导数中常见零点问题解决方法
导数中的零点问题解决方法
解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。 一、能直接分离参数的零点题目
此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。 例1.已知函数(),()ln a f x x g x x x =+=，若关于x 的方程2()
()2g x f x e x
=-只有一个实数根，求a 的值。 解析：
22
()ln ()22g x x f x e a x ex x x =-?=-+，令2
ln ()2x h x x ex x =-+，'2
1ln ()22x h x x e x
-=-+，令'()0h x =，则x e = 当0x e <<时，'()0h x >，()h x 单调递增；当x e >时，'()0h x <，()h x 单调递 减，2max 1()()h x h e e e
==
+ 注意这里()h x 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()h x 的式子很复杂，但是
如果把()h x 当成两个函数的和，即2ln (),()2x
m x n x x ex x
=
=-+，此时(),()m x n x 的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()h x 的单调性和极值点。
所以2
1a e e
=
+（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可） 二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）
这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()f x 在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()f x 在区间
(0,1)上存在极值点。
在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间
的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。
例2.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是
2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意
当0a >时，'2()363(2)f x ax x x ax =-=-，若'()0f x >，则2
0x x a
><或 若'()0f x <，则2
0x a
<<
，此时函数在(,0)-∞上单增，(1)20f a -=--< 此时在(,0)-∞上存在零点，不符合题意。 当0a <时，若'()0f x >，则
20x a <<，若'()0f x <，则2
x a
<或0x > 此时要保证函数存在唯一的正零点，则2
()0f a
>，解得(,2)a ∈-∞- 注意：如果不是的大题没必要分类讨论，做出符合题意的图像反推即可 例3.已知函数2()ln 2f x x x b x =++--在区间1
[,]e e
上有两个不同零点，求实数b 的取值范围。
解析：2'
2
2
2(2)(1)()x x x x f x x x +-+-==，可知函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上
递增，要保证函数()f x 在1
[,]e e
上有两个不同的零点，根据函数的趋势图像可
得必须满足1()02
(1)011()0
f e f b e e f e ?≥??
例4.已知函数32()f x x ax b =++ （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若b c a =-，当函数()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是
33
(,3)(1,)(,)22
-∞-??+∞，求c 的值。
解析：（1）当0a =时，()f x 在R 上单调递增 当0a >时，()f x 在2(,),(0,)3a -∞-
+∞上单调递增，在2(,0)3
a
-上单调递减；
当0a <时，()f x 在2(,0),(,)3a -∞-
+∞上单调递增，在2(0,)3
a
-上单调递减；
（2）只有当0a ≠时才有可能满足()f x 有三个零点 因为()f x 有两个极值点3
24(0),()327
a f
b f a b =-
=+，要满足有三个零点必须满足2(0)()03
a
f f ?-
<，结合b c a =-可得3
30044002727
a a a a c a a c >
??-+>-+
3(,3)(1,)(,)2
2
-∞-??+∞
所以题目可以转化为
34027a a c -+>在33
(1,)(,)22
a ∈?+∞上恒成立，且3
4027
a a c -+<在(,3)a ∈-∞-上恒成立 设34()27h a a a c =
-+，对其求导可得()h a 在33
(,),(,)22
-∞-+∞递增，在33
(,)22
-递减，因此()h a 图像必须满足以下趋势：
所以(3)0
101311()02
f c c c f -≤?-≤??
??=??
-≥≥???
验证：当1c =时，322()1(1)[(1)1]f x x ax a x x a x a =++-=++-+- 函数有三个不等的实数根，所以2()(1)10h x x a x a =+-+-=有两个不相 等且不等于-1的实数根，所以必须满足
033
(,3)(1,)(,)(1)0
22a h ?>??∈-∞-??+∞?
-≠? 综上，1c =
第一问很简单，但是是解决第二问必要的前提，第二问题目中函数有三个不同的零点，但是题目中有两个参数，类似于双参数问题解决方法，最后将两个参数中已知的那个作为自变量，然后转化为恒成立问题即可，三个零点意味着两个极值的积为负值，然后再根据不同的a 的取值转化为函数恒成立问题，通过函数的趋势图像即可解出符合题意的条件。但是很多同学缺省最后检验的步骤，同时也不理解为什么需要验证，如果不验证，则即便满足有三个零点，此时的a 的取值范围也可以不是题目中给出的范围，注意这个恰字就说明了必须要进行最后的验证。 例6.已知函数2()1x f x e ax bx =---
（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围。 解析：（1）'()2,()2x x g x e ax b g x e a =--=-
当0a ≤时，'()0g x >，()g x 在[0,1]递增，min ()(0)1g x g b ==- 当0a >时，令'()0g x =，ln 2x a =，此时0,1,ln 2a 位置不确定因此需要 讨论
Case1:当ln21a ≥时，2
e
a ≥
，此时()g x 在[0,1]递减， min ()(1)2g x g e a b ==--
Case1:当ln 20a ≤时，1
2
a ≤
，此时()g x 在[0,1]上递增， min ()(0)1g x g b ==-
Case3:当0ln 21a <<时，即
122
e
a <<，此时 min ()(ln 2)22ln 2g x g a a a a
b ==--
综上所述min
11()21()22ln 2()222()2b a e g x a a a b a e e a b a ?
-≤??
?
=--<
?
--≥??
（2）本题目隐藏一个条件即(0)0f =，又知(1)0f =，所以如果()f x 在区间(0,1)内
有零点，则()f x 在(0,1)内至少有两个极值点或者至少有三个单调区间或者说
()g x 在(0,1)内不可以恒正也不可以恒负。（要好好理解这句话）
题目中有两个参数，根据(1)0f =可得1b e a =--，若当12a ≤
或2
e
a ≥时，函数()g x 为单调函数，不符合题意，故a 只能在1(,)22
e
内取值，此时
min
()32ln 21g x a a a e =--+，且要满足32ln 210a a a e --+<才可
令'()32ln 21,()12ln 2h x x x x e h x x =--+=-，根据单调性可知
min ()10h x e e =-+<，此时min g()0x <成立，因此要保证()f x 在(0,1)上至少
有三个单调区间，则需要满足条件
122(0)021(1)0e a g e a g ?<
>?-<??
题目第二问的关键是理解原函数单调区间的个数和导函数零点个数之间的关系，建议同学们在做第二问的时候把相应的图作出来就明白了。
总结：处理零
点问题不管是处在函数的题目里面还是导数的题目里面，方法都是一样的，都是需要用到数形结合思想，通过判断单调性，既可以大致的将函数的趋势图像都作出来，然后根据题目的要求作出合适的函数图像以及列出不等式即可。
导数与函数零点问题解题方法归纳
导函数零点问题 一．方法综述 导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略 类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+， 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-， 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数.
数学高考导数难题导数零点问题导数整理
f '(x) = (x - a)(2ln x ■ 1 - a )，但这时会发现 f' (x) = 0 的解除了 x = a 外还有 2In x ■ 1 - ◎ =0 的 x x 解，显然无法用特殊值猜出。 a 令 h(x) = 21 n x 1 ，注意到 h(1) = 1 -a ：： 0 , h(a) = 2In a 0 , x 故f '(x) = 0在(1, a)及(1, 3e )至少还有一个零点， 又h(x)在(0, +^)内单调递增，所以函数h(x) 在(1,3e]内有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。 我们可以采取设而不求的方法， 记此零点为x 0, 含参导函数零点问题的几种处理方法 方法一：直接求出，代入应用 对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。 (1)因式分解求零点 例1讨论函数 f(x) 1 3 1 2 ax -(a )x 2x 1(a ? R)的单调区间 3 2 解析：即求f'(x)的符号问题。由f'(x)二ax 2 -(2a - 1)x 2 = (ax - 1)(x - 2)可以因式分 解析： f'(x) = (x -a)e x ? x 2 -( a ? 1)x ? a = (x -a)(e x ? x -1)，只能解出 f '(x)的一个零点为 a , 方法二：猜出特值，证明唯一 对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去 猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。 1 1 例 4 讨论函数 f (x) =(x - a-1)e x x 3 (a 1)x 2 ax ， a ?二 R ，的极值情况 其它的零点就是e x x 0的根，不能解。 例5(2011高考浙江理科)设函数 f (x) = (x - a)21n x,a ? R (I) 若x =e 为y = f (x)的极值点，求实数a (n) 求实数a 的取值范围，使得对任意的 2 (0,3e],恒有 f(x) — 4e 成立(注：e 为自然对数)， 方法三：锁定区间，设而不求 对于例5，也可以直接设函数来求， ①当0 ::: x 乞1时，对于任意的实数 a ，恒有f (x)乞0 ::: 4e 2成立②当1 ：：： x 乞3e ，由题意，首先 有 f (3e) =(3e - a )2 In(3e)乞4e 2 , 解 3e 2e 乞a 乞3e ---------- n ( , I 3e) 3e 且 h(3e) =2In(3 e) 1 a 3e -2I n(3e) 1 2e I n(3e) 3e = 2(I n3e- 1 3；I )>0 。
导数问题中虚设零点的三大策略分析
导数问题中虚设零点的三大策略 导数在高中数学中可谓“神通广大”，是解决函数单调性、极值、最值、不等式证明等问题的“利器”.因而近几年来与导数有关的数学问题往往成为高考函数压轴题.在面对这些压轴题时，我们经常会碰到导函数具有零点但求解相对比较繁杂甚至无法求解的问题.此时，我们不必正面强求，可以采用将这个零点只设出来而不必求出来，然后谋求一种整体的转换和过渡，再结合其他条件，从而最终获得问题的解决.我们称这种解题方法为“虚设零点”法.下面笔者就一些高考题，来说明导数问题中“虚设零点”法的具体解题方法和策略. 策略1整体代换将超越式化简为普通式 如果f′（x）是超越形式（对字母进行了有限次初等超越运算包括无理数次乘方、指数、对数、三角、反三角等运算的解析式，称为初等超越式，简称超越式），并且f′（x）的零点是存在的，但我们无法求出其零点，这时采用虚设零点法，逐步分析出“零点”所在的范围和满足的关系式，然后分析出相应函数的单调性，最后通过恰当运用函数的极值与零点所满足的“关系”推演出所要求的结果.通过这种形式化的合理代换或推理，谋求一种整体的转换和过渡，从而将超越式化简为普通式，有效破解求解或推理证明中的难点. 例1（2015年全国高考新课标Ⅰ卷文21）设函数f（x）=e2x-alnx. （1）讨论f（x）的导函数f′（x）的零点的个数；
（2）证明：当a>0时，f（x）≥2a+aln2a. 解（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2e2x-ax（x>0）.由f′（x）=0，得2xe2x=a.令g（x）=2xe2x，g′（x）=（4x+2）e2x>0（x>0），从而g（x）在（0，+∞）单调递增，所以g（x）>g（0）=0. 当a>0时，方程g（x）=a有一个根，即f′（x）存在唯一零点； 当a≤0时，方程g（x）=a没有根，即f′（x）没有零点. （2）由（1），可设f′（x）在（0，+∞）的唯一零点为x0，当x∈（0，x0）时，f′（x）<0；
利用导数解决函数零点问题
1 利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上 面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。 一定要用零点判定定理确定零点个数 )(x f ' )(x f
2 (三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2--=存在唯一 的极大值点0x ,且2022)(--< 专题2.3导数中的零点问题 解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。 一、能直接分离参数的零点题目 此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。 例1.已知函数(),()ln a f x x g x x x =+=，若关于x 的方程2()()2g x f x e x =-只有一个实数根，求a 的值。注意这里()h x 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()h x 的式子很复杂，但是如果把()h x 当成两个函数的和，即2ln (),()2x m x n x x ex x ==-+，此时(),()m x n x 的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()h x 的单调性和极值点。所以21a e e =+（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题） 这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()f x 在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()f x 在区间(0,1)上存在极值点。 在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。例2.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 注意：如果不是的大题没必要分类讨论，做出符合题意的图像反推即可 例3.已知函数2()ln 2f x x x b x =++--在区间1[,]e e 上有两个不同零点，求实数b 的取值范围。 含参导函数零点问题的几种处理方法 方法一：直接求出，代入应用 对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。 （1）因式分解求零点 例1 讨论函数)(12)2 1(31)(23R a x x a ax x f ∈+++-=的单调区间 解析：即求)('x f 的符号问题。由)2)(1(2)12()('2--=++-=x ax x a ax x f 可以因式分 方法二：猜出特值，证明唯一 对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。 例4 讨论函数ax x a x e a x x f x ++-+ --=23)1(2131)1()(，R a ∈，的极值情况 解析：)1)(()1()()('2-+-=++-+-=x e a x a x a x e a x x f x x ，只能解出)('x f 的一个零点为a ,其它的零点就 是01=-+x e x 的根，不能解。 例5（2011高考浙江理科）设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2 （Ⅰ）若e x =为)(x f y =的极值点，求实数a （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的],3,0(e x ∈恒有24)(e x f ≤成立（注：e 为自然对数）， 方法三：锁定区间，设而不求 对于例5，也可以直接设函数来求， ①当10≤ 导数专题零点问题教师版 Modified by JEEP on December 26th, 2020. 导数专题（三）——零点问题 （2013昌平二模理）（18）（本小题满分13分）（零点问题） 已知函数2 1()ln (0).2 f x x a x a = -> （Ⅰ）若2,a =求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[1,e]上的最小值； （III ）若()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，求a 的取值范围. （18）（本小题满分13分） 解：（I ）2,a =212()2ln ,'(),2f x x x f x x x = -=- ()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为2230.x y +-=………………………..3分 （Ⅱ）由2'().a x a f x x x x -=-= 由0a >及定义域为(0,)+∞，令'()0,f x x ==得 1,01,a ≤<≤即在(1,e)上，'()0f x >，)(x f 在[1,e]上单调递增， 因此,()f x 在区间[1,e]的最小值为1 (1)2 f = . ②若21e,1e ,a <<<<即在 （上，'()0f x <，)(x f 单调递减；在上， '()0f x >，)(x f 单调递增，因此()f x 在区间[1,e]上的最小值为1 (1ln ).2 f a a = - 2e,e ,a ≥≥即在(1,e)上，'()0f x <，)(x f 在[1,e]上单调递减， 因此,()f x 在区间[1,e]上的最小值为21 (e)e 2 f a =-. 综上，当01a <≤时，min 1()2f x =；当21e a <<时，min 1 ()(1ln )2 f x a a =-； 当2e a ≥时，2min 1 ()e 2 f x a =-. ……………………………….9分 (III) 由（II ）可知当01a <≤或2e a ≥时，)(x f 在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点. 导数零点问题 导数是研究函数的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．用导数研究函数f (x )的单调性，往往需要解方程f ′(x )＝0. 若该方程不易求解时，如何继续解题呢？ [典例] 设f (x )＝1＋ln x x . (1)若函数f (x )在(a ，a ＋1)上有极值，求实数a 的取值范围； (2)若关于x 的方程f (x )＝x 2－2x ＋k 有实数解，求实数k 的取值范围． [方法演示] 解：(1)因为f ′(x )＝－ln x x 2，当0 导数中的零点问题解决方法 解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。 一、能直接分离参数的零点题目 此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。 例1.已知函数(),()ln a f x x g x x x =+ =，若关于x 的方程2()()2g x f x e x =-只有一个实数根，求a 的值。 解析：22()ln ()22g x x f x e a x ex x x =-?=-+，令2ln ()2x h x x ex x =-+，'21ln ()22x h x x e x -=-+，令'()0h x =，则x e = 当0x e <<时，'()0h x >，()h x 单调递增；当x e >时，'()0h x <，()h x 单调递 减，2max 1()()h x h e e e ==+ 注意这里()h x 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()h x 的式子很复杂，但是 如果把()h x 当成两个函数的和，即2ln (),()2x m x n x x ex x = =-+，此时(),()m x n x 的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()h x 的单调性和极值点。 所以21a e e =+（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可） 二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题） 这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()f x 在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()f x 在区间(0,1)上存在极值点。 在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间 导数与函数零点问题 函数零点问题是高考中的热点,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论. 例题分类精讲 一、函数零点个数问题 用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值 结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的 对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数． 【例1】若函数f（x）＝x3－3x＋a 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是___ ． 【答案】（－2,2） 【分析】客观题中函数零点个数问题,可借组图象求解,先根据导函数的符号确定原函数的单调性,由单调性作出函数图象,再确定零点个数. 【解析】由f（x）＝x3－3x＋a,得f′x）（＝3x2－3,由f′（x）＝3x2－3＝0,得x＝±1,f（x）极大值＝f（－1）＝2＋a,f（x）极小值＝f（1）＝a－2,要使函数f（x）＝x3－3x＋a有三个不同的零点,则有2＋a>0,a－2<0,即－ 2 利用导数研究方程的根 函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 1、已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线211 2 y x x =++有唯一公共点. 【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'. 1(1)g'x 1 (x)g'==?= k .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线12 1 2++=x x y 有唯一公共点,过程如下. 则令,,121 121)()(22R x x x e x x x f x h x ∈---=---= 0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数 因此, 单调递增 时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0x h y x h x x h y x h x =?>>=?<<0)(,0)0(')('===≥=?x R x h y h x h y 个零点上单调递增，最多有一在所以 所以,曲线y=f(x)与曲线12 12 ++=x x y 只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2、已知函数()1x a f x x e =-+ (a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)求函数()f x 的极值; (2)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值. (1)()1x a f x e '=- , ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值. ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =. (),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>. 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增, 故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值. 导数中的零点问题 1．已知函数. （Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的取值；（Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 2．已知函数 （Ⅰ）若的图像与直线相切，求 （Ⅱ）若且函数的零点为, 设函数试讨论函数的零点个数.（为自然常数） 3．已知函数. （1）若时，讨论函数的单调性； （2）若函数在区间上恰有2个零点，求实数的取值范围. 4．已知函数（为自然对数的底数，），在处的切线为.（1）求函数的解析式； （2）在轴上是否存在一点，使得过点可以作的三条切钱？若存在，请求出横坐标为整数的点坐标；若不存在，请说明理由. 5．已知函数()()2 2ln ,0x f x x a R a a =-∈≠. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2） 若函数()f x 有最小值，记为()g a ，关于a 的方程()2 19g a a m a +--=有三个不同的实数根，求实数m 的取值范围. 6．已知函数()2x a f x x e =-+ (a R ∈， e 为自然对数的底数). （Ⅰ）求函数()f x 的极值； （Ⅱ）当1a =时，若直线:2l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值. 7．已知函数（为自然对数的底数）. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时,不等式恒成立,求实数的取值范围； （3）设，当函数有且只有一个零点时,求实数的取值范围. 8．已知函数. （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数. 9．已知函数. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）是否存在实数，使得有三个相异零点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 10．已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 导数中的零点问题解决方法 解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合 题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。 一、能直接分离参数的零点题目 此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下 移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。 例 1.已知函数 f (x) = x + a g ( x) x , g (x) = ln x ，若关于 x 的方程 x 2 = f (x) - 2e 只有 一个实数根，求 a 的值。 g ( x) ln x ln x 解析： x 2 = f (x) - 2e ? a = x - x 2 + 2ex ，令 h (x) = x - x 2 + 2ex ， 1- ln x h ' (x) = - 2x + 2e ，令 h ' (x) = 0 ，则 x = e x 2 当 0 < x < e 时， h ' (x) > 0 ， h (x) 单调递增；当 x > e 时， h ' (x) < 0 ， h (x) 单调 1 递减， h (x) max = h (e ) = e + e 2 注意这里 h (x) 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现 h ' (x) 的式子很复杂，但是如 ln x 果把 h (x) 当成两个函数的和，即 m (x) = x , n(x) =- x 2 + 2ex ，此时 m (x), n (x) 的 单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出 h (x) 的单调性和极值点。 所以 a = 1 e + e 2 （注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可） 二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题） 这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函 数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如 f (x) 在区间 (0,1) 上有零 点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调， 只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着 f (x) 在区间 (0,1) 上存在极值点。 在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是 求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一 下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间 利用导数研究函数零点问题 数形结合法研究零点问题 [典例引领] 已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性； (2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不相等的解，求a 的取值范围． 【解】 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ， 其定义域为(0，＋∞)， 所以F ′(x )＝2ax －2x ＝2（ax 2－1）x (x ＞0)． ①当a ＞0时，由ax 2－1＞0，得x ＞1 a ， 由ax 2－1＜0，得0＜x ＜ 1a ， 故当a ＞0时，F (x )在区间?? ??1a ，＋∞上单调递增，在区间? ???0，1 a 上单调递减． ②当a ≤0时，F ′(x )＜0(x ＞0)恒成立． 故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减． (2)原式等价于方程a ＝2ln x x 2在区间[2，e]上有两个不等解． 令φ(x )＝2ln x x 2，由φ′(x )＝2x （1－2ln x ）x 4易知，φ(x )在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为 减函数， 则φ(x )ma x ＝φ(e)＝1 e ， 而φ(e)＝2e 2，φ(2)＝ln 2 2 . 由φ(e)－φ(2)＝2e 2－ln 22＝4－e 2ln 22e 2＝ln e 4－ln 2e 22e 2＜ln 81－ln 2 7 2e 2 ＜0， 所以φ(e)＜φ(2)． 所以φ(x )min ＝φ(e)， 如图可知φ(x )＝a 有两个不相等的解时，需ln 22≤a ＜1e . 即f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不相等的解时a 的取值范围为[ln 22，1 e )． 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x 表示参数的函数，作出该函数图象，根据图象特征求参数的范围． 利用函数性质研究函数零点 [典例引领] 已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数)． (1)当a ＝4时，求函数y ＝g (x )在x ＝0处的切线方程； (2)如果关于x 的方程g (x )＝2e x f (x )在区间???? 1e ，e 上有两个不等实根，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝4时，g (x )＝(－x 2＋4x －3)e x ，g (0)＝－3， g ′(x )＝(－x 2＋2x ＋1)e x ，g ′(0)＝1， 所以，所求的切线方程为y ＋3＝x －0，即y ＝x －3. (2)由g (x )＝2e x f (x )， 可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3，a ＝x ＋2ln x ＋3x . 设h (x )＝x ＋2ln x ＋3 x (x >0)， 所以h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1） x 2 ， 所以x 在???? 1e ，e 上变化时，h ′(x )，h (x )的变化如下： 导数专题（三）——零点问题 （2013昌平二模理）（18）（本小题满分13分）（零点问题） 已知函数2 1()ln (0).2 f x x a x a = -> （Ⅰ）若2,a =求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[1,e]上的最小值； （III ）若()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，求a 的取值范围. （18）（本小题满分13分） 解：（I ）2,a =212()2ln ,'(),2f x x x f x x x =-=- ()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为2230.x y +-=………………………..3分 （Ⅱ）由2'().a x a f x x x x -=-= 由0a >及定义域为(0,)+∞，令'()0,f x x ==得 ①若1,01,a ≤<≤即在(1,e)上，'()0f x >，)(x f 在[1,e]上单调递增， 因此,()f x 在区间[1,e]的最小值为1 (1)2 f =. ②若21e,1e ,a <<<<即在 （上，'()0f x <，)(x f 单调递减；在上，'()0f x >， )(x f 单调递增，因此()f x 在区间[1,e]上的最小值为1 (1ln ).2 f a a = - ③若2e,e ,a ≥≥即在(1,e)上，'()0f x <，)(x f 在[1,e]上单调递减， 因此,()f x 在区间[1,e]上的最小值为21(e)e 2 f a =-. 综上，当01a <≤时，min 1()2 f x =；当21e a <<时，min 1()(1ln )2 f x a a =-； 当2e a ≥时，2min 1()e 2 f x a =-. ……………………………….9分 (III) 由（II ）可知当01a <≤或2e a ≥时，)(x f 在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点. 当21e a <<时，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则 (1) 若函数f(x)在(a , a + 1)上有极值，求实数 a 的取值范围； ⑵若关于x 的方程f(x)= X 2— 2x + k 有实数解，求实数 k 的取值范围. ［方法演示］ In x 解：⑴因为 f ' (x)=— ~x 2",当 Ovxvl 时，f ' (x)>0 ；当 x>1 时，f ' (x)<0,所以函数 f(x) 在(0,1)上单调递增，在(1,+^)上单调递减，故函数 f(x)的极大值点为 x = 1,所以avlva + 1,即0 2020年《导数与函数零点》模拟试题选编 一.零点个数的判断 1．【2020?宁夏银川模拟】已知函数2()f x ax x lnx =--，其中a R ∈． （1）若函数()f x 在(0,1)内单调递减，求实数a 的取值范围； （2）试讨论函数()f x 的零点个数． 2．【2020?四川省绵阳市模拟】已知函数2()(2)2f x ax a lnx x =-+- +，其中a R ∈．（1）当4a =时，求函数()f x 的极值； （2）试讨论函数()f x 在(1,)e 上的零点个数．3．【2020?北京市密云区一模】已知函数()(1)x f x e ax =+，a R ∈． ()I 求曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）判断函数()f x 的零点个数． 4．【2020?湖北模拟】函数32()31f x ax ax bx =+++满足[3x ∈-，)+∞时有()13 x f x + 恒成立，且0a ≠． （1）求实数a 的取值范围及实数b 的值； （2）证明：函数2()9(3)()x g x e x f x =-+有且仅有唯二零点． 二.零点的求参数范围 5．【2020?辽宁省丹东市一模】已知0a ≠，设函数2()f x alnx x a =+-． （1）若2a =-，证明：()4f x >-； （2）若()f x 只有一个零点，求a 的取值范围． 的最大整数值．（参考数据5:0.223)4 ln ≈8．【2020?北京市朝阳区六校高考数学模拟试卷（B 卷）（4月份）】已知函数2()()x f x e ax a R =-∈． （Ⅰ）若山线()y f x =在(1，f （1）)处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）已知()f x 在[0，1]上的最大值不小于2，求a 的取值范围； （Ⅲ）写出()f x 所有可能的零点个数及相应的a 的取值范围．（请直接写出结论） 9．【2020?北京市东城区校级模拟】设函数2()3x f x me x =-+，其中m R ∈． （Ⅰ）如果()f x 同时满足下面三个条件中的两个：①()f x 是偶函数；②1m =；③()f x 在(0,1)单调递减．指出这两个条件，并求函数()()h x xf x =的极值； （Ⅱ）若函数()f x 在区间[2-，4]上有三个零点，求m 的取值范围． 三.零点与不等式交汇 10．【2020?北京市西城区一模】设函数2()(2)f x alnx x a x =+-+，其中a R ∈．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2，f （2）)处切线的倾斜角为4 π，求a 的值；（Ⅱ）已知导函数()f x '在区间(1,)e 上存在零点，证明：当(1,)x e ∈时，2()f x e >-． 7．【2020?河北省石家庄市一模】已知函数()2()f x ln ax b =+，其中a ，b R ∈． （1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值； （2）设1b =，函数2()(1)(1)()(g x ax a ax f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，求a 6．【2020?贵州省遵义市绥阳县高考数学一模试卷（文科）】已知函数21()()2 f x x ax lnx a R =--∈．（1）若2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）设23()()12 g x f x x =+ +，若函数()g x 在1[,]e e 上有两个零点，求实数a 的取值范围． 含参导函数零点问题的几种处理方法 方法一：直接求出，代入应用 对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。 （1）因式分解求零点 例1 讨论函数)(12)2 1 (31)(23R a x x a ax x f ∈+++-= 的单调区间 解析：即求)('x f 的符号问题。由)2)(1(2)12()('2 --=++-=x ax x a ax x f 可以因式分 方法二：猜出特值，证明唯一 对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。 例4 讨论函数ax x a x e a x x f x ++-+ --=23)1(2 1 31)1()(，R a ∈，的极值情况 解析：)1)(()1()()('2 -+-=++-+-=x e a x a x a x e a x x f x x ，只能解出)('x f 的一个零点为a ,其它的零点就是01=-+x e x 的根，不能解。 例5（2011高考浙江理科）设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2 （Ⅰ）若e x =为)(x f y =的极值点，求实数a （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的],3,0(e x ∈恒有2 4)(e x f ≤成立（注：e 为自然对数）， 方法三：锁定区间，设而不求 对于例5，也可以直接设函数来求， ①当10≤导数中的零点问题(学生版)
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