分段函数陈鑫
分段函数
一、 分段函数定义
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数,它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集。 二、 分段函数的考查点 1、 求分段函数的定义域和值域
例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x
x x +∈-??
=-∈??∈+∞?
的定义域、值域.
练1、设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，???≥-<++=)(,
)()
(,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域
是（ ） A ．),1(]0,49[+∞-
B ．),0[+∞
C ．),49[+∞-
D ．),2(]0,4
9
[+∞-
2．求分段函数的函数值
例2．已知函数2
|1|2,(||1)
()1,(||1)1x x f x x x --≤??
=?>?+?求12[()]
f f .
练2、定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =??
?>---≤-0
),2()1(0),
4(log 2x x f x f x x ，
则)3(f 的值为（ ）
A ．1- B. 2- C. 1 D. 2
3、给出函数?????<+≥=)
4()1()4()21()(x x f x x f x ，则=)3(log 2
f （ ）
A.823-
B. 111
C. 191
D. 24
1
4、函数2
1sin(),10,
(),0.
x x x f x e x π-?-<
A.1
B.2
- C.1
，2- D.1
,2
3．求分段函数的最值
例3．求函数43(0)
()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤??
=+<≤??-+>?
的最大值.
4．求分段函数的解析式
例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）
222(10)
.()2(02)x
x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10)
.()2(02)x
x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 22(12)
.()1(24)x
x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2
26(12)
.()3(24)x
x x D f x x -≤≤?=?-<≤?
y x
5．作分段函数的图像
例5．函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ）
A
C
D
6．判断分段函数的奇偶性
例6．判断函数22(1)(0)
()(1)(0)
x x x f x x x x ?-≥?=?-+
7．判断分段函数的单调性（考查具有隐含性，例如：与分段函数不等式有关的问题）
例7．判断函数3
2(0)
()(0)x x x f x x
x ?+≥?=?-
例8．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.
练5、已知(31)4,1
()log ,1
a a x a x f x x x -+?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是
（A ）(0,1) （B ）1(0,)3
（C ）11[,)73
（D ）1[,1)7
6、设函数???
??<->=)0()(log )0(log )(2
1
2x x x x
x f ，若)()(a f a f ->，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．)1,0()0,1( -
B ．),1()1,(+∞--∞
C ．),1()0,1(+∞-
D ．)1,0()1,( --∞
8．解分段函数的不等式
例9．设函数1221(0)()(0)x x f x x
x -?-≤?
=??>?, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ）
.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-?+∞ .(,1)(1,)D -∞-?+∞
例10．
设函数2(1)
(1)()4(1)
x x f x x ?+
A ．(,2][0,10]-∞-? B. (,2][0,1]-∞-? C. (,2][1,10]-∞-? D. [2,0][1,10]-?
练7、（2009天津卷）设函数???<+≥+-=0
,60
,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是
（ ）
A.),3()1,3(+∞?-
B.),2()1,3(+∞?-
C.),3()1,1(+∞?-
D.)3,1()3,(?--∞
8、设函数1
0221,0,()()1,
0x x f x f x x x -?-≤?
=>??>?若，则0x 的取值范围是（ ） A ．)1,1(- B ．),1-(+∞
C ．),0()2,(+∞--∞
D ．),1()1,(+∞--∞
8．解分段函数的方程（包括函数零点问题）
例11、设函数812(,1]()log (1,)
x x f x x x -?∈-∞=?∈+∞?, 则满足方程1()4f x =的x 的值为
练9、设???>-≤-=-)
0)(1()
0(3)(x x f x a x f x ，若x x f =)(有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．]2,1[
B ．()2,∞-
C ．[)+∞,1
D ．(]1,∞-
10、函数2x +2x-3,x 0
x)=-2+ln x,x>0
f ?≤?
?（的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
11.函数2
44
1()431
x x f x x x x -≤?=?-+>?， ，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
分段函数的实际应用-教案
分段函数的实际应用 清远工贸职业技术学校数学组 教师：陈学军班级：15春数控1班课时安排：1课时 课程分析 职业高中数学课程教学是专业建设与专业课程体系改革的一部分，应与专业课教学融为一体，立足于为专业课服务，解决实际生活中常见问题，结合中职学生的实际，强调数学的应用性，以满足学生在今后的工作岗位上的实际应用为主，这也体现了新课标中突出应用性的理念。 分段函数的实际应用在本课程中的地位： （1）函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中，分段函数在科技和生活的各个领域有着十分广泛的应用。 （2）本节所探讨学习分段函数在生活生产中的实际问题上应用，培养学生分析与解决问题的能力，养成正确的数学化理性思维的同时，形成一种意识，即数学“源于生活、寓于生活、用于生活”。 教材分析 教材使用的是中等职业教育课程改革国家规划教材，分段函数内容安排在第三章函数的最后一部分讲解。本节内容是在学生熟知函数的概念，表示方法和对函数性质有一定了解的基础上研究分段函数，同时深化学生对函数概念的理解和认识，也为接下来学习指数函数和对数函数作了良好铺垫。由生活生产中的实际问题入手，求得分段函数此部分知识以学生生活常识为背景，可以引导学生分析得出，分段函数作图可以略讲由学生自己完成。 学情分析 （1）知识层面：学生在初中学习了一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数这些基本初等函数图像和性质，对函数有一定程度的认识和理解；在本学期对函数知识又进一步系统的学习，加深学生对函数概念和性质的理解，为学习分段函数奠定良好的基础。 （2）能力层面：学生对函数具有一定的理解，在此基础上能够建立简单实际问题的分段函数的关系式，通过分段函数的应用，培养学生分析与解决问题的能力，了解什么是数学建模，提高学生基本科学素质。 教学目标
高中数学专题练习-函数性质与分段函数
高中数学专题练习-函数性质与分段函数 [题型分析·高考展望] 函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型.主要以选择题或填空题的形式考查，难度为中档偏上.二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力. 常考题型精析 题型一 函数单调性、奇偶性的应用 1.常用结论：设x 1、x 2∈[a ，b ]，则(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0? f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2 >0?f (x )在[a ，b ]上递增. (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0? f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2 <0?f (x )在[a ，b ]上递减. 2.若f (x )和g (x )都是增函数，则f (x )＋g (x )也是增函数，－f (x )是减函数，复合函数的单调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断. 3.定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数. 4.奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数. 例1 (1)(·湖北)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝1 2(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2).若?x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( ) A.[－16，16] B.[－66， 66] C.[－13，13] D.[－3 3， 33] (2)(·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 点评 (1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x ). (2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性. 变式训练1 (1)(·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x -m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )
分段函数的几种常见题型和解法
函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f . 3．求分段函数的最值
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 226(12) .()3(24) x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 5．作分段函数的图像
分段函数及函数的性质知识梳理
分段函数及函数的性质 分段函数 概念 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数． 定义域 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集 函数值 求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后 再把0x 代入到相应的解析式中进行计算． 注意 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过 这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示． 分段函数的作图 因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像． 例1 设函数()221, 0,,0.x x y f x x x -??==?>??… （１）求函数的定义域； （２）求()()()2,0,1f f f -的值．（3）作出函数图像． 1.设函数 ()221, 20,1,0 3.x x y f x x x +--≤+=, 0,2,0,12x x x x x f 若()2f f ????= . 4.已知? ??<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 函数的性质 1 单调性
初中数学—分段函数应用题
初中数学—分段函数应用题 1.（四川）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x （分钟）与相应话费y （元）之间的函数图象如图1所示： （１）月通话为100分钟时，应交话费 元； （２）当x ≥100时，求y 与x 之间的函数关系式； （3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？ 3. (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题： （1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准； （3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？ 4. 某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元． （1）完成此房屋装修共需多少天？ （2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？ 5. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的14 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他 到达考场所花的时间比一直步行提前了多少分钟？
6. 某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系． （1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式； （2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？ 7.为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取 的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示． （1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖 励小强家务劳动的？ （2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？ 8.有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话 收费标准如表1所示． （1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元； （2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？ 9. 如图7，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y 与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）
☆经典分段函数专题
经典分段函数专题 高考真题 类型一：与周期有关 类型二：与单调性有关 类型三：奇偶性有关 类型四：与零点和交点问题有关 类型五;与求导和函数性质有关 类型六：数形结合 高考真题 2010 11x的围是_____。 2011 11、（分类方程求解）已知实数，函数，若 a的值为________
2012 10． 2 的值为 ▲ ． 2013 11． （分区间二次不等式求解）已 定义 的奇函数。 ， 的解集用区间表示为 ． 【答案】(﹣5 ，0) ∪(5，﹢∞) 【解析】 的图像，如下图所示。 函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0y ＝ y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。 2014 13. （周期函数+R 上且周期为3的函数,
时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值围是 ▲ . 【答案】1 (0,)2 【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2 f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2 f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2 a ∈． 2015 13.（绝对值分类讨论+数形结合求根个数）已知函数|ln |)(x x f =， ? ??>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为
分段函数
19.2.2一次函数 第4课时分段函数(导学案) 一、学习目标 （1）了解分段函数的实际意义。 （2）会求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围，能画简单分段函数的图像。 学习重、难点 重点：求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围。 难点：分段函数中分段标准或依据的确定，画分段函数的图像，用函数思想解决实际问题。 二、自学 1、自学指导 （1）自学内容：教材 P95 例5. （2）自学时间：5分钟. （3）自学要求：认真阅读例5对比分析内容，边看边思考解题思路过程. （4）自学参考提纲： ①购买数量x(kg)，当0≤x≤2时，种子单价是，根据：金额=单价×数量，则解析式是。 ②购买数量x(kg)，当x＞2时，其中2kg的种子按单价计算，其余的 kg的种子按单价计算，根据；总金额等于两部分金额之和，则解析式是。 ④根据自变量的取值范围作出函数的图像是（图像草图即可） ⑤回答P95的思考，一次够买1.5kg种子，需付款元，一次够买3kg种子，需付款元， 你所采用的方法是。（教师点拨） 三、互学 一个试验室在0:00—2:00保持20℃的恒温，在2：00—4：00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T(单位：℃)关于时间t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象，（图像草图即可）。 四、小结 1．分段函数解题思路. 2.学生小结 3.教师点评 4.函数解题思想的渗透 五、作业强化（评价作业） 随堂演练1----3题：（教师点拨）进一步理解分段函数的意义，熟悉分段函数的图像，能从分段函数图像上获取函数信息。综合运用4---6题：（教师点拨）学生会求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围，能画简单分段函数的图像。拓展延伸7题：（教师点拨）分段函数中分段标准或依据的确定，分段函数的图像获取信息，用函数思想解决实际问题。链接中考8题分段函数的图像获取信息，用数形结合思想，方程思想，函数思想综合运用解决实际问题。 本课时的重点是求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围.教学过程中通过对例题的探究，习题的训练，培养学生勤于动脑、乐于探究、主动参与学习的意识，体会函数思想在数学学习中的重要性. 课堂练习
分段函数抽象函数与复合函数
精心整理 2015-2016学年度???学校9月月考卷 分段函数、抽象函数与复合函数 考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 5．已知函数 3,0, () ln(1),>0. x x f x x x ?≤ =? + ? ,若2 (2)() f x f x ->，则实数x的取值范围是（） A．(,1)(2,) -∞-?+∞B．(,2)(1,) -∞-?+∞C．(1,2) - D．(2,1) -
6．定义一种运算? ??>≤=?b a b b a a b a ,,，令()()t x x x x f -?-+=224（t 为常数），且[]3,3-∈x ， 则使函数()x f 最大值为4的t 值是（） A ．2-或6B ．4或6C ．2-或4D ．4-或4 7．已知? ???+∈+=R x x i R x x x f ,)1(,1)(，则=-))1((i f f （） A.2i - B.1 C.3 D.3i + 8 34x x <，且(f A ．9A ．1 10a 的取A ．(C ．[11．若() 2 2,,0()21,[0,) x x f x x x x ?--∈-∞=?--∈+∞?，x 1＜x 2＜x 3，且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的值的范围是（） A ．[1,2) B ．(1,2] C ．(0,1] D ．[2,3) 12．已知函数()2 3,2 x f x x x ≥=-
13．已知函数()() ()?????≤?? ? ??>=0340sin x x x x f x π，则()()1-f f 的值为（） A. 4 3π B.1sin - C.22 D.1- 14．设函数???><=0 ,log 0 ,2)(2x x x x f x ，若存在唯一的x ，满足a a x f f 28))((2+=，则正实数．．． a 的最小值是（） （A 15A.(16a 的个A ．17A ．918A.(191)]1([=g f A.1B.2C.3D.1- 20．已知函数2|log |,02 ()sin(),2104 x x f x x x π <
高中数学-分段函数的几种常见题型及解法
分段函数常见题型及解法 【解析】 3 ?求分段函数的最值 4x 3 (x 0) 例3?求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值 x 5 (x 1) 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 有不同的对应法则的函数 它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数 ；它的定义域是各段函数定义域的并 集，其值域也是各段函数值域的并集 ?由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题 型做了一些思考，解析如下： 1 ?求分段函数的定义域和值域 例1.求函数f(x) 值域? 【解析】 2x 2 x [ 1,0]; 1 x x (0,2);的定义域、 3 x [2，)； 作图， 利用“数形结合”易知f (x)的定义域为 [1，)，值域为(1,3]. 2 ?求分段函数的函数值 |x 1| 2，(|x| 例2 . ( 05年浙江理)已知函数 f(x) 1 1 x 2 (|x| 1) 1) 求f[? 因为 f(i) 11 1| 2 所以 f[f(b] f( 1 4 1 ( i) 2 13
【解析】当 X 0 时,f max (X ) f(0) 3,当 0 X 1 时，f max (X ) f(1) 4, 当 X 1 时, X 5 15 4,综上有 f max (x) 4. 4 ?求分段函数的解析式 例4 .在同一平面直角坐标系中，函数y f (X )和y g(X )的图象关于直线 y X 对 称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示) ，则函数f (x)的表达式为() 5 ?作分段函数的图像 例5?函数y e IM |X 1|的图像大致是() 2x 2 (1 X 0) A. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 0) B. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 2) C. f(x) X 2 1 ( 2 X 4) 2x 6 (1 X 2) D. f(x) X 2 3 (2 X 4) 【解析】 将其图象沿X 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1 个单位 得解析式为y 今(x 2) 1 1 4 1 f(x) 2x 2 (x [ 1,0]),当 x [0,1]时, y 2x 1,将其图象沿x 轴向右平移2 个单位，再沿y 轴向下平移 1个单位, 得解析式y 2(x 2) 1 1 2x 4, 所以 f(x) 2x 2 (x [0,2]) 综上可得f(x) 2x 2 ( 1 x 0) ■2 2 (0 x 2) 故选A 当 X [ 2,0]时，y 1 x 1
高级中学分段函数综合应用汇总
高中数学单元测试-20150428 满分: 班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________ 一、单选题（共19小题） 1.已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（） A．（1，2014） B．（1，2015） C．（2，2015） D．[2，2015] 2.已知函数若方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是（） A． B ． C ． D． 3.已知函数，若有且只有一个实数解，则的取值范围是（） A．
C． D． 4.已知函数，其中，则的值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 5.已知函数，则（） A． B． C． D． 6.对实数和，定义运算“”：，设函数，若函数 的图像与x轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（） A．（2，4]（5，+） B．（1,2] （4,5] C．（一，1）（4,5]
7.已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（） A． B． C ． D． 8.函数的图像大致是（） A． B． C． D． 9.对任意实数a，b定义运算“” ：设，若函数 的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）
A．(-2，1) B．[0，1] C．[-2，0) D．[-2，1) 10.函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（） A． B． C． D． 11.对于实数和，定义运算“*” ：*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是（） A． B． C． D． 12.函数与(且) 在同一直角坐标系下的图象可能是（）
A． B． C． D． 13.函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（） A． B． C． D． 14.已知函数=，若||≥，则的取值范围是（） A ． B ． C．[-2，1]
初中分段函数专题
分段函数专题 1、某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元） 之间的函数图象如图1所示： （１）月通话为100分钟时，应交话费元； （２）求y与x之间的函数关系式； （3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？ 2、某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2. (1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时,y与x的函数关系式; (2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元? 3 、今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题： （1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时，y与x的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准； （3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？
4、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上 基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x 小时，该月可得（即 下月他可获得）的总费用为y 元，则y （元）和x （小时）之 间的函数图像如图5所示． （1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何 奖 励小强家务劳动的？ （2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务 多少时间？ 5、某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x （分）与相应话费y （元）之间的函数图像如图所示。 （1）月通话时间为100分钟时，应缴纳话费多少元？ （2）当x≥100时，求y 与x 之间的函数关系式。 （3）月通话时间为280分钟时，应缴纳话费多少元？ 7、某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过203m 时，按2元／3m 计费；月用水量超过203m 时，其中的203m 仍按2元／3m 收费，超过部分按2.6元／3m 计费．设每户家庭用用水量为3m x 时，应交水费y 元． （1）分别求出0≤x ≤20和x ＞20时y 与x 的函数表达式； 月份 四月份 五月份 六月份 交费金额 30元 34元 42.6元
一种分段曲线拟合方法研究
一种分段曲线拟合方法研究 摘要：分段曲线拟合是一种常用的数据处理方法，但在分段点处往往不能满足连续与光滑.针对这一问题，本文给出了一种能使分段点处连续的方法.该方法首先利用分段曲线拟合对数据进行处理；然后在相邻两段曲线采用两点三次Hermite插值的方法，构造一条连结两条分段曲线的插值曲线，从而使分段点处满足一阶连续.最后通过几个实例表明该方法简单、实用、效果较好. 关键词：分段曲线拟合Hermite插值分段点连续 Study on A Method of Sub-Curve Fitting Abstract：Sub-curve fitting is a commonly used processing method of data, but at sub-points it often does not meet the continuation and smooth, in allusion to to solve this problem, this paper presents a way for making sub-point method continuous. Firstly, this method of sub-curve fitting deals with the data; and then uses the way of t wo points’ cubic Hermite interpolation in the adjacent, structures a interpolation curve that links the two sub-curves, so the sub-point meets first-order continuation; lastly, gives several examples shows that this method is simple, practical and effective. Key words:sub-curve fitting Hermite interpolation sub-point continuous
周期函数,复合函数,分段函数的精讲与练习(快速提高解函数题的能力)
周期函数 通俗定义 对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT （k∈Z且k≠0）都是它的周期。 严格定义 设f(x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f （x+T）=f（x）； 则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。 由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 正弦函数图象 编辑本段周期函数性质 ⑴若T（≠0）是f(X）的周期，则-T也是f(X）的周期。 ⑵若T（≠0）是f(X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X）的周期。 ⑶若T1与T2都是f(X）的周期，则T1±T2也是f(X）的周期。 ⑷若f(X）有最小正周期T*，那么f(X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。 ⑸若T1、T2是f(X）的两个周期，且是无理数，则f(X）不存在最小正周期 ⑹若T1、T2是f(X）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X）不存在最小正周期。 ⑺周期函数f(X）的定义域M必定是至少一方无界的集合。 编辑本段判定 定理1 若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。[1] 证：
∵T*是f(X）的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X），∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C， ∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。 假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（0
专题分段函数与函数零点答案
11. 已知函数f(x)＝???x ，x ≥0，x 2，x ＜0， 则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是__________ 11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x≤32 时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32 ＜x ＜3.综上x ＜－3或1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题． 11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________． 11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下： 令x 2＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]． 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________． 13. 14 解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14 . 12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________． 12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝???－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0， f(x －1)＝? ??－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝? ??－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为???－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1， 或???x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1， 解得x ＞4. 11. 已知f(x)＝???x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x<0）， 则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________． 11. (－1，2) 解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3)
分段函数应用题完整版
分段函数应用题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
分段函数应用题 1.（四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示： （１）月通话为100分钟时，应交话费元； （２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式； （3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？ 2. （广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2. (1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时,y与x的函数关系式; (2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元? 分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x≤15时y是x的正比例函数; x≥15时,y是x的一次函数. 3. (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题： （1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时，y与x的函数关系式；
（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准； （3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电 4. 某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所 示的函数关系，该家庭共支付工资8000元． （1）完成此房屋装修共需多少天？ （2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？ 5. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的1 4 ，估计步行不能准时到达，于是他 改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为 1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了多少分钟？ 6. 某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第 一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系． （1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
分段函数及函数的性质
分段函数及函数的单调性奇偶性 一、分段函数 基础测试 1、已知函数2311()4615x x f x x x x -≤≤?=?-+<?=?-+-≤?在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是 。 （2）、若函数f(x)=|2x+a|的单调区间是[3,+∞)，则a 的值为 。
二、复合函数的单调性 例：（1）求下列函数的单调区间 y ＝1(x ＋1)2 13y ?= ??? （2）、已知函数log (2)a y ax =-在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围为 。 三、函数的单调性的应用 1、（比较大小）若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，则f (－1)，f (2)，f (4)的大小关系为 。 2、（解不等式）已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数，且f (t －1)
分段函数例题
分段函数常见题型例析 河南 陈长松 所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下： １．求分段函数的定义域、值域 例１．求函数)(x f ＝?????->-≤+)2(,2 )2(,42x x x x x 的值域． 解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４． 当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞2 2-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝． 评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集． ２．作分段函数的图象 例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-??=+∈-??∈+∞? ，，，， ，，，画函数( f 解：函数图象如图１所示． 评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成， 作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出 其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围； 二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实． ３．求分段函数的函数值 例３．已知)(x f ＝?? ???<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值． 解：∵ －３＜０ ∴ f （－３）＝０， ∴ f （f （－３））＝f （０）＝π 又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１． x 图1
评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值． ４．求分段函数的最值 例４．已知函数)(x f ＝22(0)(0)x x x ??
分段函数专题非常全面
分段函数的性质与应用 分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的围是否在发生变化。即“分段函数——分段看” 一、基础知识： 1、分段函数的定义域与值域——各段的并集 2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。 3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图 4、分段函数分析要注意的几个问题 （1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否 么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。再比如 中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。 （2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值部的符号讨论，将其转化为分段函数。例 5、遇到分段函数要时刻盯住变量的围，并根据变量的围选择合适的解析式代入，若变量的围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论
6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。 二、典型例题 例1 例2 _________ 正数进行靠拢。由此可得： 小炼有话说：含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题 1的自变量，函数值差1，其作用在于自