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2018年山西省中考数学试卷及答案.doc

题

绝密★启用前

-------------

在

山西省 2018 年高中阶段教育学校招生统一考试数学 (1)

_ 山西省 2018 年高中阶段教育学校招生统一考试数学答案解析 (7)

_ 无

_ --------------------

_ 此

_ 山西省 2018 年高中阶段教育学校招生统一考试数学

号

生

考

_ 效本试卷满分 120 分 , 考试时间120 分钟 .

_ --------------------

_ 第Ⅰ卷 ( 选择题共 30 分)

_ 卷

_ 一、选择题： ( 本大题共 10 小题 , 每小题 3 分 , 共 30 分 . 在每小题给出的四个选项中, 只_

_ 有一项是符合题目要求的)

名

1. 下面有理数比较大小 , 正确的是( ) 姓

_ A. 0＜2 B. 5＜3 C. 2＜ 3 D. 1＜4

_ --------------------

_ 上

_ 2. “算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作, 它们曾经是隋唐时期国子监

_ 算学科的教科书 , 这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果. 下列列四_

_ 部著作中 , 不属于我国古代数学著作的是( ) 校

学

业

毕

--------------------

答

-----------------

A. 《九章算术》

B. 《几何原本》

C. 《海岛算经》

D. 《周髀算经》

3. 下列运算正确的是()

A. ( a3)2 a6

B. 2a2 3a2 6a2

C. 2a2ga3=2 a6

D. ( b2)3 b6

2a 8a3

4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是()

A. x2 2 x=0

B. x2 4x 1 0

C. 2x2 4x 3 0

D. 3x2 5x 2

5.近年来快递业发展迅速 , 下表是 2018 年 1— 3 月份山西省部分地市邮政快递业务量的统

计结果 ( 单位：万件 )

太原市大同市长治市晋中市运城市临汾市吕梁市

3 303.78 332.68 302.3

4 319.79 725.86 416.01 338.87 1— 3 月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是( )

A. 31979．万件

B. 332．68万件

C. 33887．万件

D. 416．01万件

6.黄河是中华民族的象征 , 被誉为母亲河 , 黄河壶口瀑布位于

山西省吉县城西 45 千米处 , 是黄河上最具气势的自

然景观 . 其落差约 30 米 , 年平均流量 1 010立方米 / 秒 . 若

以小时作时间单位, 则其年平均流量可用科学记数法表

示为

( )

A. 6.06 104立方米/时

B. 3.136 106立方米/时

C. 3.636 106立方米/时

D. 36.36 105立方米/时

7. 在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球, 它们除颜色外都相同, 随机从中摸

出一个球 , 记下颜色后放回袋子中, 充分摇匀后, 再随机摸出一个球, 两次都摸到黄球的概率是()

A. 4

1 9399

8.如图 , 在Rt△ABC中 , ∠ACB＝90° , ∠A＝60°, AC＝6 , 将△ABC绕

点 C 按逆时针方向旋转得到△A B C,此时点A恰好在AB边上,则

点 B 与点 B 之间的距离为()

C. 62

D. 6 3

9. 用配方法将二次函数y x28x 9 化为 y a( x h)2k 的形式为()

A. y( x 4) 27

B. y( x 4)225

C. y(x+4) 27

D. y( x+4) 225

10. 如图 , 正方形ABCD内接于e O , e O的半径为2, 以点A为圆

心 , 以AC长为半径画弧交AB 的延长线于点 E ,交 AD 的延长

线于点 F ,则图中阴影部分的面积是()

A. 4π4

B. 4π8

C. 8π4

D. 8π8

第Ⅱ卷 ( 非选择题共90分)

二、填空题：( 本大题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 共 15 分 . 请把答案填写在题中的横线上)

11. 计算：(3 2 1)(3 2 1). 12.图 1 是我国古代建筑中的一种窗格 , 其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶 ,

形状无一定规则 , 代表一种自然和谐美 . 图 2 是从图 1 冰裂纹窗格图案中提取的

由五条线段组成的图形, 则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=度.

图 1图 2

年国内航空公司规定：旅客乘机时, 免费携带行李箱的长、宽、高

之和不超过 115 cm .某厂家生产符合该规定的行李箱, 已知行

李箱的宽为20 cm ,长与高的比为8:11 ,则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm .

14.如图 , 直线MN∥PQ , 直线AB分别与MN , PQ相交于

点 A , B .小宇同学利用尺规按以下步骤作图：

①以点 A 为圆心,以任意长为半径作弧交AN 于点 C ,

交AB 于点 D ；

②分别别以 C , D 为圆心,以大于

CD 长为半径作弧,两

弧在∠NAB 内交于点E；

③作射线 AE 交 PQ 于点 F .

若 AB =2 ,∠ ABP=60°,则线段 AF 的长为.

15.如图 , 在Rt△ABC中 , ∠ACB=90°, AC =6 , BC =8 , 点D是AB的中点 , 以CD为直径

作 e O , e O 分别与AC,BC交于点E,F,过点F作 e O 的切线FG,交AB于点G,

则 FG 的长为.

三、解答题：( 本大题共8 个小题 , 共 75 分 . 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤 )

16.( 本小题满分10 分 , 每题 5 分 )

计算：

(1) (22) 2| 4 | 3 1620；

(2) x

2 g

x2 1 1 . x 1 4x 4 x 2

17.( 本小题满分8 分)

如图 , 一次函数y1 k1 x b(k1 0) 的图象分别与x 轴, y 轴相交于点 A , B ，与反比例

函数 y2 k

2 ( k2 0) 的图象相交于点 C( - 4, - 2) , D(2,4) . x

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)当 x 为何值时, y1＞0 ；

(2) 当x为何值时 , y1＜y2 , 请直接写出x 的取值范围. 18.( 本小题满分9 分 )

在“优秀传统文化进校园”活动中, 学校计划每周二

下午三节课时间开展此项活动, 拟开展活动项目为：剪

纸, 武术 , 书法 , 器乐 , 要求七年级人人参加 , 并且每人只

能参加其中一项活动 . 教务处在该校七年级学生中

随机抽取了 100 名学生进行调查 , 并对此进行统计 , 绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图均不完整 )

请解答下列问题：

(1)请补全条形统计图和扇形统计图

(2)在参加“剪纸”活动项目的学生中 , 男生所占的百分比是多

少

(3)若该校七年级学生共有 500 人 , 请估计其中参加“书法”项

目活动的有多少人

(4)学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了

解具体况，那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率

是多少

19.( ------------- 在本小分8 分 ) 祥云位于省城太原南部 , 塔主体由三根曲

塔柱合而成 , 全共 13 直型斜拉索 , 造型新 , 是“三晋

大地”的一种象征 . 某数学“ 合与践”小的同学把“ 量斜拉

索端

到面的距离”作一活, 他制了量

方案 , 并利用余借助斜拉索完成了地

量 . 量果如下表.

20.( 本小分7 分 )2018 年 1 月 20 日, 山西迎来了“复号”列

, 与“和号”相比 , “复号”列列速更快, 安全性更

好 . 已知“太原南一北京西”全程大500 千米 , “复号”

G92 次列平均每小比某列“和号”列多行40 千米 ,

其行是列“和号”列行的

( 两列号中

途停留均除外)., “复号”G92 次列从太原南到北京西, 中途只有石

家庄一站 , 停留10 分 . 求乘坐“复号”G92 次列从太原南到北京西需要多

无目内容

--------------------

此量斜拉索端到面的距离

量示意

明：两最斜拉索AC , BC 相交于点 C ,

分与面交于 A , B 两点,且点 A , B , C 在

同一直平面内

效

-------------------- ∠ A 的度数 B 的度数AB 的度

卷量数据

38°28°234 米

(1) 帮助小根据上表中的量数据, 求斜拉索端点 C 到 AB 的距离(参考数据

sin38 °0.6 , cos38°0.8 , tan38°0.8 , sin28°0.5 , cos28°0.9 , tan28°0.5 ) ；--------------------

上

(2)小要写出一份完整的活告 , 除上表的目外 , 你需要充哪些目 ( 写出一个即可 ).

--------------------

答

21.( 本小分8 分)

下列材料, 并完成相的任：

在数学中 , 利用形在化程中的不性, 常常可以找到解决的法. 著名美籍匈牙利数学家波利在他所著的《数学的

》一中有一个例子：如何在一个三角形ABC 的 AC 和

BC 两上分取学的点X 和 Y ,使得 AX = BY= XY .(如)解决个

的操作步如下：

第一步 , 在CA上作出一点 D ,使得 CD CB ,接 BD .

第二步 , 在CB上取一点Y ,作Y Z∥CA,交 BD 于点 Z ,并在 AB 上取一点

A ,使 Z A YZ .

第三步 , 点A作AZ∥A Z , 交BD于点Z .

第四步 , 点Z作ZY∥AC , 交BC于点Y , 再点Y作YX∥ZA , 交AC于点X

有 AX BY XY .

-----------------

下面是的部分明

明：∵ AZ∥ A Z ,∴∠BA Z ＝∠ BAZ 又∵∠ A BZ ＝∠ ABZ .

∴△BA Z ∽△ BAZ ∴Z A

BZ , ZA BZ

同理可得：Y Z

BZ , ∴Z A Y Z YZ BZ ZA YZ

∵ Z A Y Z ,∴ ZA YZ .?

任： (1) 根据上面的操作步及部分明程, 判断四形AXYZ 的形状,并加以明 .

(2)再仔上面的操作步 , 在 (1) 的基上完成AX =BY =XY的明程

(3) 上述解决的程中, 通作平行把四形BA Z Y 放大得到四形 BAZY ,

从而确定了点 Z , Y 的位置,里运用了下面一种形的化是.

A. 平移旋 C. 称 D. 位似

22.( 本小分12 分 )

合与践

情境：在数学活上, 老出示了一个：如1, 在矩形ABCD中 , AD =2 AB , E 是 AB 延上一点,且 BE =AB ,接 DE ,交 BC 于点 M ,以 DE 一在 DE 的左下方作正方形DEFC ,接 AM .判断段 AM 与 DE 的位置关系. 探究展示：勤小, AM垂直平分DE , 并展示了如下的明方法：

明：∵ BE= AB ,∴ AE=2 AB ∵ AD=2 AB ,∴ AD=AE

∵四形 ABCD 是矩形,∴ AD∥ BC ∴

EM EB

.( 依据 1)

DM AB

∵ BE =AB ,∴

1 ,∴ EM DM .

即AM 是△ ADE 的 DE 上的中,

又∵ AD =AE ,∴ AM ⊥ DE .(依据2)

∴. AM垂直平分DE

反思交流

(1)①上述明程中的“依据1”“依据 2”分是指什么

② 判断 1 中的点A是否在段GF 的垂直平分上, 直接回答 , 不必明：

(2) 新小受到勤小的启，行探究，如2，接CE，以CE一

在 CE 的左下方作正方形CEFG ，点 G 在段 BC 的垂直平分上，你

出明；

探索：

(3) 如 3，接CE，以CE一在CE的右上方作正方形CEFG ，可以点

C ，点 B 都在段 AE 的垂直平分上，除此之外，察矩形ABC

D 和正方形CEFG 的点与，你能哪个点在哪条的垂直平分上，写出一个你

的，并加以明；

图 1图2图3

23.( 本小题满分13 分 )

综合与探究

如图，抛物线y 1 x2

1 x

4 与x 轴交于 A ， B 两点(点 A 在点B 的左侧) ，与y 轴

交于点 C ，连接AC ， BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为 m ，过点P 作PM x 轴，垂足为点M ， PM 交 BC 于点Q ，过点P 作 PE∥ AC 交 x 轴于点 E ，交BC 于点F ．

(1)求 A ， B ， C 三点的坐标；

(2) 试探究在点P 运动动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以 A ， C ， Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说

明理由；

(3) 请用含m的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时 QF 有最大值.

山西省 2018 年高中阶段教育学校招生统一考试数学答案

解析

第Ⅰ卷

一、选择题

1. 【答案】 B

【解析】 A 中，0 2 ，错；B中， 5 3 ，正确；C中， 2 3，错误；D中， 1 4 ，错误，故选 B.

【考点】有理数的大小比较.

2.【答案】 B

【解析】“算经十书”包括《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》在四个

选项中《几何原经》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，故选 B.

【考点】我国古代数学著作.

3.【答案】 D

【解析】 A 中，( a3 )2 ( 1)2 ( a3 )2 a6 ，错误； B 中，2a2 3a2 5a2，错误；C中，

2 3 5

b2 3 b6

2a g a =2a ，错误； D 中，( 2a )8a3

，正确，故选D.

【考点】整式的运算 .

4. 【答案】 C

【解析】 A 中，b2 4ac ( 2)2 4 0 ，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B 中，b2 4ac 42 4 1 ( 1) 20 0 ，此方程有两个不相等的实数根，

不符合题意； C 中，b2 4ac ( 4) 2 4 2 3 8 0 ，此方程没有实数根，符合题意；D 中，原方程变形为3x2 5x 2 0 ，b2 4ac ( 5)2 4 3 2 1 0 .

此方程有两个不相等的实数根，不符合题意，故选 C.

【考点】一元二次方程根的判别式.

5. 【答案】 C

【解析】把这7 个数据按从小到大的顺序排列为302.34， 319.79， 332.68， 338.87，416.01， 725.86， 303.78，位于最中间的数据为

338.87故选

【考点】中位数.

6.【答案】 C

【解析】立方米 / 秒

1 010 3 600

立方米 / 时

=3 636 000

立方米 / 时

3.636

1 010 10

立方米 / 时，故选 C.

【考点】科学记数法.

7.【答案】 A

【解析】画树状图如图所示，共有9 种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是黄球的结果有 4 种，所以P (两次都摸到黄球) =

，故选 A.

【考点】列表法或画树状图法求概率.

8.【答案】 D

【解析】连接 BB ，由旋转的性质知，AC =A C ，又∠A60°，∴△ACA是等边三角形∴∠ACA =60°，由旋转可知∠ BCB =∠ ACA =60°，BC B C ，∴△ BCB 为等边

三角形，∴ BB

BC . 在 Rt △ABC 中， BC ACtan60

6 3 6 3 ，∴点 B 与

【解析】由多边形的外角和为

360 ，知

∠ ＋∠ ＋∠ ＋∠ ＋∠

12345=360 .

点 B 之的距离是 6 3 ，故选 D.

【考点】多边形的外角和定理 .

【考点】旋转的性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数

13. 【答案】 55

9. 【答案】 B

【解析】设长为

8x cm ，高为 11x cm ，根据题意，得 8x+11x+20 115，解得 x 5，

【解析】 y

x 2 8x 9 x 2 8x 16 16 9 ( x 4) 2 25 ，故选 B.

11x 55 ，即符合此规定的行李箱的高的最大值为

55 cm

【考点】二次函数表达式的一般式与顶点式的转换.

【考点】一元一次不等式的应用 .

10. 【答案】 A

14. 【答案】 2

【解析】∵四边形

ABCD 为正方形，∴ AB BC CD AD ， AC BD 4，

【解析】如图，过点 A 作 AG PQ 于点 G ，由尺规作图可知， ∠1=∠2 ，∵ MN ∥PQ ，

∴

弓形 AB

弓形 AD S

弓形

弓形 CD

如

图所

示

，

∴ ∠1=∠3 . ∴ ∠2=∠3 . ∵ ∠ ABP=60°

， ∴ ∠2= ∠3=30°

在 Rt △ABG 中

ABsin60 °

2 3 .

扇形 AEF

△ ABD

90π 4 1

3 . 在 Rt △ AGF 中，∵ ∠3=30 ，∴ AF 2 AG

阴影

4 2 4 4 ，故选 A.

360 2

【考点】正方形的性质、扇形的面积公式.

第Ⅱ卷

【考点】解直角三角形、角平分线的作法、平行线的性质、三角形外角的性质 .

15. 【答案】

二 . 填空题

11. 【答案】 17

【解析】如图，连接 EF ， DE ， DF . ∵ ∠ACB=90°

，∴ EF 为 e O 的直径， ∴ EF 必过

圆心 O ∵ CD 为 e O 的直径，∴ DE AC ，

BC ，∵ ∠ ACB=90 °

，

， ( 3 2)2

18 1 17 .

AD BD

【解析】原式

∴ CD

AD BD 5

， ∴ AE

CE 3 ， CF

BF 4 ， ∴ EF ∥ AB ， ∴

【考点】平方差公式

∠FGB

∠OFG ， ∵ FG 为 e O 的切线， ∴ ∠OFG =90°

， ∴ ∠FGB =90°

，在

Rt △ CDF 中， DF

CD 2 CF 2

42 3 ，在 Rt △ BDF 中， ∵

12. 【答案】 360

DF gBF BD gFG ，∴FG DF gBF 3 4 12 .

BD 5 5

三、解答题

16.【答案】 (1)7

(2)

x x 2

【解析】 (1) 原式8 4 2 1

(2) 原式x 2 g ( x 1)(x 1) 1

x 1 ( x 2)2 x 2 ∴一次函数的表达式为y1x 2.

∵反比例函数y2

2的图象经过点 D

(2,4)，

∴4=

2，∴ k2 =8 .

∴反比例函数的表达式为y2

(2) 由 y1 >0 ，得x＋2 0 .

∴x 2 .

∴当 x 2 时，y1 0.

(3) x 4 或 0 x 2 .

【解析】解： (1) ∵一次函数y1k1 x b 的图象经过点C( - 4, - 2) ， D(2,4) ，

x+1 1

∴

4k1b2,

x 2 x 2

x 2

【考点】实数的运算、分式的混合运算.

17. 【答案】解：(1) ∵一次函数y1k1 x b 的图象经过点 C (- 4,- 2) ， D(2,4) ，

4k1 b 2,

∴

2k1 b 4.

k11,

解，得：

b 2.

2k1b 4.

k11,

解，得：

b 2.

∴一次函数的表达式为y1x 2.

∵反比例函数y2

2的图象经过点 D (2,4)，

∴4=

2，∴ k2 =8 .

(3) 500 21%＝105

∴反比例函数的表达式为y2

( 人 )

答：估计其中参加“书法”项目活动的有105 人 .

(2) 由y1>0，得 x＋2 0 .

(4)

15 15 5 ∴ x 2 . 15+10+8+15 48 .

∴当 x 2 时，y1 0 . 答：正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为 5

16 (3) x 4 或 0 x 2 .

【解析】解： (1) 补全条形统计图和扇形统计图如图所示. 【考点】待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式、一次函数与反比例函数交点问

题.

18. 【答案】解：(1) 补全条形统计图和扇形统计图如图所示.

(2) 10 100% 40% .

10+15

答：男生所占的百分比为 40% .

(2) 10 (3) 500 ( 人 )

100% 40% . 21%＝105

10+15

答：估计其中参加“书法”项目活动的有105 人 .

答：男生所占的百分比为40% .

15 15 5

【解析】解： (1) 过点 C 作 CD AB 于点 D .

(4)

48 16 .

15+10+8+15

答：正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为

【考点】条形统计图、扇形统计图、概率公式

19. 【答案】解： (1) 过点 C 作 CD AB 于点 D .

设 CD x 米，在 Rt △ ADC 中，

∠ ADC 90 ， ∠A=38 .

∵ tan38

CD CD x 5

，∴ AD

tan38

0.8 x .

在 Rt △ BDC 中， ∠ BDC

90 ， ∠B 28 .

∵ tan28

CD CD x ，∴ BD

tan28

2x .

0.5

设 CD

x 米，在 Rt △ ADC

中，

∠ ADC 90 ， ∠ A=38 .

∵ tan38

，∴ AD

CD x

x .

tan38

0.8 4

在 Rt △ BDC 中， ∠ BDC 90 ， ∠ B 28 .

∵ tan28

，∴ BD

CD x 2x .

tan28 0.5

∵ AD BD

AB 234，∴ 5

x 2x 234 .

解，得 x 72 .

答：斜拉索顶端点

C 到桥面的距离为 72 米.

(2) 还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等 .

∵ AD

AB 234，∴ 5

x 2 x 234 .

【考点】解直角三角形的应用 .

解，得 x 72 .

20. 【答案】解法一：设乘坐“复兴号”

G92 次列车从太原南到北京西需要

x 小时，

答：斜拉索顶端点 C 到桥面的距离为 72 米 .

由题意，得 500

500

40 .

( x

1 1 ) (2) 还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等

6 4 6

解，得 x 8 3

经检验， x 8

是原方程的根 . 3

答：乘坐“复兴号"G92 次列车从太原南到北京西需要8

小时 . 3

解法二：设“复兴号” G92 次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x 小时，

由题意，得

500500

40 . x 5 x

解，得 x.

经检验， x 5

是原方程的根. 2

5 1 8

( 小时 ).

2 6 3

答：乘坐“复兴号” C92 次列车从太原南到北京西需要8

个小时 . 3

【解析】解法一：设乘坐“复兴号” G92 次列车从太原南到北京西需要x 小时，

由题意，得

500 500

( x

40 . x 1 1)

6 4 6

解，得x 8

经检验，x 8

是原方程的根 . 3

答：乘坐“复兴号"G92 次列车从太原南到北京西需要8

小时 .

由题意，得

500

500 40 .

x 5

解，得 x.

是原方程的根 .

经检验， x

5 1 8

( 小时 ).

2 6 3

答：乘坐“复兴号” C92 次列车从太原南到北京西需要

个小时.

【考点】分式方程的应用.

21.【答案】解： (1) 四边形AXYZ是菱形 .

证明：∵ ZY∥AC ， YX∥ZA ，

∴四边形 AXYZ是平行四边形.

∵ZA=YZ ，∴ YAXYZ是菱形.

(2) 证明：∵CD CB ，∴1= 2 .

∵ ZY∥AC ，∴1= 3 .

解法二：设“复兴号” G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x 小时，

∴2= 3 .∴ YB=YZ .

∵四边形AXYZ是菱形，∴AX =XY=YZ .

∴AX=BY=XY .

(3)D( 或位似 )

【解析】解：(1) 四边形AXYZ是菱形 .

证明：∵ ZY∥AC ， YX∥ZA ，

∴四边形AXYZ是平行四边形.

∵ZA=YZ，∴ Y AXYZ是菱形.

(2)证明：∵ CD CB ，∴ 1= 2 .

∵ZY∥AC ，∴ 1= 3.

∴2= 3 .∴ YB=YZ .

∵四边形AXYZ是菱形，∴AX =XY=YZ .

∴AX=BY=XY .

(3)D( 或位似 )

【考点】菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、位似.22. 【答案】 (1) ①依据 1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例( 或平行

线分线段成比例).

依据 2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合( 或等腰三角形的“三线合一”).

②点 A 在线段 GF 的垂直平分线上.

(2) 证明：过点G 作 GH BC 于点 H ，

∵四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB的延长线上，

∴∠ CBE =∠ ABC=∠ GHC =90°.

∴∠1＋∠ 2=90 .

∵四边形 CEFG 为正方形，

∴CG CE ，∠CCE=90

∴∠1＋∠ 3=90 ∴∠2=∠3.

∴△ GHC≌△CBE .

∴HC BE .

∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD BC .

∵ AD 2AB , BE AB，∴ BC 2BE 2HC .

∴HC BH .∴ GH 垂直平分 BC .

∴点 G 在 BC 的垂直平分线上.

(3)点 F 在 BC 边的垂直平分线上(或点 F 在 AD 边的垂直平分线上). 证法一：过点 F 作 FM BC 于点 M ，过点 E 作 EN FM 于点 N . ∴∠BMN∠ENM∠ENF90 .

∵四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB 的延长线上，

∴∠ CBE∠ ABC90°，∴四边形BENM 为矩形.

∴ BM EN ，∠BEN90 ，∴∠1＋∠ 2 90 .

∵四边形 CEFG 为正方形，

∴ EF EC ，∠CEF 90°，

∴∠2＋∠ 3 90°，∴∠1∠3.

∵∠CBE∠ENF90 ，∴△ENF≌△EBC .

∴ NE BE .∴ BM BE . ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD BC .

∵ AD 2AB . AB BE ，∴ BC 2BM ，∴ BM MC .

∴ FM 垂直平分 BC ，∴点 F 在 BC 边的垂直平分线上.

证法二：过 F 作FN BE 交BE的延长线于点N ，连接 FB ， FC .

四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB的延长线上，

∴∠ CBE∠ABC∠ N90 .∴∠1＋∠3 90 ，

∵四边形 CEFG 为正方形，

∴EC EF ，∠CEF 90.

∴∠1＋∠ 2 90 ∴∠2∠3.

∴ △ ENF ≌△ CBE .

∴ NF BE ， NE BC .

∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD BC .

∵AD 2AB ， BE AB .

∴设 BE a ，则 BC EN 2a ， NF a .

∴ BF BN 2FN 2 = (3a) 2a210a .

CF BC 2BE 2 = (2a)2a25a .

CF CE 2EF 2 = 2CE10a .

∴ BF CF ，∴点 F 在 BC 边的垂直平分线上.

【解析】 (1) ①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例( 或平行线分线段成比例).

依据 2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合( 或等腰三角形的“三线合一”).

②点 A 在线段 GF 的垂直平分线上.

(2) 证明：过点G 作 GH BC 于点 H ，

∵四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB 的延长线上，

∴∠CBE =∠ABC =∠GHC =90°.

∴∠1＋∠ 2=90 .

∵四边形 CEFG 为正方形，∴∠1＋∠ 3=90 ∴∠2=∠3.

∴△ GHC≌△CBE .

∴HC BE .

∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD BC .

∵ AD 2AB , BE AB ，∴ BC 2BE 2HC .

∴ HC BH .∴ GH 垂直平分 BC .

∴点 G 在 BC 的垂直平分线上.

(3)点 F 在 BC 边的垂直平分线上(或点 F 在 AD 边的垂直平分线上). 证法一：过点 F 作 FM BC 于点 M ，过点 E 作 EN FM 于点 N . ∴∠ BMN∠ ENM∠ ENF90 .

∵四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB的延长线上，

∴∠ CBE∠ ABC90°，∴四边形BENM 为矩形.

∴ BM EN ，∠BEN90 ，∴∠1＋∠ 2 90 .

∴ CG CE ，∠CCE=90∵四边形CEFG为正方形，

∴ EF EC ，∠CEF 90°，

∴∠2＋∠ 3 90°，∴∠1∠3.

∵∠CBE∠ENF90 ，∴△ENF≌△EBC .

∴NE BE .∴ BM BE .

∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD BC .

∵ AD 2AB . AB BE ，∴ BC 2BM ，∴ BM MC .

∴ FM 垂直平分 BC ，∴点 F 在 BC 边的垂直平分线上.

证法二：过 F 作FN BE 交BE的延长线于点N ，连接 FB ， FC .

四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB的延长线上，

∴∠ CBE ∠ ABC ∠N 90 .∴∠1＋∠ 3 90 ，

∵四边形 CEFG 为正方形，

∴ EC EF ，∠CEF90 .

∴∠1＋∠ 2 90 ∴∠2∠3. ∴ NF BE ， NE BC .

∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD BC .

∵AD 2AB ， BE AB .

∴设 BE a ，则 BC EN 2a ， NF a .

∴ BF BN 2FN 2 = (3a)2a210a .

CF BC2BE 2 = (2a) 2a25a .

CF CE2EF 2 = 2CE10a .

∴ BF CF ，∴点 F 在 BC 边的垂直平分线上.

【考点】平行线分线段成比例、等腰三角形的性质矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、线段垂直平分线的判定定理.

23. 【答案】 (1) 由y 0 ，得

x 2 1 x 4 0 .

3 3

解，得 x1 3 ， x2 4 .

∴点 A ， B 的坐标分别为A( 3,0) ， B(4,0) .

由 x 0 ，得y 4 .∴点C的坐标为 C(0,4) .

(2) Q1 (

5 2

2 4) ， Q2 (1, 3) .

2 2

(3) 过点 F 作FG PQ 于点G，

∴ △ ENF ≌△ CBE .

则FG∥x 轴.

由B(4,0) ， C(0, 4) .

得△ OBC 为等腰直角三角形. ∴∠OBC∠ QFG45 .

∴ GQ FG 2

FQ . 2

∵PE∥AC ，∴∠1 ∠2 .

∴FG∥x 轴，∴∠2 ∠3，∴∠1 ∠3.

∵∠FGP∠AOC90 ，∴△FGP∽△AOC . ∴FG GP ，即 FG GP .

AO OC 34

∴ GP 4

FG 4 g

2 2

FQ .

3 3 2 3

∴ QP GQ GP 2

FQ 2 2 FQ

7 2

FQ ，∴ FQ

3 2

QP ，

2 3 6 7

∴ PM x轴，点 P 的横坐标为m，∠MBQ 45 ，

∴ QM MB 4 m ， PM 1 m2

m 4 .

3 3

∴ QP PM －QM 1 m2

m 4 (4 m)

m2 +

m .

3 3 3 3

∴ FQ 3 2 QP 3 2 ( 1 m2+ 4 m) 2 m2

4 2

m .

7 7 3 3 7 7

4 2

∵m

2 时， QF 有最大值.

0 ，∴ QF 有最大值，∴当

7 2( 2 )

【解析】 (1) 由 y 0 ，得

x 4 0 .

3 3

解，得 x1 3 ， x2 4 .

∴点 A ， B 的坐标分别为A( 3,0) ， B(4,0) .

由 x 0 ，得y 4 .∴点C的坐标为 C(0,4) .

(2)

5 2 5 2

4) ， Q2 (1, 3) .

Q1 ( ,

(3) 过点 F 作 FG PQ 于点G，

则FG∥x 轴.

由B(4,0) ， C(0, 4) .

得△ OBC 为等腰直角三角形. ∴∠OBC∠ QFG45 .

∴ GQ FG 2

FQ . 2

∵PE∥AC ，∴∠1 ∠2 .

∴FG∥x 轴，∴∠2 ∠3 ，∴∠1 ∠3.

∵∠FGP∠ AOC90 ，∴△FGP∽△AOC . ∴FG GP ，即 FG GP .

AO OC 34

∴ GP 4

FG 4 g

2 2

FQ .

3 3 2 3

∴ QP GQ GP 2

FQ 2 2 FQ

7 2

FQ ，∴ FQ

3 2

QP ，

2 3 6 7

∴ PM x轴，点 P 的横坐标为m，∠MBQ 45 ，

∴ QM MB 4 m ， PM 1 m2

m 4 .

3 3

∴ QP PM － QM 1 m2

m 4 (4 m)

m2 +

m .

3 3 3 3

∴ FQ 3 2 QP 3 2 ( 1 m2+ 4 m) 2 m2

4 2

m .

7 7 3 3 7 7

4 2

∵

2 时， QF 有最大值.

0 ，∴ QF 有最大值，∴当 m

7 2( 2 )

解法二：提示，先分别求出BQ 和BF关于m的代数式，再由 QF BF－BQ 得到 QF 关

于 m 的代数式

【考点】抛物线的性质、等腰三角形的性质、二次函数与一元二次方程的关系、勾股

定理、相似三角形的判定与性质 .