第8章 相似性原理和因次分析

本章目录

8.1 力学相似性原理8.2 相似准数

8.3 模型实验

8.4 因次分析法

本章概述

什么是科学实验？人们根据研究的目的，利用科学仪器和设备，突出主要因素，忽略次要因素，人为地控制或模拟自然现象，探索自然规律的认知活动。

现代力学问题，总体来说，能列出方程给出分析公式的是少数，能列出方程，给出边界条件和初始条件, 并得到精确解的更是少数。科学实验仍然是解决科学问题的主要方法。

模型实验的意义

通过流体力学实验可以重复实现和观察某流动现象或过程，可以获得充分的感性认识，揭示流动的特性和本质，发现新的现象。

大多数实验是在模型上进行的。模型（model）实验就是将尺寸过大的原形（prototype）缩小，将尺寸过小原形放大，将过于复杂的原形简化。

问题：如何保证模型和原形具有同样的流动规律？

答案：保证模型和原形流动相似。

什么是两现象相似？

如果两个同一类物理现象，在对应的时空点，各标量物理量大小成比例，各向量物理量除大小成比例以外，而且方向相同，称这两个现象相似。

相似理论（相似性原理）就是研究相似现象之间关系的理论。相似理论是模型实验的理论基础。

§8.1 力学相似性原理

概述

要保证两个流动问题的力学相似，必须满足：

（1）几何相似；

（2）运动相似；

（3）动力相似；

（4）边界条件和初始条件相似，共四个方面。

§8.1.1 几何相似

几何相似是指流动空间几何相似——任意相应两线段夹角相同，任意对应线段成比例。

面积比例为长度比例的平方

体积比例为长度比例的立方

几何相似是力学相似的前提。有了几何相似，才有可能在模型流动与原形流动之间，存在着相应点，相应线段等一系列对应的要素以及相应速度、加速度、作用力等一系列对应的力学量。

§8.1.2 运动相似

运动相似是指两流动相应点的流速大小成比例，方向相同。

时间比尺的意义：两流动实现特定流动过程所需要的时间之比。

两流动只要速度相似，加速度必然相似。

§8.1.3 动力相似

动力相似是指两流动相应点受同名力作用，力的方向相同，大小成比例。同名力系指同一物理性质的力，如重力、粘性力、压力、惯性力。

对于运动运动质点，设想加上该质点的惯性力，则惯性力与质点所受的力平衡，形式上构成一个力多边形。从这个意义上说，动力相似可以表数为相应点上的力多边形相似，多边形相应的边（同名力）成比例。

§8.1.4 边界条件和初始条件相似

边界条件相似指两个流动相应边界性质相同（粗糙度、自由面）。

初始条件相似系指对于非稳态流动而言。

事实上，流体的作用力是由边界条件和作用力决定的。

§ 8.2 相似准数

概述

要保证两个流动问题的力学相似，必须满足：几何相似、运动相似、动力相似、边界条件和初始条件相似四个方面。以上四个方面，实际上就是力学相似的结果，关键是如何实现动力相似？

§8.2.1 如何实现动力相似

要使两个流动动力相似，前述各项比尺必须符合一定的约束关系，这种约束关系称为相似准数，或相似准则。本课程讲三个相似准则。

§8.2.2 三个准则

§8.2.2.1 雷诺准则（Reynolds number）

该式物理意义：两个流动相应点上惯性力与粘性力的对比关系。

§8.2.2.2 弗劳德准则（ Froude number ）

该式物理意义：两个流动相应点上惯性力与重力的对比关系。

§8.2.2.3 欧拉准则（ Euler number ）

该式物理意义：两个流动相应点上惯性力与压力的对比关系。

多数流动中，对流动起作用的是压强差，而不是压强的绝对值，所以欧拉数常用相应点的压强差△p代替压强。

对于某一流动，具有代表性的量称为特征物理量。如管流的平均流速就是特征流速；管径就是特征长度。

对于某一流动，具有代表性的量称为特征物理量。如管流的平均流速就是特征流速；管径就是特征长度。

§8.2.3 决定性相似准数和被决定的相似准数

对于不可压缩流动，决定流动平衡有四种力：粘滞力、压力、重力和惯性力。由四个力构成一个封闭的力多边形，其中必然由一个力是被动的，只要三个力相似，则第四个力必然相似。因此，在决定动力相似的三个相似准数Re,Fr,Eu也必然有一个是被动的： Eu=f(Re,Fr) 在大多数流动问题中，通常Eu是被动的相似准数。

对流动起决定性作用的相似数称为决定性相似准数；被动的准则数

成为被决定的相似准数。

§8.3 模型实验

§8.3.1 概述

要保证两个流动问题的力学相似，各相似准则应该同时满足。实际上，要同时满足全部相似准则很困难，甚至不可能。

模型实验做到完全相似比较困难，一般只能达到近似相似。在模型设计时，应该抓住对流动起决定性作用的力，保持原形和模型在该力相应准数相等。

§8.3.2 六类问题

第一类：对于管流，断面流速分布和沿程水头损失，在同一水头差的作用下，与重力无关，影响流速分布的是粘性力，应保证原形和模型雷诺准数相等。

第二类：具有自由面的液体急变流动，无论是流速的变化或水面的波动，都强烈地受重力的作用，一般应保证原形和模型弗劳德准数相等。

第三类：气体从静压箱经孔口的等温淹没出流，一般与压差有关。如果流速较大，粘性力的影响可以忽略，此时应保证原形和模型欧拉准数相等。液体孔口淹没出流也遵循同一规

律。

第四类：对于管流，当雷诺数相当大时，断面流速接近均匀分布，流动进入阻力平方区，此时，阻力和惯性力均与流速平方成正比。此时，模型设计已经不受雷诺相似准数制约，只

要求尽可能提高模型流动的雷诺数，使它也进入阻力平方区。因此，阻力平方区也可

以认为是自动模型区。在自模区，流动的相似性与该准数（如雷诺准数）无关，即使

原形与模型的该准数不相等，流动仍保持相似。

对于湍流淹没射流，重力和浮力平衡，流体以较高的流速流出，流动处于自动模型区。

此时，模型设计不受相似准数限制，只要流动具有较高的雷诺数，就可以实现原形流

动和模型流动在速度分布上的相似。无限看见湍流射流的理论正是以此为前提。

第五类：对于管流，由于管壁摩擦作用成为重要影响因素，在几何相似的过程中，还要特别注意管壁粗糙度控制，即管壁绝对粗糙度也要保持同样的长度比例尺。

第六类：对于非等温射流，重力和浮力不相平衡。此时，有效重力就是重力与浮力之差。此时引入阿基米德数Ar来表征重力相似的弗劳德数。

§8.3.3 例题

§8.4 因次分析法

基本思想：相似理论是在描述物理现象、以物理方程式表达的客观规律已知的情况下，探求两个现象相似的条件。

因次分析法：描述物理现象、以物理方程式表达的客观规律未知，但已知决定某物理现象的各种影响因素，以此对物理现象做定性或板定性的分析。

因次分析法不仅用于指导模型实验，而且为理论分析提供重要信息，是研究新现象、开发新领域中行之有效的分析手段，广泛应用于很多科学领域。

§8.4.1 量纲分析的基本概念

单位（unit）和量纲（dimension）：

单位：量度各种物理量数值大小的标准量。如长度单位为m，时间

量纲：又称因次，它表征物理量的性质和类别。如长度量纲用L表示。

基本量纲（fundamental dimension）：具有独立性，不能由其他量纲推导出来的量纲。

在流体力学领域中有三个基本量纲：

长度量纲L，时间量纲T，质量量纲M

导出量纲（derived dimension）：由基本量纲的幂次表示的量纲。任何物理量B的量纲可写成选取基本量的原则：

一个物理问题中诸多的物理量分成基本量和导出量，导出量可由基本量通过某种关系得到，基本量是互为独立的物理量。基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本量必须包括基本量纲在内，这就是选取基本量的原则。

速度dim v=LT-1

加速度dim a=LT-2

密度dimρ=ML-3

力dimF=MLT-2

压强、应力、弹性模量dimp=ML-1T-2

表面张力dimσ=MT-2

动力粘度dimμ=ML-1T-1

运动粘度dimν=L2T-1

体积流量dim Qv=L3T-1

质量流量dim Qm=MT-1

能量、功、热dimE=ML2T-2

功率dimP=ML2T-3

无量纲物理量：指该物理量的量纲为1，用L0M0T0来表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，如前面讲过的相似准数。

量纲分析法：通过对现象中物理量的量纲以及量纲之间相互关系的分析来研究现象相似性的方法。

量纲分析法以物理方程的量纲和谐性为基础。

§8.4.2 量纲和谐性原理（Theory of dimensional homogeneity）

量纲和谐性原理（也称量纲齐次性原理）：同一方程中各项的量纲必须相同。

量纲和谐原理的重要性：

一个方程在量纲上应是和谐的，可以用来检验经验公式的正确性和完整性。

可用来确定公式中物理量的指数以及用来建立物理方程式的结构形式。

介绍两种因次分析方法

提出量纲分析的是英国科学家瑞利（L.Reyleigh,1877)

§8.4.3 瑞利法（Rayleigh Method）

瑞利法直接根据量纲和谐原理进行量纲分析

瑞利法分析过程为：

（1）瑞利法是量纲和谐原理的直接应用，其具体计算步骤为：

a. 确定与所研究的物理现象有关的n个物理量；

b. 写出各物理量之间的指数乘积的形式；

c. 根据量纲和谐原理，确定物理量的指数，代入指数方程式，即得各物理量之间的

关系式。

（2）瑞利法对于自变量数目不超过基本量纲数目的那些问题，不存在任何困难，当自变量数目n大于基本量纲数目3个,也就是待定指数的数目多于指数方程的数目时，其中就有n-3个指数必须任意选定，选定后才能求解。

如果自变量的数目更多，则需要任意选定的指数数目也就增加，使得我们较难抉择。

§8.4.4 巴金汉法（π定理，π Method）

奠定理论基础的是巴金汉（E.Buckingham,1914)

π定理分为两个部分：

第一部分：任一物理过程或物理方程中，可以组成多少个独立的无因次参数。

第二部分：如何确定每一个无因次数。

定理第一部分：若一个物理过程或物理方程中包含n个物理量，每个物理量的量纲由m（例如m=3）个独立的基本量纲组成，则这些物理量可以并只可以组成n－m个独立的无量纲参数，

称为π数。

例如：在流体力学中，若不考虑温度效应，一般只有三个量纲：M、T、L，即m=3。若一个物理过程可用n个物理量描述，如x1，x2，… xn，按照π定理，这n个物理量可以并只可以合成n－3个独立的π数。

定理第二部分：选择m个独立的物理量作为基本量，将其余n－m个物理量作为导出量，依次同基本量作组合量纲分析，可求得相互独立的n－m个π数。

选择基本量时的注意：

1）基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲（M，L，T）为三个，那么基本变量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本变量同样只须选择两个。

2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。

3）不能有任何两个基本变量的因次是完全一样的，换言之，基本变量应在每组量纲中只能选择一个。

§8.4.5 本章归纳

1、我们研究相似性原理和量纲分析的目的是把个别现象中物理规律推广到所有物理相似的现象群中去。相似的实质就是向量场和标量场的几何相似。

2、相似性原理适用的情况是，当物理现象所遵循的客观规律为已知的情况。即基于对微分方程组及其单值性条件进行分析，探求两现象相似的条件。要想对现象的全部本质条件都考虑到位，相似性原理能在一定程度上提供充分的保证。

思考题

1. 何谓几何相似，运动相似和动力相似？试举例说明之。

2. 为了确定所有动力学量的比例尺，工程上一般选取哪三个量作为基本比例尺。

3. 试写出佛劳德数、雷诺数、欧拉数的定义式及其物理意义。

4. 保证两流动相似的条件是什么？由这些相似条件可以解决模型试验中哪些问题？

5. 对于无压的明渠流动及其它水工建筑物中的流动，应考虑什么准则数？对于有压的粘性管流或其

它有压内流，又应该考虑什么准则数？

6. 何谓量纲分析法？它对于进行模型试验有何作用？

7. 试述利用瑞利法和π定理，探索流动规律的基本思路。

8. 应用量纲分析法探索运动规律时，必须注意哪几点？

第五章 相似原理与量纲分析

第五章 相似理论与量纲分析 5．1基本要求 本章简单阐述和实验有关的一些理论性的基本知识。其中，包括作为模型实验理论根 据的相似性原理，阐述原型和模型相互关系的模型律，以及有助于选择实验参数的量纲分析法。 5.1.1识记几何相似、运动相似、动力相似的定义，Re 、Fr 、Eu 等相似准则数的含义， 量纲的定义。 5.1.2领会流动的力学相似概念，各个相似准数的物理意义，量纲分析法的应用。 5.1.3应用量纲分析法推导物理公式，利用模型律安排模型实验。 重点：相似原理，相似准则，量纲分析法。 难点：量纲分析法，模型律。 5．2基本知识点 5．2．1相似的基本概念 为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。具体来说，两相似流动应满足几何相似、运动相似和动力相似。原型流动用下标n 表示，模型流动用下标m 表示。 1. 几何相似 两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。即 n n l m m L d C L d == n m θθ= 相应有 222n n A l m m A L C C A L === 333n n V l m m V L C C V L === 2. 运动相似 两流动的对应点上流体速度矢量成同一比例，即对应点上速度大小成同一比例，方向相同。 n n u m m u C u υυ== 相应有 t l l u t u C C C C C C ==或者 ， 2 u u a t l C C C C C == 3. 动力相似 两流动的对应部位上同名力矢成同一比例，即对应的受同名力同时作用在两流动上，且各同名力方向一致，大小成比例。 Im pn n In n Gn En F m m Gm pm Em F F F F F F C F F F F F F υυ====== 4. 流动相似的含义 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个流动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。

相似原理与量纲分析报告

对《粘性土地基强夯地面变形与应用的模型试验研究》的相似原理与量纲分析 包思远 摘要：实验研究是力学研究方法中的重要组成部分。量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。相似原理与量纲分析的主要容为物理方程的量纲齐次性，π定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。本文主要分析和学习例文中的相似模型的建立和量纲分析方法，用相似原理和量纲分析方法解决实验中遇到的问题。 关键字模型试验，相似原理，量纲分析 1 模型实验相似原理基础 模型顾名思义是把实际工程中的原型缩小N倍，进行相应的实验，得到相应的规律，来反映原型在现实工程中的状态，起到一个指导作用。 模型试验它的优点在于小巧，轻便，易于安装和拆卸，最重要的原因是它的经济性高能够从少量的实验经费中得到较好的实验规律。回归于模型试验的本质就是相似原理，而相似理论有三个，分别为相似第一、二、三三大定理，其中相似第一定律是:彼此相似的物理现象,单值条件相同,其相似准数的数值也相同;相似第二定律，也称为π定律，即:两个物体相似，无论采用哪种相似判据，某些情况下的相似判据均可写成为无量纲方程。第二相似定理表明现象的物理方程可以转化为相似准数方程。它告诉人们如何处理模型试验的结果，即以相似准数间的关系给定的形式处理试验数据，并将试验结果推广到其它相似现象上去;相似第三定律是相似现象的充要条件。现象相似的充分和必要条件是:现象的单值条件相似,并且由单值条件导出来的相似准数的数值相等。 实际应用时,相似条件都是由无量纲形式的π数来表示的。目前推导原型与模型相似条件的方法主要有方程分析法和量纲分析法。方程分析法是根据支配现象的微分方程来推导相似关系。在使用方程分析法推导相似关系时,首先要列出支配现象的微分方程,然后取项与项之比就可以求出无量纲的二数。这种方法对实验者知识的掌握程度要求较高。而且在计算机

相似原理与量纲分析

相似原理与量纲分析

对《粘性土地基强夯地面变形与应用的模型试验研究》的相似原理与量纲分析 包思远 摘要：实验研究是力学研究方法中的重要组成部分。量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。相似原理与量纲分析的主要内容为物理方程的量纲齐次性， 定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。本文主要分析和学习例文中的相似模型的建立和量纲分析方法，用相似原理和量纲分析方法解决实验中遇到的问题。 关键字模型试验，相似原理，量纲分析 1 模型实验相似原理基础 模型顾名思义是把实际工程中的原型缩小N 倍，进行相应的实验，得到相应的规律， 来反映原型在现实工程中的状态，起到一个指导作用。 模型试验它的优点在于小巧，轻便，易于安

装和拆卸，最重要的原因是它的经济性高 能够从少量的实验经费中得到较好的实验规律。回归于模型试验的本质就是相似原理，而相似理论有三个，分别为相似第一、二、三三大定理，其中相似第一定律是:彼此相似的物理现象,单值条件相同,其相似准数的数值也相同;相似第二定律，也称为π定律，即:两个物体相似，无论采用哪种相似判据，某些情况下的相似判据均可写成为无量纲方程。第二相似定理表明现象的物理方程可以转化为相似准数方程。它告诉人们如何处理模型试验的结果，即以相似准数间的关系给定的形式处理试验数据，并将试验结果推广到其它相似现象上去;相似第三定律是相似现象的充要条件。现象相似的充分和必要条件是:现象的单值条件相似,并且由单值条件导出来的相似准数的数值相等。 实际应用时,相似条件都是由无量纲形式的π数来表示的。目前推导原型与模型相似条件的方法主要有方程分析法和量纲分析法。方程分析法是根据支配现象的微分方程来推导相似关系。在使用方程分析法推导相似关系时,首先要列出支配现象的微分方程,然后取项与项之比就可以

相似性原理和因次分析

相似性原理和因次分析 1、两个流动问题力学相似的必要条件是其中相似是模型试验的目的，是力学相似的前提，是运动相似的保障。 2、Fr准数的物理意义是，We准数的物理意义是，Eu准数的物理意义是， 数相等是流动相似的重要标志和判据。 3、有一直径为15cm的输油管道，长5m，管中要通过流量为0.18m3/s，现用水作模型试验，管径为5cm，水温为10℃，原型的油的运动粘度为）0.131cm2/s，水的运动粘度为0.0131cm2/s，问水的模型流量应为多少才能达到相似，若测得模型lm相应管段上的压强水头差为3cm，试求输油管每公里的压强差为多少（用油柱表示）。 4、一个潜水艇以5m/s的速度在0℃的海里（海水密度为1028kg/m3，粘度为18.86 ×10-4Pa.S))行使，（a)求比例尺为20的模型在淡水20℃(密度为998.3kg/m3，粘度为10.02 ×10-4Pa.S ）中的行使速度um；(b)如果模型的推力是200kN，那么潜艇本身所需的功率是多少？ 5、设计一台离心式输油泵，其转速为n=1450r/min，准备选用较实物小1倍的模型输送空气进行实验。已知油的运动粘度为0.3cm2/s,20℃空气的运动粘度为0.15cm2/s，求模型泵的转速为若干？ 6、以1:15的模型在风洞中测定气球的阻力，原型风速为36km/h，问风洞中的速度应为多大？若在风洞中测得阻力为687N，问原型中阻力为多少？ 7、桥孔过流模型试验，已知两桥台的距离为90m，中间设有一桥墩长24m，墩宽为4.3m，水深为8.2m，平均流速为2.3m/s，如实验室供水流量仅为0.1m3/s,问模型可选取多大的比例尺，并计算该模型的尺寸、平均流速。 8、因次分析法的基础是，所谓因次一致性原则是指。 9、因次分析的方法有法和法。 习题10-2，10-6，10-8

第五章 相似原理与量纲分析

第五章相似原理与量纲分析 （1）第三章是理论研究方法，但除了极少数问题外，很难得到理论解析解，而必须借助于实验方法。（2）实验研究方法有实物实验、比拟实验和模型实验三大类。（3）实物实验是用仪器实测原型系统的流动参数，它对于较小的模型系统比较合适，对大型系统就很难；比拟实验有水电比拟和水气比拟，是利用电磁场来模拟流场和用液体来模拟气体，实施起来也有诸多限制；模拟实验是最常用的实验方法，此法是在测试中把原型按一定比例缩小后的模型，此外还可能要变更流体的性质和流动条件等等。（4）模拟实验研究的理论指导基础是相似原理。具体实践方法是通过量纲分析。（5）流动相似是几何相似的推广。 §1 流动相似原理 几何相似——对应边成同一比例；对角边相等。当边上有粗糙度时还要求粗糙度相似。 运动相似——（1）几何相似的流动系统中，对应点的速度大小成同一比例，方向相同。即流线是相似的。（2）几何相似未必运动相似。如同一模型的亚超音速流动。（3）速度相似，和几何相似，则加速度相似。 动力相似——（1）几何相似和运动相似的两个流场中，对应点处的作用的性质相同的力，其大小成同一比例，方向相同。（2）力相似，则力矩和其他与力相关的物理量也相似。 时间相似——流体动力所对应的时间间隔成比例。这是对非定常问题而言的，意思是相应的非定常时间尺度成比例。 其他相似——热力相似；化学相似等。 §2 相似准则与量纲分析 相似原理说明两个流动系统相似必须在几何相似、运动相似和动力相似三个方面都得到满足，两者才可以比拟。但在实际应用中，并不能用这些定义来验证流动是否相似，因为通常原型流动的详情是未知的。这就产生一个问题：有什么其他办法能保证两个流动系统相似呢？有，这就是相似准则。利用相似准则，不必详细判断流场各点的几何、运动和动力量是否相似，而直接可判断流场是否相似。 （一）量纲

相似原理和量纲分析.

水力学教学辅导 第10章 相似原理和量纲分析 【教学基本要求】 1、了解相似现象和流动相似的特征。 2、了解水力学模型设计的相似原理和重力相似准则、阻力相似准则，能进行模型比尺和对应物理量的计算。 3、了解量纲和谐原理的基本概念。 【内容提要和学习指导】 实际工程中的水流现象非常复杂，仅靠理论分析对工程中的水力学问题进行求解存在许多困难，模型试验和量纲分析就是解决复杂水力学问题的有效途径。因此要求我们对模型试验和量纲分析的原理和方法有初步的了解。通过本章学习，会根据不同的水流模型试验，依据重力相似准则和阻力相似准则进行相似比尺设计和原型与模型对应的物理量的计算。 这一章要求重点掌握重力相似准则、阻力相似准则以及模型比尺和对应物理量的计算。掌握正确组合无量纲量的组合方法。 10.1 相似现象和流动相似的特征 相似是人们常遇到的概念，最常见的是指图形的相似，即两个几何图形的对应边成比例，对应的角都相等。 流动相似是图形相似的推广。流动相似具有三个特征，或者说要满足三个条件，即：几何相似，运动相似，动力相似。其中几何相似是前提，动力相似是保证，才能实现运动相似这个目的。运动相似和动力相似是表示原型和模型两个流动对应的点速度、压强和所受的作用力都分别满足确定的比例关系。 10.2相似理论和牛顿相似准则 相似原理是进行水力学模型试验的基础，它是指实现流动相似所必需遵循的基本关系和准则。 在满足几何相似的前提下，动力相似是实现流动相似的必要条件，即要求模型和原型中作用在液体上的各种力都成比例。用数学式可以表达为： （Ne ）P =（Ne ）M （10—1） 式中牛顿数 表示某种力与惯性力的比值，F 可以是任何种类的力，下 标P 和M 分别表示是原型和模型的物理量。这就是实现流动动力相似的牛顿相似准则。 22Ne υρL F =

相似原理及量纲分析

第十三章相似原理及量纲分析 实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的方法求解。在这种情况下，就必须通过实验的方法来解决。 而工程原型有时尺寸巨大，在工程原型上进行实验，会耗费大量的人力与物力，有时则完全是不可能的(例如：水坝，水工建筑物中抗特大洪水的试验)。所以，通常利用缩小的模型进行实验。当然，如果原型尺寸很小，也可利用放大的模型进行实验。而进行模型实验，首先必须解决两类问题。 (1) 如何正确地设计和布置模型实验，例如，模型形状与尺寸的确定，介质的选取。 (2) 如何整理模型实验所得的结果，例如，实验数据的整理，以及如何将实验的结果推广到与实验相似的流动现象上。 相似原理就是解决上述问题的基础。本节的内容也适用于叶轮机械的模型研究、热力设备的模型研究以及工程传热学等有关学科。 §13-1 相似的概念 相似的概念最早出现在几何学中，如两个相似三角形，应具有对应夹角相等，对应边互成比例，那么，这两个三角形便是几何相似的。 在流体力学的研究中，所谓相似，主要是指流动的力学相似，而构成力学相似的两个流动，一个是指实际的流动现象，称为原型；另一个是在实验室中进行重演或预演的流动现象，称为模型。所谓力学相似是指原型流动与模型流动在对应物理量之间应互应平行(指矢量物理量如力，加速度等)并保持一定的比例关系(指矢量与标量物理量的数值，如力的数值，时间与压力的数值等)。对一般的流体运动，力学相似应包括以下三个方面。 一、几何相似 几何相似又叫空间相似。即要求模型的边界形状与原型的边界形状相似，且对应的线性尺寸成相同的比例。 如果以下标1表示原型流动，下标2表示模型流动，则几何相似包括：

相似性原理与量纲分析

相似性原理与量纲分析 1.弦长为3m 的飞机机翼以300km/h 的速度，在温度为20℃，压强为1at （n ）的静止空气中飞行，用比例为20的模型在风洞中作试验，要求实现动力相似。(a) 如果风洞中空气温度、压强和飞行中的相同，风洞中的空气速度应该怎样？(b) 如果在可变密度的风洞中作实验，温度为20℃, 压强为30at(n), 则速度为多少？(c) 如果模型在水中作实验，水温20℃，则速度为多少？ 解：雷诺准数相等 （a ）=υ n n L v υ m m L v =m v n v m n L L =300?20=6000km/h 不可能达到此速度，所以要改变实验条件 （b ） ∵等温c P =ρ ，μ不变，μ μρυpvl vl vl →==Re 得n m v v =m n L L m n P P =300?20? 30 1 =200km/h （c ）由气 υn n L v =水 υm m L v 得m n n m L L v v 水气υυ==300?20×7 .15007.1=384km/h 2.长1.5m ，宽0.3m 的平板在20℃的水内拖曳，当速度为3m/s 时，阻力为14N ，计算相似板的尺寸，它的速度为18m/s ，绝对压强101.4kN/m 2，温度15℃的空气气流中形成动力相似

条件，它的阻力为多少？ 解：由雷诺准数相等： 2 2 21 1 1υυL v L v = ? 水 υλl 3= υ18?l λ=0.4 且v l λλλυ= m L =l n L λ=4 051..=3.75m （长） m L = l n L λ=4 .03.0=0.75m （宽） F m F λ=14=226.12.998)2.15007.1(22 22==ρ υρλλλλλl v 解得：N F m 92.3= 3.当水温为20℃.平均速度为 4.5m/s 时，直径为0.3m 水平管线某段的压强降为68.95kN/m 2，如果用比例为6的模型管线，以空气作为工作流体，当平均速度为30m/s 时，要求在相应段 产生5 5.2kN/m 2的压强降。计算力学相似所要求的空气压强，设空气的温度20℃ 解：由欧拉准则：3 2 222/1830 2.555.42.99895.68m kg v p v p m m m n n n =??=??=ρρρ?ρ? 因RT p =ρ ，()abs at p p p p m m n n m m 1518 205.11 =?=? = ρρ 4.拖曳比例为50的船模型，以4.8km/h 航行所需的力为9 N 。若原型航行主要受(a) 密度和重力；(b) 密度和表面张力；(c)密度和粘性力的作用，计算原型相应的速度和所需的力。 解：（a ）弗诺德准则：h km v L L v L v L v F F F F m m n n m m n n Gm Gn In /9.332 2Im =?=?=?=

第8章 相似性原理和因次分析

本章目录 8.1 力学相似性原理8.2 相似准数 8.3 模型实验 8.4 因次分析法

本章概述 什么是科学实验？人们根据研究的目的，利用科学仪器和设备，突出主要因素，忽略次要因素，人为地控制或模拟自然现象，探索自然规律的认知活动。 现代力学问题，总体来说，能列出方程给出分析公式的是少数，能列出方程，给出边界条件和初始条件, 并得到精确解的更是少数。科学实验仍然是解决科学问题的主要方法。 模型实验的意义 通过流体力学实验可以重复实现和观察某流动现象或过程，可以获得充分的感性认识，揭示流动的特性和本质，发现新的现象。 大多数实验是在模型上进行的。模型（model）实验就是将尺寸过大的原形（prototype）缩小，将尺寸过小原形放大，将过于复杂的原形简化。 问题：如何保证模型和原形具有同样的流动规律？ 答案：保证模型和原形流动相似。 什么是两现象相似？ 如果两个同一类物理现象，在对应的时空点，各标量物理量大小成比例，各向量物理量除大小成比例以外，而且方向相同，称这两个现象相似。 相似理论（相似性原理）就是研究相似现象之间关系的理论。相似理论是模型实验的理论基础。

§8.1 力学相似性原理 概述 要保证两个流动问题的力学相似，必须满足： （1）几何相似； （2）运动相似； （3）动力相似； （4）边界条件和初始条件相似，共四个方面。 §8.1.1 几何相似 几何相似是指流动空间几何相似——任意相应两线段夹角相同，任意对应线段成比例。 面积比例为长度比例的平方 体积比例为长度比例的立方 几何相似是力学相似的前提。有了几何相似，才有可能在模型流动与原形流动之间，存在着相应点，相应线段等一系列对应的要素以及相应速度、加速度、作用力等一系列对应的力学量。 §8.1.2 运动相似 运动相似是指两流动相应点的流速大小成比例，方向相同。 时间比尺的意义：两流动实现特定流动过程所需要的时间之比。 两流动只要速度相似，加速度必然相似。 §8.1.3 动力相似 动力相似是指两流动相应点受同名力作用，力的方向相同，大小成比例。同名力系指同一物理性质的力，如重力、粘性力、压力、惯性力。 对于运动运动质点，设想加上该质点的惯性力，则惯性力与质点所受的力平衡，形式上构成一个力多边形。从这个意义上说，动力相似可以表数为相应点上的力多边形相似，多边形相应的边（同名力）成比例。 §8.1.4 边界条件和初始条件相似 边界条件相似指两个流动相应边界性质相同（粗糙度、自由面）。 初始条件相似系指对于非稳态流动而言。 事实上，流体的作用力是由边界条件和作用力决定的。

相似原理和量纲分析习题

第三节流动相似条件 流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量 都成比例。 相似流动必然满足以下条件： 1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应 点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述； 2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即 流动满足单值条件； 3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动 相似也必须满足的条件。 模型实验主要解决的问题： 1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质； 2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； 3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。 第四节近似模拟试验 完全相似和不完全相似 动力相似可以用相似准则数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数应均相等，如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。所以通常考虑主要因素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。 例如： 粘滞力相似：由得 重力相似：由得 由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能的，只能考虑主要因素做近似模型实验。以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件是几何相似、运动相似和动力相似。 前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原型设备中去。 在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即称之为局部相似。如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。 有压粘性管流中，当雷诺数大到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量损失系数也不再变化，雷诺准则已失去判别相似的作用。称这种状态为自模化状态，称自模化状态的雷诺数范围为自模化区。 一、物理方程量纲一致性原则 第五节量纲分析 1、量纲 量纲是物理量的一种本质属性，是同一物理量各种不同单位的集中抽象。 如：

第四章 量纲分析和相似原理

第四章 相似原理与量纲分析 量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规律性联系的一种方法。它对于正确地分析、科学地表达物理过程是十分有益的。两个规模不同的流动相似是流体力学试验时必须面对的问题。本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力学试验研究有重要的指导意义。 §6—1 量纲分析 一、量纲、无量纲量 量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。 是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示物理量的类别，是物理量的质的特征。 ● 在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体的物理量就对应于一个数 值，有了比较意义上的大小，这是物理量的量的特征。 ● 量纲可分为基本量纲和诱导量纲 基本量纲（dim ）：互不依赖，互相独立的量纲。 基本量纲具有独立性，比如与温度无关的动力学问题可选取长度[L]、时间[T]和质量[M]为基本量纲。 诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出，如][][γβαM T L x =，γβα,, 称为量纲指数。1） 1） 若0,0,0==≠γβα，则x 为几何学的量； 2）若0,0,0=≠≠γβα，则x 为运动学的量，如运动粘性系数][][12-=T L ν； 3）若0,0,0≠≠≠γβα，则x 为动力学的量，如动力粘性系数][][11M T L --=μ. ● 纯数 如果一个物理量的所有量纲指数为零，就称为无量纲（量纲为一）量。 无量纲量可以是相同量纲量的比值（如角度，三角函数），也可以是几个有量纲量通过乘除组合而成（如压力系数22 1∞∞-=U p p C p ρ）. 二、量纲和谐原理 一个正确、完整的反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲是一致的，这就是量纲一致性原理。 ● 正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量纲指数都分别相同。

第六讲 相似原理与量纲分析(练习题)

5-1、想一想：两恒定流流动相似应满足哪些条件？ 答：应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。 5-2、判断：惯性力是所有外力的矢量和。你的回答：B A对； B错 5-3、想一想：牛顿相似准则说明了完全的什么相似。动力 5-4、算一算：如模型比尺为1:20，考虑粘滞力占主要因素，采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s，则原型中的流速为m/s。 2.5 5-5、进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选的相似准则是：A A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则； D.其他准则。 5-6、雷诺数的物理意义表示：C A. 粘滞力与重力之比； B.重力与惯性力之比； C.惯性力与粘滞力之比； D.压力与粘滞力之比。5-7、压力输水管模型实验，长度比尺为8，模型水管的流量应为原型输水管流量的：C A.1／2； B.1／4； C.1／8； D.1／16。 5-9、进行水力模型实验，要实现明渠水流的动力相似，应选的相似准则是：B A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则； D. 其它准则。 5-10、明渠水流模型实验，长度比尺为4，模型流量应为原型流量的: D A.1／2； B.1／4； C.1／8； D. 1／32。 5-11、长度比尺λL=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进，测得波浪阻力为0.02N，则原型中需要的功率N p为：B A.2.17kW； B.32.4kW； C.17.8kW； D.13.8kW。 5-12、设模型比尺为1:100，符合重力相似准则，如果模型流量为100cm3/s，则原型流量为多少cm3/s？ C A.0.01； B.108； C.10； D.10000。 5-13、进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选择的相似准则是：A A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则。 5-14、判断：当运动流体主要受粘滞力和压力作用时，若满足雷诺准则，则欧拉相似准则会自动满足。你的回答：A A对；B错 5-15、想一想：欧拉数与韦伯数的物理意义是什么？ 答：欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，表征压力与惯性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。韦伯数是表明张力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与表面张力之比，两流动韦伯数相等则表面张力相似。 5-16、判断：对于恒定流也应考虑斯特哈罗数准则。你的回答：B A对；B错 5-17、想一想：马赫数与斯特哈罗数的物理意义是什么？ 答案:马赫数为弹性力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与弹性力之比，马赫数相等则弹性力相似。斯特哈罗数是在非恒定流体流动中，因当地加速度不为零，这个加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。 5-18、为什么每个相似准则都要表征惯性力？ 答案: 作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形