The Normal Inverse Gaussian Distribution and the Pricing of Derivatives

The Normal Inverse Gaussian Distribution and the

Pricing of Derivatives

Anders Eriksson?Eric Ghysels?Fangfang Wang?

First draft:July2007,

This version:January15,2009

Abstract

We propose the class of Normal Inverse Gaussian(NIG)distributions to approximate an unknown risk neutral density.The appeal of the NIG class of distributions is that it is characterized by the?rst four moments:mean,variance,skewness and kurtosis.These are the moments we care about in many risk management applications.One strength of our approach is that we link the pricing of individual derivatives to the moments of the risk neutral distribution,which has an intuitive appeal in terms of how volatility, skewness and kurtosis of the risk neutral distribution can explain the behavior of derivative prices.We provide numerical and empirical evidence showing appealing features of our approach,notably its superior performance compared to the existing methods.

?Director Quantitative Analysis at Diwan Capital Ltd.,P.O.Box121498,Dubai,United Arab Emirates,

Email:aer@https://www.wendangku.net/doc/bf9478651.html,

?Bernstein Distinguished Professor of Economics and Professor of Finance,Department of Economics, University of North Carolina at Chapel Hill and Department of Finance,Kenan-Flagler Business School at

UNC,Chapel Hill,NC27599,USA.Email:eghysels@https://www.wendangku.net/doc/bf9478651.html,

?Graduate Student,Department of Statistics and Operations Research,University of North Carolina,

1Introduction

In an arbitrage-free world the price of a derivative contract is the discounted expectation of the future payo?under a so-called risk neutral measure.Hence,the pricing formula has three key ingredients:the risk free rate,the contract speci?cation-i.e.payo?function,and the data generating process of the underlying asset.This paper pertains to the latter,namely the speci?cation of the risk neutral distribution(henceforth RND)of the future prices of an underlying asset.

Several approaches have been developed to characterize or estimate the risk neutral prob-ability measure in literature.Broadly speaking they can be characterized as:(1)modelling the shape of the RND directly[See Rubinstein(1994),Jackwerth and Rubinstein(1996), Melick and Thomas(1997),Figlewski and Gao(1999),among others],(2)di?erentiating the pricing function twice with respect to strike price to arrive at the RND of the underlying [see Breeden and Litzenberger(1978),A¨?t-Sahalia and Lo(1998),Longsta?(1995),among others],or(3)specifying a parametric stochastic process driving the price of the underlying asset and the change of probability measure[see Bates(1991),Bates(1996),Chernov and Ghysels(2000),among others].These approaches range from purely nonparametric(e.g. Rubinstein(1994),A¨?t-Sahalia and Lo(1998))to parametric(all papers cited above in(3)). For a more recent comprehensive literature review,see e.g.Figlewski(2007).

We suggest a?exible class of densities combined with data-driven moment estimators, i.e.option-based estimators for variance,skewness and kurtosis.Our approach has several advantages.Purely nonparametric techniques are?exible and robust,yet they typically are extremely data intensive as they try to capture the entire shape of an unknown density[See A¨?t-Sahalia and Lo(1998),Pagan(1999),Broadie,Detemple,Ghysels,and Torr`e s(2000), Ghysels,Patilea,Renault,and Torr`e s(1997)].We only need good estimates of the variance, skewness and kurtosis-which can be obtained from options data as suggested by Bakshi,

risk free rate)available we propose a method to obtain directly the risk neutral probability measure.Our approach is most directly related to some existing approaches.One consists of modelling the shape of the risk neutral density directly via Gram-Charlier series expansions (henceforth GCSE).There are two types of Gram-Charlier series expansion discussed in literature:A-type GCSE,applied in the context of derivative pricing by Madan and Milne (1994)and C-type GCSE applied to option pricing by Rompolis and Tzavalis(2007).Also related to GCSE is the Edgeworth expansion-applied to reconstruct risk neutral densities by Rubinstein(1998).

We adopt an approach,suggested in a di?erent context by Eriksson,Forsberg,and Ghy-sels(2004),and use the class of Normal Inverse Gaussian(henceforth NIG)densities to approximate an unknown RND.The appeal of NIG distributions is that they are charac-terized by the?rst four moments:mean,variance,skewness and kurtosis.These are the moments we care about in many risk management applications-including derivative pric-ing.Hence,once the four moments are given,we can?ll in the blanks with the NIG and obtain the entire distribution.1

The use of the NIG family has several advantages over A-GCSE and C-GCSE.A-type Gram-Charlier expansion can result in negative probabilities with unsuitable-or as it is often called infeasible outside the domain of positive de?niteness-combinations of skewness and https://www.wendangku.net/doc/bf9478651.html,ing recent empirical evidence from Conrad,Dittmar,and Ghysels(2007)we?nd that for most traded options in the US feature skewness and kurtosis outside the admissible region for A-GCSE.We show this translates into serious errors for pricing derivatives.The C-GCSE approximation-on the other hand-yields nonnegative probabilities,yet is very cumbersome in terms of computations.The NIG class is-in comparison-easy to compute and is a proper density.Moreover,the NIG family has the nice properties that it is?exible and the parameters can be solved in a closed form by means of cumulants of the distribution, which facilitates parameter estimation.

The rest of the paper is structured as follows.In section2we brie?y review the NIG class of densities,and present the main results obtained by using a method of moments estimation approach.Section3describes the NIG approximation errors by comparing them with other approximation methods focusing on regions of unimodality and positive de?niteness.Section 4appraises via a calibration exercise the NIG density when used for pricing derivatives.We also provide an empirical illustration in section5,while section6concludes the paper.

2The NIG class of distributions:Properties and option-based estimation

The Normal Inverse Gaussian(henceforth NIG)distribution is characterized via a normal inverse Gaussian mixing distribution.Formally stated,let Y be a random variable that follows an inverse Gaussian probability law(IG)discussed in Seshadri(1993):

L(Y)=IG(δ,

α2?β2)

Furthermore,if X conditional on Y is normally distributed with meanμ+βY and variance Y,namely L(X|Y)=N(μ+βY,Y),then the unconditional density X is NIG:

L(X)=NIG(α,β,μ,δ).

The density function for the NIG family is de?ned as follows:

f NIG(x;α,β,μ,δ)=α

π

exp(δ

α2?β2?βμ)

K1(αδ

1+(x?μ

δ

)2)

1+(x?μ

δ

)2

exp(βx)(1)

where x∈R,α>0,δ>0,μ∈R,0<|β|<αand K1(.)is the modi?ed Bessel function of the third kind with index1(see Abramowitz(1974)).The Gaussian distribution is obtained as a limiting case,namely whenα→∞.

The NIG class of densities has the following two properties,namely(1)a scaling property: L NIG(X)=NIG(α,β,μ,δ)?L NIG(cX)=NIG(α/c,β/c,cμ,cδ),

and(2)a closure under convolution property:

NIG(α,β,μ1,δ1)?NIG(α,β,μ2,δ2)=NIG(α,β,μ1+μ2,δ1+δ2).

Another parameterization used in this paper is obtained by settingˉα=δαandˉβ=δβ.This representation is a scale-invariant parameterization denoted as NIG(ˉα,ˉβ,μ,δ)with density:

f

NIG (x;ˉα,ˉβ,μ,δ)=

ˉα

πδ

exp(

ˉα2?ˉβ2?

ˉβμ

δ

)

K1(ˉα

1+(x?μ

δ

)2)

1+(x?μ

δ

)2

exp(

ˉβ

δ

x)(2)

2.1Moment estimators for the NIG class of densities

The method of moments estimation applied to the NIG class consists of constructing a non-linear system of equations for the four parameters in the NIG distribution.In particular, one sets the?rst and second cumulant,the skewness and the excess kurtosis equal to their empirical counterparts.

The following two theorems,taken from Eriksson,Forsberg,and Ghysels(2004),yield the expression for the parameters in the class of NIG probability distributions in terms of its mean,variance,skewness and excess kurtosis.

Theorem2.1Suppose that random variable X is NIG(ˉα,ˉβ,μ,δ)distributed and its mean, variance,skewness and excess kurtosis are denoted as M,V,S and K,respectively.Then the parameters are related to the moments by

ˉα=3(4ρ?1+1)(1?ρ?1)?1/2K?1(3)

ˉβ=sgn(S)

3(4ρ?1+1)(ρ?1)?1/2K?1

(4)

μ=M?sgn(S)

3ρ?1(4ρ?1+1)(K?1V)

1/2

(5)

δ=

3(4ρ?1+1)(1?ρ?1)K?1V

1/2

(6)

whereρ=3KS?2?4>1and sgn(·)is the sign function.

Theorem2.2Given a NIG(α,β,μ,δ)distributed random variable.If its sample mean,sam-ple variance,sample skewness and sample excess kurtosis are?M,?V,?S and?K respectively, and3?K>5?S2>0,then the method of moments estimators for the parameters are

?αMM=3?ρ1/2(?ρ?1)?1?V?1/2|?S|?1(7)

?β

MM

=3(?ρ?1)?1?V?1/2?S?1(8)

?μMM=?M?3?ρ?1?V1/2?S?1(9)

?δ

MM

=3?ρ?1(?ρ?1)1/2?V1/2|?S|?1(10)

where?ρ=3?K?S?2?4>1.

2.2Moments of Risk Neutral Distribution

Bakshi,Kapadia,and Madan(2003)show that the risk neutral moments ofτ?period return R t(τ)=ln(S t+τ)?ln(S t)evaluated at time t can be written in terms of these payo?s.We use their methodology and a sample of out-of-the-money(OTM)calls and puts to estimate

Kapadia,and Madan(2003)show that the price of contracts at time t on variance V AR(t,τ), skewness SKEW(t,τ)and kurtosis KURT(t,τ)of R t(τ)can be calculated as

V AR(t,τ)=e rτV(t,τ)?μ2(t,τ)(11)

SKEW(t,τ)=e rτW(t,τ)?3μ(t,τ)e rτV(t,τ)+2μ(t,τ)3

[e rτV(t,τ)?μ(t,τ)2]3/2

(12)

KURT(t,τ)=e rτX(t,τ)?4μ(t,τ)e rτW(t,τ)+6e rτμ(t,τ)2V(t,τ)?3μ(t,τ)4

[e rτV(t,τ)?μ(t,τ)2]2

(13)

where V(t,τ),W(t,τ),X(t,τ),andμ(t,τ)are given by

V(t,τ)=

∞

S t 2(1?ln(K/S t))

K2

C(t,τ;K)dK(14)

+

S t

02(1?ln(K/S t))

K2

P(t,τ;K)dK

W(t,τ)=

∞

S t 6ln(K/S t)?3(ln(K/S t))2)

K2

C(t,τ;K)dK(15)

+

S t

06ln(K/S t)?3(ln(K/S t))2

K2

P(t,τ;K)dK

X(t,τ)=

∞

S t 12(ln(K/S t))2?4(ln(K/S t))3)

K2

C(t,τ;K)dK(16)

+

S t

012(ln(K/S t))2?4(ln(K/S t))3

K2

P(t,τ;K)dK

μ(t,τ)=e rτ?1?e rτV(t,τ)/2?e rτW(t,τ)/6?e rτX(t,τ)/24(17)

while C(t,τ;K)and P(t,τ;K)are the prices of European calls and puts written on the underlying stock with strike price K and expirationτperiods from time t.Bakshi,Kapa-dia,and Madan(2003)call V(t,τ)the price of the volatility contract on the underlying security,while W(t,τ)and X(t,τ)are the prices of the cubic contract and quartic contract respectively.

Thus,the risk neutral mean of ln(S t+τ)conditional at time t is

M(t,τ)=μ(t,τ)+ln(S t)(18)

while the conditional variance,skewness and kurtosis of ln(S t+τ)under risk neutral measure are exactly V AR(t,τ),SKEW(t,τ)and KURT(t,τ).As equations(14),(15)and(16) show,the procedure involves using a weighted sum of(out-of-the-money)options across varying strike prices to construct the prices of payo?s related to the second,third and fourth moments of returns.These prices are then used to construct estimates of the mean,variance, skewness and kurtosis of the risk neutral density function.

3The NIG approximation and its relation to A-type Gram-Charlier expansions

In this section we discuss the NIG approximation and how well it approximates a function of random variables compared to the A-type Gram-Charlier and Edgeworth expansions.We do this by considering the region for which A-type Gram-Charlier expansion produces positive de?nite distribution and compare this region with the similar region produced by the normal

region,in terms of skewness/kurtosis combinations,covered by positive de?nite of A-type Gram-Charlier expansion is larger than the region of unimodality and also that of Edgeworth expansion.Hence,the A-type Gram-Charlier and Edgeworth expansions may easily lead to negative probabilities-a common problem encountered in practice.

Exhibit1has six panels,three pairs-with each pair representing data points superim-posed on two regions.The data points are skewness and kurtosis daily estimates extracted from S&P500index options.These estimates are obtained by applying the formulas ap-pearing in subsection2.2,using the method of Bakshi,Kapadia,and Madan(2003).The details are discussed in Conrad,Dittmar,and Ghysels(2007)who use data on out of the money(OTM)puts and calls,with at least two OTM puts and two OTM calls to calculate the moments on daily basis.The time to maturity is kept roughly constant at one month (see also later,section5).The three pairs represent data for three di?erent years:1999, 2000and2003.The plots on the left in Exhibit1are the data and the NIG admissible region.All data points below the line are admissible,all those above are not.We note that the majority of data points yield proper NIG densities.The plots on the right in Exhibit 1provide a close-up(note the scale ends at8)in order to display the admissible region for Gram-Charlier expansion.The region is obtained via the dialytic method of Sylvester[see, for instance Wang(2001)]for?nding the common zeros for A-type Gram-Charlier expan-sion.2Similar computations are reported in Shenton(1951),Barton and Dennis(1952)and Draper and Tierney(1972).

It is clear from Exhibit1that Gram-Charlier expansion almost never works.Only perhaps one data point-one day that is-falls below the curve.All other data points,as we can see from the left plots fall far beyond the region.As we will be discussed later this will seriously a?ect option pricing,favoring the use of NIG density approximation.

4Numerical Calibration

In this section we appraise via a calibration exercise the NIG density when used for pricing derivatives.The data generating process is the Heston model.We compare the risk neutral density estimation using the NIG distribution,Edgeworth and Gram-Charlier expansions with the true risk neutral density.3We?nd that the NIG approximation outperforms the Edgeworth and A-type Gram-Charlier expansions and achieves accuracy similar to the C-type Gram-Charlier expansion.Then we give a toy example which illustrates the pricing of European calls and a butter?y trading strategy.We?nd that the NIG approximation is closer to the pricing under true risk neutral measure than Edgeworth expansion and A-type Gram-Charlier expansion.

4.1Density Approximations

We generate the stock price S t and its volatility V t using Heston model under risk-neutralized pricing probability(see Heston(1993)):

dS t=S t(rdt+√

V t dW1

t

)

dV t=κ(θ?V t)dt+σ√

V t dW2

t

(19)

where W1

t and W2

t

are two correlated Brownian motions with correlation coe?cientρ.The

conditional characteristic function of X t+τ=ln(S t+τ)(τ>0)under the risk neutral measure conditional at time t with S t=s and V t=v is given by Heston(1993)as

Φt(u;τ)=exp(C(u;τ)+D(u;τ)v+iu ln(s))(20)

with

C(u;τ)=ruτi+κθ

σ2

[(κ?ρσui+d)τ?2ln(

1?ge dτ

1?g

)](21)

D(u;τ)=κ?ρσui+d

σ2

1?e dτ

1?ge dτ

(22)

where g=(κ?ρσui+d)/(κ?ρσui?d)and d=

ifσ>0.In

particular,whenσ=0,C(u;τ)and D(u;τ)become

C(u;τ)=ruτi+θ(u2+ui)

2

(

1?e?κτ

κ

?τ)(23)

D(u;τ)=u2+ui

2κ

(e?κτ?1)(24)

The true conditional density function f t(x;τ)can be derived fromΦt(u;τ)through the inverse Fourier transform,ie

f t(x;τ)=

1

2π

R

e?iuxΦt(u;τ)du.(25)

The European call prices are explicitly calculated using the formula from Heston(1993)

Call(t,s,v,K)=sP1?e?rτKP2(26) where P1,P2are respectively given in Appendix B.

To numerically evaluate the NIG performance,we use the same parameter settings as as Rompolis and Tzavalis(2007)who study Gram-Charlier https://www.wendangku.net/doc/bf9478651.html,ly,we let r=0.05,κ=1.62,θ=0.04,σ=0.44andρ=?0.76.Starting from an arbitrary time t0, without loss of generality,we assume t0=0with S0=1080and V0=0.026,we can generate a cross-section set of European call options with time to maturityτ=0.21(in year)and

strike prices spanning the interval[820,1260]at every20points.Further,the put prices are calculated using call-put parity.

Note that the estimation of mean,variance,skewness and kurtosis involves the evalua-tion of integrals(14),(15)and(16).To increase the accuracy of moments estimation,we interpolate the call/put prices within[820,1260]using a cubic spline and beyond this range, we perform the linear extrapolation(for reference,see Shimko(1993),Campa,Chang,and Reider(1998),Dennis and Mayhew(2002),Jiang and Tian(2005),Rompolis and Tzavalis (2007)).Note that this is not exactly what is done with real data,where typically only discrete sums are taken.4Once we have estimated the conditional moments of log-price,we are able to compute the RND approximation by the NIG distribution,Edgeworth expansion and A-type Gram-Charlier expansion.The true risk neutral density function f t(x;τ)are evaluated by truncating the integral(25)at±100and we also truncate the integration(27) at100.

Exhibit2plots the true density curve and the curves generated by the NIG distribution, Edgeworth and A-type Gram-Charlier expansions,where one can see that the NIG density curve is very close to the true density curve especially at the two tails while Edgeworth and A-type Gram-Charlier expansions produce negative densities.We see that the NIG and true density are almost identical.In contrast,the other two approximations produce negative probabilities and feature humps that are not present in the true density.These phenomena are due to the fact that this realistic parameter setting for the Heston model is outside the feasible range for the Edgeworth and A-type Gram-Charlier expansions.

We also calibrate numerically the performance of various density estimations via the

mean absolute error L1(f)=

|f(x)??f(x)|dx and the mean squared error L2(f)=

(f(x)?

?f(x))2dx,where f is the true density and?f is its estimate.Panel A of Exhibit3reports the value of measurements L1and L2for NIG,Edgeworth,A-type Gram-Charlier and C-type Gram-Charlier expansions,respectively.5Again,we can see that the NIG approximation

outperforms the Edgeworth and A-type Gram-Charlier expansions,while it achieves accuracy similar to the C-type Gram-Charlier expansion.The appeal of the NIG approximation, however,compared to C-type Gram-Charlier expansion is that it is easy to implement and it requires very little computational work.

4.2Derivative pricing

Given that one has estimated the risk neutral density,we can proceed and price derivatives. We?rst consider the pricing of European call options through the true risk neutral density, NIG approximation,Edgeworth and A-type Gram-Charlier expansions.In Exhibit4and Exhibit5,we plot the pricing of in-the-money(ITM),at-the-money(ATM)and out-of-the-money(OTM)call options with associated relative pricing errors which are de?ned as

(?p?p)/p

where p is the price under the true risk neutral measure and?p is the price using the approxi-mation.The ATM&ITM calls are not very much mispriced(see Panel c and d of Exhibit4 and Exhibit5)even though the risk neutral densities are severely misspeci?ed(see Exhibit 2).However,for the deep OTM calls,Egdeworth and A-type Gram-Charlier expansions perform poorly.When we compare the scale of the various graphs we observe that relative pricing errors in the latter case exceed10000.Obviously,these are relatively cheap options, with large pricing errors.What is important,however,is that the NIG approximation does not feature such pricing errors.

Next,we look at the butter?y trading strategy with payo?function

g(S T;K,a)=(S T?K+a)1(K?a≤S

T≤K)+(K+a?S T)1(K

T≤K+a)

In our numerical analysis,we take K such that log(K)=6.60,6.70,6.80,6.90(

Exhibit6plots the pricing of butter?y strategy using various pricing tools and the relative pricing errors.Again one notes that the NIG approximation outperforms Edgeworth and A-type Gram-Charlier expansions.In comparison,the NIG density has mild pricing errors since its density approximation is more accurate.

5Empirical illustration

The data used in this paper is the same as in Conrad,Dittmar,and Ghysels(2007)and similar to that used in Figlewski(2007).Our data on option prices is provided(through Wharton Research Data Services)from Optionmetrics.We use S&P500index option price data for all out-of-the-money calls and puts.In estimating the moments,we use equal numbers of out-of-the-money(OTM)calls and puts for each stock for each day.Thus,if there are n OTM puts with closing prices available on day t we require n OTM call prices. If there are N(>n)OTM call prices available on day t,we use the n OTM calls which have the most similar distance from stock to strike as the OTM puts for which we have data.

In the empirical illustration we average the daily moment estimates on a monthly basis, instead of plotting densities for speci?c days-since we do not really attempt to model the daily variation of the moments.6Exhibit7provides a time series plot of the S&P500as well as the risk neutral densities estimated with our NIG approximation for two dates,using

Gaussian distribution obtained with the same mean and variance.In both cases,the Normal is very di?erent from the NIG,as expected.In the March2000case,we note a skewed distribution,while it is centered in the2003case.

6Concluding remarks

In this paper,we introduce the Normal Inverse Gaussian family to approximate the risk neutral https://www.wendangku.net/doc/bf9478651.html,putational results indicate that NIG approximation is more ef-?cient than Gram-Charlier series expansions by providing smaller approximation errors in comparison with the A-type expansion and by being less computationally burdensome than the C-type Gram-Charlier expansion.There are various expansions possible,notably the use of NIG approximations to compute stochastic discount factors,as further discussed in Conrad,Dittmar,and Ghysels(2007).It should also be noted that the NIG density is not the only one with a four parameter characterization.In future work we plan to explore alternative densities.In particular,the generalized hyperbolic distribution(GH)is a more general class of continuous probability distributions also de?ned as a normal variance-mean mixture where the mixing distribution is the generalized inverse Gaussian distribution.

A Edgeworth and Gram-Charlier series expansions The central idea of Edgeworth and A-type Gram-Charlier expansions is to expand the risk-neutral density around normal pdf using Hermite polynomials.Consider a random variable X with mean μ,standard deviation σ,skewness S and excess kurtosis K and let Z =X ?μσ,the true pdf f (x )of X can be expanded as

f (x )=

g (x )

1+∞ m =31m !E X,m H m (z )

where g (x )=1σ√2πexp(?12z 2),H m (.)are the Hermite polynomials and E X,m is the series expansion coe?cient de?ned as E X,m =E (H m (Z )).If truncate the in?nite sum at some ?nite order,we will have the Edgeworth expansion and A-type Gram-Charlier expansion.In particular,in term of the Edgeworth expansion,the true pdf f (x )of X can be expressed as

f (x )=

g (x ) 1+16S (z 3?3z )+124K (z 4?6z 2+3)+172

S 2(z 6?15z 4+45z 2?15) If drop the last term within the bracket,it yields the A-type Gram-Charlier https://www.wendangku.net/doc/bf9478651.html,ly,f (x )=g (x ) 1+16S (z 3?3z )+124

K (z 4?6z 2+3) C-type Gram-Charlier expansion is an improvement on A-type Gram-Charlier expansion.It relaxes the dependence on Gaussian density and produces positive estimate of density function.The C-type Gram-Charlier expansion implies that the true pdf of X is expanded as f (x )=exp[ ∞

m =11m δm H m (z )] exp[ ∞

m =11m δm H m (z )]dx

where δm is the m th order series coe?cient of the C-type Gram-Charlier expansion (See Rompolis and Tzavalis (2005)and Rompolis and Tzavalis (2007)for more technical details).

B Call option pricing using Heston model

For European option de?ned on the asset prices generated from Heston model(19),Heston (1993)gave an explicit formula to calculate the call prices:

Call(t,s,v,K)=sP1?e?rτKP2

where for j=1,2,

P j=1

2

+

1

π

∞

Re[e?iu log(K)Φ(j)t(u;τ)/(iu)]du(27)

andΦ(j)t(u;τ)is de?ned as

Φ(j)t(u;τ)=exp(C(j)(u;τ)+D(j)(u;τ)v+iu ln(s))(28) with

(i)whenσ>0,

C(j)(u;τ)=ruτi+κθ

σ2

[(b j?ρσui+d)τ?2ln(

1?ge dτ

1?g

)]

D(j)(u;τ)=b j?ρσui+d

σ2

1?e dτ

1?ge dτ

g=b j?ρσui+d b j?ρσui?d

d=

(ρσui?b j)2+σ2(u2?2u j ui)

(ii)whenσ=0,

C(j)(u;τ)=ruτi+κθ(u2?2u j ui)

2b j

(

1?e?b jτ

b j

?τ)

D(j)(u;τ)=u2?2u j ui

2b j

(e?b jτ?1)

and

b1=κ?ρσ,u1=1/2;b2=κ,u2=?1/2(29) Remark B.1One could see that the characteristic function(20)isΦ(2)t(u;τ)of(28).

Exhibit1:Admissible regions for1month TTM S&P500index options

The?gure shows the feasible region of NIG distribution and the region of positive de?niteness for A-type Gram-Charlier in terms of the kurtosis and the squared skewness.The areas below the curves are admissible regions.The region of positive de?niteness is obtained via the dialytic method of Sylvester(see,for instance Shenton(1951),Barton and Dennis(1952)).Superimposed are the kurtosis/squared skewness from1month time to maturity S&P500index options(daily data)for1999(top),2000(middle)and2003(lower).

Exhibit2:Risk Neutral Density of Heston Model

The?gure plots the true probability density curve of the log price ln(Sτ+t

0)(withτ=0.21in year)conditional

at time t0=0together with its approximations by the NIG distribution,Edgeworth and A-type Gram-Charlier expansions.The stock price S t and its volatility V t are generated using Heston model(19)under risk-neutralized pricing probability,namely:

dS t=S t(rdt+√

V t dW1t)

dV t=κ(θ?V t)dt+σ√

V t dW2t

where W1t and W2t are two correlated Brownian motions with correlation coe?cientρ.In our numerical evaluation,we set up the parameters the same as Rompolis and Tzavalis(2007),ie r=0.05,κ=1.62,θ=0.04,σ=0.44andρ=?0.76.Starting from time0with S0=1080,V0=0.026,we generate a cross-section set of European calls with time to maturityτand strike prices spanning the interval[820,1260] at every20points.The put prices are calculated using call-put parity.And the risk neutral moments are computed using the methodology of Bakshi,Kapadia,and Madan(2003).

瀑布水景工程计算方式

15米宽，6米高的人工瀑布，泵的流量要多大，怎样计算？ 上水池32方，下水池是一个大湖南 假设瀑布的厚度为A米。那么可以算一下瀑布停止不动是瀑布的体积：15x6xA=90A，那么我们姑且算厚度A=1cm=0.01m，那么此时的体积是0.9立方。 根据瀑布的高度，水从6m处留下来的时间大约是0.6秒，那么此时的流量大概就是0.9x0.6=0.54立方/秒，即1944立方/小时。此时选泵就选流量2000吨/小时，扬程10m左右的泵，此时水泵的功率大概是110Kw左右。 当A=1mm=0.001m的时候，也根据这种算法，那么水泵的流量是194吨/小时。此时选泵就选流量200吨/小时，扬程10m左右的泵，此时水泵的功率大概是11-15Kw左右。 具体选什么泵可根据实况选择潜水泵，或者离心泵（选离心泵是应注意泵不能放在瀑布上方，因为离心泵没有那么高的吸程，放在上方时吸不上水的）。

水景园林给排水：浅谈景观瀑布设计 俗话说“水为庭院灵魂”，由此可见水在园林景观中的重要作用。水与周围景物结合，便会表现出或悠远宁静，或热情昂扬，或天真质朴，或灵动飞扬的意境．艺术地再造自然之魂．从而产生特殊的艺术感染力，使城市景观更添迷人的魅力。因此．景观瀑布作为水景形态之一，在城市景观设计中运用较多。这里，笔者仅就景观瀑布设计谈几点体会。 1 景观瀑布的分类 1．1 自然式瀑布．即模仿河床陡坎的形式，让水从陡坡处滚落下跌形成恢弘的瀑布景观。此类瀑布多用于自然景观与情趣的环境中 1．2 规则式瀑布．即强调落水的规则与秩序性，有着规整的人工构筑落水E1．可形成一级或多级跌落形式的瀑布景观此类瀑布多用于较为规整的建筑环境中。 1．3 斜坡瀑布，即落水由斜面滑落的瀑布景观。它的表面受斜坡表面质地、结构的影响．体现出较为平静、含蓄的意趣，适用于较为安静的场所。 2 景观瀑布的构成 一个完整的景观瀑布一般由背景、上游水源、落水口、瀑身、承瀑潭及溪流构成。其中，瀑身是观赏的主体。 3 景观瀑布的设计要素 3．1 水量 景观瀑布的形式与其上游水源的水量有着密切的关系，瀑布水量应满足景观瀑布的方案设计要求。供水量在lms／s左右时，瀑身可形成重落、离落、布落等形式；供水量在0．1m3／s左右时，瀑身可形成丝落、线落等形式。 3．2 水泵的选择 3．2．1 流量的选择 首先．根据前面提到的瀑布用水量估算表计算流量，再根据《建筑给水排水设计规范》GB50015—2003第3．1 1．9条计算设计循环流量。即：Qs＝1．2Qc 式中：Qc－景观瀑布的设计循环流量，m3/h；

Gaussian中如何为不同原子指定不同基组

Gaussian中如何为不同原子指定不同基组 We m ay need a larger basis to describe the atom s involved in reaction, whil e describing the rest of the system with sm aller basis sets. In this case, we need the "Gen" keyword A sam ple input: #gfinput iop(6/7=3) #B3LYP/Gen Opt …… N1 N2 N3 0 6-311++G(d,p) **** N4 N5 N6 0 6-31G **** 17:08 | 添加评论 | 固定链接 | 查看引用通告(0) | 写入日志 如何寻找transition state 如何寻找transition state Answer: A sam ple route section #gfinput iop(6/7=3) #B3LYP/6-31G(d) Opt(TS,Noeigen) In order to increase the efficiency of the saddle point search,we could cal culate the force constants by adding "CalcFC" keyword. #gfinput iop(6/7=3) #B3LYP/6-31G(d) Opt(TS,Noeigen,Cal cFC) We can also ask Gassian to autom ati cally generate a gues structure for the reaction by using keyword "QST3" or "QST2" #gfinput iop(6/7=3) #B3LYP/6-31G(d) Opt(QST3,Noeigen,CalcFC) A+B-->C Reactant //title section 0 1 structure of A+B A+B-->C Product 0 1 structure of C A+B-->C TS 0 1 guess structure for the TS

跌水水景流量设计

跌水水景在小区水景中为常见的一种表现形式,水量控制是其中的一个关健点.跌水水景水量过大则能耗大，长期运转费用高；跌水水景水量过小则达不到预期的设计效果。 关健字:水景??跌水跌水水景 在水景设计中，跌水水景是构成溪流、叠流、瀑布等水景的基本单元，具有动态和声响的效果，因而应用较广。 与静态水景不同，动态水景的水是流动的，其流动性一般用循环水泵来维持，水量过大则能耗大，长期运转费用高；水量过小则达不到预期的设计效果。因此，根据水景的规模确定适当的水流量十分重要。 1跌水水景的水力学特征及计算 跌水水景实际上是水力学中的堰流和跌水在实际生活中的应用，跌水水景设计中常用的堰流形式为溢流堰. 根据δ和H的相对尺寸，堰流流态一般分为薄壁堰流、实用堰流、宽顶堰流等三种形式： 当δ/H<0.67，为薄壁堰流；0.67<δ/H<2.5，为实用堰流；2.5<δ/H<10，为宽顶堰流； δ/H>10,为明渠水流，不是堰流。 跌水水景设计中，常用堰流形态为宽顶堰流。 当跌水水景的土建尺寸确定以后，首先要确定跌水水景流量Q，当水流从堰顶以一定的初速度v0落下时，它会产生一个长度为ld的水舌。若ld大于跌水台阶宽度lt，则水景水流会跃过跌水台阶；若ld太小，则有可能出现水景水舌贴着水景跌水墙而形成壁流。这两种情况的出现主要与跌水水景流量Q的大小有关，设计时应尽量选择一个恰当的跌水水景流量以避免上述现象的发生。 水景中的跌水水景设计(二) 跌水水景在小区水景中为常见的一种表现形式,水量控制是其中的一个关健点.跌水水景水量过大则能耗大，长期运转费用高；跌水水景水量过小则达不到预期的设计效果。 关健字:水景??跌水跌水水景 1.1跌水水景流量计算 根据水力学计算公式，一般宽顶堰自由出流的流量计算式为： Q=σc·m·b·(2g)0.5·H1.5=σc·M·b·H1.5 式中b——堰口净宽H——包括行进流速水头的堰前水头， H=H0+υ02/2g 式中υ0——行进流速m——自由溢流的流量系数，与堰型、堰高等边界条件有关σc——侧收缩系数 M=m·(2g)0.5当堰口为矩形时，侧收缩系数σc为1，上述计算式即简化为《给水排水设计手册》中的流量计算式： Q=m·b·(2g)0.5·H1.5=M·b·H1.5

跌水水景中设计中的计算

跌水水景中的计算实例 某宾馆根据其地形条件在大堂内设计一溢流式跌水景，为扇形结构，第一级跌水高度P为2.1 m，堰口为弧线形，长度b=14.65 m，堰顶宽δ=0.15 m，跌水台阶宽度l t =0.7m。 2.1 计算跌水流量Q 根据宾馆大堂环境的要求，跌水流量不须太大，因此，初始选定堰前水头H=0.2 kPa，根据堰流的出口形式，流量系数M=1 417.4，因此试算流量： 2.2 校核跌水水舌 l d 根据试算流量Q可求出跌水景溢流口的单宽流量： q=Q/b=4.007×10-3 m3/(s·m) 由此得 D=q2/(g·p3)=1.767 3×10-7 跌水水舌长度： l d =4.30×D0.27×P=0.136m 0.1

根据δ和H的相对尺寸，堰流流态一般分为薄壁堰流、实用堰流、宽顶堰流等三种形式： 当δ/H<0.67，为薄壁堰流；0.67<δ/H<2.5，为实用堰流；2.5<δ/H<10，为宽顶堰流； δ/H>10,为明渠水流，不是堰流。 跌水水景设计中，常用堰流形态为宽顶堰流。 当跌水水景的土建尺寸确定以后，首先要确定跌水水景流量Q，当水流从堰 顶以一定的初速度v 0落下时，它会产生一个长度为l d 的水舌。若l d 大于跌水台 阶宽度l t ，则水景水流会跃过跌水台阶；若l d 太小，则有可能出现水景水舌贴 着水景跌水墙而形成壁流。这两种情况的出现主要与跌水水景流量Q的大小有关，设计时应尽量选择一个恰当的跌水水景流量以避免上述现象的水景中的跌水水景设计(二) 1.1 跌水水景流量计算 根据水力学计算公式，一般宽顶堰自由出流的流量计算式为： Q=σ c ·m·b·(2g)0.5·H1.5=σ c ·M·b·H1.5 式中b——堰口净宽H——包括行进流速水头的堰前水头，H=H0+υ 2/2g 式中υ ——行进流速m——自由溢流的流量系数，与堰型、堰高等边界条件有关σc——侧收缩系数 M=m·(2g)0.5 当堰口为矩形时，侧收缩系数σc为1，上述计算式即简化为《给水排水设计手册》中的流量计算式： Q=m·b·(2g)0.5·H1.5=M·b·H1.5 上式中，M(或m)为流量系数，与堰的进口边缘形式有关；b为堰口净宽，为已知，因此要求出水景流量Q，关键要确定出堰前水景水头H，堰前水景水头一般先凭经验选定、试算。通常H的初试值可选为0.2～0.4 kPa，当水景堰口为直角时宜取上限，堰口为斜角或圆角时取下限。H初值选定后，根据上述计算式算

Gaussian软件应用——高精度能量模型

Gaussian软件应用——高精度能量模型 第七章高精度能量模型 前两章中,我们讨论了不同理论方法和基组的计算精度,也讨论了各自的优缺点, 本章讨论得到非常精确结果的方法. 高精度模型的建立,能够是关于能量的计算精度达到2kcal/mol的差距.一般的, 达到这样的精度需要一个庞大的QCISD(T)计算,甚至对于小分子的处理,其运算量也是惊人的. G2,CBS-4,CBS-Q方法是包括了一系列采用特别方法处理的计算的组合,可以提供更为精确的结果. 7.1 预测热化学 我们主要讨论的是原子化能,电子亲和势,离子化能和质子亲和能. 原子化能 原子化能是分子与组成分子的原子的能量差,如对于PH2,其原子化能为 E(P)+2(EH())-R(PH2) 例7.1 文件e7_01 PH2的原子化能 采用B3LYP/6-31G(d)优化几何构型,计算零点能(矫正因子0.9804),用B3LYP/6-31+G(d,p)计算能量. 得到的原子化能为148,3kcal/mol,实验值为144,7,误差3.6kcal/mol 电子亲和势 电子亲和势 电子亲和势指体系增加一个电子后能量的变化,计算方法为中性分子和其阴离子的能量差.同上例中计算方法得到的PH2电子亲和势为1.24eV,实验值1.26eV, 误差0.02eV,大约0.5kcal/mol 离子化能 离子化能指体系减少一个电子的能量的变化,计算方法为中性分子和其阳离子的能量差距.同上两例计算方法得到的离子化能为9.95eV,实验值9,82eV,误差-0.13eV 约-2.9kcal/mol. 质子亲和能 质子亲和能为体系增加一个质子后的能量变化,计算方法为分子与在其基础上增加一个质子的体系的能量差距.同上例计算方法得到的质子亲和能为185.9kcal/mol, 实验值为187.1kcal/mol,差距1.2kcal/mol. 7.2 理论模型的评价 理论模型一般采用上面的热力学数据来评价 7.3 G2分子基(Molecule Set)以及缺陷及对缺陷的解释 G2分子基是在55个原子化能,38个离子化能,25个电子亲和势和7和质子亲和能的基础上发展的. 这个分子基有很多优点,使得其能够得到精确的热力学结果 * 热力学数据一般是很难模拟的,误差产生于模型假设中的缺陷. * 实验值也是有误差的 * 该分子基包含了大量的原子 * 该分子基包含了大量的特殊体系,如离子,开壳层体系等 其缺点是, * 其所处理的分子体系小,推广到大的体系是必须要小心 * 不是所有的键型都支持的,比如不包括环状分子,没有C-F键 * 只能研究前两周期原子,推广到其他原子,如过渡金属可能会有问题 * 由于其产生于非常精确的热力学数据,其本身是武断的,甚至对于一些一二 周期原子的双原子分子不能全部得到精确结果 这一点本身很重要,因为从一小部分分子的某个热力学数据得到的理论模型在应用上必须小心. 7.4 理论模型的相对精确性 通过对半经验(AM1),HF方法,MP(MP2),DFT(B3LYP, SVWN)等理论方法的比较,

跌水水景流量设计

水景中的跌水水景设计(一) 跌水水景在小区水景中为常见的一种表现形式,水量控制是其中的一个关健点.跌水水景水量过大则能耗大，长期运转费用高；跌水水景水量过小则达不到预期的设计效果。 关健字:水景跌水跌水水景 在水景设计中，跌水水景是构成溪流、叠流、瀑布等水景的基本单元，具有动态和声响的效果，因而应用较广。 与静态水景不同，动态水景的水是流动的，其流动性一般用循环水泵来维持，水量过大则能耗大，长期运转费用高；水量过小则达不到预期的设计效果。因此，根据水景的规模确定适当的水流量十分重要。 1 跌水水景的水力学特征及计算 跌水水景实际上是水力学中的堰流和跌水在实际生活中的应用，跌水水景设计中常用的堰流形式为溢流堰. 根据δ和H的相对尺寸，堰流流态一般分为薄壁堰流、实用堰流、宽顶堰流等三种形式：当δ/H<0.67，为薄壁堰流；0.67<δ/H<2.5，为实用堰流；2.5<δ/H<10，为宽顶堰流； δ/H>10,为明渠水流，不是堰流。 跌水水景设计中，常用堰流形态为宽顶堰流。 当跌水水景的土建尺寸确定以后，首先要确定跌水水景流量Q，当水流从堰顶以一定的初速度v0落下时，它会产生一个长度为ld的水舌。若ld大于跌水台阶宽度lt，则水景水流会跃过跌水台阶；若ld太小，则有可能出现水景水舌贴着水景跌水墙而形成壁流。这两种情况的出现主要与跌水水景流量Q的大小有关，设计时应尽量选择一个恰当的跌水水景流量以避免上述现象的发生。 水景中的跌水水景设计(二) 跌水水景在小区水景中为常见的一种表现形式,水量控制是其中的一个关健点.跌水水景水量过大则能耗大，长期运转费用高；跌水水景水量过小则达不到预期的设计效果。 关健字:水景跌水跌水水景 1.1 跌水水景流量计算 根据水力学计算公式，一般宽顶堰自由出流的流量计算式为： Q=σc·m·b·(2g)0.5·H1.5=σc·M·b·H1.5 式中b——堰口净宽H——包括行进流速水头的堰前水头， H=H0+υ02/2g 式中υ0——行进流速m——自由溢流的流量系数，与堰型、堰高等边界条件有关σc——侧收缩系数 M=m·(2g)0.5当堰口为矩形时，侧收缩系数σc为1，上述计算式即简化为《给水排水设计手册》中的流量计算式： Q=m·b·(2g)0.5·H1.5=M·b·H1.5 上式中，M(或m)为流量系数，与堰的进口边缘形式有关；b为堰口净宽，为已知，因此要求出水景流量Q，关键要确定出堰前水景水头H，堰前水景水头一般先凭经验选定、试算。通常H的初试值可选为0.2～0.4 kPa，当水景堰口为直角时宜取上限，堰口为斜角或圆角时取下限。H初值选定后，根据上述计算式算出跌水水景流量Q，由于Q值为试算结果，还须根据跌水水景水舌的长度对Q的大小作进一步的校核和调整。 1.2 校核水景水舌长度 根据水力学的计算公式，溢流堰的跌落水景水舌长度为：

gaussian高级注释

Gaussian98高级注释 Mark A. Zottola，David C. Young（阿拉巴马超级计算中心） ****************** 目录 ****************** 计算电子激发态 收敛问题的调整 自旋污染 使用赝势 耦合簇 Gaussian和CBS理论 精度和CPU时间比较 练习 计算电子激发态 有很多方法可以计算电子激发态，其中有些就在Gaussian中，虽然它并不是完成这项任务最好的程序。它们在精度、易用性和计算资源需求方面各不相同。全部考虑，有下面这些： 1.通过改变多重度，计算不同于基态自旋的第一激发态。 2.CIS计算，使用CIS关键字。不用选择，自动包含Density关键字， 所以布居数分析将反映激发态。对于闭壳层基态，你可以定义计算单重 激发态还是三重激发态或是都计算 (CIS=Singlets, CIS=Triplets, CIS=50-50)。使用CIS=(Root=N)定义哪一个激发态用于几何优化，其中N 为1是第一激发态。 3.对角区域哈密顿量允许定义每个对称性有多少电子态。但不能用于 Gaussian。 4.关键字ZINDO定义了ZINDO-1半经验方法。它的选项和上面CIS列出 的相同。在Gaussian 98中，ZINDO不能用于几何优化。 5.多重行列式计算中更高的根。在Gaussian中用于CASSCF，使用关键 字CASSCF(NRoot=N)。Opt=Conical与CASSCF结合，寻找避免交叉或圆锥交叉点。关键字StateAverage可以给出更精确的激发能。关键字 Spin在计算中包含两个态之间近似的自旋-轨道耦合。 6.含时计算考虑两个态间的谐振，因而给出了得到激发态信息的方法。 关键字TD 使用和上面CIS相同的选项。它可以用于HF和DFT计算。

景观水景工程计算书

水景工程

第五章水景工程 导言：园林中最主要的造景法之一是什么？ 水景工程中都包含哪些内容？ 第三章水景工程 第一节水的功能及分类 ，涉及的内容有水体的类型，各种水景的布置，驳岸、护坡、喷泉等。 一、水体的功能 1.造景：水有三态液态：喷泉、瀑布、跌水。 气态：喷雾泉、创造仙境舞台。 固态：滑冰场、冰雕 2.改善小气吸收粉尘，改善环境卫生 3.有利于动植物的生长，特别是水生植物。 4.灌溉与消防 5.水上游乐，划船、游泳、垂钓、漂流 6.组织交通，水上游览 7.水能陶冶人的情操，提高人的修养 二、水系的构成 自然降雨→地表径流（泉水）→涧、溪→瀑布→潭→河→江→海 三、水源种类：

⑴市政给水，自来水（水质好） ⑵地下水 ⑶地表水 四、水体的形式与分类 1.按水体的形式分：水的形式与其所在环境有关。 ⑴自然式水体：边缘不规则，变化自然的水体。例如：河、湖、池、溪、涧等。 ⑵规则式水体：边缘规则，具有明显的轴线的水体，一般是几何形。 ⑶混合式水体：是规则式与不规则式两种交替穿插形成的水环境。 2.按水体的功能分： ⑴观赏性水体：叶饺装饰性水池，面积较小。 ⑵开展活动性水体：游泳馆、游船、垂钓。大规模综合性公园都属此类。 3.按水流状态分： ⑴静态水景：园林中成片汇集的水面，湖、塘、池等。 ⑵动态水景：流动的水，具有动感，溪、涧、瀑布、跌水等。

小结：本次课讲了三个方面 1.水的功能。 2.水的构成。 3.水体的分类。 思考题：1.水体的构成。 2.水体的分类。 引言：上节课我们学习了水景工程的基本知识，也就是水体的分类和功能，下面我们来学习水体中的重要水工措施: 驳岸与护坡。 第二节驳岸与护坡 园林水体要求有稳定、美观的水岸来维持陆地和水面有一定的面积比例，防止陆地被淹或水岸塌陷而扩大水面。因此在水体边缘必须建造驳岸与护坡。同时，作为水景组成的驳岸与护坡直接影响园景，必须从实用、经济、美观几个方面一起考虑。

Gaussian软件应用——基组的影响

Gaussian软件应用——基组的影响 第五章基组的影响 基组是体系内轨道的数学描述.大的基组由于对电子在空间上有小的限制而具有更大的精确性. 用于电子结构计算的标准的基组使用线性的高斯函数来模拟轨道. Gaussian提供大量的已经定义好的基组. 5.1 最小基组 最小基组包含了描述轨道的最少的函数数量. H: 1s C: 1s, 2s, 2px, 2py, 2pz STO-3G是最小基组(虽然不是可能的最小基组),每一个基本函数中含有三个高斯函数,于是就有了3G的名称.STO代表Slater形的轨道,这样,STO-3G就表示采用三个高斯函数来描述Slater轨道. 5.2 分裂基组 增大基组的第一个方法就是增加每个原子基函数的数量.分裂基组,比如3-21G和6-31G,对于价键轨道都用两个函数来进行描述,比如 H: 1s, 1s' C: 1s, 2s, 2s', 2px, spy, spz, spx', spy', spz' 其中的主要轨道和非主要轨道在大小上不同. 双zeta基组,如Dunning-Huzinaga基组(D95),采用每个原子的两种不同大小的函数的线性组合来描述分子轨道.同样的,三重分裂基组,如6-311G,采用三个不同大小的收缩函数来描述轨道. 5.3 极化基组 分裂基组允许轨道改变其大小,但不能改变形状.极化基组则取消了这样的限制,增加了角动量.比如在碳原子上增加d轨道的成分,在过渡金属上增加f轨道成分.有些在氢原子上增加p轨道成分. 一般的,常用的极化基组是6-31G(d),这个基组来源与6-31G基组,并在其基础上,对于重原子增加了d轨道的成分.由于这个基组是中等大小的基组,在计算中很常用.这个基组也被称为6-31G*. 另一个常用的极化基组是6-31G(d,p),也称为6-31G**, 在前一个极化基组的基础上,在氢原子轨道中加入了p的成分. 注意,d轨道含有6个迪卡尔形式,表示的是五个纯粹的轨道. 迪卡尔: d(x2), d(y2), d(z2), d(xy), d(xz), d(yz) 看轨道: d(z2-r2), d(x2-y2), d(xy), d(xz), d(yz) 5.4 弥散函数(Diffuse Functions) J. Chem. Inf. Model. 2007, 47, 1045-1052 Basis Set Exchange: A Community Database for Computational Sciences 弥散函数是s和p轨道函数的大号的版本.他们允许轨道占据更大的空间.对于电子相对离原子核比较远的体系,如含有孤对电子的体系,负离子,以及其他带有明显负电荷的体系,激发态的体系,含有低的离子化能的体系,以及纯酸的体系等,弥散函数都有重要的应用. 6-31+G(d)基组表示的是6-31G(d)基组在重原子上加上弥散基组, 6-31G++(d)基组表示对于氢原子也加上弥散函数.这两者一般在精度上没有大的差别. 例5.1 文件e5_01 甲醇和甲氧基负离子的优化. 采用6-31G和6-31+G分别对二者进行优化.对于甲醇的结构,弥散函数没有明显的作用,而对于甲氧基负离子,弥散函数的使用明显改善了优化结果. 5.5 高角动量基组 现在使用的更大的基组,是在分裂基组基础上增加多个角动量.比如6-31G(2d)就是在6-31G基础上增加两个d轨道的函数,而6-311++G(3df,3pd)则增加了更多的极化函数,包括三个分裂的价键基组,在重原子和氢原子上加的弥散函数,在重原子上加的三个d函数和一个f函数,在氢原子上加的三个p函数和一个d函数.这样的基组在电子相关方法重对于描述电子之间的作用有很重要意义.这些基组一般不用于HF计算.

跌水水景流量设计

跌水水景流量设计 集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-

跌水水景在小区水景中为常见的一种表现形式,水量控制是其中的一个关健点.跌水水景水量过大则能耗大，长期运转费用高；跌水水景水量过小则达不到预期的设计效果。 关健字:水景??跌水跌水水景 在水景设计中，跌水水景是构成溪流、叠流、瀑布等水景的基本单元，具有动态和声响的效果，因而应用较广。 与静态水景不同，动态水景的水是流动的，其流动性一般用循环水泵来维持，水量过大则能耗大，长期运转费用高；水量过小则达不到预期的设计效果。因此，根据水景的规模确定适当的水流量十分重要。 1跌水水景的水力学特征及计算 跌水水景实际上是水力学中的堰流和跌水在实际生活中的应用，跌水水景设计中常用的堰流形式为溢流堰. 根据δ和H的相对尺寸，堰流流态一般分为薄壁堰流、实用堰流、宽顶堰流等三种形式： 当δ/H<0.67，为薄壁堰流；0.67<δ/H<2.5，为实用堰流； 2.5<δ/H<10，为宽顶堰流； δ/H>10,为明渠水流，不是堰流。 跌水水景设计中，常用堰流形态为宽顶堰流。 当跌水水景的土建尺寸确定以后，首先要确定跌水水景流量Q，当水流从堰顶以一定的初速度v0落下时，它会产生一个长度为ld的水舌。若ld大于跌水台阶宽度lt，则水景水流会跃过跌水台阶；若ld太小，则有可能出现水景水舌贴着水景跌水墙而形成壁流。这两种情况的出现主要与跌水水景流量Q的大小有关，设计时应尽量选择一个恰当的跌水水景流量以避免上述现象的发生。 跌水水景在小区水景中为常见的一种表现形式,水量控制是其中的一个关健点.跌水水景水量过大则能耗大，长期运转费用高；跌水水景水量过小则达不到预期的设计效果。 关健字:水景??跌水跌水水景 1.1跌水水景流量计算 根据水力学计算公式，一般宽顶堰自由出流的流量计算式为：

gaussian-pesdo and basis set

https://https://www.wendangku.net/doc/bf9478651.html,/bse/portal 关于这个问题，有篇文章讲得特别好 JPCA 2007, 111, 10439-10452 以下均为个人经验，搞错了不负责 《什么样的泛函和基组的组合，适合做的事情》 这些都是我自己科研经验和以前读的文献的总结。也没写什么参考文献，就是随便扯扯，这就全凭自己的经验和记忆啦，想到哪儿写到哪儿。这里面肯定有不对的，甚至有荒谬之极的东西，还请大家指正。也希望自己抛砖引玉，其他高手也讲讲自己的经验。 很少见到高手们总结自己的科研经验和阅览的文献。小卒我这个屁股上还没褪干净蛋壳的小菜鸟，只好抛出一块又丑又粗糙的破砖，引引高手们的美玉啦。 以下探讨均不涉及cluster。主要是有机化合物、以及金属离子和有机配体组建成的配合物。其计算也都是基于单个分子的计算。周期体系不在考虑之列——这是一句无奈的词句，因为我的研究方向不在此处，所以我确实没有仔细思考过它们 1分子结构、键长和键角： 对于比较轻的元素，比如CHON之类，b3lyp/6-311++g**就很优秀，如果把基组加到了aug-cc-pv?z的程度，就没什么大的必要了。有人甚至说，Cl以前的元素用6-31g就好，如果有孤对电子加个d就行了，如果带负电荷就加个弥散。 对于一些中等重量的元素，LanL2DZ或者DZVP之类的基组就不错啦，没必要加更高的机组了，加了也是浪费。Fe的LanL2DZ有人换成SDD试过，换了以后得到不同基态结果，千万小心使用SDD。第一行过渡金属，如果只有一个，那么6-311+g*的计算量还是可以承受的；两个及两个以上，非赝势很难算。lanl2dz和sdd都是比较好的选择。除非做单点算，否则非要上mp2算就没太大必要了。 再重一些，比如稀土，LanL2DZ就不行了，M. Dolg先生搞出来的那个基组，斯图加特RECP 的[5s4p3d]-GTO占了大部分市场份额。而泛函选择上，百分之四十用的是B3LYP，百分之四十用的是B3PW91，百分之五用的是MPn族，百分之五用的是CCSD(T)族，百分之五用的是PBE族，百分之五用的是经过改进的半经验。有时候还要自己选择，是用小核赝势呢，还是大核赝势呢。听说ADF用PBE/DZPZORA处理稀土，效果也不错，但是我没用过。 有金属的时候，据说tpss不错，但是我也没用过，不敢说。 这里我要批一批我偶然见到的一个文献：Int.J.Electrochem.Sci. 2009, 4, 295-307，伊朗的一群人做的工作。他们居然用6-31G*计算稀土元素，这简直是扯淡，大家不要学他。 半经验方法中，处理CHNO之类的元素，AM1和PM3都不错，PM6也很好，他们可以作为我们前期粗略优化的手段。不过要注意AM1处理共轭体系不太好。有人用Sparkle/AM1和Sparkle/PM3处理稀土元素。精度并不是多么好，但是极大地减轻了计算量，可以说还是很有成效的一个工作。不过这里不探讨半经验，仅仅探讨密度泛函，所以不多说了。 一个例子：[Fe(CN)6]3-，我会选择B3lyp/genecp来优化其分子结构，然后用PBE1PBE/genecp来计算其电子结构。genecp对应关系如下（其实，这个混合基组有自己的专门的名字，叫做LACVP+*） Fe 0 LanL2DZ **** C N 0 6-31+g* ****

跌水设计

一、概述 （一）定义 1、跌水：跌落的水，由于地形突然的高差变化而产生的水流现象。 2、瀑布：地形较大的落差变化，使平面的水流呈现直落或斜落的立面水流。 3、叠水：地形呈阶梯状的落差和地貌的凹凸变化，使水流呈现层叠流落而成水流现象 （二）跌水景观的功能 1、跌落的水携带空气中大量的氧进入河流，给水流中的动植物和微生物提供良好的生长条件。 2、飞溅的水花增加了空气湿度，过滤空气中的尘埃。 （三）跌水景观的形式种类 1、水立面形式：线状、点状、帘状、片状、散落状 2、落水方式：直落、飞落、叠落、滑落 3、跌落形式：直接入水式、溅落入水式、可视、可听，具有独特的景观效果。（四）不同形式的形成原因 1、地形的落差决定瀑布形成的高低和水声。 2、地貌的凹凸决定瀑布流落的形状。 3、水流量的多少决定瀑布落水的形式。 4、出水口的大小决定瀑布规模的宽窄。 二、跌水景观的设计要素 1、蓄容 蓄容水流的流量在1m3/s左右的瀑布可行成帘状，片状，和散落状；当仅有0.1m3/s的水流时，则呈现线状、点状。

蓄容分上下两个部位----底池蓄水和堰顶蓄水 2、出水口 （1）隐蔽式：将出水口隐藏在景观环境之中，让水流呈现自然瀑布的形状。（2）外露式：将出水口突显于景观之外，形成明显的人工瀑布造型。 （3）单点式：水流从单一出口跌落，形成单体瀑布。 （4）多点式：出水口以多点或阵列的方式布局，形成规模较大的瀑布景观。

3、瀑布水面 通过控制背景的凹凸肌理加强水面的细节表现，形成造型丰富、形式多样的瀑布景观。 三、叠水景观形式 1、叠水景观以水立面的变化为主要的表现形式。 2、叠水的形式 （1）水帘 水帘是由较大的落差和较宽水流面形成的叠水，控制水流量与出水口的形状将得到不同的水帘形态。 （2）洒落 流量较小的叠水，在较低水压下呈点状或线状跌落。 （3）涌流 涌流是有多层蓄水池不断被注满涌溢而出形成，水流量较大，叠水面呈面状跌落。 （4）管流 由外露式出水管以多种陈列方式形成叠水，水流呈线状。 （5）壁流 流水顺池壁流下，水面可随池壁呈多角度流落。 （6）阶梯式 由多层阶梯造型构成叠水景观。 （7）塔式 多层蓄水池由上至下，由小到大，呈环状倾流而下。 （8）错落式

gaussian基组方法

最准确的方法要数我们重点研究的从头算分子轨道方法了。它使用的是完全的薛定谔方程, 对原子核及其电子这个体系进行最准确的计算, 得到准确的分子结构及其电子分布, 属于量子力学的在化学中的应用。用从头算分子轨道理论, 我们可以系统地改进我们的计算结果, 逐步逼近实验结果, 直到达到化学精度： 化学精度的含义就是, 对于键长, 误差在正负0,02A, 键角的正负误差为2度, 键能 的误差为正负2kcal/mol 在从头算方法中, 我们不需要任何经验参数, 只需要象光速, 电子电荷, 电子质量, 原子核质量, Planck常数等这些最基本不变的量即可, 所以从头算方法也被称为从 第一原理出发。 所谓的第一原理, 在非相对论情况下就是薛定谔方程, 在相对论情况下就是Dirac方程。 用从头算方法可以对分子结构进行最准确和精确的描写, 可以描写分子的各种性质, 得到其准确能量, 预测其反应性能。 但是由于其要处理所有的核和电子, 是一个非常复杂的多体问题, 另外, 化学能量 仅仅是总能量的很小一部分, 约1%或更小, 因此要得到化学上准确的结果就需要得到十分精确的体系能量, 因此计算成本也十分高。 随着计算机技术的发展, 这种情况在逐步得到改善, 对于很小的体系, 已经可以进 行十分准确的计算了。 从头算方法是经典的量子化学方法, 是为了求得薛定谔方程的波函数, 再在波函数的基础上求得体系的所有性质。但是, 我们知道, 无论物理学家还是化学家, 都对电子密度有很深的印象, 那么能不能从电子密度来得到体系的性质呢, 特别是得到我们最关心的性质, 比如体系的能量从20世纪60年代开始, Kohn等就提出了一系列定理, 证明从电子密度得到体系的基态能量是可以的, 这就奠定了密度泛函理论的基础密度泛函理论也是基于完全的薛定谔方程, 在原理上可以得到准确的电子密度或电子分布,经过近30年的发展, 到上世纪90年代, 随着其泛函的发展, 对化学结构的预测可以很容易达到很高的精度, 但是至今也无法找到一种系统的方法, 去象从头算方法那样系统地改进到化学精度。这主要是因为在密度泛函理论中有1项叫做交换相关泛函的, 它必须先猜测一个含参数的公式, 再用小分子体系去拟合其中的参数, 在这一方面, 它具有经验的性质, 因此有些人称之为一种半经验方法用密度泛函理论可以描写化学体系的结构, 性质, 能量和反应性能, 因为其计算成本比较低, 因此可以计算比较大的体系, 是现在计算化学研究方法的主力。 DFT确定是不能很好的计算范德华作用。 1基组(Basis Set) 1.1基本概念 求解Hartree-Fock-Roothaan方程首先要选取一组合适的原子轨道基函数集合，即基组。基组(Basis Set)是对轨道的数学描述，是求解量子化学问题的工具，可以理解为把电子限制在空间的一定区域内。根据量子化学理论，基组规模越大，对电子的空间局域越小，对轨道的描述越精确i。当基组规模趋于无限大时，量化计算的结果也就逼近真实值。 斯莱特型基组 原子轨道常用简单函数形式斯莱特型基组(Slater Type Orbital,STO)[30]近似表达。Slater型轨道基函数适于描述电子云的分布，在反映分子中电子运动时远比其它基函数优越，但是在计算一些积分时都包括对无穷级数的积分，计算十分复杂。 最小基组（Minimum Basis Set）

跌水水景中设计中的计算

跌水水景中设计中的计 算 标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]

跌水水景中的计算实例 某宾馆根据其地形条件在大堂内设计一溢流式跌水景，为扇形结构，第一级跌水高度P为2.1 m，堰口为弧线形，长度b=14.65 m，堰顶宽δ=0.15 m，跌水台阶宽度 l t =0.7m。 计算跌水流量Q 根据宾馆大堂环境的要求，跌水流量不须太大，因此，初始选定堰前水头H= kPa，根据堰流的出口形式，流量系数M=1 ，因此试算流量： 校核跌水水舌 l d 根据试算流量Q可求出跌水景溢流口的单宽流量： q=Q/b=×10-3 m3/(s·m) 由此得 D=q2/(g·p3)= 3×10-7 跌水水舌长度： l d =××P=0.136m

在水景设计中，跌水水景是构成溪流、叠流、瀑布等水景的基本单元，具有动态和声响的效果，因而应用较广。 与静态水景不同，动态水景的水是流动的，其流动性一般用循环水泵来维持，水量过大则能耗大，长期运转费用高；水量过小则达不到预期的设计效果。因此，根据水景的规模确定适当的水流量十分重要。 1 跌水水景的水力学特征及计算 跌水水景实际上是水力学中的堰流和跌水在实际生活中的应用，跌水水景设计中常用的堰流形式为溢流堰. 根据δ和H的相对尺寸，堰流流态一般分为薄壁堰流、实用堰流、宽顶堰流等三种形式： 当δ/H<，为薄壁堰流；<δ/H<，为实用堰流；<δ/H<10，为宽顶堰流； δ/H>10,为明渠水流，不是堰流。 跌水水景设计中，常用堰流形态为宽顶堰流。 当跌水水景的土建尺寸确定以后，首先要确定跌水水景流量Q，当水流从堰顶以 一定的初速度v 0落下时，它会产生一个长度为l d 的水舌。若l d 大于跌水台阶宽度l t ，则 水景水流会跃过跌水台阶；若l d 太小，则有可能出现水景水舌贴着水景跌水墙而形成壁流。这两种情况的出现主要与跌水水景流量Q的大小有关，设计时应尽量选择一个恰当的跌水水景流量以避免上述现象的 水景中的跌水水景设计(二)

Gaussian计算中分子总能量各项的意义

Gaussian计算中分子总能量各项的意义 在HFSCF方法计算中,体系采取固定核近似后,体系的哈密顿算符分为电子哈密顿和核哈密顿两部分,电子哈密顿分为三部分,电子动能,电子间斥能,及核电排斥,通过单电子近似,得到单电子的HF方程,自洽场的结果得到了电子的能量．核哈密顿分为两部分,核动能及排斥,由于核固定动能为零,只剩下一项,因此体系的能量就是电子能量加上核斥能,,这就是我们计算得到的分子总能量,因为分子在OK时仍在平衡位置振动,要加上零点校正.最后结果即例子中的: Sum of electronic and zero-point Energies= -113.837130 在分子的热力学计算中,包括了零点能的输出,零点能是对分子的电子能量的矫正,计算了在0K温度下的分子振动能量.但我们计算的热力学数据并不总是在OK时,为了计算在较高温度下的能量,内能也要考虑到总能量中,它包括平动能,转动能,和振动能.注意在计算内能的时候,已经考虑了零点能.下面是一个计算实例 Temperature 298.15 Kelvin. Pressure 1.0000 Atm. Zero-point correction= 0.029201 Thermal corection to Energy= 0.032054 Thermal correction to Enthalpy= 0.032999 Thermal correction to Gibbs Free Energy= 0.008244 Sum of electronic and zero-point Energies= -113.837130 Sum of electronic and thermal Energies= -113.834277 Sum of electronic and thermal Enthalpies= -113.833333 Sum of electronic and thermal Free Energies= -113.858087 后面四行的四个能量分别为E0, E, H, G. 计算为 E0=E(elec) + ZPE E=E0 + E(vib) + E(rol) + E(transl) H=E + RT G=H - TS 上例是在298.15K和1.0Atm下计算的热力学状态函数,EO即我们的分子体系总能量,而在求298.15K下的内能E时,要加上平动能,转动能,和振动能,由统计热力学知,这三项处于激发能级,注意这里的ZPE实际上就是对应E(vib)在OK时的能量,但现在并非0K,有关能量随温度变化公式可参考统计热力著作,最后得到的Ｅ就是平常所指的内能U，这正是统计热力学中对内能的定义.对H,G状态函数，不再叙述． 由于本版无法上传公式，还请见谅，有关内容请参看相关著作 Gaussian中关于基组设置的简单介绍 基组有两种，一种是全电子基组，另一种是价电子基组。价电子基组对内层的电子用包含了相对论效应的赝势（缩写PP，也称为模型势，有效核势，缩写ECP）进行近似。以铟原子为例，可以输入下面的命令来观察铟原子3-21G 基组的形式： # 3-21G GFPrint In 0,2 In 输出结果为： 3-21G (6D, 7F)

跌水水景流量设计

跌水水景流量设计 Revised by Petrel at 2021

水景中的跌水水景设计(一) 跌水水景在小区水景中为常见的一种表现形式,水量控制是其中的一个关健点.跌水水景水量过大则能耗大，长期运转费用高；跌水水景水量过小则达不到预期的设计效果。 关健字:水景?跌水跌水水景 在水景设计中，跌水水景是构成溪流、叠流、瀑布等水景的基本单元，具有动态和声响的效果，因而应用较广。与静态水景不同，动态水景的水是流动的，其流动性一般用循环水泵来维持，水量过大则能耗大，长期运转费用高；水量过小则达不到预期的设计效果。因此，根据水景的规模确定适当的水流量十分重要。 1跌水水景的水力学特征及计算 跌水水景实际上是水力学中的堰流和跌水在实际生活中的应用，跌水水景设计中常用的堰流形式为溢流堰. 根据δ和H的相对尺寸，堰流流态一般分为薄壁堰流、实用堰流、宽顶堰流等三种形式： 当δ/H<0.67，为薄壁堰流；0.67<δ/H<2.5，为实用堰流；2.5<δ/H<10，为宽顶堰流；δ/H>10,为明渠水流，不是堰流。 跌水水景设计中，常用堰流形态为宽顶堰流。当跌水水景的土建尺寸确定以后，首先要确定跌水水景流量Q，当水流从堰顶以一定的初速度v0落下时，它会产生一个长度为ld的水舌。若ld大于跌水台阶宽度lt，则水景水流会跃过跌水台阶；若ld太小，则有可能出现水景水舌贴着水景跌水墙而形成壁流。这两种情况的出现主要与跌水水景流量Q的大小有关，设计时应尽量选择一个恰当的跌水水景流量以避免上述现象的发生。 水景中的跌水水景设计(二) 跌水水景在小区水景中为常见的一种表现形式,水量控制是其中的一个关健点.跌水水景水量过大则能耗大，长期运转费用高；跌水水景水量过小则达不到预期的设计效果。 关健字:水景?跌水跌水水景 1.1跌水水景流量计算根据水力学计算公式，一般宽顶堰自由出流的流量计算式为： Q=σc·m·b·(2g)0.5·H1.5=σc·M·b·H1.5式中b——堰口净宽H——包括行进流速水头的堰前水头，

水景设计中跌水水景的设计

水景设计中跌水水景的设计及计算 在水景设计中，跌水是构成溪流、叠流、瀑布等水景的基本单元，具有动态和声响的效果，因而应用较广。 与静态水景不同，动态水景的水是流动的，其流动性一般用循环水泵来维持，水量过大则能耗大，长期运转费用高；水量过小则达不到预期的设计效果。因此，根据水景的规模确定适当的水流量十分重要。 1 跌水水景的水力学特征及计算 跌水水景实际上是水力学中的堰流和跌水在实际生活中的应用，跌水水景设计中常用的堰流形式为溢流堰。 根据δ和H的相对尺寸，堰流流态一般分为薄壁堰流、实用堰流、宽顶堰流等三种形式： 当 δ/H<0.67，为薄壁堰流； （ δ：堰顶宽；H：堰前水头） 0.67<δ/H<2.5，为实用堰流； 2.5<δ/H<10，为宽顶堰流； δ/H>10,为明渠水流，不是堰流。 跌水水景设计中，常用堰流形态为宽顶堰流。　 当跌水水景的土建尺寸确定以后，首先要确定跌水流量Q，当水流从堰顶以一定的初速度v0落下时，它会产生一个长度为l d的水舌。 若l d 大于跌水台阶宽度l t ，则水流会跃过跌水台阶；若l d 太小，则有

可能出现水舌贴着跌水墙而形成壁流。这两种情况的出现主要与跌水流量Q的大小有关，设计时应尽量选择一个恰当的流量以避免上述现象的发生。 1.1 跌水流量计算 根据水力学计算公式，一般宽顶堰自由出流的流量计算式为： Q=σc·m·b·(2g)0.5·H1.5=σc·M·b·H1.5 式中 b——堰口净宽 H——包括行进流速水头的堰前水头， 2/2g H=H0+υ ——行进流速 式中 υ m——自由溢流的流量系数，与堰型、堰高等边界条件有关 σc——侧收缩系数 M=m·(2g)0.5 当堰口为矩形时，侧收缩系数σc为1，上述计算式即简化为《给水排水设计手册》中的流量计算式： Q=m·b·(2g)0.5·H1.5=M·b·H1.5 上式中，M(或m)为流量系数，与堰的进口边缘形式有关；b为堰口净宽，为已知，因此要求出流量Q，关键要确定出堰前水头H，堰