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2.3离散型随机变量的均值和方差导学案第三课时---王文东

2.3离散型随机变量的均值和方差导学案第三课时---王文东
2.3离散型随机变量的均值和方差导学案第三课时---王文东

高中新课标选修(2-3)2.3测试题

一、选择题

1.设随机变量2~()X N μσ,,且()()P X c P X c =>≤,则c 的值为( ) A.0

B.μ

C.μ-

D.σ

2.设随机变量X 的分布列为 若15

8

EX =,则DX 等于( ) A.3364 B.

5564

C.

732 D.

932

3.在一次随机试验中,事件A 发生的概率为1

243p p ?? ???

≤≤,则事件A 发生的次数X 的方差DX 的最大值为( )

A.1 B.14 C.29 D.1

8

4.设随机变量2~()X N μσ,,则随着σ的增大,概率(3)P X μσ-<将会( ) A.单调增加 B.单调减少

C.保持不变

D.增减不定

5.对一道IMO 试题,甲解出的概率为23,乙解出的概率为4

5,设解出该题的人数为X ,则DX 等于( )

A.22

15

B.

86225 C.225

484

D.

225

86

6.若随机变量123~(0.2)~(6)~()X B n X B p X B

n p ,,,,,,且123

22

EX DX ==,,则3DX 等于( ) A.0.5 B.1.5 C.2.5 D.3.5

二、填空题

7.从一批含有13只正品、2只次品的产品中,不放回地抽取3次,每次抽取1只,设抽得次品数为X ,则(51)E x += .

8.已知2~(0)X N σ,,且(20)P X -≤≤0.4=,则(2)P X >= .

9.某次考试的第一大题是由10个判断题组成,每个判断题做对得2分,不做或做错得0分.小王同学做对每一题的概

率为3

4,则小王第一大题得分的均值 ,方差是 .

10.一批电阻的阻值X 服从正态分布2(10005)()N Ω,

.今从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻,测得阻值分别为1011Ω和982Ω,可以认为 (填写正确的序号). ①甲、乙两箱电阻均可出厂; ②甲、乙两箱电阻均不可出厂;

③甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂; ④甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂.

11.质点从数轴的原点出发,当投下的均匀硬币出现正面时,质点沿数轴正方向移动一个长度单位,当硬币出现反面时,质点沿数轴负方向移动一个长度单位,移动4次停止,则停止运动时质点在数轴上的坐标X 的均值是 .

12.若P 为非负实数,随机变量X 的分布列为

则EX 的最大值为 ,DX 的最大值为 .

三、解答题

13.有朋自远方来,不亦乐乎!已知他们乘火车、轮船、汽车、飞机来时每人能带的礼品分别是3、2、2、1件,且乘坐每一种交通工具的可能性相同,如果你有两个朋友要乘不同的交通工具来. (1)求你收到的礼品数不少于4件的概率; (2)求你收到礼品件数的均值和方差.

14.灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X (单位:h ),已知2~(100030

)X N ,要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率为99.7%,问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上

.

15.如图,A,B两点由5条连线并联,它们在单位时间内能通过信息的最大量依次为2,3,4,3,2,现将从中任取三条线且在单位时间内都通过最大信息量的总量记为X.

(1)求X的均值和方差;

(2)把X≥10的并联网称为信息畅通,把X=8或9的并联网称为信息基本流通,试问信息畅通,信息基本流通的概率分别是多少?

高考中随机变量的期望与方差分类解析

纵观高考中的3套全国卷、13套自主命题卷,除上海卷、江苏卷、全国卷(Ⅲ)没有直接涉及随机变量的期望与方差,天津卷只有4分的填空题外,其它12套卷都有不少于12分的大题。这类试题在考查概率的基本知识的基础上,加大了学生对日常生活的基本常识的理解;应用题的背景既源于教材又走近生活、贴近时代,不仅可检测出考生将知识迁移到不同情境中的能力,而且可更有效地甄别考生的数学素养。它特别注重应用数学知识解决实际问题能力的培养,这也充分肯定了随机变量的期望与方差在高考中的地位。2005高考中“随机变量的期望与方差”有以下几类:

一、体育比赛类

这类试题有全国卷(Ⅱ)的排球比赛类、北京卷的射击比赛类、福建卷的罚球比赛类等体育比赛中的有关问题,背景熟悉,一种亲切感油然而生,体现了较好的人文关怀。

例1、(全国卷Ⅱ)甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制。即先胜三局的队获胜,比赛结束。设各局比赛相互间没有影响。令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望(精确到0.0001)。

二、游戏类

这类试题有江西卷的掷硬币翻卡片游戏、浙江卷的摸红白球游戏、山东卷的摸黑白球游戏、广东卷的摸乒乓球游戏等,贴近学生的生活,很适合学生答题的口味。

例2、(江西卷)A,B两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时A赢得B一张卡片,否则B赢得A一张卡片,规定掷硬币的次数达9次时,或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止。设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数。

(1)求ξ的取值范围;(2)求ξ的数学期望Eξ.

三、有奖销售类

本类题与天津卷中的投资获益类试题,都取材于课本该章引言中国庆节在商场外的促销活动获益问题。背景源于课本,又高于课本,是符合考纲的好题。

例3、(重庆卷)在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖。某顾客从此10张券中任抽2张,求(1)该顾客中奖的概率;(2)该顾客获得的奖品总价值ξ(元)的概率分布列和期望Eξ.

四、产品加工类

例4、(辽宁卷第20题):题目略。

该题考查相互独立事件的概率,随机变量的分布列及期望,线性规划模型的建立与求解;考查学生通过建立数学模型解决实际问题的能力。它是一道集概率、随机变量、线性规划于一体的综合性较强的试题,解决这类问题需确切知道随机变量所要表达的意义及离散型随机变量每个取值的概率,线性规划模型建立的方法、步骤,是值得同学们引起注意的好题。

五、种子发芽类

例5、(全国卷Ⅰ)9粒种子分别种在3个坑内,每坑3粒,每粒种子发芽的概率为0.5,若一个坑内至少有一粒种子发芽,则这个坑内不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种。假定每个坑至多补种一次,每补种1个坑需10元,用ξ表示补种费用,写出ξ的分布列并求ξ的数学期望(精确到0.01)。

六、旅游类

例6、(湖南卷)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响。设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。(1)求ξ的分布列及数学期望;(2)记“函数f(x)=x2-3ξx+1在区间[2,+∞]上单调递增”为事件A,求事件A的概率。

〖评注〗本题将随机变量的分布列和数学期望等知识与二次函数知识有机地结合起来,注重了“强化理性思维,注重探索创新”的考纲要求,也充分考查了学生的理性思维能力。

七、考取驾照类

例7、(湖北卷)某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,便可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望,并求李明在一年内领到驾照的概率。

我们以例7为例说明解决这类问题的方法、步骤。

步骤:求离散型随机变量的分布列的应用问题应遵循如下三个步骤:首先,明确随机变量的所有可能取值;其次,求出与这些可能取值等价事件的概率;最后,按要求写出分布列,进一步求得数学期望。

点拨:把数学思想应用到实际问题中,并能顺利地提炼出数学模型是这类题的切入点。

解析:ξ可能的取值分别为1,2,3,4.

ξ=1,表明李明第一次参加驾照考试就通过了,故P(1

=

ξ)=0.6.

ξ=2,表明李明在第一次考试未通过,第二次通过了,故

.

28

.0

7.0

)6.0

1(

)2

(=

?

-

=

=

ξ

P

ξ=3,表明李明在第一、二次考试未通过,第三次通过了,故

.

096

.0

8.0

)7.0

1(

)6.0

1(

)3

(=

?

-

?

-

=

=

ξ

P

ξ=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过,故

.

024

.0

)8.0

1(

)7.0

1(

)6.0

1(

)4

(=

-

?

-

?

-

=

=

ξ

P

∴ξ的期望Eξ

李明在一年内领到驾照的概率为

1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)(1-0.9)=0.9976.

评注:高考中的“随机变量的期望与方差”既重视学生知识、技能的掌握,也关注学生在完成试卷过程中所表现出的情感、态度与价值观;既突出考试的甄别与选拔功能,也体现考试的激励和发展功能。

高中新课标选修(2-3)2.3测试题

一、选择题

1.设随机变量2~()X N μσ,,且()()P X c P X c =>≤,则c 的值为( ) A.0

B.μ

C.μ-

D.σ

答案:B

2.设随机变量X 的分布列为 若15

8

EX =,则DX 等于( ) A.

3364 B.

5564

C.

732

D.

932

答案:B

3.在一次随机试验中,事件A 发生的概率为1

24

3p p ?? ???≤≤,则事件A 发生的次数X 的方差DX 的最大值为( )

A.1 B.14 C.29 D.1

8

答案:B

4.设随机变量2~()X N μσ,,则随着σ的增大,概率(3)P X μσ-<将会( ) A.单调增加 B.单调减少

C.保持不变

D.增减不定

答案:C

5.对一道IMO 试题,甲解出的概率为23,乙解出的概率为4

5,设解出该题的人数为X ,则DX 等于( )

A.

22

15

B.

86225 C.225

484

D.

225

86

答案:B

6.若随机变量123~(0.2)~(6)~()X B n X B p X B n p ,,,,,,且123

22

EX DX ==,,则3DX 等于( ) A.0.5 B.1.5

C.2.5

D.3.5

答案:C

二、填空题

7.从一批含有13只正品、2只次品的产品中,不放回地抽取3次,每次抽取1只,设抽得次品数为X ,则(51)E x += .

答案:3

8.已知2~(0)X N σ,,且(20)P X -≤≤0.4=,则(2)P X >= .

答案:0.1 9.某次考试的第一大题是由10个判断题组成,每个判断题做对得2分,不做或做错得0分.小王同学做对每一题的概

率为3

4,则小王第一大题得分的均值 ,方差是 .

答案:15,7.5

10.一批电阻的阻值X 服从正态分布2(10005)()N Ω,

.今从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻,测得阻值分别为1011Ω和982Ω,可以认为 (填写正确的序号). ①甲、乙两箱电阻均可出厂; ②甲、乙两箱电阻均不可出厂;

③甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂; ④甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂.

答案:③

11.质点从数轴的原点出发,当投下的均匀硬币出现正面时,质点沿数轴正方向移动一个长度单位,当硬币出现反面时,质点沿数轴负方向移动一个长度单位,移动4次停止,则停止运动时质点在数轴上的坐标X 的均值是 .

答案:0

12.若P 为非负实数,随机变量X 的分布列为

2

12则EX 的最大值为 ,DX 的最大值为 .

答案:3

2,1

三、解答题

13.有朋自远方来,不亦乐乎!已知他们乘火车、轮船、

汽车、飞机来时每人能带的礼品分别是3、2、2、1件,且乘坐每一种交通工具的可能性相同,如果你有两个朋友要乘不同的交通工具来.

3

(1)求你收到的礼品数不少于4件的概率; (2)求你收到礼品件数的均值和方差. 解:(1)设收到礼品件数为X ,则X 的可能取值为3,4,5,

因此112(4)(4)(5)333

P X P X P X ==+==+=≥.

(2)X 的分布列为

5

13

1(345)43EX =?++=∴,2221112

(34)(44)(54)3333

DX =?-+?-+?-=.

14.灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X (单位:h ),已知2~(100030

)X N ,要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率为99.7%,问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上.

解:因为灯泡的使用寿命2~(100030

)X N ,, 故X 在(10003301000330)-?+?,的概率为99.7%,

即X 在(9101090),

内取值的概率为99.7%,故灯泡的最低使用寿命应控制在910h 以上.

15.如图,A ,B 两点由5条连线并联,它们在单位时间内能通过信息的最大量依次为2,3,4,3,2,现将从中任取三条线且在单位时间内都通过最大信息量的总量记为X . (1)求X 的均值和方差;

(2)把X ≥10的并联网称为信息畅通,把X =8或9的并联网称为信息基本流通,试问信息畅通,信息基本流通的概率分别是多少?

解:(1)2122351(7)5C C P X C ===;211221223

53

(8)10

C C C C P X C +===; 111221352(9)5C C C P X C ===;21

213

51

(10)10

C C P X C ===, 则1321

789108.4510510

EX =?+?+?+?=,

22221321

(78.4)(88.4)(9

8.4)(108.4)0.84510510DX =-?+-?+-?+-?=.

(2)信息畅通的概率是1(10)10P X ==;信息基本流通的概率是7(8)(9)10

P X P X =+==.

高中数学第二章概率5第2课时离散型随机变量的方差学案北师大版选修

第2离散型随机变量的方差 学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题. 知识点离散型随机变量的方差 甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为X和Y,X和Y的分布列为 X 01 2 P 6 10 1 10 3 10 Y 01 2 P 5 10 3 10 2 10 思考1试求EX,EY. 思考2能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低? 思考3试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低? 梳理(1)离散型随机变量的方差的含义 设X是一个离散型随机变量,用E(X-EX)2来衡量X与EX的________________,E(X-EX)2是(X-EX)2的________,称E(X-EX)2为随机变量X的方差,记为________. (2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系 方差越____,随机变量的取值越分散;方差越____,随机变量的取值就越集中在其均值周

围. (3)参数为n,p的二项分布的方差 当随机变量服从参数为n,p的二项分布时,其方差DX=np(1-p). 类型一求离散型随机变量的方差 命题角度1已知分布列求方差 例1已知X的分布列如下: X -10 1 P 1 2 1 4 a (1)求X2 (2)计算X的方差; (3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差. 反思与感悟方差的计算需要一定的运算能力,公式的记忆不能出错!在随机变量X2的均值比较好计算的情况下,运用关系式DX=EX2-(EX)2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2DX. 跟踪训练1已知η的分布列为 η010205060 P 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15 (1)求方差; (2)设Y=2η-Eη,求DY.

高二数学选修2-3离散型随机变量的方差导学案

2.32离散型随机变量的方差 学习目标 1、理解各种分布的方差 2、会应用均值(期望)和方差来解决实际问题 自主学习:课本 1.一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是n x x x x ???321,,这些值对应的概率是n p p p p ???,,,321则________________________________________________________叫做这个 离散型随机变量X 的方差;______________________________叫作离散型随机变量X 的标准差 2. 离散型随机变量的方差刻画了这个离散型随机变量的_____________________________. 3. 离散型随机变量X 分布列为二点分布时, ()___________D X =. 4.离散型随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布时,()___________D X =. 5. 离散型随机变量X 服从参数为,N M ,n 的超几何分布时, ()___________D X = 自学检测 1.已知X ~(),B n p ,()8,() 1.6E X D X ==,则,n p 的值分别是( ) A .100和0.08 B .20和0.4 C .10和0.2 D .10和0.8 2.设掷1颗骰子的点数为X ,则( ) A. 2() 3.5,() 3.5E X D X == B. 35() 3.5,()12 E X D X == C. () 3.5,() 3.5E X D X == D. 35() 3.5,()16E X D X == 3.一牧场的10头牛,因误食疯牛病病毒污染的饲料被感染,已知疯牛病发病的概率是0.02,若发病的牛数为X 头,则()D X 等于( ) A. 0.2 B. 0.196 C.0.8 D.0.812 4. 已知随机变量X 的分布列为

2019-2020学年高中数学 2.3.1离散型随机变量的期望学案 新人教A版选修2-3.doc

2019-2020学年高中数学 2.3.1离散型随机变量的期望学案 新人教 A 版选修2-3 【教学目标】 1了解离散型随机变量的期望的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出期望. ⒉理解公式“E (a ξ+b )=aE ξ+b ”,以及“若ξ~Β(n ,p),则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望 【教学重难点】 教学重点:离散型随机变量的期望的概念 教学难点:根据离散型随机变量的分布列求出期望 【教学过程】 一、复习引入: 1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量 3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若ξ是随机变量,b a b a ,,+=ξη是常数,则η也是随机变量并且不改变其属性(离 散型、连续型) 5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1,x2,…,x3,…, ξ取每一个值xi (i=1,2,…)的概率为 ()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列 6. 分布列的两个性质: ⑴Pi ≥0,i =1,2,…; ⑵P1+P2+…=1. 7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P ,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ, (k =0,1,2,…,n ,p q -=1). 于是得到随机变量ξ的概率分布如下: ξ 0 1 … k … n P n n q p C 00 1 11-n n q p C … k n k k n q p C - … q p C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n ,p),其中n ,p 为参数,并记k n k k n q p C -=

52.3.2离散型随机变量的方差导学案(选修2-3)

§2.3.2离散型随机变量的方差导学案 高二数学组 一、教学目标 1、通过实例,理解离散型随机变量的方差; 2、能计算简单离散型随机变量的方差。 重点:离散型随机变量的方差的概念 难点:根据离散型随机变量的分布列求出方差 二、自学引入: 问题1:某射手在10次射击中所得环数为:10,9,8,10,8,10,10,10,8,9. 求这名射手所得环数的方差。 问题2:某射手在一次射击中所得环数 能否根据分布列求出这名射手所得环数的方差? 引入概念: (1)方差的概念:设一个离散型随机变量X所有可能取得值是x1,x2,…,x n;这些值对应的概率为p1,p2,…,p n,则 D(X)= , 叫做这个离散型随机变量X的方差。 离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量的取值。 (2)D(X)的叫做随机变量X的标准差。 三、问题探究: (1)若随机变量X服从参数为p的二点分布,则D(X)= ()。 (2)若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,则D(X)= ()。 四、典例解析: 例1 甲、乙两射手在同样条件下进行射击,成绩的分布列如下: 射手甲: 射手乙: 谁的射击水平比较稳定。 变式训练设X是一个离散型随机变量,其分布列如下表,试求D(X)

例2 已知某离散型随机变量X 服从下面的二项分布: k k k C k X P -==449.01.0)( (k=0,1,2,3,4). 求E (X )和D (X )。 变式训练 一牧场有10头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为 0.02。设发病的牛的头数为X ,求E (X )和D (X )。 五、小结: 六、作业:课后练习A 、B 。 §2.3. 2离散型随机变量的方差当堂检测 高二数学组 1、已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==,则,n p 的值分别是( ) A .1000.08和; B .200.4和; C .100.2和; D .100.8和 2、设投掷1颗骰子的点数为ξ,则( ) A.E ξ=3.5,D ξ=3.52 B.E ξ=3.5,D ξ=12 35 C.E ξ=3.5,D ξ=3.5 D.E ξ=3.5,D ξ= 16 35 3、有一批数量很大的商品的次品率为1%,从中任意地连续取出200件商品,设其中次品数为X ,求E (X ),D (X ) 4、A 、B 两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表所示: A 机床 B 机床 问哪一台机床加工质量较好

知识讲解离散型随机变量的均值与方差

知识讲解离散型随机变量的均值与方差(总13页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除

离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念,会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望,并能解决一些实际问题; 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差,并能解决一些实际问题; 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望,简称期望. 要点诠释: (1)均值(期望)是随机变量的一个重要特征数,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平. (2)一般地,在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令=1p =2p …n p =,则有 =1p =2p …n p n 1= =,=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 (3)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. 2.性质: ①()E E E ξηξη+=+; ②若b a +=ξη(a 、b 是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,有 b aE b a E +=+ξξ)(; b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下:: η的分布列为

于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… =+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)=b aE +ξ ∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二:离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念: 已知一组数据1x ,2x ,…,n x ,它们的平均值为x ,那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -+22)(x x -+…+])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD =121)(p E x ?-ξ+222)(p E x ?-ξ+…+2()n i x E p ξ-?+…称为随机变量ξ的方差,式中的ξE 是随机变量ξ的期望. ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差,记作σξ. 要点诠释: ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的; ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;方差(标准差)越小,随机变量的取值就越稳定(越靠近平均值). ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系:

2019-2020学年高中数学 2.1.2离散型随机变量的分布列导学案新人教版选修2-3.doc

2019-2020学年高中数学 2.1.2离散型随机变量的分布列导学案新人教版选修 2-3 【学习目标】 1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念; 2、会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列。 【重点难点】 重点:求离散型随机变量的分布列 难点:超几何分布。 【预习指导】复习概率相关内容 E x1:下面给出了三个随机变量: 某传呼台1分钟内接到的呼叫次数;(2)某森林树木的高度在(0,50)这一范围内变化,测的某一树木的高度;(3)某人射击一次集中的环数. 其中是随机变量的个数是 ( ) A.0 B.1 C. 2 D . 3 E x2:下列变量中,不是随机变量的是 ( ) A.投掷一次硬币,正面朝上的次数 B.投掷一枚硬币100次,正面朝上的次数的频率 C. 某人某月的电话费 D.投掷一枚硬币,正面朝上或反面朝上的次数 【合作探究】阅读书本p46—48页,回答以下问题: 1、离散型随机变量的分布列: (1)如果随机试验的结果可以用一个 来表示,那么这样的变量叫做 ;按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做 。 (2)设离散型随机变量ξ可能取的值为 ξ,,,,21n x x x 取每一个值),,2,1(n i x i = 的概率()i i p x P ==ξ,则称表 为随机变量ξ的概率分布列,具有性质: ①i p 0,n i ,,2,1 =;②n i p p p p +++++ 21= 。 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 。 2、如果随机变量X 的分布列为 其中,1,10p q p -=<<则称离散型随机变量X 服从 并称参数p 为 。 3、超几何分布列 在含有M 件次品数的N 件产品中,任取n 件,其中含有X 件次品数,则事件{}k X =发生的概 率为:==)(k X P (m k ,,2,1,0 =),其中{}n M m ,min =,且*,,,,N N M n N M N n ∈≤≤,则称分布列

《离散型随机变量的概念》教学设计

离散型随机变量的概念》教学设计 一、教材分析 《离散型随机变量的概念》是人教 A 版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的第一课时。本章是在必修三中学习了基本的概率统计知识的基础上,进一步学习随机变量及其分布的知识。本节内容一方面承接了必修三的知识;另一方面,掌握好这一节课将有助于后续的学习,因此它在知识体系上起着承上启下的作用。随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁,从而使得更多的数学工具有了用武之地。离散型随机变量是最简单的随机变量。本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法。 二、学情分析 学生在必修 3 概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1 中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础,教学时应充分注意这一教学条件;另外,为更好地形成随机变量和离散型随机变量两个概念,教学中可借助媒体列举和展现丰富的实例和问题,以留给学生更多的时间思考和概括。 三、教学策略分析 学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。本课以情境为载体,以学生为主体,以问题为手段,激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程,培养学生分析问题、 解决问题的能力

四、目标分析 1知识与技能目标:理解随机变量和离散型随机变量的概念,能够运用随机变量表示随机事件,学会恰当的定义随机变量; 2、过程与方法目标:在教学过程中,以不同的实际问题为导向,弓I导学生分析问题的特点,归纳问题的共性,提高理解分析能力和抽象概括能力; 3、情感与态度目标:通过列举生活中的实例,提高学生学习数学的积极性, 使学生进一步感受到数学与生活的零距离,增强数学应用意识。 五、教学重点与难点 教学重点:随机变量、离散型随机变量概念的理解及随机变量的实际应用;教学难点:对随机变量概念的透彻理解及对引入随机变量目的的认识。 六、教学过程设计:

江苏省宿迁市高中数学第2章概率第8课时离散型随机变量的均值导学案无答案苏教版选修

离散型随机变量的均值 【教学目标】 理解离散型随机变量的均值公式的意义,熟练进行均值的计算. 【问题情境】 甲乙两个工人生产同一种产品,在相同的条件下,他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示,已知12,X X 的概率分布如下表所示,那么甲、乙两人谁的次品(不合格品)率高一些? 【合作探究】 问题1. 如何刻画上述两个离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢? 问题2. 回顾数学3(必修)“统计”中的内容,如何计算样本的平均值? 1.离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X 的概率分布如下表,则称 为离散型随机变量的均值或数学期望,记为()E X 或μ,即()E X μ== . 问题3中1()E X = 2()E X = 比较后的结论是:

【合作探究】 例1.高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏,在一个口袋中装有10个红球、20个白球,这些球除颜色外完全相同,某学生一次从中摸出5个球,其中红球的个数为X,求X的数学期望. 例2.从批量较大的成品中随机抽取10件产品进行质量检查,若这批产品不合格率为0.05, E X. 随机变量X表示这10件产品的不合格品数,求随机变量的数学期望() 例3.某保险公司吸收10000人参加人身意外保险,规定:每人每年付给公司120元,若意

外死亡,公司将赔偿10000元.如果已知每人每年意外死亡的概率是0.006,求保险公司的期望收入. 【学以致用】 1.若随机变量X 的分布如右表,则X 的数学期望是 . 2.一个袋子中装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同 时取出2个球,则其中含有红球个数的数学期望是 . 3.设随机变量X 的概率分布如下表,则()E X = . 4..假定1500件产品中有100 件不合格品,从中抽取15件进行检查,其中不合格品件数为 X ,求X 的数学期望. 5.某商家有一台电话交换机,其中有5个分机专供与顾客通话,每个分机在1小时平均占线20分钟,并且各个分机是否占线是相互独立的,求任一时刻占线的分机数目X 的数学期望.

知识讲解离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)

离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念,会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望,并能解决一些实际问题; 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差,并能解决一些实际问题; 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望,简称期望. 要点诠释: (1)均值(期望)是随机变量的一个重要特征数,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平. (2)一般地,在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令=1p =2p …n p =,则有=1p =2p … n p n 1= =,=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 (3)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. 2.性质: ①()E E E ξηξη+=+; ②若b a +=ξη(a 、b 是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,有b aE b a E +=+ξξ)(; b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下:: η的分布列为 于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… =+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)=b aE +ξ

∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二:离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念: 已知一组数据1x ,2x ,…,n x ,它们的平均值为x ,那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -+22)(x x -+…+])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD =121)(p E x ?-ξ+22 2)(p E x ?-ξ+…+2()n i x E p ξ-?+…称为随机变量ξ的方差,式中 的ξE 是随机变量ξ的期望. ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差,记作σξ. 要点诠释: ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的; ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;方差(标准差)越小,随机变量的取值就越稳定(越靠近平均值). ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系: 22()()D E E ξξξ=- 4.方差的性质: 若b a +=ξη(a 、b 是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,2 ()D D a b a D ηξξ=+=; 要点三:常见分布的期望与方差 1、二点分布: 若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布,则 期望E p ξ= 方差(1).D p p ξ=-

高中数学选修2-3离散型随机变量导学案

2.1.1离散型随机变量 【学习要求】 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.了解随机变量与函数的区别与联系. 【学法指导】 引进随机变量的概念,就可以用数字描述随机现象,建立连接数和随机现象的桥梁,通过随机变量和函数类比,可以更好地理解随机变量的定义,随机变量是函数概念的推广. 【知识要点】 1.随机试验:一般地,一个试验如果满足下列条件: (1)试验可以在相同的情形下重复进行; (2)试验所有可能的结果是明确的,并且不只一个; (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个.这种试验就是一个随机试验. 2.随机变量:在随机试验中,随着变化而变化的变量称为随机变量. 3.离散型随机变量:所有取值可以的随机变量,称为离散型随机变量. 【问题探究】 探究点一随机变量的概念 问题1掷一枚骰子,出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示,那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢? 问题2随机变量和函数有类似的地方吗? 例1下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量?并说明理由. (1)上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量; (2)2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间; (3)2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数; (4)体积为1 000 cm3的球的半径长. 小结随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数,即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数,但这些数是预先知道所有可能的值,而不知道究竟是哪一个值. 跟踪训练1指出下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由. (1)某人射击一次命中的环数; (2)任意掷一枚均匀硬币5次,出现正面向上的次数; (3)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值; (4)某个人的属相. 探究点二离散型随机变量的判定 问题1什么是离散型随机变量? 问题2非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别? 例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ;②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ; ③一天内的温度为ξ;④射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用ξ表示该射手在一次射击中的得分.上述问题中的ξ是离散型随机变量的是() A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④ 小结该题主要考查离散型随机变量的定义,判断时要紧扣定义,看是否能一一列出. 跟踪训练2指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由. (1)白炽灯的寿命ξ; (2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ; (3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位ξ; (4)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数. 探究点三离散型随机变量的应用 例3(1)一袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数ξ.写出随机变量ξ可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (2)抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ,试问:“ξ>4”表示的试验结果是什么? 小结解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值,以及其取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉某些试验结果. 跟踪训练3下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔,从中任意取出3支,其中所含白粉笔的支数ξ,所含红粉笔的支数η. (2)从4张已编有1~4的卡片中任意取出2张,被取出的卡片号数之和ξ. (3)离开天安门的距离η. (4)袋中有大小完全相同的红球5个,白球4个,从袋中任意取出一球,若取出的球是白球,则过程结束;若取出的球是红球,则将此红球放回袋中,然后重新从袋中任意取出一球,直至取出的球是白球,此规定下的取球次数ξ. 【当堂检测】 1.下列变量中,不是随机变量的是() A.一射击手射击一次命中的环数B.标准状态下,水沸腾时的温度 C.抛掷两枚骰子,所得点数之和D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数 2.10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是() A.取到产品的件数B.取到正品的概率 C.取到次品的件数D.取到次品的概率 3.抛掷2枚骰子,所得点数之和记为ξ,那么“ξ=4”表示的随机试验的结果是() A.2枚都是4点B.1枚是1点,另1枚是3点 C.2枚都是2点D.1枚是1点,另1枚是3点,或者2枚都是2点 4.一袋中装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球,以ξ表示取出的球的最大号码,则“ξ=6”表示的试验结果是___________________. 【课堂小结】 1.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系,随机变量是将试验的结果数量化,变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件.

高中数学选修2-3 离散型随机变量导学案加课后作业及答案

§2.1.1 离散型随机变量 【学习要求】 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.了解随机变量与函数的区别与联系. 【学法指导】 引进随机变量的概念,就可以用数字描述随机现象,建立连接数和随机现象的桥梁,通过随机变量和函数类比,可以更好地理解随机变量的定义,随机变量是函数概念的推广. 【知识要点】 1.随机试验:一般地,一个试验如果满足下列条件: (1)试验可以在相同的情形下重复进行; (2)试验所有可能的结果是明确的,并且不只一个; (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个.这种试验就是一个随机试验. 2.随机变量:在随机试验中,随着变化而变化的变量称为随机变量. 3.离散型随机变量:所有取值可以的随机变量,称为离散型随机变量. 【问题探究】 探究点一随机变量的概念 问题1掷一枚骰子,出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示,那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢? 问题2随机变量和函数有类似的地方吗? 例1下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量?并说明理由. (1)上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量; (2)2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间; (3)2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数; (4)体积为1 000 cm3的球的半径长. 小结随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数,即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数,但这些数是预先知道所有可能的值,而不知道究竟是哪一个值. 跟踪训练1指出下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由. (1)某人射击一次命中的环数; (2)任意掷一枚均匀硬币5次,出现正面向上的次数; (3)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值; (4)某个人的属相. 探究点二离散型随机变量的判定 问题1什么是离散型随机变量? 问题2非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别? 例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ;②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ; ③一天内的温度为ξ;④射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用ξ表示该射手在一次射击中的得分.上述问题中的ξ是离散型随机变量的是() A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④小结该题主要考查离散型随机变量的定义,判断时要紧扣定义,看是否能一一列出. 跟踪训练2指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由. (1)白炽灯的寿命ξ; (2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ; (3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位ξ; (4)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数. 探究点三离散型随机变量的应用 例3(1)一袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数ξ.写出随机变量ξ可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (2)抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ,试问:“ξ>4”表示的试验结果是什么? 小结解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值,以及其取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉某些试验结果. 跟踪训练3下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔,从中任意取出3支,其中所含白粉笔的支数ξ,所含红粉笔的支数η. (2)从4张已编有1~4的卡片中任意取出2张,被取出的卡片号数之和ξ. (3)离开天安门的距离η. (4)袋中有大小完全相同的红球5个,白球4个,从袋中任意取出一球,若取出的球是白球,则过程结束;若取出的球是红球,则将此红球放回袋中,然后重新从袋中任意取出一球,直至取出的球是白球,此规定下的取球次数ξ. 【当堂检测】 1.下列变量中,不是随机变量的是() A.一射击手射击一次命中的环数B.标准状态下,水沸腾时的温度 C.抛掷两枚骰子,所得点数之和D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数 2.10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是() A.取到产品的件数B.取到正品的概率 C.取到次品的件数D.取到次品的概率 3.抛掷2枚骰子,所得点数之和记为ξ,那么“ξ=4”表示的随机试验的结果是() A.2枚都是4点B.1枚是1点,另1枚是3点 C.2枚都是2点D.1枚是1点,另1枚是3点,或者2枚都是2点 4.一袋中装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球,以ξ表示取出的球的最大号码,则“ξ=6”表示的试验结果是___________________. 【课堂小结】 1.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系,随机变量是将试验的结果数量化,变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件. 2.写随机变量表示的结果,要看三个特征:

61随机变量的概率分布、期望与方差1

如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习 61随机变量的概率分布、期望与方差 【考点解读】 离散型随机变量及其分布列:A;超几何分布:A;条件概率及相互独立事件:A; n次独立重复试验的模型及二项分布:B;离散型随机变量的均值与方差:B 【复习目标】 1?了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性;会求某些简单的离散型随机变量的分布列。 2?了解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用。 3?了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。 4 ?理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题。 5?了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。 活动一:基础知识 1. 随机变量: 1) 定义: _________________________________________________________ 。 2) ____________________________________ 表示方法:。 2. 随机变量分布列的定义: 假定随机变量X有n个不同的取值,它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列,简称X的分布列 3. 概率分布表 将①用表的形式表示如下: 4. 分布列的性质: 概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件: (1) ______________________________ (2) ______________________________ 5. 两点分布 如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 ___ ,则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X?0-1或X?两点分布. 其概率分布表为: 其中丨min{ M , n},且n N,M N,n,M,N N .称分布列

2020届二轮复习 离散型随机变量 学案(全国通用)

离散型随机变量 学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系. 知识点一随机变量 思考1抛掷一枚质地均匀的硬币,可能出现正面向上、反面向上两种结果,这种试验结果能用数字表示吗? 答案可以,可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上. 思考2在一块地里种10棵树苗,棵数为x,则x可取哪些数字? 答案x=0,1,2,3, (10) (1)定义 在随机试验中,可以确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示,数字随试验结果的变化而变化,像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. (2)表示:随机变量常用字母X,Y,ξ,η…表示. 知识点二随机变量与函数的关系 思考随机变量和函数有类似的地方吗? 答案随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数.试验结果相当于函数的自变量,随机变量相当于函数的函数值,随机变量可以看作函数概念的推广. 知识点三离散型随机变量 1.定义:所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量. 2.特征: (1)可用数值表示. (2)试验之前可以判断其出现的所有值. (3)在试验之前不能确定取何值.

(4)试验结果能一一列出. 类型一随机变量的概念 例1下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量?并说明理由. (1)某机场一年中每天运送乘客的数量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数. (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数. (4)明年某天济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间. 解(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量. (3)明年5月1日到10月1日期间,所查酒驾的人数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量. (4)济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的,可能提前,可能准时,亦可能晚点,故是随机变量. 反思与感悟随机变量的辨析方法 1.随机试验的结果是否具有可变性,即每次试验对应的结果不尽相同. 2.随机试验的结果的确定性.即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点,则该变量即为随机变量. 跟踪训练1下列变量中,不是随机变量的是() A.一射击手射击一次命中的环数 B.标准状态下,水沸腾时的温度 C.抛掷两枚骰子,所得点数之和 D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数 答案 B 解析B中求沸腾时的温度是一个确定的值. 类型二离散型随机变量的判定

2[1].1.2离散型随机变量的分布列导学案(选修2-3)1

§2.1.2离散型随机变量的分布列 预习案 一、教学目标 1、理解离散型随机变量的分布列的意义,会求某些简单的离散型随机变量的分布列; 2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质,并会用它来解决一些简单的问题. 3. 理解二点分布的意义. 二、预习自测: 问题一: (1)抛掷一枚骰子,可能出现的点数有几种情况? (2)姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况? (3)抛掷一枚硬币,可能出现的结果有几种情况? 思考:在上述试验开始之前,你能确定结果是哪一种情况吗?随机变量是如何定义的? 问题二: 按照我们的定义,所谓的随机变量,就是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系。那么,随机变量与函数有类似的地方吗? 问题三: 下列试验的结果能否用离散型随机变量表示?为什么? (1)已知在从汕头到广州的铁道线上,每隔50米有一个电线铁站,这些电线铁站的编号; (2)任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料,其实际量与规定量之差; (3)某城市1天之内的温度; (4)某车站1小时内旅客流动的人数; (5)连续不断地投篮,第一次投中需要的投篮次数. (6)在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中,某同学可能取得的等级。

导学案 重点:离散型随机变量的分布列的意义及基本性质. 难点:分布列的求法和性质的应用. 1.离散型随机变量 随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量,通常用字母X 、Y 表示。 如果对于随机变量可能取到的值,可以按 一一列出,这样的变量就叫离散型随机变量。 2.离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,i x x x ,X 取每一个值(1,2,)i x i = 的概率 ()i i P X x p ==,则表 称为随机变量X 的概率分布,简称X 的分布列。 离散型随机变量的概率分布还可以用条形图表示, 如图所示。 离散型随机变量的分布列具有以下两个性质:① ; ② 一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 。 (2)二点分布:像这样的分布列叫做两点分布列。如果随机变量X 的分布列为两点分布列,就称X 服从两点分布,而称(1)p P X ==为 。 (1)0,(1,2,)i p i ≥= ,概率之和为121i p p p ++++= 。 三、典例解析: 例1在抛掷一枚图钉的随机试验中,令10X ?=??,针尖向上; ,针尖向下. 如果针尖向上的概率为p , 试写出随机变量X 的概率分布。

2.5 随机变量的均值和方差

2.5随机变量的均值和方差 扬州市新华中学查宝才 教学目标: 1.通过实例,理解取有限值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义; 2.能计算简单离散型随机变量均值(数学期望),并能解决一些实际问题. 教学重点: 取有限值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义. 教学方法: 问题链导学. 教学过程: 一、问题情境 1.情景. 前面所讨论的随机变量的取值都是离散的,我们把这样的随机变量称为离散型随机变量.怎样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢? 甲、乙两个工人生产同一种产品,在相同的条件下,他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1,X2表示,X1,X2的概率分布如下. 2.问题. 如何比较甲、乙两个工人的技术? 二、学生活动 1.直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数.从分布列来看,甲出0件废品的概率比乙大,似乎甲的技术比乙好;但甲出3件废品的概率也比乙大,

似乎甲的技术又不如乙好.这样比较,很难得出合理的结论. 2.学生联想到“平均数”,如何计算甲和乙出的废品的“平均数”? 3.引导学生回顾《数学3(必修)》中样本的平均值的计算方法. 三、建构数学 1.定义. 在《数学3(必修)》“统计”一章中,我们曾用公式x1p1+x2p2+…+x n p n 计算样本的平均值,其中p i为取值为x i的频率值. 类似地,若离散型随机变量X的分布列或概率分布如下: X x1x2…x n P p1p2…p n 其中,p i≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+p n=1,则称x1p1+x2p2+…+x n p n为随机变量X的均值或X的数学期望,记为E(X)或μ. 2.性质. (1)E(c)=c;(2)E(aX+b)=aE(X)+b.(a,b,c为常数) 四、数学应用 1.例题. 例1高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏,在一个小口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除颜色之外完全相同.某学生一次从中摸出5个球,其中红球的个数为X,求X的数学期望. 分析从口袋中摸出5个球相当于抽取n=5个产品,随机变量X为5个球中的红球的个数,则X服从超几何分布H(5,10,30). 例2从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查,若这批产品的不合格品率为0.05,随机变量X表示这10件产品中的不合格品数,求随机变量X的数学期望E(X). 说明例2中随机变量X服从二项分布,根据二项分布的定义,可以得到:当X~B(n,p) 时,E(X)=np. 例3设篮球队A与B进行比赛,每场比赛均有一队胜,若有一队胜4场, 那么比赛宣告结束,假定A,B在每场比赛中获胜的概率都是1 2 ,试求需要比赛 场数的期望.

人教A版选修2-3 第二章2.1.1离散型随机变量 学案

2.1.1 离散型随机变量 知识点随机变量 (1)定义:在随机试验中,确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个□01确定的数字表示.在这个对应关系下,□02数字随着□03试验结果的变化而变化.像这种随着□04试验结果变化而变化的变量称为随机变量. (2)表示:随机变量常用字母□05X,Y,ξ,η表示. 知识点随机变量与函数的关系 相同点随机变量和函数都是一种映射 随机变量是随机试验的结果到□01实数的映射,函数是□02实数到□03实区别 数的映射 随机试验结果的范围相当于函数的□04定义域,随机变量的取值范围相联系 当于函数的□05值域 知识点离散型随机变量 所有取值可以□01一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. 随机试验的特点 (1)试验的所有结果可以用一个数来表示; (2)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前,却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.判断一个变量是否为离散型随机变量,首先看它是不是随机变量,其次看可能取值是否能一一列出,也就是说变量的取值若是有限的,或者是可以列举出来的,就可以视为离散型随机变量,否则就不是离散型随机变量.

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)离散型随机变量的取值是任意的实数.( ) (2)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个.( ) (3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值.( ) 答案(1)×(2)√(3)× 2.做一做 (1)甲进行3次射击,甲击中目标的概率为1 2 ,记甲击中目标的次数为ξ,则 ξ的可能取值为________. (2)同时抛掷5枚硬币,得到硬币反面向上的个数为ξ,则ξ的所有可能取值的集合为________. (3)在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取一件取到次品就停止,抽取次数为X,则X=3表示的试验是________. 答案(1)0,1,2,3 (2){0,1,2,3,4,5} (3)共抽取3次,前两次均是正品,第3次是次品 解析(1)甲可能3次全击中,也可能一次未中,中1次,2次,所以ξ的取值为0,1,2,3. (2)当硬币全部为正面向上时,ξ=0,硬币反面向上的个数还可能有1个,2个,3个,4个,也可能都反面向上,即5个. (3)由随机试验可知X=3表示抽取3次,前两次均是正品,第3次是次品. 探究1 随机变量的概念 例1 下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量?并说明理由. (1)某机场一年中每天运送乘客的数量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数. (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数. (4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间. [解] (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量. (3)明年5月1日到10月1日期间,所查酒驾的人数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量.

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