黄金分割法复合形法实验报告
《现代设计理论与方法》
实验报告
学院：机械学院
专业：机械设计制造及其自动化
班级：201107班
学号：201107705
姓名：王博
《现代设计理论与方法》实验报告
一、实验目的
《现代设计理论与方法》是一门实践性较强的课程，学生通过实际上机计算可以达到以下目的:
1．加深对机械优化设计方法的基本理论和算法步骤的理解；
2．培养学生独立编制或调试计算机程序的能力；
3．掌握常用优化方法程序的使用方法；
4．培养学生灵活运用优化设计方法解决工程实际问题的能力。
二、实验项目、学时分配及对每个实验项目的要求
序
号
实验项目学时实验要求
1 黄金分割法
2 1．明确黄金分割法基本原理、计算步骤及程序框图；2．编制或调试黄金分割法应用程序；
3．用测试题对所编程序进行测试；
4．撰写实验报告。
2 复合形法41．明确复合形法基本原理、计算步骤及程序框图等；
2．编制或调试复合形法应用程序；
3．用测试题对所编程序进行测试；
4．撰写实验报告。
三、测试题
黄金分割法程序框图如下：
1．黄金分割法程序测试题
（1) ，取，，程序如下：
#include "stdio.h" #include "math.h" #include "conio.h" #define e 0.00001 #define tt 0.01 float function(float x) {
float y;
y=pow(x,2)+10*x+36; return(y);
}
void finding(float a[3],float f[3]) {float h=tt,a1,f1,ia;int i;
a[0]=0;
f[0]=function(a[0]);
for(i=0;;i++)
{a[1]=a[0]+h;
f[1]=function(a[1]);
if(f[1] if(fabs(f[1]-f[0])>=e) {h=-h;a[0]=a[1];f[0]=f[1];} else{ if(ia==1) return; h=h/2;ia=1;} } for(i=0;;i++) {a[2]=a[1]+h; f[2]=function(a[2]); if(f[2]>f[1]) break; h=2*h; a[0]=a[1];f[0]=f[1]; a[1]=a[2];f[1]=f[2]; } if(a[0]>a[2]) {a1=a[0];f1=f[0]; a[0]=a[2];f[0]=f[2]; a[2]=a1;f[2]=f1; } return; } float gold(float *ff) { float a1[3],f1[3],a[4],f[4]; float aa; int i; finding(a1,f1); a[0]=a1[0];f[0]=f1[0]; a[3]=a1[2];f[3]=f1[2]; a[1]=a[0]+0.382*(a[3]-a[0]); a[2]=a[0]+0.618*(a[3]-a[0]); f[1]=function(a[1]); f[2]=function(a[2]); for(i=0;;i++) { if(f[1]>=f[2]) { a[0]=a[1];f[0]=f[1]; a[1]=a[2];f[1]=f[2]; a[2]=a[0]+0.618*(a[3]-a[0]); f[2]=function(a[2]); } else { a[3]=a[2];f[3]=f[2]; a[2]=a[1];f[2]=f[1]; a[1]=a[0]+0.382*(a[3]-a[0]); f[1]=function(a[1]); } if((a[3]-a[0]) { aa=(a[1]+a[2])/2; *ff=function(aa); break; } } return(aa); } void main() { float xx,ff; xx=gold(&ff); printf("\nThe Optimal Design Result Is:\n"); printf("\n\tx*=%f\n\tf*=%f",xx,ff); getch(); } 运行结果： （2) ，取，， 程序如下： #include "stdio.h" #include "math.h" #include "conio.h" #define e 0.00001 #define tt 0.01 float function(float x) { float y; y=pow(x,4)- 5*pow(x,3)+4*pow(x,2)-6*x+60; return(y); } void finding(float a[3],float f[3]) {float h=tt,a1,f1,ia;int i; a[0]=0; f[0]=function(a[0]); for(i=0;;i++) {a[1]=a[0]+h; f[1]=function(a[1]); if(f[1] if(fabs(f[1]-f[0])>=e) {h=-h;a[0]=a[1];f[0]=f[1];} else{ if(ia==1) return; h=h/2;ia=1;} } for(i=0;;i++) {a[2]=a[1]+h; f[2]=function(a[2]); if(f[2]>f[1]) break; h=2*h; a[0]=a[1];f[0]=f[1]; a[1]=a[2];f[1]=f[2]; } if(a[0]>a[2]) {a1=a[0];f1=f[0]; a[0]=a[2];f[0]=f[2]; a[2]=a1;f[2]=f1; } return; } float gold(float *ff) { float a1[3],f1[3],a[4],f[4]; float aa; int i; finding(a1,f1); a[0]=a1[0];f[0]=f1[0]; a[3]=a1[2];f[3]=f1[2]; a[1]=a[0]+0.382*(a[3]-a[0]); a[2]=a[0]+0.618*(a[3]-a[0]); f[1]=function(a[1]); f[2]=function(a[2]); for(i=0;;i++) { if(f[1]>=f[2]) { a[0]=a[1];f[0]=f[1]; a[1]=a[2];f[1]=f[2]; a[2]=a[0]+0.618*(a[3]- a[0]); f[2]=function(a[2]); } else { a[3]=a[2];f[3]=f[2]; a[2]=a[1];f[2]=f[1]; a[1]=a[0]+0.382*(a[3]- a[0]); f[1]=function(a[1]); } if((a[3]-a[0]) { aa=(a[1]+a[2])/2; *ff=function(aa); break; } } return(aa); } void main() { float xx,ff; xx=gold(&ff); printf("\nThe Optimal Design Result Is:\n"); printf("\n\tx*=%f\n\tf*=%f",xx,ff); getch(); } 运行结果如下： （3) ，其中，取，，程序如下： #include "stdio.h" #include "math.h" #include "conio.h" #define e 0.00001 #define tt 0.01 float function(float x) {if(x>=0) { float y; y=(x+1)*pow((x-2),2); return(y); } } void finding(float a[3],float f[3]) {float h=tt,a1,f1,ia;int i; a[0]=0; f[0]=function(a[0]); for(i=0;;i++) {a[1]=a[0]+h; f[1]=function(a[1]); if(f[1] if(fabs(f[1]-f[0])>=e) {h=-h;a[0]=a[1];f[0]=f[1];} else{ if(ia==1) return; h=h/2;ia=1;} } for(i=0;;i++) {a[2]=a[1]+h; f[2]=function(a[2]); if(f[2]>f[1]) break; h=2*h; a[0]=a[1];f[0]=f[1]; a[1]=a[2];f[1]=f[2]; } if(a[0]>a[2]) {a1=a[0];f1=f[0]; a[0]=a[2];f[0]=f[2]; a[2]=a1;f[2]=f1; } return; } float gold(float *ff) { float a1[3],f1[3],a[4],f[4]; float aa; int i; finding(a1,f1); a[0]=a1[0];f[0]=f1[0]; a[3]=a1[2];f[3]=f1[2]; a[1]=a[0]+0.382*(a[3]-a[0]); a[2]=a[0]+0.618*(a[3]-a[0]); f[1]=function(a[1]); f[2]=function(a[2]); for(i=0;;i++) { if(f[1]>=f[2]) { a[0]=a[1];f[0]=f[1]; a[1]=a[2];f[1]=f[2]; a[2]=a[0]+0.618*(a[3]-a[0]); f[2]=function(a[2]); } else { a[3]=a[2];f[3]=f[2]; a[2]=a[1];f[2]=f[1]; a[1]=a[0]+0.382*(a[3]-a[0]); f[1]=function(a[1]); } if((a[3]-a[0]) { aa=(a[1]+a[2])/2; *ff=function(aa); break; } } return(aa); } void main() { float xx,ff; xx=gold(&ff); printf("\nThe Optimal Design Result Is:\n"); printf("\n\tx*=%f\n\tf*=%f",xx,ff); getch(); } 运行结果如下： 复合形法程序框图如下： （1) 程序如下： #include "math.h" #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #define E1 0.001 #define ep 0.00001 #define n 2 #define k 4 double af; int i,j; double X0[n],XX[n],X[k][n],FF[k]; double a[n],b[n]; double rm=2657863.0; double F(double C[n]) { double F; F=pow(C[0]-2,2)+pow(C[1]-1,2); return F; } int cons(double D[n]) { if((D[0]>=-5)&&(D[1]>=- 5)&&(D[0]<=6)&&(D[1]<=8)&&((D[1]- pow(D[0],2))>=0)&&((2-D[0]-D[1])>=0)) return 1; else return 0; } void bou() { a[0]=-5,b[0]=6; a[1]=-5,b[1]=8; } double r() { double r1,r2,r3,rr; r1=pow(2,35); r2=pow(2,36); r3=pow(2,37); rm=5*rm; if(rm>=r3){rm=rm-r3; } if(rm>=r2) { rm=rm-r2; } if(rm>=r1) { rm=rm-r1; } rr=rm/r1; return rr; } void produce(double A[n],double B[n]) { int jj; double S; s1: for(i=0;i { S=r(); XX[i]=A[i]+S*(B[i]-A[i]); } if(cons(XX)==0) { goto s1; } for(i=0;i { X[0][i]=XX[i]; } for(j=1;j { for(i=0;i { S=r(); X[j][i]=A[i]+S*(B[i]-A[i]); } } for(j=1;j { for(i=0;i { X0[i]=0; for(jj=1;jj { X0[i]+=X[jj][i]; } X0[i]=(1/j)*(X0[i]); } if(cons(X0)==0) { goto s1; } for(i=0;i } while(cons(XX)==0) { for(i=0;i { X[j][i]=X0[i]+0.5*(X[j][i]-X0[i]); XX[i]=X[j][i]; } } } } main() { double EE,Xc[n],Xh[n],Xg[n],Xl[n],Xr[n],Xs[n ],w; int l,lp,lp1; bou(); s111: produce(a,b); s222: for(j=0;j { for(i=0;i { XX[i]=X[j][i]; } FF[j]=F(XX); } for(l=0;l { for(lp=0;lp { lp1=lp+1; if(FF[lp] { w=FF[lp]; FF[lp]=FF[lp1]; FF[lp1]=w; for(i=0;i { XX[i]=X[lp][i]; X[lp][i]=X[lp1][i]; X[lp1][i]=XX[i]; } } } } for(i=0;i { Xh[i]=X[0][i]; Xg[i]=X[l][i]; Xl[i]=X[k-1][i]; } for(i=0;i { Xs[i]=0; for(j=0;j { Xs[i]+=X[j][i]; } Xs[i]=1/(k+0.0)*Xs[i]; } EE=0; for(j=0;j { EE+=pow((FF[j]-F(Xs)),2); } EE=pow((1/(k+0.0)*EE),0.5); if(EE<=E1) { goto s333; } for(i=0;i { Xc[i]=0; for(j=1;j { Xc[i]+=X[j][i]; } Xc[i]=1/(k-1.0)*Xc[i]; } if(cons(Xc)==1) { af=1.3; ss:for(i=0;i { Xr[i]=Xc[i]+af*(Xc[i]- Xh[i]); } if(cons(Xr)==1) { if(F(Xr)>=F(Xh)) { if(af<=ep) { for(i=0;i Xh[i]=Xg[i]; } af=1.3; goto ss; } else { af=1/2.0*af; goto ss; } } else { for(i=0;i { X[0][i]=Xr[i]; } goto s222; } } else { af=1/2.0*af; goto ss; } } else { for(i=0;i a[i]=Xl[i]; b[i]=Xc[i]; } else { a[i]=Xc[i]; b[i]=Xl[i];} } goto s111; } s333: printf("F(Xmin)=%f\n",F(Xl)); for(i=0;i （2) 取： 程序如下： #include "math.h" #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #define E1 0.001 #define ep 0.00001 #define n 4 #define k 6 double af; int i,j; double X0[n],XX[n],X[k][n],FF[k]; double a[n],b[n]; double rm=2657863.0; double F(double C[n]) { double F; F=100*pow((C[1]-C[0]),2)+pow((1-C[0]),2)+90*pow((C[3]-pow(C[2],2)),2)+pow((1-C[2]),2)+10*(pow((C[0]- 1),2)+pow((C[3]-1),2))+19.8*(C[1]- 1)*(C[3]-1); } int cons(double D[n]) { if((D[0]>=- 10)&&(D[0]<=10)&&(D[1]>=- 10)&&(D[1]<=10)&&(D[2]>=- 10)&&(D[2]<=10)&&(D[3]>=- 10)&&(D[3]<=10)) return 1; else return 0; } void bou() { a[0]=-10,b[0]=10; a[1]=-10,b[1]=10; a[2]=-10,b[2]=10; a[3]=-10,b[3]=10; } double r() { double r1,r2,r3,rr; r1=pow(2,35); r2=pow(2,36); r3=pow(2,37); rm=5*rm; if(rm>=r3){rm=rm-r3; } if(rm>=r2) { rm=rm-r2; } if(rm>=r1) { rm=rm-r1; } rr=rm/r1; return rr; } void produce(double A[n],double B[n]) { int jj; double S; s1: for(i=0;i { S=r(); XX[i]=A[i]+S*(B[i]-A[i]); } if(cons(XX)==0) { goto s1; } for(i=0;i { X[0][i]=XX[i]; } for(j=1;j { for(i=0;i { S=r(); X[j][i]=A[i]+S*(B[i]-A[i]); } } for(j=1;j { for(i=0;i { X0[i]=0; for(jj=1;jj { X0[i]+=X[jj][i]; } X0[i]=(1/j)*(X0[i]); } if(cons(X0)==0) { goto s1; } for(i=0;i } while(cons(XX)==0) { for(i=0;i { X[j][i]=X0[i]+0.5*(X[j][i]- X0[i]); XX[i]=X[j][i]; } } } } main() { double EE,Xc[n],Xh[n],Xg[n],Xl[n],Xr[n],Xs[n ],w; int l,lp,lp1; bou(); s111: produce(a,b); s222: for(j=0;j { for(i=0;i { XX[i]=X[j][i]; } FF[j]=F(XX); } for(l=0;l { for(lp=0;lp { lp1=lp+1; if(FF[lp] { w=FF[lp]; FF[lp]=FF[lp1]; FF[lp1]=w; for(i=0;i { XX[i]=X[lp][i]; X[lp][i]=X[lp1][i]; X[lp1][i]=XX[i]; } } } } for(i=0;i { Xh[i]=X[0][i]; Xg[i]=X[l][i]; Xl[i]=X[k-1][i]; } for(i=0;i { Xs[i]=0; for(j=0;j Xs[i]+=X[j][i]; } Xs[i]=1/(k+0.0)*Xs[i]; } EE=0; for(j=0;j { EE+=pow((FF[j]-F(Xs)),2); } EE=pow((1/(k+0.0)*EE),0.5); if(EE<=E1) { goto s333; } for(i=0;i { Xc[i]=0; for(j=1;j { Xc[i]+=X[j][i]; } Xc[i]=1/(k-1.0)*Xc[i]; } if(cons(Xc)==1) { af=1.3; ss:for(i=0;i { Xr[i]=Xc[i]+af*(Xc[i]- Xh[i]); } if(cons(Xr)==1) { if(F(Xr)>=F(Xh)) { if(af<=ep) { for(i=0;i Xh[i]=Xg[i]; } af=1.3; goto ss; } else { af=1/2.0*af; goto ss; } } else { for(i=0;i { X[0][i]=Xr[i]; } goto s222; } } else { af=1/2.0*af; goto ss; } } else { for(i=0;i 运行结果下： （3) 取： 程序如下： #include "math.h" #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #define E1 0.001 #define ep 0.00001 #define n 2 #define k 4 double af; int i,j; double X0[n],XX[n],X[k][n],FF[k]; double a[n],b[n]; double rm=2657863.0; double F(double C[n]) { double F; F=pow(C[0],2)+pow(C[1],2)-C[0]*C[1]-10*C[0]-4*C[1]+60; } int cons(double D[n]) { if((D[0]>=0)&&((6-D[0])>=0)&&(D[1]>=0)&&((8-D[1])>=0)) return 1; else return 0; } void bou() { a[0]=0,b[0]=6; a[1]=0,b[1]=8; } double r() { double r1,r2,r3,rr; r1=pow(2,35); r2=pow(2,36); r3=pow(2,37); rm=5*rm; if(rm>=r3){rm=rm-r3; } if(rm>=r2) { rm=rm-r2; } if(rm>=r1) { rm=rm-r1; } rr=rm/r1; return rr; } void produce(double A[n],double B[n]) { int jj; double S; s1: for(i=0;i { S=r(); XX[i]=A[i]+S*(B[i]-A[i]); } if(cons(XX)==0) { goto s1; } for(i=0;i { X[0][i]=XX[i]; } for(j=1;j { for(i=0;i { S=r(); X[j][i]=A[i]+S*(B[i]-A[i]); } } for(j=1;j { for(i=0;i { X0[i]=0; for(jj=1;jj { X0[i]+=X[jj][i]; } X0[i]=(1/j)*(X0[i]); } if(cons(X0)==0) { goto s1; } for(i=0;i } while(cons(XX)==0) { for(i=0;i { X[j][i]=X0[i]+0.5*(X[j][i]- X0[i]); XX[i]=X[j][i]; } } } } main() { double EE,Xc[n],Xh[n],Xg[n],Xl[n],Xr[n],Xs[n ],w; int l,lp,lp1; bou(); s111: produce(a,b); s222: for(j=0;j { for(i=0;i { XX[i]=X[j][i]; } FF[j]=F(XX); } for(l=0;l { for(lp=0;lp { lp1=lp+1; if(FF[lp] { w=FF[lp]; FF[lp]=FF[lp1]; FF[lp1]=w; for(i=0;i { XX[i]=X[lp][i]; X[lp][i]=X[lp1][i]; X[lp1][i]=XX[i]; } } } } for(i=0;i { Xh[i]=X[0][i]; Xg[i]=X[l][i]; Xl[i]=X[k-1][i]; } for(i=0;i { Xs[i]=0; for(j=0;j { Xs[i]+=X[j][i]; } Xs[i]=1/(k+0.0)*Xs[i]; } EE=0; for(j=0;j { EE+=pow((FF[j]-F(Xs)),2); } EE=pow((1/(k+0.0)*EE),0.5); if(EE<=E1) { goto s333; } for(i=0;i { Xc[i]=0; for(j=1;j { Xc[i]+=X[j][i]; } Xc[i]=1/(k-1.0)*Xc[i]; } if(cons(Xc)==1) { af=1.3; ss:for(i=0;i { Xr[i]=Xc[i]+af*(Xc[i]-Xh[i]); } if(cons(Xr)==1) { if(F(Xr)>=F(Xh)) { if(af<=ep) { for(i=0;i Xh[i]=Xg[i]; } af=1.3; goto ss; } else { af=1/2.0*af; goto ss; } } else { for(i=0;i X[0][i]=Xr[i]; } goto s222; } } else { af=1/2.0*af; goto ss; } } else { for(i=0;i if(Xl[i] { a[i]=Xl[i]; b[i]=Xc[i]; } else { a[i]=Xc[i]; b[i]=Xl[i];} } goto s111; } s333: printf("F(Xmin)=%f\n",F(Xl)); for(i=0;i { printf("\n X%d is %f.\n",i,Xl[i]); } } 运行结果如下： 四实验心得与体会 通过本次试验，我对黄金分割和复合形法这两种优化方法更加了解。参考课本例题，我用C语言编制出调试程序，并通过Vc6软件进行调试，成功运行。使得对C语言的应用也更加成熟。 机械优化设计课程论文 院系机械工程系 专业机械设计 班级一班 姓名 学号 一、优化题目 应用所学计算机语言编写一维搜索的优化计算程序，完成计算结果和输出。 二、建立优化数学模型 1、目标函数方程式： y=pow(x,4)-1*pow(x,3)-3*pow(x,2)-16*x+10 2、变量：x 3、初始值： 初始值x1=5初始步长tt=0.01 三、所选用的优化方法 1、采用外推法确定搜索区间 2、采用黄金分割法求函数最优 3、计算框图： (1)、外推法程序框图 (2)、黄金分割法程序框图 四、计算输出内容： 五、优化的源程序文件： #include n=n+1; printf("n=%d,c1=%6.4lf,x2=%6.4lf,x3=%6.4lf,f1=%6.4lf,f2=^6.4lf,f3=%6.4lf\n",n, x1,x2,x3,f1,f2,f3); while(f3 股市活雷锋经验分享制作 https://www.wendangku.net/doc/b09256375.html,/cctv1717 黄金分割由来 ?黄金分割点约等于0．618：1 ?是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。线段上有两个这样的点。 ?利用线段上的两黄金分割点，可作出正五角星，正五边形。 ? 2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比 2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值的。 ?黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方法。 ?其实有关"黄金分割"，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。 ?因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割" 一维搜索方法的MATLAB 实现 姓名： 班级：信息与计算科学 学号： 实验时间: 2014/6/21 一、实验目的： 通过上机利用Matlab 数学软件进行一维搜索，并学会对具体问题进行分析。并且熟悉Matlab 软件的实用方法，并且做到学习与使用并存，增加学习的实际动手性，不再让学习局限于书本和纸上，而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。 二、实验背景： 黄金分割法 它是一种基于区间收缩的极小点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小点包含于搜索区间内，但是具体哪个点，无法得知。 1、算法原理 黄金分割法的思想很直接，既然极小点包含于搜索区间内，那么可以不断 的缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小点。 2、算法步骤 用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下： （1）选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>，计算试探点： 11110.382*()a b a λ=+- 11110.618*()a b a μ=+-。 （2）若k k b a ε-<，则停止计算。否则当()()k k f f λμ>时转步骤（3）。 当 ()()k k f f λμ≤转步骤（4）。 （3） 11111110.382*()k k k k k k k k k k a b b a b a λλμμ+++++++=??=?? =??=+-?转步骤（5） （4） 转步骤（5） （5）令1k k =+，转步骤（2）。 算法的MATLAB 实现 function xmin=golden(f,a,b,e) k=0; x1=a+0.382*(b-a); x2=a+0.618*(b-a); while b-a>e f1=subs(f,x1); f2=subs(f,x2); if f1>f2 a=x1; x1=x2; f1=f2; x2=a+0.618*(b-a); else b=x2; x2=x1; f2=f1; x1=a+0.382*(b-a); end k=k+1; end xmin=(a+b)/2; fmin=subs(f,xmin) 斐波那契数列与黄金分割 应用研究 作者姓名 院系6系 学号 摘要 “斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。斐波那契数列是一个古老而有趣的问题，由于其所具有的各种特殊属性，它与最优美的黄金分割有这密不可分的关系。在数学领域以及自然界中随处可见，而且正逐渐被应用在人们的日常生活与娱乐中。 关键词：斐波那契，黄金分割，应用 1 引言 斐波那契数列又称“斐波那契神奇数列”，是由13世纪的意大利数学家斐波那契提出的，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。假设一对成年兔子放于围栏中，每月可生下一对一雌一雄的小兔，而小兔出生一个月后便可以生育小兔，且每月都生下一对一雌一雄的小兔．问把这样一对初生的小兔置于围栏中，一年后围栏中共有多少对兔子(假定兔子没有死亡)?据此，可得月份与兔子对数之间的对应关系如下： 月份0 1 2 3 4 5 6 7 ? 大兔对数0 1 1 2 3 5 8 13 ? 小兔对数 1 0 1 1 2 3 5 8 ? 兔子总对数 1 1 2 3 5 8 13 21 ? 如果用F n 表示第n个月兔子的总对数，那么F n能构成一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89?．这个数列显然有如下的递推关系： F n =F n-1 +F n-2 （n>1,n为正整数），F0 =0，F1 =1 (1) 满足(1)式的数列就叫做斐波那契数列，这是一个带有初值的用递推关系表示的数列。这个数列一问世就吸引了无数数学家的兴趣，以下是费氏数列的定义及通项公式。 费氏数列是是由一连串的数字所组成的（1、1、2、3、5、8、13、…），而且这串数字之间具有一定的规则，就是每一个数字必须是前两个数字的和( an = 黄金分割点---0.618无处不在 黄金分割概述 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为(√5-1)/2，取其前三位数字的近似值是 0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（golden section ratio通常用φ表示）这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似表示，通过简单的计算就可以发现：(1-0.618)/0.618=0.6一条线段上有两个黄金分割点。 人与黄金分割 在人体中包含着多种“黄金分割” 的比例因素，至少可以找出18个“黄金点”（如：脐为头顶至脚底之分割点、喉结为头顶至脐分割点、眉间点为发缘点至颏下的分割点等）几乎身体相邻的每一部分都成黄金比，随着人类对自然界（动物、植物、宇宙、人类自身）的认识的日益深入，人类关于“黄金分割比” 这一神奇比例的了解也越来越丰富 人体最适应的温度乃是用黄金分割率切割自身的温度,因为人正常体温是37.5度，它和0.618的乘积为23.175℃， 在这一环境温度中，机体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。 人们发现自然界中这一神奇比例几乎无所不在。从低等的动植物到高等的人类，从数学到天文现象中，几乎都暗含着这种比例结构。 养生学中的黄金率 几千年前古希腊学者提出的“黄金分割率”（0．618），在保健养生方面也有许多适用价值，甚至能帮助我们破译养生学中许多难解之谜。1、舒适温度人体在环境温度为22℃～24℃时，感觉最舒适。因为人的正常体温37℃与0．618的乘积为22.8℃，在这一环境温度中，机体的新陈代谢和生理节奏均处于最佳状态。 2、理想睡眠 近来科学家研究证实，每天7．5小时是最理想的睡眠时间，长期这样睡眠的人大多既健康又长寿。一天中白昼和夜晚各为12小时，人最理想的睡眠刚好是夜晚12小时的0．618（7．416），即近7.5小时。 3、愉快起床 如果估计早起穿衣服的时间要两分钟，那么躺在床上睁开眼睛的“预备时间”应为三分钟；若刷牙三分钟，洗脸应两分钟。整个过程利用黄金分割率，前段事情与 湖南省蓝山二中高二数学《第一讲 优选法 三、黄金分割法0.618 法》教案 新人教A 版 一、黄金分割常数 对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？ 假设因素区间为[0, 1]，取两个试点102、101 ，那么对峰值在)10 1,0(中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为 54的区间(图1)；但对于峰值在)1,102(的函数，只能去掉长度 为 10 1的区间(图2)，试验效率就不理想了. 怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？ 在安排试点时，最好使两个试点关于[a ,b ]的中心 2 b a + 对称. 为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同. 黄金分割常数：2 51+-，用ω表示. 试验方法中，利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法.由于 21 5-是无理数，具体应用时，我们往往取其近似值0.618.相应地，也把黄金分割法叫做0.618 法. 二、黄金分割法——0.618法 例.炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g 到2000g 之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量？ 人 我们用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值 叫做精度，即n 次试验后的精度为 原始的因素范围 次试验后的存优范围n n =δ 用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此， n 次试验后的精度为 1618.0-=n n δ 一般地，给定精度δ，为了达到这个精度，所要做的试验次数n 满足,1618.01<≤-δn 郑州大学 机械优化设计部分程序 1.外推法 2.黄金分割法 3.二次插值法 4.坐标轮换法 5.随机方向法 6.四杆机构优化设计 1.外推法源程序： #include { double m; m=x*x-10*x+36; return m; } void main() { double h0=R,y1,y2,y3,x1,x2,x3,h; x1=0;h=h0;x2=h; y1=fun(x1);y2=fun(x2); if(y2>y1) {h=-h; x3=x1; y3=y1; x1=x2; y1=y2; x2=x3; y2=y3; } x3=x2+h;y3=fun(x3); while(y3 1黄金分割法的优化问题 （1）黄金分割法基本思路： 黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。 （2）黄金分割法的基本原理 一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。 黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。如果f(a1)>f(a2)，令 a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1) 机电产品优化设计课程设计 姓名： 学号：2908003032 学院：机械电子工程学院 一维搜索黄金分割法 一、优化方法阐述 1.原理阐述 1.1基本原理 设一元函数如图1所示，起始搜索区间为[a，b]，为所要寻求的函数的极小点。 在搜索区间[a，b]内任取两点与，且，计算函数与。当将与进行比较时，可能的情况有下列三种： （1）：如图1(a)、(b)所示，这种情况下，可丢掉 （，b]部分，而最小点必在区间[a，]内。 （2）：如图1(c)、(d)所示，这种情况下，可丢掉[a，）部分，而最小点必在区间[，b]内。 （3）：如图1(e)所示，这种情况下，不论丢掉[a， ）还是丢掉（，b]，最小点必在留下的部分内。 图1（a） 图1（b） 图1（c） 图1（d） 图1（e） 因此，只要在搜索区间内任取两点，计算它们的函数值并加以比较之后，总可以把搜索的区间缩小。 对于第（1）、（2）两种情况，经过缩小的区间内都保存了一个点的函数值，即或，只要再取一个点，计算函数值 并加以比较，就可以再次缩短区间进行序列消去。但对于第（3）种情况，区间中没有已知点的函数值，若再次缩短区间必须计算两个点的函数值。为了简化迭代程序，可以把第(3)种情况合并到前面(1)、(2)两种情况之一中去，例如可以把上述三种情况合并为下述两种情况： （1）若，取区间[a，]。 （2）若，取区间[，b]。 这样做虽然对于第（3）种情况所取的区间扩大了，但在进一步搜索时每次只要计算一个点，和第(1)、(2)种情况一致，简化了迭代程序。 1.2 “0.618”的由来 为了简化迭代计算的过程，希望在每一次缩短搜索区间迭代过程中两计算点、在区间中的位置相对于边界来说应是对称的，而且还要求丢去一段后保留点在新区间中的位置与丢去点在原区间中的位置相当。如图2所示，设区间[a，b]全长为L，在其内取两个对称计算点和，并令l/L=称为公比，无论如图2(b)所示丢去（，b]，还是如图2(c)所示丢去[a，），保留点在新区间中相应线段比值仍为, （1） 由此得 解此方程的两个根，取其正根为 0.6180339887 这种分割称为黄金分割，其比例系数为，只要第一个试点取在原始区间长的0.618处，第二个试点在它的对称位置，就能保证无论经过多少次缩小区间，保留的点始终处在新区间的0.618处。再要进一步缩短区 产品设计的迭代与进化 在未来的产品投放中，链接产品语言和用户语言的媒介是产品设计。这里的设计概念比现阶段的图形设计概念要深刻的多。了解这一点，我们必须先了解未来的产品会以什么样的形式呈现，本文内容属于产品设计的前卫探讨。 界面的概念将由屏幕硬件转向虚拟现实，其特点是空间边界无限性 图：产品设计的虚拟现实化不可避免 从世界上有第一台显像屏开始，界面这个概念就存在了。无论它用于什么地方，电视、电脑、手机、以及各种需要显像的硬件设备等等。它们的共同点在于界面与硬件之间的不可分割性，也就是硬件承载了软件，界面是软件的外在表现形式。目前市场现有的硬件产品中，界面并没有脱离硬件在其中的承载作品，任何一个设计师都不可能越过硬件给予的范围去进行界面设计。 比如：承载与苹果相关的产品，设计师必须遵照苹果公司给予的屏幕硬件数值进行界面和版式的设计，否则最终设计效果与苹果硬件上的显示不符。在现阶段，界面的显示范围始终存在边界。而未来的产品由于物联网的实现，界面的概念会比现阶段复杂的多，或者说更为多样化，更多的数值尺寸，更多的表现形式，加上虚拟现实技术的运用，界面不会再呈现出像今天这样具有固定尺寸范围的状态，或者说界面除了X，Y轴外，还多了一个Z轴，二维平面会由虚拟三维空间代替。这种三维空间的影像投射也不在依托平面载体，而是空间载体，成为 无边界设计。 在这种环境下，如何设计用户的交互行为已经不是平面操作的范畴，它会成视觉，听觉，心理，行为等一系列的连锁反应的总和，未来的产品设计会比现在的设计纬度更高，言外之意，现阶段的产品设计其实还处于数字化表现的初级阶段。 界面所需要的图形样式将由大量的模版制作承担 图：未来竞争会以个人头脑对抗群体头脑的形式呈现。 图形定制设计会没落。现阶段绝大多数的设计师的设计层级仅仅处于图形样式的范畴，如何让产品界面更好看或更吸引人，是他们所要思考的问题。层级上一点的会处于产品的交互与结构范围，他们更关注用户对产品的操作，产品结构本身功能的表现完善度等等。但很可惜，在未来的产品设计模版运用中，图形设计会被庞大的模版资源所替代，甚至简单的架构设计也可以通过数据模版实现，大数据可以告诉开发者在什么样的需求下哪些结构的搭建用户反响最好，并且将定制设计这种行为实现模块化，这对每一个设计师而言都不是个好消息，我们可以试想一下：当有N个产品设计样式可以根据开发者的市场需求，通过数据计算自动的组成模版并且提供全套设计图形资源的时候，没有任何一个设计师可以保证自己的创意会比这N组设计更有优势，因为个人的头脑终不敌群体的智慧，设计师不可避免的会依托在模板之上成为提供图形样式的服务商，其结果是无法跨越设计的层级进入产品的高级设计阶段，简单来说只有极少数设计师会具有真正 机械优化设计黄金分割法实验报告 1、黄金分割法基本思路： 黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。 2 黄金分割法的基本原理 一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。 黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。如果f(a1)>f(a2)，令 a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1) 1黄金分割法的优化问题（1）黄金分割法基本思路： 黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。 （2）黄金分割法的基本原理 一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（法）。该方法用不变的区间缩短率代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。 黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而着称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。如果 f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1) 黄金分割（第二课时） 教学目标 理解黄金分割在现实中的应用 教学重点 优选法及其应用 教学过程 一、复习 1.什么叫做斐波那契数列？它有哪些性质？ 2.什么叫做黄金分割？它有哪些应用？ 二、新授 (一) 华罗庚的优选法（“0.618法”） 二十世纪六十年代，华罗庚先生着力推广的优选法，在全国产生了很大的影响。 “优选法”，即对某类单因素问题（且是单峰函数），用最少的试验次数找到“最佳点”的方法。 例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢的强度，掺入多少最合适？假定已经知道每吨钢加入该化学元素的数量大约应在1000克到2000克之间，现求最佳加入量，误差不得超过1克。最“笨”的方法是分别加入1001克，1002克，…，2000克，做1千次试验，就能发现最佳方案。 一种动脑筋的办法是二分法，取1000克2000克的中点1500克。再取进一步二分法的中点1250克与1750克，分别做两次试验。如果1750克处效果较差，就删去1750克到2000克的一段，如果1250克处效果较差，就删去1000克到1250克的一段。再在剩下的一段中取中点做试验，比较效果决定下一次的取舍，这种“二分法”会不断接近最好点，而且所用的试验次数与上法相比，大大减少。 表面上看来，似乎这就是最好的方法。但华罗庚证明了，每次取中点的试验方法并不是最好的方法；每次取试验区间的0.618处去做试验的方法，才是最好的，称之为“优选法”或“0.618法”。 华罗庚证明了，这可以用较少的试验次数，较快地逼近最佳方案。 2． 黄金分割点的再生性和“折纸法” ① 黄金分割点的再生性 即： 如果C 是AB 的黄金分割点， 是BA 的黄金分割点， 与 C 当然关于中点 对称。 特殊的是， 又恰是AC 的黄金分割点。同样，如果 是CA 的黄金分 割点，则 又恰是 的黄金分割点，等等，一直延续下去 。（再生） ② 寻找最优方案的“折纸法” 根据黄金分割点的再生性，我们可以设计一种直观的优选法——“折纸法”。 仍以上边“在钢水中添加某种元素”的问题为例。 用一个有刻度的纸条表达1000克—2000克。在这纸条长度的0.618的地方划一条线，在这条线所指示的刻度上做一次试验，也就是按1618克做第一次试验。 然后把纸条对折，前一条线落在下一层纸的地方，再划一条线（黄金分割点），这条线在1382克处，再按1382克做第二次试验。 把两次试验结果比较，如果1618克的效果较差，我们就把1618克以外的短的一段纸条剪去（如果1382克的效果较差，就把1382克以外的一段纸条剪去）。 再把剩下的纸条对折，纸条上剩下的那条线落在下一层纸的地方，再划一条线（黄金分割点），这条线在 1236克处。 按1236克做第三次试验，再和1382克的试验效果比较，如果1236克的效果较差，我们就把1236克以外的短的一段纸条剪去。再对折剩下的纸条，找出第四次试验点是1472克。 按1472克做试验后，与1382克的效果比较，再剪去效果较差点以外的短的一段纸条，再对折寻找下一次试验点，一次比一次接近我们的需要，直到达到我们满意的精确度。（需要时可以换纸条） 注意，每次剪掉的都是效果较差点以外的短纸条，保留下的是效果较好的部分，而每次留下纸条的长度是上次长度的0.618倍。因此，纸条的长度按0.618 的 C 'C 'O C ' C ' AC ' 一、 填空题 [每空1分，共20分] 1.组成优化设计数学模型的三要素是 、 、 。 2.数学规划法的迭代公式是 ，其核心是 和 。 3.惩罚函数法的基本思想是通过增加变量将 优化问题变成 优化问题。 4.函数()22124F X x x =+在?? ????=420X 点处的梯度为 ，海赛矩阵为 。 5. 判断是否终止迭代的准则通常有 、 和 三种形式。 6.最速下降法以 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 法， 其收敛速度较 。 7.二元函数在某点处取得极值的充分条件是 ，必要条件是该点处的 。 8.用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 。 9.进退法确定搜索区间，函数值形成 区间。 二、 选择题 [每小题2分，共20分] 1. 利用0.618法在搜索区间［a,b ］内确定两点a1=0.382,b1=0.618，由 此可知区间［a,b ］的值是( ) A. ［0,0.382］ B. ［0.618,1］ C. ［0,1］ D.［0.382,1］ 2．一个多元函数 ()F X 在X* 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ． ()*0F X ?= B. ()*0F X ?=,()*H X 为正定 C ．()*0H X = D. ()*0F X ?=,()*H X 为负定 3.已知二元二次型函数F(X)=AX X T 21，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A. 正定 B. 负定 C. 不定 D. 半正定 4.在下列特性中，梯度法不具有的是（ ）。 A. 对初始点的要求不高 B. 要计算一阶偏导数 黄金分割法-进退法-原理及流程图 1黄金分割法的优化问题 （1）黄金分割法基本思路： 黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。 （2）黄金分割法的基本原理 一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。 黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。如果f(a1)>f(a2)，令 a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1) 优选法与二分法、黄金分割间的联系 优选法概述优选法,是以数学原理为指导，用最可能少的试验次数，尽快找到生产和科学实验中最优方案的一种科学试验的方法。例如：在现代体育实践的科学实验中，怎样选取最合适的配方、配比；寻找最好的操作和工艺条件；找出产品的最合理的设计参数，使产品的质量最好，产量最多，或在一定条件下使成本最低，消耗原料最少，生产周期最短等。把这种最合适、最好、最合理的方案，一般总称为最优；把选取最合适的配方、配比，寻找最好的操作和工艺条件，给出产品最合理的设计参数，叫做优选。也就是根据问题的性质在一定条件下选取最优方案。最简单的最优化问题是极值问题，这样问题用微分学的知识即可解决。实际工作中的优选问题，即最优化问题，大体上有两类：一类是求函数的极值；另一类是求泛函的极值。如果目标函数有明显的表达式，一般可用微分法、变分法、极大值原理或动态规划等分析方法求解（间接选优）；如果目标函数的表达式过于复杂或根本没有明显的表达式，则可用数值方法或试验最优化等直接方法求解（直接选优）。优选法是尽可能少做试验，尽快地找到生产和科研的最优方案的方法,优选法的应用在我国从70年代初开始，首先由我们数学家华罗庚等推广并大量应用,优选法也叫最优化方法。二分法一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。解方程即要求f(x)的所有零点。先找到a、b，使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2], 现在假设f(a)<0,f(b)>0,aa，从①开始继续使用中点函数值判断。如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=>b，从①开始继续使用中点函数值判断。这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。黄金分割把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是[5^(1/2)-1]/2，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618 (1-0.618)/0.618=0.618 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“菲波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→0.618…。由于菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。不仅这个由1,1,2,3,5....开始的“菲波那契数”是这样，随便选两个整数，然后按照菲波那契数的规律排下去，两数间比也是会逐渐逼近黄金比的。一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。黄金分割三角形还有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18 。黄金分割点约等于0．618：1 是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。线段上有两个这样的点。利用线段上的两黄金分割点，可作出正五角星，正五边形。2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克 0.618法的实例研究: 一、算法理论 黄金分割法是用于一元函数)(x f 在确定的初始区间],[b a 内搜索极小点a '的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、效果明显而著称，是许多优化算法的基础。但它只适用于某个区间上的凸函数。其基本思想是：依照“去坏留好”原则，对 称原则，以及等比收缩原则来逐步缩小搜索范围。 0.618法适用于单峰区间函数，即所在区间],[b a 上。具体的说，对于单峰函数，只需选择两个试探点，即在区间],[b a 中取点)(382.01a b a x -+=， )(618.02a b a x -+=， 且21x x <，就可以将包含极小点* x 的区间缩短。事实上，必有：若)()(21x f x f >，则],[1*b x x ∈；若)()(21x f x f ≤，则],[2* x a x ∈。 根据单峰函数这个性质，就可以不断迭代缩小包含极小点的区间。若进行k 次迭代 后，有],[* k k b a x ∈，那么我们在区间],[k k b a 取两个试探点)(382.01a b a x -+=， )(618.02a b a x -+=，且21x x <，计算)(),(21x f x f 的值。如果)()(21x f x f =，令 b x a x ==21,，那么计算||b a -，如果ξ≤-||b a （ξ为所给的精度） ，则* 2 x b a =+； 如果 )()(21x f x f >，令11x a k =+，k k b b =+1；如果)()(21x f x f <，令k k a a =+1， 21x b k =+，如此继续。这样每次可将搜索区间缩小0.328倍或者0.618倍，直至缩为一 点。黄金分割原理如图1所示，其中618.0=K ，区间长度为L 。该算法为收敛速度很 快的一种搜索方法。 图1. 二、算法框图 黄金分割搜索算法 一.介绍 黄金分割律是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618 : 1或1 : 0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。 0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618…；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137°28'，这恰好是把圆周分成1:0.618……的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数学0.618…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618…有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618…处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618…处，能使琴声更加柔和甜美。 在学术界的应用 数字0.618…更为数学家所关注，它的出现，不仅解决了许多数学难题(如：十等分、五等分圆周；求18度、36度角的正弦、余弦值等)，而且还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间，为了求得最恰当的加入量，需要在1000克与2000克这个区间中进行试验。通常是取区间的中点(即1500克)作试验。然后将试验结果分别与1000克和2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做试验，再比较端点，依次下去，直到取得最理想的结果。这种实验法称为对分法。但这种方法并不是最快的实验方法，如果将实验点取在区间的0.618处，那么实验的次数将大大减少。这种取区间的0.618处作为试验点的方法就是一维的优选法，也称0.618法。实践证明，对于一个因素的问题，用“0.618法”做16次试验就可以完成“对分法”做2500次试验所达到的效果。因此大画家达·芬奇把0.618…称为黄金数。 优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它作出重要贡献。优选法中有一种0.618法应用了黄金分割法。例如，在一种试验中，温度的变化范围是0℃~10℃，我们要寻找在哪个温度时实验效果最佳。为此，可以先找出温度变化范围的黄金分割点，考察10×0.618=6.18(℃)时的试验效果，再考察10×(1-0.618)=3.82(℃)时的试验效果，比较两者，选优去劣。然后在缩小的变化范围内继续这样寻找，直至选出最佳温度。 黄金分割与植物 有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137°28'，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界。尽管叶子形态随种而异，但它在茎上的排列顺序(称为叶序)，却是极有规律的。有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的。你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角。如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的优化设计黄金分割发以及迭代法
黄金分割用法和实战 (1)汇总
最优化方法(黄金分割与进退法)实验报告
斐波那契数列与黄金分割的应用研究
黄金分割点---0.618无处不在
湖南省蓝山二中高二数学《第一讲 优选法 三、黄金分割法0.618法》教案 新人教A版
机械优化设计黄金分割法 外推法
黄金分割法,进退法,原理及流程图
黄金分割法
产品设计的迭代与进化
优化设计黄金分割法实验报告
黄金分割法,进退法,原理及流程图
第二章 第一节 黄金分割(第二课时)
机械优化设计试题复习过程
黄金分割法-进退法-原理及流程图
优选法与二分法、黄金分割间的联系
0.618与二分法的学习
黄金分割搜索算法