初等函数的连续性

一、函数与极限

初等函数的连续性

通过前面我们所学的概念和性质，我们可得出以下结论：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义域内也都是连续的.

闭区间上连续函数的性质

闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续.对于闭区间上的连续函数有几条重要的性质，下面我们来学习一下：

最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。(在此不作证明)

例：函数y=sinx 在闭区间[0，2π]上连续，则在点x=π/2处，它的函数值为1，且大于闭区间[0，2π]上其它各点出的函数值；则在点x=3π/2处，它的函数值为-1，且小于闭区间[0，2π]上其它各点出的函数值。

介值定理在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值。即：

，μ在α、β之间，则在[a，b]间一定有一个ξ，使

推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。

复合函数的连续性

设函数

当x→x 0时的极限存在且等于a，即：.而函数在点u=a

连续，那末复合函数当x→x 0时的极限也存在且等于.即：例题：求

解答：

注：函数可看作与复合而成，且函数在点u=e 连续，因此可得出上述结论。

设函数在点x=x 0连续，且

，而函数在点u=u 0连续，那末复合函数

在点x=x 0也是连续的

初等函数及其连续性

初数研究期末专题论文 教师一班105012013066 邱燕华

初等函数及其连续性 【摘要】：本文主要分为三部分。第一部分利用初等函数的定义及Yanzu 引理重点讨论初等函数的判定方法；第二部分利用初等函数的连续性定义，详细讨论初等函数的连续性；第三部分简要提一下函数连续性在中学中的运用。 关键词：初等函数，连续性，Yanzu 引理 【正文】： 一、初等函数 1、初等函数的定义 定义1：由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做[1]初等函数。 注：基本初等函数包括常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 2、初等函数的分类 如果一个函数是用基本初等函数f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加、减、乘、除、乘方、开方得到初等函数称为代数函数，否则称为超越函数；f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加减乘除得到的代数函数称为有理函数，否则称为无理函数；有理函数中，仅经过有限次加、减、乘得到的初等函数称为有理整函数，否则称为有理分函数 [2]。（如下图示） ?????????????????有理整函数有理函数有理分函数代数函数无理函数初等函数超越函数 3、初等函数的判定方法 （1）根据定义判定 例1、判断下列函数是否为初等函数 ①12 2sin (1)x e y g x ??=? ?+?? ，②y lg(1y = 解： ①122sin (1)x e y g x ??=??+?? 可以看成是122sin ,,,1()x v y u u v e w x g w ====+复合而成的复合函数，12 2sin (1)x e y g x ??∴=??+??是初等函数。 ②∵ -1≤cosx ≤1, ∴-2-cosx 无意义, ∴y=-2-cosx 不是初等函数。 ③2lg ,1,1, lg(1y u u v v x y ==+++=∴== 复合而成的复合函数是初等函数 例2、判断下列函数是否为初等函数

函数连续性

第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 Ⅰ. 教学目的与要求 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 函数连续性的概念. 难点: 函数连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数． 从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线．当然我 们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数 的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性． 一 函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U ()0x 内有定义．若()x f x x 0 lim →=()0x f ， 则称f 在点0x 连续． 例如，函数连续()x f 12+=x 在点2=x 连续，因为 2lim →x ()x f =2 lim →x ()()2512f x ==+ 又如，函数()x f ???=0 ,00,1sin =≠x x x x ,在点0=x 连续，因为 ()()001sin lim lim 00f x x x f x x ===→→ 为引入函数()x f y =在点0x 连续的另一种表述，记0x x x -=?，称为自变量x (在点 0x )的增量或改变量．设()00x f y =，相应的函数y (在点0x )的增量记为: ()()()()0000y y x f x x f x f x f y -=-?+=-=? 注 自变量的增量x ?或函数的增量y ?可以是正数，也可以是0或负数．引进了增 量的概念之后，易见“函数()x f y =在点0x 连续”等价于0lim 0 =?→?y x . 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用δε-方式来叙述， 即：若对任给的0>ε，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有 ()()ε<-0x f x f (2) 则称函数f 在点0x 连续．

函数的连续性的例题与习题集

函数的连续性的例题与习题 函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。 下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。 要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？ 一．函数的连续 例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照） 设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。证明：()f x 在任意点x 处连续。 分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么 在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =?，那么就有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=。 证明的思路就此产生！ 证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。 （#） 对于固定的x （任意的！），若取y x =?，有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?， （+） 在（+）式两边取0x ?→的极限，那么

函数的连续性与间断点

第七节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作 x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量 x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数 ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值 )(x f 都满足不等式：ε <-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义） ，（2） )(lim 0 x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连

函数的极限及函数的连续性典型例题

函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。 二、典型例题 例 1 ．求下列极限 解：由 可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。 求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知

的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处 函数是连续的， 从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。 试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。 例 3 ．讨论函数 例 4 ．已知函数 ， ∴ f(x)在 x=1 处连续。 解析： ∴ a=1, b=0 。 例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ②

要使 存在，只需 ∴ 2k=1 ，故 时， 存在。 例7．求函数 在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？ ，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。 三、训练题： 2． 的值是 3. 已知 ，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。 ，求 a 的值。 5．已知 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设 ，问常数k 为何值时，有 存在？ 解析：∵ 4．已知 解析：由 1．已知

函数的连续性与间断点(重点内容全)

函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝ )(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连

函数的连续性与间断点共5页

一、函数的连续性 变量的增量: 设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差 u 2u 1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u 2u 1. 设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量 x 在这邻域内从x 0变到x 0x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到 f (x 0 x ), 因此函数y 的对应增量为 y f (x 0 x ) f (x 0). 函数连续的定义 设函数y f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量 x x x 0 趋于零时, 对应的函数的增量 y f (x 0x ) f (x 0 )也趋于零, 即 lim 0 =?→?y x 或)()(lim 00 x f x f x x =→, 那么就称函数y f (x )在点x 0 处连续. 注 ①0)]()([lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x ②设x x 0+x , 则当 x 0时, x x 0, 因此 lim 0 =?→?y x 0 )]()([lim 00 =-→x f x f x x )()(lim 00 x f x f x x =→. 函数连续的等价定义2:设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义 的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式

|x x 0|< 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式 |f (x )f (x 0)|< , 那么就称函数y f (x )在点x 0处连续. 左右连续性: 如果)()(lim 00x f x f x x =- →, 则称y f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+ →, 则称y f (x )在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系: 函数y f (x )在点x 0处连续?函数y f (x )在点x 0处左连续且 右连续. 函数在区间上的连续性: 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例: 1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(￥, ￥) 内是连续的. 这是因为, f (x )在( ￥, ￥)内任意一点x 0处有定义, 且 ) ()(lim 00 x P x P x x =→ 2. 函数 x x f =)(在区间[0, ￥)内是连续的. 3. 函数y sin x 在区间( ￥, ￥)内是连续的. 证明 设x 为区间( ￥, ￥)内任意一点. 则有

函数的连续性的例题与习题

函数的连续性的例题与习题 函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。 下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。 要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？ 一．函数的连续 例（例（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照） 设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。证明：()f x 在任意点x 处连续。 分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么 在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =?，那么就有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=。 证明的思路就此产生！ 证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。 （#） 对于固定的x （任意的！），若取y x =?，有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?， （+） 在（+）式两边取0x ?→的极限，那么 lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ?→?→?→?=+?-=? ， （&） 由已知条件：()f x 在0x =连续，所以0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=，代入（#）的结果，就有 lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ?→?→+?=?==， 但从（&）知，0 lim lim ()x x y f x ?→?→?=?，所以 lim 0x y ?→?=。

数学分析(华东师大)第四章函数的连续性

第四章函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说,连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义, 并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x) = f ( x0), (1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数 f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续, 因为 又如, 函数lim x →2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5= f (2 ). f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0, 0, x =0 在点x = 0 连续, 因为 lim x →0 f ( x) = lim x →0 x sin 1 x =0= f ( 0). 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x-x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为Δy= f ( x) - f ( x0) = f ( x0 + Δx)- f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx 或函数的增量Δy 可以是正数, 也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后,易见“函数y= f( x)在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx →0

70 第四章 函数的连续性 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的, 因而也可直接用ε- δ方 式来叙述, 即: 若对任给的ε>0 , 存在δ> 0 , 使得当|x - x 0 | <δ时有 | f (x)- f ( x 0 ) |<ε, (2) 则称函数 f 在点 x 0 连续 . 由上述定义, 我们可得出函数 f 在点 x 0 有极限与 f 在 x 0 连续这两个概念 之间的联系.首先, f 在点x 0 有极限是f 在x 0 连续的必要条件;进一步说“, f 在 点x 0 连续”不仅要求f 在点x 0 有极限,而且其极限值应等于f 在x 0 的函数值 f( x 0) .其次,在讨论极限时,我们假定f 在点x 0 的某空心邻域U °( x 0 )内有定 义( f 在点x 0 可以没有定义),而“f 在点x 0 连续”则要求f 在某U( x 0 )内(包括 点x 0)有定义,此时由于(2)式当x = x 0 时总是成立的,所以在极限定义中的“0 <|x - x 0 |<δ”换成了在连续定义中的“|x - x 0 |<δ”.最后,(1)式又可表示为 lim x → x f (x)= f lim x , x → x 可见“f 在点x 0 连续”意味着极限运算lim x → x 与对应法则 f 的可交换性 . 例1证明函数 f (x ) = x D( x ) 在点 x = 0 连续, 其中 D ( x ) 为狄利克雷 函数 . 证 由 f (0 ) = 0 及| D( x ) | ?1 , 对任给的ε>0 , 为使 | f ( x) - f ( 0) | = | xD( x ) | ? | x | <ε, 只要取δ=ε,即可按ε-δ定义推得f 在x =0连续. □ 相应于f 在点x 0 的左、右极限的概念,我们给出左、右连续的定义如下: 定义 2 设函数 f 在某 U + ( x 0 ) ( U - ( x 0 ) ) 内有定义.若 lim x → x + f (x)= f (x 0) lim - x → x f (x)= f (x 0) , 则称 f 在点 x 0 右( 左) 连续 . 根据上述定义1 与定义2 , 不难推出如下定理 . 定理4.1 函数 f 在点x 0 连续的充要条件是:f 在点 x 0 既是右连续, 又是 左连续 . 例 2 讨论函数 在点 x = 0 的连续性 . 解 因为 f ( x ) = x + 2 , x ? 0 , x - 2 , x <0 lim x → 0 + lim x → 0 - f ( x ) = lim x → 0 + f (x)= lim x → 0 - ( x + 2 ) = 2 , ( x - 2) = - 2, 而 f (0 ) = 2 , 所以 f 在点 x = 0 右连续, 但不左连续, 从而它在 x = 0 不连续( 见 ●

高等数学考研大总结之三函数的连续性

第三章 函数的连续性 一，函数连续性的定义（极限定义） 1 第一定义：设函数()x f 在某个()δ,a U 内有定义，如果极限() a x x f →lim 存在并且 () a x x f →lim =()a f 则称函数()x f 在a 点连续或称a 是()x f 的一个连续点。 解析:注意连续函数的邻域与极限邻域的区别与联系(局部性定义) 2 第二定义： 设函数()x f 在某个()δ,a U 内有定义，如果对于任意的正数ε>0,存在()0,0δδ∈使得当()δ,a U x ∈时有 ()()a f x f -<ε则称()x f 在a 点连续,特别地,若记a x x -=?，()()a f x a f y -?+=?.则有a x x →?lim =0时, a x y →?lim =0。 解析：⑴连续函数与函数极限的联系：直观地讲,当自变量x 的改变量(?x )非常小时函数()x f 相应的改变量也非常小,则()x f 就叫做连续函数。 ⑵ 由于?x 的引入使得在某点连续扩展到区间连续。 ⑶ 该定义体现了自变量x 所对应的点填满了整条曲线.换句话说.曲线可以一笔画出. ⑷ 表明了可导与连续的关系。 ⑸ 用定义证明函数连续性的一般步骤：①检查函数()x f 在点a 处及其附近是否有定义②两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠求极限a x x f →) (lim ㈡根据自变量的初值a 和终 值x a ?+求出函数的增量()()a f x a f y -?+=?③ 两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠检验a x x f →) (lim 与()a f 是否相等㈡求极限0lim →??x y 是否为0。 3 单侧连续（左（右）连续）：设()x f 在某个[)δ+a a ,（或(]a a ,δ-）上有定义，如果() +→a x x f lim =()a f （或()-→a x x f lim =()a f ）则称()x f 在点x =a 右（左）连续。 左(右)连续与连续之间的关系:在某点既左连续又右连续则记称在该点连续。 解析:类比于单侧极限。 4. 一致连续性(区间连续性):设函数f(x)在区间I 上有定义,如果对于任意给定的正数ε总存在着正数δ使得对于区间I 上的任意两点21,x x 当δ<-21x x 时就有ε<-)()(21x f x f ,那么称函数()x f 在区间I 上是一致连续的.如果函数()x f 在[]b a ,上

(整理)函数的连续性63669

第四章 函数的连续性 练 习 题 第一节 连续性概念 1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续： .)()2(; 1 )()1(x x f x x f == 2. 指出下列函数的间断点并说明其说明类型： ); sgn(cos )()5(|;|sgn )()4(|];cos [|)()3(; | |sin )()2(;1)()1(x x f x x f x x f x x x f x x x f ====+= ?? ?-=; , ,,)()6(为无理数为有理数x x x x x f （7）??? ? ???+∞<<--≤≤--<<-∞+=. 1,11sin )1(17,,7,71 )(x x x x x x x x f 3. 延拓下列函数, 使其在R 上连续： x x x f x x x f x x x f 1 c o s )()3(;c o s 1)()2(; 28 )()1(2 3=-= --= 4. 证明：若f 在点0x 连续, 则2||f f 与也在点0x 连续, 又问: 若2 ||f f 与在I 上连续, 那么f 在I 上是否必连续？ 5. 设当).0()0(),()(0g f x g x f x ≠≡≠而时证明：f 与g 两者中至多有一个在0=x

连续. 6. 设f 为区间I 上的单调函数, 证明：若I x ∈0为f 的间断点, 则0x 必是f 的第一类间断点. 7. 设函数f 只有可去间断点, 定义 ).(lim )(y f x g x y →= 证明g 为连续函数. 8. 设f 为R 上的单调函数, 定义 )0()(+=x f x g 证明g 在R 上每一点都右连续. 9. 举出定义在[0, 1]上分别符合下述要求的函数： (1) 只在 4 1 31,21和三点不连续的函数； (2) 只在 4 1 31,21和三点连续的函数； (3) 只在 ),3,2,1(1 =n n 上间断的函数； (4) 只在0=x 右连续, 而在其他点都不连续的函数. 第二节 连续函数的性质 1．讨论复合函数g f 与f g 的连续性, 设 （1）2 1)(,sgn )(x x g x x f +== （2）( ) x x x g x x f 2 1)(,sgn )(-== 2．设g f ,在点0x 连续, 证明： （1）若)()(00x g x f >, 则存在);(0δx U , 使在其内有)()(x g x f >； (2) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f >, 则)()(00x g x f ≥.

第十二章(理) 第三节 函数的极限与连续性

第十二章（理） 第三节 函数的极限与连续性 题组一 求函数的极限 1.当m ＜0，n ＞0时，x → m 2＋x 2＋m n 2＋x 2＋n 的值为 ( ) A ．－m n B ．0 C ．1 D.n m 解析：0 lim x → m 2＋x 2＋m n 2＋x 2＋n ＝|m |＋m |n |＋n ＝－m ＋m n ＋n ＝0. 答案：B 2．已知f (x )是关于x 的三次函数，且2lim x →f (x )x －2＝－2，3lim x → f (x )x －3＝5，则43lim x → f (x ) x －43 的 值是 ( ) A.103 B.59 C ．3 D ．不存在 解析：根据条件可设f (x )＝(ax ＋b )(x －2)(x －3)， 再由2 lim x → f (x )x －2 ＝－2，3lim x → f (x ) x －3＝5， 可得????? (2a ＋b )×(－1)＝－2， (3a ＋b )×1＝5， 解之得? ???? a ＝3， b ＝－4， 故f (x )＝(3x －4)(x －2)(x －3)， ∴4 3lim x →f (x )x －43 ＝10 3. 答案：A 3．若2 lim x →x 2＋ax －2 x 2－4＝P (P ∈R ，P 为常数)，则a 和P 的值分别为 ( )

A ．0，12 B ．1，3 4 C.12，12 D ．－1，3 4 解析：已知x ＝2是x 2＋ax －2＝0的根，则a ＝2－222＝－1， ∴2lim x → x 2－x －2x 2－4＝2lim x → x ＋1x ＋2＝3 4 ∴P ＝34. 答案：D 4．求下列函数的极限． (1)lim x →∞ 5x 4－5x 1－3x －x 4； (2)lim x →∞ x 2－33x 3＋1 ； (3)2 lim x → x －2 x 4－8x ； (4)1 lim x → ( 11－x －31－x 3 )． 解：(1)lim x →∞5x 4－5x 1－3x －x 4＝lim x →∞5－5x 3 1 x 4－3x 3－1 ＝ 5－0 0－0－1＝－5. (2)∵x →－∞时，x ＜0，∴x ＝－x 2， ∴lim x →∞ x 2－33 x 3＋1 ＝lim x →-∞ － 1－ 3 x 231＋1 x 3 ＝－1 1＝－1. (3)原式＝2 lim x →x －2 x (x －2)(x 2＋2x ＋4) ＝2 lim x → 1 x (x 2 ＋2x ＋4) ＝ 12×(4＋4＋4)＝1 24 .

函数的极限及函数的连续性典型例题

一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ②要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。 ④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。 ⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。 二、典型例题 例1．求下列极限 ①② ③④ 解析：①。 ②。 ③。 ④。例2．已知，求m,n。 解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式， ∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根， ∴ m=3代入求得n=-1。 例3．讨论函数的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的， 又，

∴，∴ f(x)在x=1处连续。 由， 从而f(x)在点x=-1处不连续。 ∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。 例4．已知函数, (a,b为常数)。 试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。 解析：∵且， ∴，∴ a=1, b=0。 例5．求下列函数极限 ①② 解析：①。 ②。 例6．设，问常数k为何值时，有存在？ 解析：∵，。 要使存在，只需， ∴ 2k=1，故时，存在。 例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？ 解析：由，， ∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。

三、训练题： 1．已知，则 2．的值是_______。 3. 已知，则=______。 4．已知，2a+b=0，求a与b的值。 5．已知，求a的值。 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0