一类非线性系统的稳定性分析和控制研究

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摘要

由于非线性系统的复杂性和理论研究的相对落后，人们对非线性系统的研究方兴未艾。展望未来，将传统的控制理论和方法与现代先进控制理论和方法相结合，形成新的理论和方法，将是非线性系统研究的重要方向和出路。

本论文首先介绍了非线性系统的研究现状以及非线性系统的特征。然后针对单摆系统，分别运用Lyapunov稳定性理论、LaSalle不变原理以及局部线性化法对单摆系统的稳定性进行分析。第三章，首先通过对状态反馈与输出反馈的概念进行简单的介绍，然后通过线性化积分控制和反馈线性化的方法分别设计了单摆系统的反馈控制律，最后再通过对Lyapunov函数设计的一个附加控制分量实现系统的稳定。

关键词：单摆系统；稳定性；Lyapunov稳定性理论；LaSalle不变原理；反馈控制；线性化

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Abstract

Because of the complexity of nonlinear system and comparatively backwardness of theory researches, the researches of the nonlinear system are on the rise, It’s our expectation that the combination of traditional and modern advanced control theory and methods, which forms a new theory and methods, is an important direction and outlet of nonlinear system researches.

This paper first introduces the current research and the characteristics of nonlinear systems of nonlinear systems. The selected system model is pendulum system and through Lyapunov stability theory and LaSalle's invariance principle, as well as local linearization method to analyze the stability of the pendulum system. In the third chaper, First a simple introduction to the concept of the state feedback and output feedback,design a feedback control law of the pendulum system and then through the linearized integral control and feedback linearization method. Finally, an additional control component of the design of the Lyapunov function the stability of the system.

Key words:Pendulum system; Stability; Lyapunov stability theory; LaSalle's invariance principle; Feedback control; Linearization

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目录

摘要.................................................................................................................................... I Abstract................................................................................................................................ I I 目录................................................................................................................................. III 第一章绪论 (1)

1.1课题背景与研究意义 (1)

1.2非线性系统的研究现状 (1)

1.3 非线性系统的特征 (3)

1.4相关数学基础 (4)

1.4.1相关数学概念和定义 (4)

1.4.2相关数学定理 (5)

1.5论文的结构 (6)

第二章单摆系统的稳定性分析 (7)

2.1单摆系统的数学模型 (7)

2.2 单摆系统的平衡点 (8)

2.3 Lyapunov稳定性理论 (9)

2.4 LaSalle不变原理分析单摆系统的稳定性 (12)

2.5 局部线性化法分析单摆系统的稳定性 (14)

2.6 本章小结 (17)

第三章单摆系统的反馈控制 (17)

3.1状态反馈与输出反馈 (18)

3.2通过线性化实现稳定 (20)

3.3线性化积分控制 (23)

3.4 反馈线性化 (27)

3.5 跟踪控制 (29)

3.6Lyapunov再设计 (32)

3.7 本章小结 (35)

第四章总结 (35)

参考文献 (37)

致谢 (36)

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第一章绪论

1.1课题背景与研究意义

非线性系统广泛存在于人类生产过程中，所谓线性系统，只是这些非线性系统在某些条件下的良好近似，随着生产和科学技术的发展，对控制系统的性能和精度的要求越来越高，建立在线性化基础上的分析和设计方法已难以解决高质量的控制问题，因此研究非线性系统的控制显得特别重要。为此，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行分析。但是对于非线性系统，难以获得其精确的数学模型，即使能够建立其数学模型也往往过于复杂，使得传统控制难以达到理想控制效果。因此，长久以来对非线性系统的控制一直都是控制界的难题，缺乏有效的方法。

对于非线性系统，目前还没有统一的且普遍适用的处理方法，现在针对非线性系统控制的分析和控制器设计，可用的数学工具远远不够，因此，对于非线性系统来说一般不可求得完整解，这就使得对于非线性系统的研究只能着重在对于时域响应的定性性质，如进行稳定性等方面的研究。

1.2非线性系统的研究现状

由于非线性系统具有非常复杂的特性，真正能够有效应用于非线性系统设计和分析的工具并不多。尽管非线性系统控制的研究复杂而富有挑战性，国内外很多学者仍旧迎难而上，致力于这一方面的研究，现在，非线性控制领域常见的方法主要有相平面分析法、描述函数法、谐波平衡法和Lyapunov分析方法等[1]。

（1）相平面法是一种适用于二阶系统的图解方法，这种方法的主要思想是根据系统的状态构成相平面，然后在相平面上，利用系统的动态方程绘制不同初始条件下系统状态的运动轨迹，然后检验该轨迹的定性特性。通过这种方法能够得到系统稳定性和其他运动模式的相关信息。

（2）描述函数法是应用于非线性系统的近似分析方法，它是线性系统频率响应方法的一种拓展，可以近似分析和预测系统的动态行为。它起源于人们对于伺服机构的研究，这类机构总有非线性因素存在，如间隙、滞环等。对于这类部件若输入正弦

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊信号，输出中将含有高次谐波。然而一般伺服系统均有低通滤波特性，因此高次谐波的影响可忽略不计，此时可以利用非线性部件的基波特性来近似的代替它，这样可以近似用线性系统的频率法来分析非线性系统。

（3）谐波平衡法建立在描述函数法的基础上，它把非线性系统分成线性和非线性两部分，利用系统线性部分的频率特性与非线性部分的描述函数两者之间的关系来分析非线性系统的稳定性。

（4）Lyapunov方法是当前针对非线性系统的一种主要研究方法，从研究方法的性质上来说，这是一种真正的非线性处理方法，它是由俄国科学家A.M. Lyapunov于19世纪后期提出来的，这种方法包括直接法和间接法两种稳定性分析方法。间接法也称Lyapunov第一方法，这种方法首先要由系统的运动方程来找出其一次近似的线性化方程，再通过对线性化方程的稳定性分析给出原非线性系统在小范围内稳定性的有关信息，直接法也称Lyapunov第二方法，这种方法的特征是不需要引入线性近似，而是直接由原系统的运动方程构造一个类似于系统能量Lyapunov函数，并分析它一次导数随时间的变化趋势来分析系统的稳定性。间接法的本质上是一种近似的方法，直接法概念直观，物理意义清晰，但是对于非线性系统目前尚无统一的求Lyapunov 函数的方法。

对于非线性系统研究的一个重要突破是在19世纪末。这一时期由于把微分几何和微分代数等数学方法相继引入到非线性系统控制的研究中，使得非线性系统的研究模式摆脱了局部线性化和小范围运动分析的局限性，从而可以实现对非线性动态系统控制的大范围分析和综合。在这一阶段的研究工作中，人们广泛采用微分几何理论和方法，形成了微分几何控制理论的新分支，为非线性系统几何理论的建立和发展奠定了基础。

综上所述，虽然国内外很多学者致力于非线性系统的研究，但是由于一般非线性系统控制的复杂性和多样性，对非线性系统的理论研究造成了极大的困难，很难找到统一的普适的处理方法。因此从事控制工作的工程师和研究人员长期以来对非线性系统的研究往往只是针对某一类特定的非线性系统来展开。如变结构控制，反馈线性化方法等，能解决某一类非线性系统的分析与综合问题，但是不能通用于一般的非线性系统。另外这些方法都要求有苛刻的条件，且结构复杂。所以说，一直到目前为止，

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊非线性系统控制这一控制领域的难点问题仍旧未能圆满解决，依然缺乏系统化的设计方法和有效的处理手段。

1.3 非线性系统的特征

线性系统的重要特征是可以应用叠加原理。由于描述非线性系统运动的数学模型为非线性微分方程，因此叠加原理不能应用，故能否应用叠加原理是两类系统的本质区别。非线性系统的运动主要有以下特点[2]：

（1）系统的稳定性分析

线性系统的稳定性与零输入响应的性质只由系统本身的结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。然而非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅仅取决于系统本身的结构和参量，而且与系统的初始状态有关。对于线性系统有稳定和不稳定之分，但对于非线性系统，不能笼统地称稳定的或不稳定的非线性系统，只能根据具体的问题来分析。

（2）可能存在自激振荡现象

所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。线性定常系统只有在临界稳定的情况下才能产生周期运动。必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加控制误差，因此多数情况下不希望系统有自振发生。但在控制中通过引入高频小幅度的颤振，可克服间隙，死区等非线性因素的不良影响。而在振荡实验中，还必须使系统产生稳定的周期运动。因此研究自振的产生条件及抑制，确定自振的频率和周期，是非线性系统分析的重要内容。

（3）频率响应发生畸变

稳定的线性系统的频率响应，即正弦信号作用下的稳态输出量是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相位为输入正弦信号频率的函数。但对于非线性系统，若输入为正弦函数，其输出通常是包含有一定数量的高次谐波的非正弦周期函数，周期则同于输入。非线性系统有时还可能出现跳跃谐振、倍频和分频振荡等现象。

（4）系统共振现象

在线性系统中，如外施信号的频率与系统本身所固有的无阻尼自振频率相同时，

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊系统将产生共振，在一定条件下，其振幅可能非常高，按线性关系，理论上振幅可达到无穷大。但在非线性系统中则不然，它不会发生如线性系统那样的共振现象。线性系统的无阻尼自振频率仅由系统的参量决定，是个固定的频率。而非线性系统周期解的频率多数情况下将随其振幅变化而改变，周期性的外作用信号固定频率与系统周期响应的不断变化的自振频率如果相等，也只能发生在短暂时刻，所以非线性系统不会发生线性系统那样的共振现象。

1.4相关数学基础

1.4.1相关数学概念和定义

正定函数：一个使值、连续可微的函数f在原点附近的区域D为正定函数的条件是

●()00

f=

●()0

f x>对于所有不为零的x D

∈

若上式中()0

f x≥则函数f为半正定函数；若()0

f x<，则函数f为负定函数；若()0

f x≤则函数f为半负定函数。

可控性：若对状态空间的任一非零状态()

x t，都存在一个有限时刻

10

t t

>和一个

容许控制

[]

01

,

t t

u，能在1t时刻使状态()0

x t转移到零，则称状态方程

()()

x A t x B t u

=+

(1-1)

在

t时刻是可控的。反之称为在0t时刻不可控。

Lipschitz函数：在()

00

,t x的某个邻域内，对于所有的()

,t x和()

,t y,()

,

f t x满足不等式

()(

)

,,

f t x f t y L x y

-≤-(1-2) 则我们称f是Lipschitz函数，当:f R R

→时，Lipschitz条件可写成

()()

f y f x

L

y x

-

≤

-

(1-3) k类函数：如果连续函数[)[)

:0,0,

a

α→∞严格递增，且()00

α=，则α属于k类

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊函数。如果α=∞，且当r→∞时()r

α→∞，则α属于k￥类函数。

L

k类函数：对于连续函数[)[)[)

:0,0,0,

a

β?∞→∞，如果对于每个固定的s，映射()

,r s

β都是关于r的k类函数，并且对于每个固定的r映射()

,r s

β是s的递减函数，且当s→∞时()

,r s

β→∞，则β属于L

k类函数。

1.4.2相关数学定理

本节给出了在第二章和第三章用到的关于Lipschitz条件、类函数和类函数的定理。

定理1.1[3]如果在某一定义域n

D R

?内，(),

f x t和[](),

f x t x

??在[],a b D

?内是连续的，那么f在[]

,a b D

?上对于x是局部Lipschitz的。

定理 1.2[3]如果()

,

f t x和[](),

f x t x

??在[],n

a b R

?上连续，那么当且仅当[]

f x

??在[],n

a b R

?上一致有界时f在[],n

a b R

?上对于x是全局Lipschitz的。

定理1.3[3]设

1

α和

2

α是[)

0,a上的k类函数，3α和4α是k￥类函数，β是L k类函数，

1

i

α-表示

i

α的反函数，则

●1

1

α-在())

1

0,aα

??上有定义，且属于κ类函数。

●1

3

α-在[)

0,∞上有定义，且属于k￥类函数。

●

12

αα

属于k类函数。

●

34

αα

属于k￥类函数。

●()()

()

()

12

,,

r s r s

σαβα

=属于L

k类函数。

定理1.4[3]考虑标量自治可微方程()

y y

α

=-

，()00

y t y

=

其中α是定义在[)

,o a上的局部Lipschitz k类函数。对于所有0

0y a

≤<，当0

t t

≥时方程有唯一解()

y t，且

()()

00

,

y t y t t

σ

=-(1-4) 其中，σ是定义在[)[)

0,0,

a?∞上的L

k类函数。

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊1.5论文的结构

本论文结构安排如下：

第一章为绪论，简单介绍了本课题的背景与研究意义，非线性系统的研究现状以及非线性系统的特征。第二章以查阅的众多文献为基础，分别用Lyapunov稳定性理论、LaSalle不变原理以及局部线性化法对单摆系统的稳定性进行分析，并对Lyapunov 稳定性理论、LaSalle不变原理这两种方法进行了简单的对比。第三章通过对单摆系统进行反馈控制的设计，介绍了线性化积分控制、反馈线性化、Lyapunov再设计这些非线性控制设计中使用到的工具,并使用这些工具设计了单摆系统的反馈控制律。论文的第四章对本文的工作进行了总结。

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊

第二章单摆系统的稳定性分析

本章2.1节对单摆系统建立了数学模型，2.2节用相平面法对单摆系统的2个孤立平衡点进行分析。2.3节给出了Lyapunov稳定性定理，并且对单摆系统在原点的稳定性进行了分析。2.4节给出了LaSalle对Lyapunov稳定性理论的扩展，2.5节利用线性化分析了单摆系统2个平衡点的稳定性。

2.1单摆系统的数学模型

考虑图2-1所示的单摆，其中l表示摆杆的长度，m表示摆锤的质量，q表示杆与通过中心点的竖直轴间的夹角，假设杆是硬质的且质量为零。单摆在竖直平面内自由摆动，摆锤的运动为半径为l的圆周运动。为了写出单摆的运动方程，对摆锤进行受力分析。有一个向下的重力mg，g为重力加速度。还有一个阻碍运动的摩擦力，假设与摆锤的速度成正比，摩擦系数为k，如图2-2所示。运用牛顿第二定律，可写出沿切线方向的运动方程

sin

m l m g kl

q q q

=--

(2-1)

图2-1单摆系统图2-2 单摆的受力分析

为得到单摆的状态模型，我们取状态变量

1

x q

=，

2

x q

= ，则有：

12

212

sin

x x

g k

x x x

l m

=

= --

(2-2) 特别地若摩擦阻力为零，即设0

k=，则有

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12

21

sin

x x

g

x x

l

=

= -

(2-3) 系统(2-3)在某种意义上说是理想系统，即如果给单摆一个初始推力，则系统的能量在动能和势能之间相互转换而无耗散，即永远保持无衰减振荡。当然这是不可能的，但给出了单摆运动的特性，也有助于求出摩擦系数k很小时单摆方程的近似解。

如果对单摆施加力矩T就可以得到以下形式的单摆方程：

12

2122

1

sin

x x

g k

x x x T

l m m l

=

= --+

(2-4) 其中力矩T可以看作是系统的控制输入。

2.2 单摆系统的平衡点

在分析单摆系统的稳定性之前，我们先要求出其平衡点。以系统(2-2)为例，为求

系统(2-2)的平衡点，令

12

x x

==得：

2

12

0sin

x

g k

x x

l m

,

ì =

??

?

í

? = --

??

?

(2-5) 解得

1

2

,0,1,2,

x n n

x

π

= =±±

?

?

= ,

?

(2-6) 即系统的平衡点为()

,0,

n n Z

π∈，这说明单摆系统具有多重孤立平衡点；这是非线性系统与线性系统的不同之处。但是从单摆系统的物理描述来看，显然单摆仅有两个平衡点，分别对应于()

0,0和()

,0

p，其他平衡点与这两个平衡点重合，平衡点数对应于单摆停在两个平衡点之一前所进行的全摆动的次数。例如，如果单摆在停于垂直向下的位置进行了m次完整的o

360旋转，那么从数学意义上讲，可以说单摆的平衡点为()

2,0

m p。在研究单摆系统时，本文将只关心两个“非平凡”的平衡点()

0,0和()

,0

p，在物理意义上可以看出这两个平衡位置彼此差异很大。单摆确实可以停留在平衡点()

0,0上，但在平衡点()

,0

p上几乎不可能保持静止，因为来自平衡点的一个无

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊穷小的干扰就会使单摆偏离该平衡点。

下面用相平面法来定性分析单摆系统的2个孤立平衡点的特性，为了便于分析，我们令10

g

l

=，1

k

m

=得：

2

212

10sin

x x

x x x

=

= --

(2-7)

下图是由计算机生成的相图，该相图对

1

x轴以2p为周期。这样，只要画出一个竖条内的相图即可捕捉到系统特性的全部不同特征。平衡点()

0,0，()

2,0

p和()

2,0

p

-等，都相应于下面的平衡点()

0,0，靠近这些平衡点的轨线具有稳定焦点的模式。而平衡点()

,0

p和()

,0

p

-等，相应于平衡点()

,0

p，靠近这些平衡点的轨线具有鞍点的模式。在鞍点()

,0

p和()

,0

p

-处的稳定轨线形成了几条分界线，分界线所包含的区域内的所有轨线都向内趋近平衡点()

0,0。图形周期性重复，轨线可以逼近不同的平衡点，至于逼近哪个平衡点与其在下面的平衡点处稳定之前所进行的全摆动数一致。例如，从A点和B点开始的轨线初始位置相同，但速度不同，始于A点的轨线在平衡点处稳定之前进行减幅振荡，而始于B点的轨线其初始动能较大，在开始减幅振荡前进行了一次全摆动。

A

B

06

4

2

2-

4-

6-

1

x

2

x

6

3

3

图2-3 单摆方程的相图

2.3 Lyapunov稳定性理论

考虑自治系统

()

x f x

=

，(2-8)

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊其中，:n

f D R

?是从定义域n

D R

ì到n R上的局部Lipschitz映射。假定x D

?是方程(2-8)的平衡点，即()0

f x=。我们的目的是确定x的稳定性特征，并对其进行研究。为方便起见，在此声明所有定义和定理都是对平衡点在n R上的原点，即0

x=时的情况而言。这样做并不失一般性，因为经过变量代换总可以把平衡点变换为原点。假设0

x1，经y x x

=-变换后，y的导数为

()()()

def

y x f x f y x g y

===+=

(2-9) 其中()00

g=，则对于新变量y，系统在原点处有平衡点。于是我们总假定()

f x满足()00

f=，并研究原点0

x=的稳定性。

定理 2.1[5]设0

x=是方程(2-8)的一个平衡点，n

D R

ì是包含原点的定义域。设:

V D R

?是连续可微函数，若

()00

V=,()0

V x>，{}

\0

x D

∈，(2-10)

()0

V x￡

，x D

∈。(2-11) 那么原点0

x=是稳定的。此外，若

()0

V x<

，{}

\0

x D

?(2-12) 那么原点0

x=是渐近稳定的。

定理 2.2[5]设0

x=是方程(2-4)，:n

V R R

?是一个连续可微函数，且满足

()00

V=且()

V x>0，0

x"(2-13)

当x 时，()

V x (2-14)

()0

V x<

，0

x

"(2-15) 那么，0

x=是全局渐近稳定的。

注2.1：Lyapunov稳定性定理给出了保证系统稳定或渐近稳定的充分条件，但并没有指出这些条件是否为必要条件。也就是说我们在运用Lyapunov稳定性定理分析系统稳定性时，即使找不到满足稳定性或渐近稳定性条件的Lyapunov函数也不能说系统就是不稳定或不是渐近稳定的。

下面利用定理2.1和定理2.2对单摆系统的稳定性进行分析。首先考虑以下无摩擦的单摆系统：

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊

12

21

sin

x x

x a x

=

= -

(2-16) 其中0

a>为常数，选取Lyapunov函数为：

()()2

12

1

1cos

2

V x a x x

=-+(2-17) 显然，()00

V=且在区间22

x

p p

-<<内()

V x是正定的。()

V x沿系统(2-16)解轨迹的

导数为

()

11222121

sin sin sin0

V x ax x x x ax x ax x

=+=-=(2-18)

因此，满足定理2-1的条件式（2-10）和（2-11），所以原点()()

12

,0,0

x x=是稳定的。又由()0

V xo

可知原点不是渐近稳定的，因为在所有未来时刻始于Lyapunov曲面()

V x c

=内的轨迹始终保持在同一平面内。

下面我们考虑如下具有摩擦的单摆系统：

12

212

sin

x x

x a x bx

=

= --

(2-19) 其中,0

a b>为常数，仍然选择()()2

1

12

2

1cos

V x a x x

=-+作为Lyapunov函数，()

V x沿系统(2-19)解轨迹的导数为：

()2

11222

sin

V x ax x x x bx

=+=-

(2-20) 导数()

V x

是半负定的，而不是负定的，因为无论

1

x取何值，当20

x=时都有()0

V x=

。

也就是说，沿着

1

x轴恒有()0

V x=

，由此仅可得出原点是稳定的结论。然而，从单摆方程的相图已得出当0

b>时原点()()

12

,0,0

x x=是渐近稳定的结论，而能量Lyapunov 函数却不能说明这一点，这说明()

V x的选择不太理想。

现在，寻找一个具有负定()

V x

的Lyapunov函数()

V x。从能量Lyapunov函数入手，用更为一般的二次型()

12T x Px代换()2

2

12x，即

()()

[]()

1

1

2

2

1

121

2

1cos

1

22

1cos

1

2

T

V x x Px a x

b

b

x

x x a x

x

b

1

2

=+-

轾

犏

轾

犏

犏

=+-

犏

犏

犏臌

犏

犏臌

(2-21)

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊

()

V x沿系统(2-19的)导数()

V x

为

()()

()

2

12121212

22

2111122

1

sin sin

222

1

11sin sin

2222

b b

V x b x x a x x x x a x bx

b b b

a x x a x x

b b x x b x

骣骣

鼢

珑

=+++--

鼢

珑鼢

珑桫桫

骣骣

鼢

珑

=--+-+-

鼢

珑鼢

珑桫桫

(2-22) 则()

V x

为：

()2

112

11

sin

22

V x abx x bx

=--(2-23) 对于所有0x p

<<，有

11

sin0

x x>。取{}

2

D x R x:p

=?，则在D上()

V x是正定的，而()

V x

是负定的。这样就可以根据定理2.1推出原点是渐近稳定的。

2.4 LaSalle不变原理分析单摆系统的稳定性

上一节强调了Lyapunov稳定性定理的一个重要特征，即定理的条件只是充分条件。没有满足稳定性或渐近稳定性条件的Lyapunov函数，并不意味着平衡点不是稳

定的或渐近稳定的，它只能说明这种稳定性质不能用选择的Lyapunov确定。只有通过进一步分析，才能确定平衡点是否稳定或渐近稳定，下面给出LaSalle定理。

定理 2.3[10]设D

W 是方程(2-4)的一个正不变紧集。设:

V D R

?是连续可微函数，且在W内满足()0

V x￡

。设()

{}0

E x V x

=∈Ω:=

，满足()0

V x=

，M是E内的最大不变集。那么当t 时，始于W内的每个解都趋于M。

证明：设()

x t是方程(2-4)始于W内的解。由于在W内有()0

V x

￡，所以()

()

V x t是t的递减函数。由于()

V x紧集W上连续，所以在W下方有界，因此当t 时()

()

V x t有极限a。因为W是闭集，所以正极限集+L在W内。对于任意p L+

?，存在序列n t，当n

时，

n

t ，()

n

x t p

?。根据()

V t的连续性，有()()

()

lim

n n

V p V x t a

==。因此，在

+

L上有()

V x a

=。由于+L是不变集(根据定理2.1)，故在+L上有()0

V x

=。因此

+

L M E

烫蘔(2-24)

由于()

x t有界，所以当t 时，()

x t趋于+L，因此当t 时，()

x t趋于M。

注2.2：与Lyapunov定理不同，定理2.1不要求函数()

V x正定。如果想要说明当t

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊时()0

x t?，就需要确定原点是E最大的不变集。通过证明除平凡解()0

x to以外，没

有其他解能保持在E内，即可做到这一点。由定理2.3可得到下面两个稳定性定理，两者都是定理2.1和定理2.2的拓展。

定理 2.4[10]设0

x=是方程(2-4)的一个平衡点，:

V D R

?是D上连续可微的正定函数，D包含原点0

x=，且在D内满足()0

V x

￡。设()

{}0

S x D V x

=? ，并假设除平凡解()0

x to之外，没有其他解同样保持在S内，那么原点是渐近稳定的。

定理2.5[10]设0

x=是方程(2-4)的一个平衡点，:n

V R R

?是连续可微且径向无界的正定函数，对于所有n

x R

?有()0

V x￡

。设()

{}0

n

S x R V x

=? ，并假设除平凡解()0

x to

之外，没有其他解同样保持在S内，那么原点是全局渐近稳定的。

注2-2：当()

V x

负定时，{}0

S=，那么定理2.4和定理2.5分别与定理2.1和定理2.2一致。

在上一节，我们利用Lyapunov稳定性定理分析单摆系统(2-12)的稳定性

12

212

sin,

x x

x a x bx

=

= --

(2-25) 其中,0

a b>为常数。我们选择()()2

12

1

1cos

2

V x a x x

=-+作为Lyapunov函数，却只能得到

()2

2

1

2

V x bx

=-≤

(2-26) 运用Lyapunov稳定性定理为了得到渐近稳定的结论，Lyapunov函数沿系统轨迹的导数必须是负定的，即()0

V x<

。故由(2-26)我们只能得出原点()()

12

,0,0

x x=是稳定的结论，而不是得出其渐近稳定的结论。

然而，由(2-26)可见()0

V x=

等价于

2

x=，只要20

x≠，总有()0

V x<

。而由()0

V x=

可得：

()()()

2211

0sin0sin0

x t x t a x x t

≡?=-≡?≡

(2-27)

故当

2

x=且()

1

,

xππ

∈-时，()()()

12

0,0,0

V x x x

=?=

，因此，()

()

V x t必定减小到零，并且当t→∞时，()0

x t→，这说明系统(2-12)是渐近稳定的。这一结论与系统

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊特性相一致，即由于摩擦力的作用，系统在运动中能量不可能保持不变。

如上所述，如果在原点的邻域内能够找到一个Lyapunov函数，其沿系统轨迹的导数是半负定的，并且如果能够确定除原点之外，轨迹不能保持在满足()0

V x=

的点上，那么原点就是渐近稳定的，这就是LaSalle不变原理的思想。

选择()12

2

1

s i n

2

x

V x a y d y x

=+

?(2-28)

令{}

2

1

D x R x

ππ

=∈:-<<。显然，()0,

V x x D

>?∈且

()

()

1122

21212

2

2

sin

sin sin

0,

V x ax x x x

ax x x a x bx

bx x D

=+

=+--

=-≤ ∈

(2-29) 若()0

V x=

，则有

2

x=因此{}

2

S x D x

=∈:=，进一步有

21

sin0

x a x

=-=

，从而1

x≡。

为求集合()

{}0

S x D V x

=∈:=

，注意到()()

2222

000

V x x h x x

=??

，因为a x a

-<<，因此，{}

2

S x D x

=?。设()

x t同样是属于S的一个解：

()()()

()()

22111

0000

x t x t h x t x t

恨恨恨

(2-30)

于是，能保持在S内的唯一解是平凡解()()

12

,0,0

x x=，因此原点是渐近稳定的。

注2.3：LaSalle定理不仅放宽了Lyapunov定理对函数沿系统的解的导数为负定的要求，而且从三个不同的方向扩展了Lyapunov定理。第一，LaSalle定理给出了吸引区的估计值，此估计值不必形如()

{}

n

c

x R V x c

W=危。定理2.3中的集合W可以是任何正的不变紧集。第二，LaSalle定理可用于有一个平衡点集的系统中，而不是只有一孤立平衡点的系统中。第三，函数()

V x不一定是正定的。

2.5 局部线性化法分析单摆系统的稳定性

所谓线性化，就是在一定的条件下作某种近似，或者缩小一些工作范围，而将非线性微分方程近似地作为线性微分方程来处理。为了绕过非线性系统对于大部分元件和系统来说，当信号或变量变化范围不大或非线性不太严重时，都可以近似地线性化，即用线性化数学模型来代替非线性数学模型。

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊定理 2.6[11] 当且仅当对于任意给定的正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P满足Lyapunov方程T

PA A P Q

+=-，那么A就是Hurwitz矩阵，即A的所有特征值都满

足R e0

i

l<。此外，如果A是Hurwitz矩阵，那么P就是方程的唯一解。

证明：由定理2.1的Lyapunov函数()T

V x x Px

=可得其充分性，为了证明必要性，假

设A的所有特征值都满足R e0

i

l<，并考虑矩阵P，其定义为

()()

exp exp

T

P A t Q At dt

∞

=?(2-31) 被积函数是形如()

1exp

k

i

t t

λ

-的各项之和，其中R e0

i

l<，因此积分存在。矩阵P是对称的且正定的。正定的证明如下：假设P不是正定的，那么存在一个向量0

x≠，使0

T

x Px=。然而

()()

()

0exp exp0

exp0,00

T T T

x Px x A t Q At dt

At x t x

∞

=?=

=≡ ?≥?=

?(2-32) 由于()

exp At对于所有t都是满秩的，与假设相矛盾，所以P是正定的。现在，把式代入方程的左边，得

()()()()

()()()()

00

exp exp exp exp

exp exp exp exp

T T T T

T T

PA A P A t Q At dt A A t Q At dt

d

A t Q At dt A t Q At Q

dt

∞∞

∞

∞

+=+

===-

??

?

(2-33) 该式表明P确实是方程T

PA A P Q

+=-的一个解。为了证明他是唯一的解，假设存在另一个解P P

≠

，则

()()0

T

P P A A P P

-+-=

(2-34) 左乘()

exp T A t，右乘()

exp At，得

()()()()()()()

{} 0exp exp exp exp

T T T

d

A t P P A A P P A t A t P P A t

dt

??

=-+-=-

??

(2-35) 因此，()()()

e x p e x p

T

A t P P A t t

-≡ ?

常数

特别地，由于()

exp0

A I

=，有()()()()

exp exp0

T

P P A t P P At

-=-→

当t→∞

因此，P P

=

。

对Q的正定要求可以放宽，Q可以为半正定矩阵，形式为T

Q C C

=?，其中矩阵对

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊()

,A C是可测的。

定理 2.7[11] 设0

x=是非线性系统

()

x f x

=

(2-36) 的一个平衡点，其中:n

f D R

→是连续可微的，且D为原点的一个领域。设

()

x

f

A x

x=

?

=

?

(2-37) 那么，

（1）如果A的所有特征值都满足R e0

i

λ<，则原点是渐近稳定的；

（2）如果A至少有一个特征值满足R e0

i

λ>，则原点是不稳定的。

定理2.6提供了确定原点处平衡点稳定性的简单步骤。首先计算雅可比矩阵

x

f

A

x=

?

=

?

(2-38)

并验证其特征值，如果对于所有i有R e0

i

λ<，或对某些i有R e0

i

λ>，那么原点就分

别是渐近稳定的或非稳定的。注意，定理2.6并未涉及到对于所有i，R e0

i

λ≤，以

及对于某些i，R e0

i

λ=的情况。此时，线性化不能确定平衡点的稳定性。

考虑单摆系统(2-25)

12

212

sin

x x

x a x bx

=

=--

(2-25)

系统有两个平衡点()()

12

=0,0

x，x和()()

12

=,0

x x

，p。我们用线性化分析这两个点的稳

定性。首先计算系统的雅可比矩阵：

11

12

1

22

12

01

cos

f f

x x

f

a x b

f f

x

x x

轾抖

犏

犏轾

抖

?

犏犏

==

犏犏--

抖

?臌

犏

犏抖

臌

。(2-39) 为了确定原点的稳定性，计算0

x=时的雅可比矩阵，有

01

x

f

A

a b

x=

轾

?

犏

==

犏--

?臌

，(2-30) 则A的特征值为：

1

1,22

b

l=-?(2-31)

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊当,0

a b>时，特征值满足R e0

i

l<。因此，原点处的平衡点是渐近稳定的。

在不计摩擦力的情况下()0

b=，矩阵A的两个特征值都在虚轴上，因此不能确定线性化后原点的稳定性。但在2.3节中，我们用Lyapunov函数法分析了这种情况在(系统(2-16))得出了系统在原点处是稳定的。

为了确定平衡点()()

12

=,0

x x

，p的稳定性，先计算该点的雅可比矩阵。这等价于

进行变量代换

1122

z x z x

p

=-=

，把平衡点平移到原点，并计算0

z=

时的雅可比矩阵[]

f z

抖，

12

,0

01

x x

f

A

a b

x p==

轾

?

犏

==

犏-

?臌

(2-32) A 的特征值为：

1

1,22

b

l=-?(2-33) 当0

a>且0

b3时，A在右半开平面内有一个特征值。因而，平衡点()()

12

=,0

x x

，p是非稳定的。

2.6 本章小结

在用Lyapunov定理分析系统(2-19)时，为了得到渐近稳定的特性，选择的Lyapunov函数的导数必须的负定的，这是一个比较苛刻的条件。而在分析系统(2-19)时我们只能得出Lyapunov函数的导数是半负定的结论，于是我们就使用LaSalle不变原理对系统(2-19)进一步分析，并最终得到渐近稳定的结论。

第三章单摆系统的反馈控制

本章将利用非线性系统控制设计中常用的几种工具来讨论单摆系统的控制，包括线性化，积分控制，反馈线性化和(利亚普诺夫)再设计。根据不同的设计目的，控制问题有几种不同的表示，如稳定性控制、跟踪控制及扰动抑制控制或衰减控制（或其组合），由此产生了多种控制问题。不论哪种控制问题，都可以利用状态反馈或输出反馈，前者的所有状态变量都是可测的，后者只有输出向量是可测的，一般来说，输出向量的维数小于状态向量维数。

实验八 非线性控制系统分析

实验八非线性控制系统分析 【实验目的】 1.掌握二阶系统的奇点在不同平衡点的性质。 2.运用Simulink构造非线性系统结构图。 3.利用Matlab绘制负倒描述函数曲线，运用非线性系统稳定判据进行稳定性分析，同 时分析交点处系统的运动状态，确定自振点。 【实验原理】 1.相平面分析法 相平面法是用图解法求解一般二阶非线性系统的精确方法。它不仅能给出系统稳定性信息和时间特性信息，还能给出系统运动轨迹的清晰图像。 设描述二阶系统自由运动的线性微分方程为 分别取和为相平面的横坐标与纵坐标，并将上列方程改写成 上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率。从式中看出在及，即 坐标原点(0,0)处的斜率。这说明，相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值的确定，相平面上的这类点成为奇点。 无阻尼运动形式()对应的奇点是中心点； 欠阻尼运动形式()对应的奇点是稳定焦点； 过阻尼运动形式()对应的奇点是稳定节点； 负阻尼运动形式()对应的奇点是不稳定焦点； 负阻尼运动形式()对应的奇点是不稳定节点； 描述的二阶系统的奇点(0,0)称为鞍点，代表不稳定的平衡状态。2.描述函数法 设非线性系统经过变换和归化，可表示为非线性部分与线性部分相串联的典型反馈结构如图所示。 从图中可写出非线性系统经谐波线性化处理线性化系统的闭环频率响应为

由上式求得图中所示非线性系统特征方程为 ，还可写成 其中 称为非线性特性的负倒描述函数。若有 使上式成立，便有 或 ，对应着一个正弦周期运动。若系统扰动后，上述周期运 动经过一段时间，振幅仍能恢复为 ，则具有这种性质的周期运动，称为自激振荡。 可见自激振荡就是一种振幅能自动恢复的周期运动。周期运动解 可由特征方程式 求得，亦可通过图解法获得。 由等式在复数平面上分别绘制 曲线和 曲线。两曲线的 交点对应的参数 即为周期运动解。有几个交点就有几个周期运动解。至于该解是 否对应着自激振荡状态，取决于非线性系统稳定性分析。 【实验内容】 1. 相平面分析法 （1）二阶线性系统相平面分析不同奇点的性质 例8-1 设一个二阶对象模型为 2 2 2 ()2n n n G s s s ωξωω= ++ 绘制2,n ωζ=分别为0.5、-0.5、1. 25、0时系统的相平面图及2 4()4 G s s = -的相平面图。 图8-1 当2,0.5n ωζ==时，系统的单位阶跃响应曲线和相平面图

非线性控制系统分析

3描述函数法一．本质非线性特性的谐波线性化 1．谐波线性化具有本质非线性的非线性元件在正弦输入作用下在其非正弦周期函数的输出响应中假设只有基波分量有意义从而将本质非线性特性在这种假设下视为线性特性的一种近似 3．应用描述函数法分析非线性系统的前提 a 非线性特性具有奇对称心 b非线性系统具有图a所时的典型结构 c非线性部分输出xt中的基波分量最强 d非线性部分Gs的低通滤波效应较好 b非线性特性的描述函数的求取方法二．典型非线性特性的描述函数 1饱和特性的描述函数 2死区特性描述函数 3间隙特性的描述函数 1 引言第七章非线性控制系统分析非线性指元件或环节的静特性不是按线性规律变化非线性系统如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节则称这类系统为非线性系统其特性不能用线性微分方程来描述一．控制系统中的典型非线性特性下面介绍的这些特性中一些是组成控制系统的元件所固有的如饱和特性死区特性和滞环特性等这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的另一些特性则是为了改善系统的性能而人为加入的如继电器特性变增益特性在控制系统中加入这类特性一般来说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性非线性系统分析饱和特性 2死区特性危害使系统输出信号在相位上产生滞后从而降低系统的相对稳定性使系统产生自持振荡危害使系统输出信号在相位上产生滞后从而降低系统的相对稳定性使系统产生自持振荡 4继电器特性功能改善系统性能的切换元件 4继电器特性特点使系统在大误差信号时具有较大的增益从而使系统响应迅速而在小误差信号时具有较小的增益从而提高系统的相对稳定性同时抑制高频低振幅噪声提高系统响应控制信号的准确度本

非线性控制系统研究2

一． 问题描述 锅炉气温状态变反馈控制系统 主气温控制对象4221) 8.151(45.2)141(589.1)()()(s s s W s W s W o o O ++== 已知燃烧扰动通道：2) 125(1)(+=s s W d （1）对电站锅炉气温PID 控制系统加入死区模块。 （2）比较非线性参数变化后对系统的影响。 二． 理论方法分析 在实际中，几乎所有的控制系统中都存在非线性元件，或者是部件中含有非线性。在一些系统中，人们甚至还有目的地应用非线性部件来改善 系统性能。 自动控制系统的非线性特性，主要是由受控对象、检测传感元件、执行机构、调节机构和各种放大器等部件的非线性特性所造成的。在一个控制系统中，只有包含有一个非线性元件，就构成了非线性控制系统。在自动控制系统中经常遇到的典型非线性特性有饱和特性、死区（即不灵敏区）特性、间隙特性、摩擦（即阻尼）特性、继电器特性和滞环特性等。这些非线性特性一般都会对控制系统的正常工作带来不利的影响。但是，在有些情况下，也可以利用某些非线性特性（例如继电器特性、变放大系数特性等）来改善控制系统，是指比纯线性系统具有更为优良的动态性能。下面就三种典型非线性特性，及非别对自动控制系统的影响。 饱和特性的特点是当输入信号x 的绝对值超过线性部分的宽度时，其输出信号y 不再随输入的变化而变化，将保持为一个常数值。这相当于通过这一饱和非线性元件或环节的平均放大系数（增益）下降了。这就是放大器的饱和输出特性。试验研究表明，它可能是系统的过程时间家常和稳态误差增加，也可能使系统的振荡性减弱（振幅下降，振荡频率降低）。对于发散振荡的系统，由于饱和特性的影响，可以转化为自激荡的系统。 死区特性的特点是当输入信号x 的绝对值不超过死区宽度时，死区非线性元件或环节将无信号输出，只有当输入信号大于死区宽度后，才会有输出信号，并与输入信号呈线性关系。死区对控制系统的影响，首先是造成系统的稳定误差。一般不会加强过度过程中的振荡性，振荡强度下降，从而增加了系统的稳定性，

非线性控制理论和方法

非线性控制理论和方法 姓名：引言 人类认识客观世界和改造世界的历史进程，总是由低级到高级，由简单到复杂，由表及里的纵深发展过程。在控制领域方面也是一样，最先研究的控制系统都是线性的。例如，瓦特蒸汽机调节器、液面高度的调节等。这是由于受到人类对自然现象认识的客观水平和解决实际问题的能力的限制，因为对线性系统的物理描述和数学求解是比较容易实现的事情，而且已经形成了一套完善的线性理论和分析研究方法。但是，现实生活中，大多数的系统都是非线性的。非线性特性千差万别，目前还没一套可行的通用方法，而且每种方法只能针对某一类问题有效，不能普遍适用。所以，可以这么说，我们对非线性控制系统的认识和处理，基本上还是处于初级阶段。另外，从我们对控制系统的精度要求来看，用线性系统理论来处理目前绝大多数工程技术问题，在一定范围内都可以得到满意的结果。因此，一个真实系统的非线性因素常常被我们所忽略了，或者被用各种线性关系所代替了。这就是线性系统理论发展迅速并趋于完善，而非线性系统理论长期得不到重视和发展的主要原因。控制理论的发展目前面临着一系列严重的挑战, 其中最明显的挑战来自大范围运动的非线性复杂系统, 同时, 现代非线性科学所揭示的分叉、混沌、奇异吸引子等, 无法用线性系统理论来解释, 呼唤着非线性控制理论和应用的突破。 1.传统的非线性研究方法及其局限性 传统的非线性研究是以死区、饱和、间隙、摩擦和继电特性等基本的、特殊的非线性因素为研究对象的, 主要方法是相平面法和描述函数法。相平面法是Poincare于1885年首先提出的一种求解常微分方程的图解方法。通过在相平面上绘制相轨迹, 可以求出微分方程在任何初始条件下的解。它是时域分析法在相空间的推广应用, 但仅适用于一、二阶系统。描述函数法是 P. J.Daniel于1940

机电系统非线性控制方法的发展方向

机电系统非线性控制方法的发展方向 摘要 控制理论的发展经过了经典控制理阶段和现代控制理论阶段。但是两者所针对的主要是线性系统。然而，实际工程问题中所遇到的系统大多是非线性的，采用上述两种理论只能是对实际系统进行近似线性化。在一定范围内采用这种近似现行化的方法可以达到需要的精度。但是在某些情况下，比如本质非线性就无法采用前述方法。这种情况下就必须采用非线性控制理论。 非线性控制的经典方法主要有相平面法，描述函数法，绝对稳定性理论，李亚普诺夫稳定性理论，输入输出稳定性理论。但是这些经典理论存在着局限性，不够完善。 随着非线性科学的发展，一些新的方法随之产生。最新的发展成果主要有：微分几何法，微分代数法，变结构控制理论，非线性控制系统的镇定设计，逆系统方法，神经网络方法，非线性频域控制理论和混沌动力学方法。这些新成果对于解决非线性系统的控制问题，完善非线性系统理论具有重要作用，也是今后非线性系统控制的发展方向。 关键词非线性控制；最新发展成果；发展方向

引言 迄今为止，控制理论的发展经过了经典控制理论和现代控制理论阶段。经典控制阶段主要针对的是单输入单输出（SISO）线性系统，通过在时域和频域内对系统进行建模实现对系统的定量和定性分析，经典控制理论在工程界得到了广泛的应用，而且经典控制方法已经形成了完善的理论体系。然而，随着科学技术的发展，经典控制方法也暴露出了其自身的缺陷，经典控制方法并不关心系统内部的状态变化，而只是局限于将被控对象看作一个整体，并不能准确了解系统内部的状态变化。为了克服经典控制方法的这种缺陷，现代控制方法产生了。现代控制理论只要是在时域内对系统进行建模分析，通过建立系统的状态方程，了解系统内部的状态变化，对系统的了解更加全面透彻。该理论主要针对多输入多输出（MIMO）的线性系统。经典控制理论和现代控制理论的结合使得控制理论在线性问题的控制上达到了完善的地步，在工程界得到了广泛的应用。 然而，经典控制论和现代控制论所针对的是线性系统，实际问题大多是非线性系统，早期的处理方法是将非线性问题线性化，然后再应用上述两种理论。这种方法在一定的范围和精度内可以很好的满足工程需要。随着科学技术的发展，上述两种方法遇到了挑战，例如本质非线性问题，这种问题无法进行局部线性化。因此，要解决这类问题就必须要有一套相应的非线性控制理论。 本文通过阐述控制理论的发展过程中各种理论的应用范围和局限性，特别是针对非线性问题的处理方法，介绍了非线性控制理论要解决的问题，非线性控制的经典方法和最新发展成果，并阐述了非线性控制理论的发展方向。

分析非线性系统的方法

非线性系统稳定性问题的判定方法和发展趋势 任何一个实际系统总是在各种偶然和持续的干扰下运动或工作的。所以，当系统承受干扰之后，能否稳妥地保持预订的运动轨迹或者工作状态，即系统的稳定性是首要考虑的。一个系统的稳定性，包括平衡态的稳定性问题和任一运动的稳定性问题。而对于给定运动的稳定性可以变换成关于平衡点的稳定性问题。 对平衡点的稳定性进行分析可将平衡点的稳定性定义为李雅普诺夫稳定、一致稳定、渐进稳定、一致渐近稳定、按指数渐进稳定和全局渐进稳定，除了全局渐进稳定，其他都是局部的概念。 非线性系统的数学模型不满足叠加原理或其中包含非线性环节。包括非本质非线性（能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性）和本质非线性（用小偏差线性化方法不能解决的非线性）。它与线性系统有以下主要区别： 1．线性控制系统只能有一个平衡点或无穷多的平衡点。但非线性系统可以有一个、二个、多个、以至无穷多个平衡点。非线性系统与线性定常系统明显不同，其稳定性是针对各个平衡点而言的。通常不能说系统的稳定性如何，而应说那个平衡点是稳定的或不稳定的。2．在线性系统中，系统的稳定性只与系统的结构和参数有关，而与外作用及初始条件无关。非线性系统的稳定性除了与系统的结构和参数有关外，还与外作用及初始条件有关。 由于非线性控制系统与线性控制系统有很大的差异，因此，不能直接用线性理论去分析它，否则会导致错误的结论。对非线性控制系统的分析，还没有一种象线性控制系统那么普遍的分析、设计方法。 现代广泛应用于非线性系统上的分析方法有基于频率域分析的描述函数法和波波夫超稳定性，还有基于时间域分析的相平面法和李雅普诺夫稳定性理论等。这些方法分别在一定的假设条件下，能提供关于系统稳定性或过渡过程的信息。而计算机技术的迅速发展为分析和设计复杂的非线性系统提供了有利的条件。另外，在工程上还经常遇到一类弱非线性系统，即特性和运动模式与线性系统相差很小的系统。对于这类系统通常以线性系统模型作为一阶近似，得出结果后再根据系统的弱非线性加以修正，以便得到较精确的结果。摄动方法是处理这类系统的常用工具。而对于本质非线性系统，则需要用分段线性化法等非线性理论和方法来处理。目前分析非线性控制系统的常用方法如下： 1、线性化方法 采用线性化模型来近似分析非线性系统。 这种近似一般只限于在工作点附近的小信号情况下才是正确的。这种线性化近似，只是对具有弱非线性（或称非本质非线性）的系统。 常用线性化方法，有正切近似法和最小二乘法。 此外，对一些物理系统的非线性特性比较显著，甚至在工作点附件的小范围内也是非线性的，并且不能用一条简单的直线来代表整个非线性系统特性的系统，可采用分段线性化方法。2、相平面法 相平面法是一种基于时域的分析方法，一种用图解法求解一、二阶非线性常微分方程的方法。 该方法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上的相轨迹，从而比较直观、准确地反映系统的稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响。相轨迹的绘制方法步骤简单、计算量小，特别适用于分析常见非线性特性和一阶、二阶线性环节组合而成的非线性系统 对于分段线性的非线性系统来说，相平面分析法的步骤为： （1）用n条分界线（开关线，转换线）将相平面分成n个线性区域；（2）分别写出各个线性区域的微分方程；（3）求出各线性区的奇点位置并画出相平面图；

非线性系统稳定性问题的判定方法和发展趋势

非线性系统的概念及稳定性问题的判定方法和发展趋势 姓名：查晓锐 学号：121306060006 线性系统理论自20世纪50年代以来不仅已在理论上逐步完善，也已成功的应用于各种国防和工业控制问题。随着现代工业对控制系统性能的要求不断提高，传统的线性反馈控制已很难满足各种实际需要。这是因为大多数实际控制系统往往是非线性的，采用近似的线性模型虽然可以使我们更全面和容易的分析系统的各种特性，但是却很难刻画出系统的非线性本质，线性系统的动态特性已不足以解释许多常见的实际非线性现象。另一方面，计算机及传感器技术的飞速发展，也为我们实现各种复杂非线性控制算法奠定了硬件基础。因此自20世纪80年代以来，非线性系统的控制问题受到了国内外控制界的普遍关注。 非线性科学是当今世界科学的前沿与热点，涉及自然科学和人文社会科学的众多领域，具有重大的科学价值和深刻的哲学方法论意义。但迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，并没有清晰的、完整的认识，对其哲学意义也没有充分地开掘。 一、 非线性的概念 非线性是相对于线性而言的，对线性的否定，线性是非线性的特例。所以要弄清非线性的概念，明确什么是非线性，首先必须明确什么是线性；其次对非线性的界定必须从数学表述和物理意义两个方面阐述，才能较完整地理解非线性的概念。 对线性的界定，一般是从相互关联的两个角度来进行的。其一：叠加原理成立“ 如果1Φ，2Φ 是两个那么21Φ+Φβα也是它的一个解，换言之，两个态的叠加仍然是一个态。”原理成立意味着所考查系统的子系统间没有非线性相互作用。其二，物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量，这意味着函数的斜率在其定义域内处处存在且相等，量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的。 在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定。其一 ：“定义非线性算符()ΦN 为对一些 a ，b 或Φ，ψ不满足)()()(ψ+Φ=ψ+ΦbL aL b a L 的算符 即叠加原理不成立。”这意味着Φ与ψ之间存在藕合，对ψ+Φb a 的操作，等于分别对Φ，ψ操作外，再加上对Φ与ψ的交叉项（耦合项）操作，或者Φ、ψ是不连续有突变或断裂、不可微有折点的。其二：作为等价的另一种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性在用于描述一个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的一个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的。换言之：变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方。概括地说：物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不

非线性控制系统分析样本

第八章非线性控制系统分析 教学目的: 经过学习本章, 使学生掌握秒素函数法与相平面法分析非线性系统的理论基础与应用。 教学要求: (1) 认识非线性系统区别于线性系统的运动过程特点. (2) 掌握描述函数法和相平面法的特点及应用范围. (3) 明确函数的定义及相关概念, 熟悉典型非线性的妙描述和负倒描述函数特 性, 掌握用描述函数法分析非线性系统的稳定性和分析自振, 计算自振参数的方法. 教学课时: 12 学时 教学重点: (1) 非线性的相关概念. (2) 典型系统的相平面表示. (3) 典型非线性系统的描述函数形式. 教学难点: 非线性系统的描述函数求法; 利用负倒数法分析系统稳定性. 本章学时: 12 学时 主要内容: 非线性系统的概述 8.1 描述函数法 8.2 相平面法分析线性控制系统 8.3 8.4利用非线性特性改进系统的控制性能 8.1 非线性系统的概述 8.1.1 非线性模型

㈠组成 -------- x ------ 非线性环节----------- 线性环节---------- 组成: 非线性环节+线性环节 ㈡. 分类 ①从输入输出关系上分: 单值非线性 非单值非线性 1，从形状特性上分: 饱和 死区 回环 继电器 ㈢特点 稳定性与结构, 初始条件有关; 响应 ㈣分析方法 注意: 不能用叠加原理 1. 非线性常微分方程没有同意的求解方法, 只有同意求近似解的方法: a. 稳定性（时域, 频域） : 由李亚普洛夫第二法和波波夫法判断 b. 时域响应: 相平面法（实际限于二阶非线性系统）较精确, 因高阶作用 太复杂 描述函数法：近似性，高阶系统也很方便 研究非线性系统并不需求得其时域响应的精确解，而重要关心其时域响应的性质，

非线性控制系统分析样本

第八章非线性控制系统分析 教学目的 : 经过学习本章, 使学生掌握秒素函数法与相平面法分析非线性系统的理论基础与应用。 教学要求: (1)认识非线性系统区别于线性系统的运动过程特点. (2)掌握描述函数法和相平面法的特点及应用范围. (3)明确函数的定义及相关概念,熟悉典型非线性的妙描述和负倒描述函数 特性,掌握用描述函数法分析非线性系统的稳定性和分析自振,计算自振参数的方法. 教学课时: 12学时 教学重点: (1) 非线性的相关概念. (2) 典型系统的相平面表示. (3) 典型非线性系统的描述函数形式. 教学难点: 非线性系统的描述函数求法; 利用负倒数法分析系统稳定性. 本章学时: 12学时 主要内容: 8.1 非线性系统的概述 8.2 描述函数法 8.3 相平面法分析线性控制系统 8.4 利用非线性特性改进系统的控制性能

8.1非线性系统的概述 8.1.1 非线性模型 ㈠组成 ---------x-------非线性环节---------线性环节------------ 组成: 非线性环节+线性环节 ㈡. 分类 ①从输入输出关系上分: 单值非线性 非单值非线性 1，从形状特性上分: 饱和 死区 回环 继电器 ㈢特点 稳定性与结构, 初始条件有关 ; 响应 ㈣分析方法 注意: 不能用叠加原理 1. 非线性常微分方程没有同意的求解方法, 只有同意求近似解的方法: a. 稳定性( 时域, 频域) : 由李亚普洛夫第二法和波波夫法判断 b. 时域响应: 相平面法( 实际限于二阶非线性系统) 较精确, 因高阶作用

太复杂 描述函数法: 近似性, 高阶系统也很方便 研究非线性系统并不需求得其时域响应的精确解, 而重要关心其时域响应的性质, 如: 稳定性, 自激震荡等问题, 决定它的稳定性范围, 自激震荡的条件, 震荡幅度与频率等。 2，死区继电器: f(e) +m -△e 3 4.滞环特性( 间隙) -m

第八章非线性控制系统分析习题与解答

第八章 非线性控制系统分析习题与解答 7-1 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为 (1) G s s s ()(.)= +1011 (2) G s s s ()()=+2 1 (3) G s s s s s ()(.) ()(.) =+++21511011 试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？ 解 线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图所示。 由对数幅频特性曲线可见，L 2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统（2）的描述函数法分析结果的准确程度较高。 7-2 将图示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。 解 (a) 将系统结构图等效变换为图(a)的形式。 G s G s H s ()()[()]=+111 (b) 将系统结构图等效变换为图(b)的形式。 G s H s G s G s ()() () () =+1111

7-3 判断题7-41图中各系统是否稳定；)(1A N -与)(ωj G 两曲线交点是否为自振点。 解 （a ） 不是 (b) 是 (c) 是 (d) c a 、点是，b 点不是 (e) 是 (f) a 点不是，b 点是 (g) a 点不是，b 点是 (h) 系统不稳定 (i) 系统不稳定 (j) 系统稳定 7-4 已知非线性系统的结构如图所示 图中非线性环节的描述函数为N A A A A ()()=++>6 2 试用描述函数法确定： （1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的Ｋ值范围； （2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。 解 （1） -=-++126N A A A ()(), -=--∞=-101 3 1 1N N (),() dN A dA A ()()=-+<4 202 N(A)单调降，)(1A N -也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线)(1A N -和 G j ()ω曲线如图所示，可看出，当K 从小到大变化时， 系统会由稳定变为自振，最终不稳定。 求使 Im[G j ()]ω=0 的ω值： 令 ∠=-?-=-?G j arctg ()ωω902180 得 arctg ωω=?=451,

实验五 线性系统的稳定性和稳态误差分析

实验五 自动控制系统的稳定性和稳态误差分析 一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响； 3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。 二、实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。 （1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 0.2( 2.5) ()(0.5)(0.7)(3) s G s s s s s += +++，用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性， 并绘制闭环系统的零极点图。 在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) dc=Gctf.den dens=poly2str(dc{1},'s') 运行结果如下： dens= s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5 dens 是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB 程序代码： den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5]

p=roots(den) 运行结果如下： p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i -0.0971 - 0.3961i p为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。 下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) [z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v') pzmap(Gctf) grid 运行结果如下： z = -2.5000 p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i -0.0971 - 0.3961i k = 0.2000

自动控制原理-第8章 非线性控制系统

8 非线性控制系统 前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。 8.1非线性控制系统概述 在物理世界中，理想的线性系统并不存在。严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。 图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。 图8-1 伺服电动机特性 8.1.1控制系统中的典型非线性特性 组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。 实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。常见典型非线性特性有饱和非线性、死区非线性、继电非线性、间隙非线性等。 8.1.1.1饱和非线性 控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制，都具有饱和特性。如图8-2所示，其中a x a <<-的区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。许多元件的运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。有时，工程上还人为引入饱和非线性特

非线性控制系统分析

实验八非线性控制系统分析 实验目的 1.掌握二阶系统的奇点在不同平衡点的性质。 2.运用Simulink构造非线性系统结构图。 3.利用Matlab绘制负倒描述函数曲线，运用非线性系统稳定判据进行稳定性分析，同时分析交 点处系统的运动状态，确定自振点。 实验原理 1.相平面分析法 相平面法是用图解法求解一般二阶非线性系统的精确方法。它不仅能给出系统稳定 性信息和时间特性信息，还能给出系统运动轨迹的清晰图像。 设描述二阶系统自由运动的线性微分方程为 片+ 2冲+承=0 分别取和为相平面的横坐标与纵坐标，并将上列方程改写成 dx _24/ +曲H 上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率。从式中看出在’「及—，即坐标原点（0,0）处的斜率灯‘以_门。这说明，相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值的确定，相平面上的这类点成为奇点。 无阻尼运动形式（二--）对应的奇点是中心点； 欠阻尼运动形式（「上」）对应的奇点是稳定焦点； 过阻尼运动形式（―-）对应的奇点是稳定节点； 负阻尼运动形式（：=二）对应的奇点是不稳定焦点； 负阻尼运动形式-）对应的奇点是不稳定节点； ■-描述的二阶系统的奇点（0,0）称为鞍点，代表不稳定的平衡状态。 2.描述函数法 设非线性系统经过变换和归化，可表示为非线性部分「与线性部分，相串联的典型反馈结构如图所示。

从图中可写出非线性系统经谐波线性化处理线性化系统的闭环频率响应为 ROM 由上式求得图中所示非线性系统特征方程为■- ，还可写成 呛曲）=- ….或4丁 丁，对应着一个正弦周期运动。若系统扰动后，上述周期运 动经过一段时 间，振幅仍能恢复为 A 二：，则具有这种性质的周期运动，称为自激振荡。 可见自激振荡就是一种振幅能自动恢复的周期运动。周期运动解 A 二：可由特征方程式 求得，亦可通过图解法获得。 由等式 宀小在复数平面上分别绘制|」 曲线和；， 曲线。两曲线的 交点对应的参数即为周期运动解。有几个交点就有几个周期运动解。至于该解是 否对应着自激振荡状态，取决于非线性系统稳定性分析。 实验内容 1?相平面分析法 （1）二阶线性系统相平面分析不同奇点的性质 例8-1设一个二阶对象模型为 绘制、=2, 分别为0.5、-0.5、1.25、0时系统的相平面图及G （s ）= 的相平面图 s 一4 num-4; den=[l 2 4]; daiup (d^n): h j d]=tfZss (num^ den): [巧 x, t]=st*p 〔包 b, Cj d)； subplot (2, 1, 1); plot (t,r );grid; subplot (2. 1,2); plot (X (：, 2),x(\ 1)) ; grid 其中称为非线性特性的负倒描述函数。若有 工使上式成立，便有 G(s)二 s 2 2、s

线性系统的稳定性分析

第三章 线性系统的稳定性分析 3.1 概述 如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够 的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统不稳定。一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。 应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系 统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。 本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫 稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。 虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地 位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。 3.2 外部稳定性与内部稳定性 3.2.1 外部稳定： 考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件： 1()u t k ≤<∞ 的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立： 2()y t k ≤<∞ 则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。 注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。 系统外部稳定的判定准则 系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。

非线性控制系统的相平面分析法讲解

7-5 非线性控制系统的相平面分析法 相平面法在分析非线性系统时是很有用处的。但是，我们在介绍非线性系统的分析方法之前，先讨论一下相平面法在分析线性二阶系统中的应用是很有好处的。因为许多非线性元件特性一般都可分段用线性方程来表示，所以非线性控制系统也可以用分段线性系统来近似。 一、线性控制系统的相平面分析 1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。若系统开始处于平衡状态。试求 系统在阶跃函数)(1)(0t R t r ?=　作用下，在e e -平面上的相轨迹。 建立系统微分方程式，由图示系统可得 Ke c c T =+ 因为c r e -=，代入上式得 r r T Ke e e T +=++ （7-31） 对于->?=0),(1)(0t t R t r 时，0)()(==t r t r 因此上式可写成 0=++Ke e e T （7-32） 方程（7-32）与（7-22）式相仿。因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条 件是0)0(R e =和0)0(=e 。e e -平面上的相轨迹起始于)0,(0R 点，而收敛于原点(系统的奇点)。当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a) 所示。根据e e -平面上的相轨迹就可方便的求得c c -平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P σ及系统在稳态时的误差 为零。因为e e -平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在c c -平面上相轨迹最终到达0R c =的稳态值，则奇点坐标为)0,(0R 。 2、斜坡响应 对于斜坡输入t V t r 0)(=；当0>t 时，)(t r 的导数0)(V t r = 及0)(=t r 。因此，方程（7-31）可以写成 0V Ke e e T =++ 或 0)(0 =-++K V e K e e T 令v e K V e =-0，代入上式，则有 0V Ke e e T =++ννν （7-33） 在v v e e -平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在e e -平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。 应当指出，特征方程式的根确定了奇点的性质，在v v e e -平面上的奇点的位置是坐标原点，而在e e -平面上奇点坐标为)0,(0K V 点。又因为我们假设系统初始状态为平衡状态。

非线性控制系统的分析

第8章 非线性控制系统的分析 重点与难点 一、基本概念 1. 线性与非线性系统的联系与区别 控制系统在不同程度上都存在着非线性。有些系统可以在工作点附近把它线性化，然后按线性系统来处理（如三级管放大器电路），但当系统含有本征非线性特性（如死区特性、继电器特性等）时，就不能用线性化的方法处理。死区特性将使系统出现较大的稳态误差。饱和特性将降低系统的超调量，有时还会引起稳定振荡。间隙特性可使系统的振荡加剧，静差也会增大，有时会使系统不稳定。继电器特性会出现低速爬行、蠕动及响应不平滑等现象。 与线性系统相比，非线性系统与线性系统的本质差别可以概括为以下三点： （1）线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统不能使用叠加原理； （2）线性系统的稳定性与初值、输入无关，而非线性系统的稳定性与初值、输入有关； （3）线性系统可以写出通解形式，而非线性系统无法写出通解形式。 2. 相平面分析法 以x ，x 为坐标的平面就叫相平面，系统的某一状态对应于相平面上的一点。相平面上的点随时间变化的轨迹叫相轨迹。 对应于二阶线性定常系统的相轨迹，可以对非线性系统进行分析，这种分析方法称为相平面分析法。 二阶线性定常系统的相轨迹如表8-1所示。 3. 极限环 非线性系统存在着稳定的振荡状态，在相平面图上可表示为一个孤立的封闭相轨迹。所有附近的相轨迹都渐近地趋向这个封闭的相轨迹，或离开该封闭的相轨迹，该相轨迹称为极限环。极限环分为稳定和不稳定等四种形式，如表8-2所示。 非线性系统可能没有极限环，也可能存在多个极限环。在相平面图形上，一个稳定的极限环就对应于一个自振状态。 4. 相平面做图法I —等倾线法 令dx x d a / =，即),(x x f a =。对于a 的不同取值，由),(x x f a =可得到x 与x 的不同关系式，而且在曲线),(x x f a =上，均具有相同的斜率a 。给出一组a ，就可近似

第七章非线性控制系统分析

291 第7章 非线性控制系统分析 非线性系统的形式和种类繁多，在构成控制系统的环节中，有一个或一个以上的环节具有非线性特性时，这种控制系统就属于非线性控制系统。本章所说的非线性环节是指输入、输出间的静特性不满足线性关系的环节。对于非线性控制系统，目前还没有通用的分析设计方法，这里主要介绍工程上常用的相平面分析法和描述函数法。 7.1 非线性控制系统概述 7.1.1 非线性现象的普遍性 组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。 实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。 7.1.2 控制系统中的典型非线性特性 在实际控制系统中所遇到的非线性特性是各式各样的。常见的典型非线性特性有下述几种： 1．饱和非线性特性 实际放大器只能在一定的输入范围内保持输出和输入之间的 线性关系；当输入超出该范围时，其输出则保持为一个常值。这 种特性称为饱和非线性特性，如图7-1所示，其中a x a <<-的 区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。许多元件的 图7-1 饱和非线性

292 运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。有时，工程上还人为引入饱和非线性特性以限制过载。 2．不灵敏区(死区)非线性特性 一般的测量元件、执行机构都存在不灵敏区。例如某些检测元件对于小于某值的输入量不敏感；某些执行机构接受到的输入信号比较小时不会动作，只有在输入信号大到一定程度以后才会有输出。这种只有在输入量超过一定值后才有输出的特性称为不灵敏区非线性特性，如图7-2所示。其中，?<

非线性控制系统分析

第七章非线性控制系统分析 一、教学目的及基本要求 1、理解非线性的含义 2、掌握典型非线性环节的特性 3、理解极限环的含义 4、掌握应用相平面法绘制相轨迹 ５、掌握应用描述函数法计算自持振荡的频率和振幅以及系统稳定性分析 二、重点与难点 1、典型非线性环节的特性描述 2、应用相平面法绘制相轨迹 3、应用描述函数法计算自持振荡的频率和振幅以及系统稳定性分析 三、授课内容与课时 第七章非线性控制系统分析（共8课时） ?（1）引言 ?（2）相平面法 ?（3）描述函数法 ?（4）利用非线性特性改善控制系统的性能 四、教学方法与手段 采用多媒体教学及其它方法

五、教学过程 7.1 引言 一般来说，组成系统的所有的元部件在不同程度上都具有非线性特性。 有些元部件在一定程度上，可以近似为线性系统，而有些元部件不能做线性化处理。凡不能做线性化处理的非线性特性均认为是“本质”型非线性，而能直接进行线性化的非线性特性称为非“本质”型非线性。与线性系统相比，非线性系统具有如下的特点： （1）非线性系统的输出与输入间不存在比例关系，不适用叠加原理。 （2）非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且还与输入 信号的大小和初始条件有关。对线性系统，其稳定性与外施信号、初始偏差的大小无关，只取决于系统的结构与参数。对非线性系统，其稳定性除了与系统的结构和参数有关外，还与其初始偏差及输入信号的大小有关。例如小初始偏差时系统是稳定的，大偏差可能不稳定，或者相反。对于这种情况，在非线性系统的分析中经常会碰到。 （3）自振荡。所谓自振荡，就是在无外施信号作用时，非线性系统产 生的具有固定振幅和频率的稳定振荡过程。而线性系统在等幅振荡时，系统处于临界稳定状态，只要系统中的参数稍有变化，系统就会由临界稳定状态或者趋于发散，或者变为收敛，等幅振荡将消失。所以线性系统的这种稳定是暂时性的。 （4）频率响应与线性系统不同。 当非线性系统的输入为一正弦信号时，它的输出一般都不是正弦信号，而是一个包含着各次谐波分量的非正弦周期性函数。因此，不能用分析线性系统的理论去分析非线性系统。 控制系统中元件的非线性特性有很多种，最常见的有饱和、死区、间隙和继电特性等。了解这些常见非线性特性和它们对系统性能的影响，将有助于了解非线性系统的特点。 1 饱和特性 x时，输出y为一常量。 饱和特性，如图7-1所示。由图可知，当输人x< 则上述的关系可用表达式（7-1）来表示。k为饱和特性线性范围内的系数。

非线性动力学分析方法

第一章非线性动力学分析方法（6学时） 一、教学目标 1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念； 2、掌握线性稳定性的分析方法； 3、掌握奇点的分类及判别条件； 4、理解结构稳定性及分支现象； 5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。 二、教学重点 1、线性稳定性的分析方法； 2、奇点的判别。 三、教学难点 线性稳定性的分析方法 四、教学方法 讲授并适当运用课件辅助教学 五、教学建议 学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。 六、教学过程

本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。 相空间和稳定性 一、动力系统 在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。 假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。有时，每个状态变量不但是时 间t 的函数而且也是空间位置r 的函数。如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。 ),,,(2111 n X X X f dt dX ),,,(2122 n X X X f dt dX (1.1.1) … ),,,(21n n n X X X f dt dX 其中 代表某一控制参数。对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是 i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。由于 i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。若 i f 明显地依赖时间t ，则称方程组为非自治动力系统。非自治动力系统可化为自治动力系统。 对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。 例如:)cos(t A x x