分方程的求解会比求高阶的微分方程方便些。特别地，对于二阶（变系数）齐次线性微分方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用降阶法求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解，对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。因此，问题的关键就在于寻找齐次线性微分方程的一个非零特解。

一些相关定义

如果方程

(,,,

,)0n n dy

d y

F x y dx

dx

= （1）

的左端为y 及,

,n n dy

d y

dx

dx

的一次有理整式。则称（1）为n 阶线性微分方程.不是线性方程的方程称为非线性微分方程.

如果函数()y x ?=代入方程（1）后,能使它变为恒等式.则称函数()y x ?=为方程（1）的解.

我们把含有n 个独立的任意常数12,n c c c 的解12(,)n y c c c ?=称为n 阶方

程（1）的通解.

所谓n 阶微分方程(1)的初值条件是指如下的n 个条件: 当0x x =时,

1(1)

(1)

0001

,,

n n n dy d y y y y y dx

dx

---=== 这里(1)

(1)000

0,,n x y y y -是给定的n+1个常数,初值条件有时写为

1(1)

(1)

000000

1()()(),,

n n n dy x d y x y x y y y dx dx

---=== 求微分方程满足定解条件的解.

二．几类常见的可降阶的高阶微分方程

二阶微分方程的求解：

(一)

()y f x ''=型的微分方程

特点:等式右端不含,y y ',仅是x 的函数.

解法:将y '作为新的未知函数,然后对原方程降阶,令z y y z ''''=?=,则有

()z f x '=，方程两边同时积分得

1()z f x dx c =+?

即

1()y f x dx c '=

+?

再积分得

12[()]y f x dx dx c x c =++??

同理对于()

()n y f x =,令(1)

()n z y

z f x -'=?=,积分得:

(1)1()n y f x dx c -=+?

则原方程变形为n-1阶,对其继续积分得

(2)12[()]n y f x dx c dx c -=++??

则方程变为n-2阶,如此连续积分n 次即得原方程的含有n 个任意常数的通解. 例1

解三阶方程: sin cos y x x '''=-

解:： 等式两端同时积分 (sin cos )y y dx x x dx '''''==-??

1cos sin x x c =--+

再积分

1(cos sin )y y dx x x c dx '''==--+??

12sin cos x x c x c =-+++

再积分

12(sin cos )y y dx x x c x c dx '==-+++??

2

123cos sin 2

c x x x c x c =++

++

这就是所给方程的通解.

(二)

(,)y f x y '''=型的微分方程

特点:右端不含y.

解法:降阶.令y p y p ''''=?=代入原方程得:

(,)dp

f x p dx = （2）

若(,)f x p 为如下一些一些类型,可分别求得（2）降阶式的解. i. )()(x q y x p dx dy =+通解: ()()[()]p x dx p x dx y c q x e

dx e -??=+?

ii.

()()n dy

p x y q x y dx

+=,(0,1)n ≠通解: (1)()(1)()1[(1)()]n p x dx

n p x dx

n y c n q x e dx e ----?

?=+-?

(方法两边同时除以n

y ,将n

y

-拿到dy 中,即1n

dy

-)

iii.

dy y g dx x ??= ???

令y u y ux x =

?=,则dy du

x u dx dx

=+,即求出u 与x 的关系,再将u 代回,即得答案.

iv.

1

11222

a x

b y

c dy

dx a x b y c ++=++

若

2

11122a b c

a b c =≠, 则令22u a x b y =+

若2

111

22a b c a b c ≠≠

,则令111222

0(,)0a x b y c a x b y c αβ++=???++=?

再令X x Y y αβ

=-??=-?,

1122()a x b y dy Y g dx a x b y X +∴==+ 已上求得的解为1(,)p x c ?=.回代y p '=,得1(,)dy

x c dx

?=变量可分离的一阶方程,积分得

1

2

(,)y x c dx c

?=

+?

例2 20

0(1)2|1,|3x x x y xy y y =='''

?+=?==? 解:

令y p '=，则dp

y dx

''=

, 则方程变为: 2(1)

2dp

x xp dx

+=, 2

21dp x

dx p x

=+ 21(1)y p c x '∴==+因为0|3x y ==, 13c ∴=, 则

323y x x c =++,因为0|1x y ==,

21c =∴, 所以所求特解为: 331y x x =++.

(三)

(,)y f y y '''=型的微分方程

特点:右端不含x.

解法:降阶.令dy dp

y p y dx dx

'''=

=?=

.由复合函数求导法则得: dp dp dy dp y p dx dy dx dy

''=

=?=

代入原方程得:

(,)dp

p

f y p dy

= 这是一个关于y,p 的一阶方程,若以求得它的通解为:

1(,)y p y c ?'==

变量可分离的一阶方程,积分得:

211

(,)dy x c y c ?=+?

即原方程得通解.

例 3 求2]2[()y yy y '-='''满足(0)1,(0)2y y '==的特解 解:

令y p '=，则dp

y p

dy

''=,则方程变为: 22()p p dp

yp

dy

=- 即

2(1)p dp

y

dy

=- (0)p y =≠'

分离变量得:

12

1dp dy p y

=-,等式两端同时积分化简得: 211y p c -=,即211y y c +=', 把1y =时, 2y ='代入上式得

11=c ，则方程化为

21y dy

dx

=+, 分离变量得:

2

1

dy

dx y =+ 积分得:

22tan()arctan y x c y x c ?=+=+

将(0)1y =代入解得24

c π

=

, 故原方程的特解为:

4tan x y π??

+ ?

?

?= (四)

二阶线性方程的幂级数解

对带初值条件的二阶齐次线性方程

022)0(,)0(,0)()(y y y y y x q dx dy

x p dx y d '='==++这里00x =,否则可引进新变量0t x x =-化为00t =.有如下定理

i.定理 若方程中系数)(),(x q x p 或)(),(2

x q x x xp 能展成收敛区间为x R <的幂级

数,则二阶齐次线性方程有收敛区间为x R <的幂级数特解

n n

n y a

x ∞

==

∑

或

a

n

n n

n n n y x

a

x a x α∞

∞

+====∑∑

这里α为待定常数.

ii ．n 阶贝塞尔方程

22

22

2

()0d y dy x x x n y dx dx ++-=

(n 为非负常数),有特解

210(1)()!(1

)2k n

k n k x y J x k n k +∞

=-??

=≡ ?

Γ++??∑,

220(1)()!(1)2k n

k n k x y J x k n k -∞

-=-??

=≡ ?

Γ-++??

∑.

n 阶贝塞尔方程有通解12()()n n y c J x c J x -=+,其中12,c c 为任意常数.

()n J x (或()n J x -)是由贝塞尔方程所定义的特殊函数,成为n(或-n)阶(第一

类)贝塞尔函数.

()s Γ的定义:当0s ≥时10

()s x s x e dx +∞--Γ=?

;当0

()(1)s s s

Γ=Γ+.

()s Γ有性质: (1)()s s s Γ+=Γ;对正整数n,有(1)!n n Γ+=

一般情况

(一)

()()(1)(,,...,)n k n y f x y y -=型的微分方程

特点:不显含未知函数y 及(1)

,...,k y y -'.

解法:令()k y z =,则

(1)()(),,k n n k y z y z +-'== ()(1)(,,...,)n k n k z f x z z ---=

求得z,将()k y z =连续积分k 次,可得通解.

(二)

()()(1)

(,,...,)n k n y f y y y -=型的微分方程 特点:右端不显含自变量x. 解法:设()y p y '=,则

dp dy dp y p dy dx dy

''=

?=

2

22

2d p

dp y p p dy dy ??'''=+ ???

, … … … …

代入原方程得到新函数p(y)的n-1阶方程,求得其解为:

11()(,,...,)n dy

p y y c c dx

?-== 原方程通解为:

11(,,...,)n n dy

x c y c c ?-=+?

(三)

齐次方程

特点: ()

()(,,,...,)(,,,...,)n k n F x ty ty ty t F x y y y ''=

解法: 可通过变换zdx

y e ?=将其降阶,得新未知函数)(x z .

2,()zdx zdx y ze y z z e ??''''==+, ,

()(1)(,,...,)zdx

n n y z z z e -?

'=Φ

代入原方程并消去k zdx

e ?

得新函数z(x)的n-1阶方程

(1)(,,,...,)0n f x z z z -'=

例 4 求方程2

2()x yy y xy '''=-的通解.

解:

设zdx

y e ?

=,代入原方程,得221

z z x x

'+

=,解得其通解为1

21c z x x

=

+,

原方程得通解为

112

1(

)2c c dx x x x

y e

c xe

+-

?

==

注：解二阶可降阶微分方程初值问题需注意：一般情况，边解边定常数计算简便；遇到开平方时，要根据题意确定正负号。

三．其他情况的高阶微分方程

N 阶微分方程一般地可写为

()(,,',...,)0n F t x x x =

下面讨论几类特殊方程的降阶问题。

ⅰ.方程不显含未知函数x ，或更一般地，设方程不含(1)

,',...,k x x x -，即方程呈

形状

()(1)()(,,,...,)0,(1)k k n F t x x x k n +=≤≤

可降低k 阶.令()k y

x =,方程降为y 的n-k 阶方程()(,,',...,)0n k F t y y y -=.若求得

上面所示方程的通解

12(,,,...,)n k y t c c c ?-=,

即

()12(,,,...,)k n k x t c c c ?-=,

再经过k 次积分得到

12(,,,...,)

n x t c c c ψ=,

其中12,,...,n c c c 为任意常数.可以验证,这就是方程()(,,',...,)0n F t x x x =的通解. 例5 求方程5454

10d x d x

dt t dt -=的解.

解:

令44

d x

y dt =,则方程化为10dy y dt t

-=,即方程化为一阶方程.

方程积分后得y ct =,即44

d x

ct dt

=, 43212345x c t c t c t c t c ∴=++++

其中12345,,,,c c c c c 为任意常数,这就是原方程的通解.

ⅱ.不显含自变量t 的方程

()(,,...,)0n F x x x '=

令y=x’,视x 为新自变量，而视x 为新自变量,则方程就可可降低一阶，事实上,

在所作的假定下,2

2

22

',''',''',...dy dy dy dy d y x y x x y x y y dt dx dx

dx dx ??=====

+ ???

,采用数学归纳法可以证明, ()

k x

可用11,,...,k k dy d y

y dx dx

--表出(n k ≤).将这些表达式代入原式

可得11(,,,...,)0n n dy d y

F x y dx dx

--=.

ⅲ.齐次线性微分方程

111()...()0n n n n

n d x d x

a t a t x dt dt

--+++=. 其求解问题归结为寻求方程的n 个线性无关的特解,但如何求这些特接呢没有普遍的方法可循.这是与常系数线性微分方程的极大差异之处.但是我们指出,如果知道方程的一个非零特解,则利用变换,可将方程降低一阶;或更一般地,若知道方程的k 个无关的特解,则可通过一系列同类型的变换,使方程降低k 阶.并且得到的n-k 阶方程也是齐次线性的.

设12,,...,k x x x 是上述方程的k 个线性无关解,显然i x 不恒等于0(i=1,2,…,k),令k x x y =,直接计算可得

'''k k x x y x y =+,

''''2'''',k k k x x y x y x y =++

… … … …

y x y x n n y x n y x x n k n k n k

n k n )

()2()1()()(2

)1(++''-+'+=-- 将这些关系式代入111()...()0n n n n n d x d x

a t a t x dt dt

--+++=中,可得

()(1)()(1)

11['()]...[...]0n n n n k k k k k n k x y nx a t x y x a x a x y --+++++++=,

这是关于y 的n 阶方程,且各项系数是t 的已知函数,而y 的系数恒等于零,因为k x 是此方程的解.因此,如果引入新未知函数'z y =,并在0k x ≠的区间上用k x 除方程的各项,我们便得到形状如

(1)(2)1(2)(1)()...()'()0n n n n z b t z b t z b t z ----++++=

的n-1阶齐次线性微分方程.

因有关系k

x x zdt =?

或'k

x

z y x '

??==

???

.因此,对于上述方程我们就知道它的k-1个线性无关解i

i k

x

z x '

??= ???

1)-k ,…1,2,=(i . 事实上，121,,...,k z z z -是(1)

(2)1(2)(1)()...()'()0n n n n z

b t z b t z b t z ----++++=的解,

假设这k-1个解之间存在关系式

112211...0k k k k a x a x a x a x --++++≡,

或

112121...k k k k k k x x x a a a a x x x --??????

+++≡- ? ? ???????

, 其中121,,...,k a a a -是常数,那么就有

112121...k k k k k k x x x a a a a x x x --??????

+++≡- ? ? ???????

, 或

112211...0k k k k a x a x a x a x --++++≡,

由于12,,...,k x x x 线性无关,故必有12...0k a a a ====.这就是说121,,...,k z z z -是线性无关的.

因此,若对(1)

(2)1(2)(1)()...()'()0n n n n z

b t z b t z b t z ----++++=仿上做法,可进一步令

1k z z udt -=?,则可将方程化为关于u 的n-2阶齐次线性微分方程

(2)(3)12()...()0n n n u c t u c t u ---+++=,

并且还知道方程此方程的k-2个线性无关解

1

i

i k z u z -'

??= ???

, 2,,2,1-=k i

利用k 个线性无关特解当中的一个解k x ，可以把方程

111()...()0n n n n

n d x d x

a t a t x dt dt

--+++= 降低一阶,成为n-1阶齐次线性微分方程

(1)(2)1(2)(1)()...()'()0

n n n n z b t z b t z b t z ----++++=

并且知道它的k-1个线性无关解;而利用两个线性无关解1,k k x x -,则又可以把方程

111()...()0n n n n

n d x d x

a t a t x dt dt --+++=

降低两阶，成为n-2阶齐次线性微分方程

(2)(3)12()...()0n n n u c t u c t u ---+++=,

同时,也知道了它的k-2个线性无关解.依此类推,继续上面的做法,若利用了方程的k 个线性无关解k x x x ,,21,则最后就得到一个n-k 阶的齐次线性微分方程.这就是说把降低了k 阶.

对于二阶齐次线性微分方程来说,如果知道它的一个非零特解,则方程的求

解问题就解决了.设10x x =≠是二阶齐次线性微分方程

22()()0d x dx

p t q t x dt dt ++=

的解,则由上面讨论知道,经变换

1x x ydt =?

后,方程就化成

1

11[2()]0dy

x x p t x y dt

'++= 解得

()21

1p t dt

y c

e x -?=

,已知非零特解1x 时,方程可解.其通解为

()1121

1[]p t dt

x x c c e dt x -?=+?

(3) 其中1,c c 为任意常数.

当取10,1c c ==得到方程

22()()0d x dx

p t q t x dt dt ++=

的一个特解

()121

1p t dt

x x e dt x -?=?

. 例 6 已知sin t x t

=是方程

20x x x t '''++=的解,试求方程的通解. 解 这里2

()p t t

=

,由(3)可得: 2122

sin 1()sin t t x c c dt t t t

=+??

11sin 1

(cot )(sin cos )t c c t c t c t t t

=

-=- 其中1,c c 是任意常数,这就是方程的通解

四．总结：

高阶微分方程的求解技巧，一般是借助定积分进行变量代换，降为可处理的微分方程，然后对方程求解，最后变量带回，求得原方程的通解。

参考文献

王高雄等编。《常微分方程（第三版）》高等教育出版社 2006 E ．卡姆克编。《常微分方程手册》 科学出版社 1977

孙清华等编。《常微分方程内容方法与技巧》 华中科技大学出版社 2006

窦霁红常微分方程考研教案（第二版）西北工业大学出版社 2006

最新可降阶的二阶微分方程

可降阶的二阶微分方 程

第五节可降阶的二阶微分方程 在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解的类型，读者应注意学习解微分方程的各种技巧。 对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的解。 §5.1 ?Skip Record If...?＝f(x)型的微分方程 这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，就能得它的解 积分一次得?Skip Record If...?＝∫ f(x)dx＋C1

再积分一次得 y＝∫［∫f(x)dx＋C1］dx ＋C２ 上式含有两个相互独立的任意常数C1，C2，所以这就是方程的通解。 例1. 求方程?Skip Record If...?＝－?Skip Record If...?满足y｜ x＝?Skip Record If...?＝－?Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?＝1的特解。 解积分一次得 ?Skip Record If...?＝ctanx＋C1 以条件?Skip Record If...??Skip Record If...?＝1代入得C1＝0，即有 ?Skip Record If...?＝ctanx 再积分一次得 y＝ln｜sinx｜＋C2 以条件y｜x＝?Skip Record If...?＝－ ?Skip Record If...?代入，得 －?Skip Record If...?＝ln?Skip Record If...?＋C2即C2＝0 于是所求特解是 y＝ln｜sinx｜。 这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程

偏微分方程数值习题解答

李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0(' =?，则称0x 是)(x J 的 驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 证明:由)(λ?的定义与内积的性线性性质,得 ),()),((2 1 )()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλ?+-++=+= ),(2 ),()(2 00x Ax x b Ax x J λλ+ -+= ),(),()(0'x Ax x b Ax λλ?+-= 必要性:由0)0(' =?,得,对于任何n R x ∈,有 0),(0=-x b Ax , 由线性代数结论知, b Ax b Ax ==-00,0 充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈, 0|),(),()0(00'=+-==λλ?x Ax x b Ax

即0x 是)(x J 的驻点. §1-2 补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等. 证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意 )()(0I C x ∞∈?,有 ??-=b a b a dx x x f dx x x g )()()()(' 1?? ??-=b a b a dx x x f dx x x g )()()()('2?? 两式相减,得到 )(0)()(021I C x g g b a ∞ ∈?=-??? 由变分基本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等. 补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式

几类分数阶微分方程边值问题和初边值问题的

几类分数阶微分方程边值问题和初边值问题的 数值方法 聂宁明 摘要 分数阶微积分实际上已有三百多年的历史,由于缺乏物理、力学背景的支持,它的发展极其缓慢.直到20世纪后期,人们才意识到在石油渗流、地下水污染防治、黏弹性材料、信号与图象处理、控制、量子力学、金融及生命科学等多个领域,分数阶微积分和分数阶微分方程都有重要的应用,从而开始重视对其数值算法的研究. 本文针对几类分数阶常微分方程边值问题和分数阶偏微分方程初边值问题,构造不同的数值方法进行求解并给出相应的误差分析. 第一章介绍分数阶微积分的历史和发展现状,并给出分数阶微积分的基本定义和性质. 第二章考虑Riemann-Liouville分数阶微分方程两点边值问题,先讨论分数阶微分方程两点边值问题解的存在唯一性条件,然后用打靶法对其进行数值求解,并对线性情形,给出误差分析. 第三章介绍如何用三次样条配置法来数值求解分数阶微分方程两点边值问题,并给出误差估计和数值算例. 第四章运用谱方法求解分数阶微分方程的边值问题和初边值问题.第一节用谱方法求解高阶导数是二阶,低阶导数是分数阶的微分方程两点边值问题,分析谱逼近解的收敛性,并通过数值算例验证谱精度.第二节,将谱方法用于求解稳态分数阶对流扩散方程,分析算法的稳定性和收敛性,并通过数值计算验证算法的可行性.第三节以地下水污染问题中抽象出来的空间分数阶扩散方程为例,介绍谱方法求解分数阶偏微分方程初边值问题的过程.对该方程,在空间方向用Galerkin谱方法进行数值逼近,在时间方向用向后Euler差分格式进行离散求解,分析方法的稳定性和收敛性,并通过数值算例验证理论分析结果. 为了进一步说明分数阶微分方程的意义,在第五章中给出了分数阶微分方程在石油渗流问题中的一个应用实例.通过对破裂可形变地层中裂口附近的渗流情况的研究,给出了分数阶微分方程模型的建模过程,并用数值计算的结果说明分数阶微分方程模型在实际中优于整数阶微分方程模型的事实.

微分方程的边值问题

微分方程边值问题的数值方法 本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。 二阶常微分方程为 (,,),y f x y y a x b '''=≤≤ (1.1) 当(,,)f x y y '关于,y y '为线性时，即(,,)()()()f x y y p x y q x y r x ''=++，此时(1.1)变成线性微分方程 ()()(),y p x y q x y r x a x b '''--=≤≤ (1.2) 对于方程(1.1)或(1.2)，其边界条件有以下3类： 第一类边界条件为 (),()y a y b αβ== (1.3) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。 第二类边界条件为 (),()y a y b αβ''== (1.4) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。 第三类边界条件为 0101()(),()()y a y a y b y b ααββ''-=+= (1.5) 其中00000,0,0αβαβ≥≥+>，当10α=或者10β=称为齐次的，否则称为非齐次的。微分方程(1.1)或者(1.2)附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。 1 打靶法介绍 下面以非线性方程的第一类边值问题(1.1)、(1.3)为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为相应的初值问题求解。 【原理】假定()y a t '=，这里t 为解()y x 在x a =处的斜率，于是初值问题为 (,,) ()()y f x y y y a y a t α '''=?? =??'=? (1.6) 令z y '=，上述二阶方程转化为一阶方程组

可降阶的高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程解法 ①())(x f y n =型的微分方程 对())(x f y n =两边积分，有 ()?+=-11)()(C dx x f x y n ， ()()212])([C dx C dx x f x y n ++=??-， …… 依次进行n 次积分即得通解． ②()y x f y '='',型的微分方程 方程的特点是右端不显含y ，令p y ='，则p y '=''，于是原方程化为),(p x f p ='，是关于p 的一阶方程，若其解为),(1C x p ?=，即 ),(1C x dx dy ?=，积分求解即可． ③()y y f y '='',型的微分方程 方程的特点是右端不显含自变量x ，令p y ='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''，于是原方程化为),(p y f dy dp p =，是关于p 的一阶方程，若其解为),(1C y p p =，即),(1C y p dx dy =，再积分求解即可． 例题1求下列各微分方程的通解 （1）x x y x y e 1+'=''； （2）()221 12y y y y '+-='' 解 （1）原方程属于()y x f y '='',类型． 令p y ='，则p y '=''，原方程可化为 x x p x p e 1+= '， 此为P 的一阶线性方程，其通解为 () 1111e e e e C x C dx x p x dx x x dx x +=????????+???=???? ??-??? ??--，

所以 () 1e C x dx dy x +=， 分离变量后得 () dx C x dy x 1e +=， 两边积分，得原方程的通解为 2212 1e )1(C x C x y x ++-=． （2）原方程为属于()y y f y '='',类型． 令p y ='，则dy dp p y =''，代入原方程得 22112p y y dy dp p +-=， 当0=p 时，得0==dx dy p ，即C y =为原方程的解； 当0≠p 时，得 p y y dy dp 1 122+-=， 分离变量 dy y y p dp 1 122+-=， 两边积分 ()1 2ln arctan 1ln ln C y y p +-+=， 即 ()y y C p arctan 21e 1-+=， 从而 () y y C dx dy arctan 21e 1-+=， 分离变量，再两边积分后，得原方程通解为 2arctan 1e C x C y +=． 练习 练习1求方程222()0d y dy y dx dx -=的通解 练习2求方程1'''y y x = 的通解。

二阶常微分方程边值问题的数值解法

摘要 本文主要研究二阶常微分方程边值问题的数值解法。对线性边值问题，我们总结了两类常用的数值方法，即打靶法和有限差分方法，对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这两类方法的优缺点进行了细致的比较。 关键字：常微分方程边值问题；打靶法；差分法；

ABSTRACT This article mainly discusses the numerical methods for solving Second-Order boundary value problems for Ordinary Differential Equations. On the one hand, we review two types of commonly used numerical methods for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. For each method, we give both the exact calculating steps , we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. Key words：Boundary-Value Problems for Ordinary Differential Equations；Shooting Method；Finite Difference Method；

二阶常微分方程地降阶解法

航空工业管理学院 毕业论文（设计）2015届数学与应用数学专业1111062班级 题目二阶常微分方程的降阶解法 姓名贾静静学号111106213 指导教师程春蕊职称讲师 2015年4月5号

二阶常微分方程的降阶解法 摘要 常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。常微分方程在微分理论中占据首要位置,普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面,不少应用例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难,迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。 本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。关于二阶常系数线性微分方程的求解问题,首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。 关键词 二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式

Order reduction method of second order ordinary differential equations Jingjing Jia Chunrui Cheng 111106213 Abstract Ordinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice . Ordinary differential equations in the theory of differential occupied first place, it has been widely used in engineering application and scientific research as well as physics, many application examples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem. And under normal circumstances,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty, so far we haven't a well-established general method. This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant

高阶方程的降阶技巧

高阶方程的降阶技巧 目 录 一．高阶方程的引入及定义 (1) 二．几类常见的可降阶的高阶微分方程 (2) （一）()y f x ' '=型的微分方程………………………………………2 （二） (,)y f x y '''= 型的微分方程 (3) （三）(,)y f y y ' ''=型的微分方程.............................................4 （四）二阶方程的幂级数解...............................................................5 三．其他情况的高阶微分方程............................................................7 四．总结.......................................................................................12 参考文献 (12)

高阶方程的降阶技巧 摘要:对于高阶方程的解法问题，降阶是普遍的求解方法，利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程的求解问题。对于不同高阶微分方程给出了相应的降阶方法。 关键词:线性微分方程，降阶，非零特解

一．高阶方程的引入及定义 所谓阶,就是导数(或微分)的最高阶数. 函数未知，但知道变量与函数的代 数关系式，便组成了代数方程，通过求解代数方程解出未知函数.同样，如果知道自变量，未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程. 而高阶微分方程,即阶数大于二或者等于二的方程.一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。因为一般来说，低阶微分方程的求解会比求高阶的微分方程方便些。特别地，对于二阶（变系数）齐次线性微分方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用降阶法求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解，对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。因此，问题的关键就在于寻找齐次线性微分方程的一个非零特解。 一些相关定义 如果方程 (,,, ,)0n n dy d y F x y dx dx = （1） 的左端为y 及, ,n n dy d y dx dx 的一次有理整式。则称（1）为n 阶线性微分方程.不是线性方程的方程称为非线性微分方程. 如果函数()y x ?=代入方程（1）后,能使它变为恒等式.则称函数()y x ?=为方程（1）的解. 我们把含有n 个独立的任意常数12,n c c c 的解12(,)n y c c c ?=称为n 阶方 程（1）的通解.

二阶常微分方程的降阶解法.

郑州航空工业管理学院 毕业论文（设计） 2015届数学与应用数学专业1111062班级 题目二阶常微分方程的降阶解法 姓名贾静静学号111106213 指导教师程春蕊职称讲师 2015年4月5号

二阶常微分方程的降阶解法 摘要 常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。常微分方程在微分理论中占据首要位置,普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面,不少应用范例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难,迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。 本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。关于二阶常系数线性微分方程的求解问题,首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。 关键词 二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式

Order reduction method of second order ordinary differential equations Jingjing Jia Chunrui Cheng 111106213 Abstract Ordinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice . Ordinary differential equations in the theory of differential occupied first place, it has been widely used in engineering application and scientific research as well as physics, many application examples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem. And under normal circumstances,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty, so far we haven't a well-established general method. This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant coefficients.On the problem of solving the linear differential equation with two order constant coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficient linear differential equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots of characteristic equation;secondly,we should use the integral factor times differential equation and derivative operation and turn two order constant