线性代数第五章答案
第五章 相似矩阵及二次型
1 试用施密特法把下列向量组正交化
(1)???
?
??=931421111) , ,(321a a a
解 根据施密特正交化方法
???
?
??==11111a b
???
? ??
-=-=101]
,[],[1112122b b b a b a b
?
??
? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b
(2)???
?
? ??---=011101110111) , ,(321a a a
解 根据施密特正交化方法
????
? ??-==110111a b
?
???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b
?
???
? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b
2 下列矩阵是不是正交阵:
(1)??????
? ??--
-1
21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵
(2)????
??
? ??----
--979494949198949891 解 该方阵每一个行向量均是单位向量 且两两正交 故为正交阵
3 设x 为n 维列向量 x T x 1 令HE 2xx T 证明H 是对称的正交阵 证明 因为
H T (E 2xx T )T E 2(xx T )T E 2(xx T )T E 2(x T )T x T E 2xx T 所以H 是对称矩阵 因为
H T HHH (E 2xx T )(E 2xx T ) E 2xx T 2xx T (2xx T )(2xx T ) E 4xx T 4x (x T x )x T E 4xx T 4xx T E 所以H 是正交矩阵
4 设A 与B 都是n 阶正交阵 证明AB 也是正交阵 证明 因为A B 是n 阶正交阵 故A 1A T B 1B T
(AB )T (AB )B T A T ABB 1A 1ABE
故AB 也是正交阵
5 求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1)???
? ??----201335212;
解 3)1(2013352
12||+-=-------=-λλ
λλλE A
故A 的特征值为1(三重) 对于特征值1 由
???
? ?????? ??----=+000110101101325213~E A
得方程(AE )x 0的基础解系p 1(1 1 1)T 向量p 1就是对应于特征值1的特征值向量.
(2)???
?
??633312321;
解 )9)(1(6333123
21||-+-=---=-λλλλ
λλλE A
故A 的特征值为10 21 39 对于特征值10 由
???
?
?????? ??=000110321633312321~A
得方程A x 0的基础解系p 1(1 1 1)T 向量p 1是对应于特征值10的特征值向量. 对于特征值21, 由
???
? ?????? ??=+000100322733322322~E A
得方程(AE )x 0的基础解系p 2(1 1 0)T 向量p 2就是对应于特征值21的特征值向量 对于特征值39 由
????
? ??--???? ??---=-00021101113333823289~E A
得方程(A 9E )x 0的基础解系p 3(1/2 1/2 1)T 向量p 3就是对应于特征值39的特征值向量
(3)????
?
?
?00
01001001001000
.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考） 解 22)1()1(0010100101
00||+-=----=
-λλλ
λλλλE A
故A 的特征值为121 341 对于特征值121 由
????
? ???????
?
?=+00
00
0000
0110100110
01011001101001~E A 得方程(AE )x 0的基础解系p 1(1 0 0 1)T p 2(0 1 1 0)T 向量p 1和p 2是对应于特征值121的线性无
关特征值向量 对于特征值341 由
????
? ?
?--?????
?
?----=-00
000000
0110100110
01011001101001
~E A 得方程(AE )x 0的基础解系p 3(1 0 0 1)T p 4(0 1 1 0)T 向量p 3和p 4是对应于特征值341的线性无
关特征值向量
6 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 证明 因为
|A T E ||(AE )T ||AE |T |AE |
所以A T 与A 的特征多项式相同 从而A T 与A 的特征值相同
7 设n 阶矩阵A 、B 满足R (A )R (B )n 证明A 与B 有公共的特征值 有公共的特征向量
证明设R(A)r R(B)t则rtn
若a1? a2a nr是齐次方程组A x0的基础解系显然它们是A的对应于特征值0的线性无关的特征向量
类似地设b1b2b nt是齐次方程组B x0的基础解系则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量
由于(nr)(nt)n(nrt)n故a1? a2a nr b1b2b nt必线性相关于是有不全为0的数k1k2k nr l1? l2l nt使
k1a1k2a2k nr a nr l1b1?l2b2l nr b nr0
记k1a1k2a2k nr a nr(l1b1?l2b2l nr b nr)
则k1k2k nr不全为0 否则l1? l2l nt不全为0 而
l1b1?l2b2l nr b nr0
与b1b2b nt线性无关相矛盾
因此0是A的也是B的关于0的特征向量所以A与B有公共的特征值有公共的特征向量
8 设A23A2EO证明A的特征值只能取1或2
证明设是A的任意一个特征值x是A的对应于的特征向量则
(A23A2E)x2x3x2x(232)x0
因为x0所以2320 即是方程2320的根也就是说1或2
9 设A为正交阵且|A|1 证明1是A的特征值
证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1 （需要说明）
因为|A|等于所有特征值之积又|A|1 所以必有奇数个特征值为1 即1是A的特征值
10 设0是m阶矩阵A mn B nm的特征值证明也是n阶矩阵BA的特征值
证明设x是AB的对应于0的特征向量则有
(AB)xx
于是B(AB)x B(x)
或BA(B x)(B x)
从而是BA的特征值且B x是BA的对应于的特征向量
11 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A35A27A|
解令()3527 则(1)3 (2)2 (3)3是(A)的特征值故
|A35A27A||(A)|(1)(2)(3)32318
12 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A*3A2E|
解 因为|A |12(3)60 所以A 可逆 故 A *|A |A 16A 1 A *3A 2E 6A 13A 2E
令()6132 则(1)1 (2)5 (3)5是(A )的特征值 故 |A *3A 2E ||6A 13A 2E ||(A )| (1)(2)(3)15(5)25
13 设A 、B 都是n 阶矩阵 且A 可逆 证明AB 与BA 相 似
证明 取PA 则
P 1ABPA 1ABABA
即AB 与BA 相似
14 设矩阵???
?
??=50413102x A 可相似对角化 求x
解 由
)6()1(504131
02||2---=---=-λλλ
λλλx E A
得A 的特征值为16 231
因为A 可相似对角化 所以对于231 齐次线性方程组(AE )x 0有两个线性无关的解 因此R (AE )1 由
???
? ??-???? ??=-00030010140403101)(~x x E A r
知当x 3时R (AE )1 即x 3为所求
15 已知p (1 1 1)T 是矩阵???
?
??---=2135212b a A 的一个特征向量
(1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值 解 设是特征向量p 所对应的特征值 则
(AE )p 0 即???
? ??=???? ??-???? ??------000111213521
2λλλb a
解之得1? a 3 b 0
(2)问A 能不能相似对角化并说明理由 解 由
3)1(2013352
12||--=-------=-λλ
λλλE A
得A 的特征值为1231 由
???
? ??-???? ??----=-00011010111325211~r b E A
知R (AE )2 所以齐次线性方程组(AE )x 0的基础解系只有一个解向量 因此A 不能相似对角化
16 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:
(1)???
? ??----020212022;
解 将所给矩阵记为A 由
λ
λλλ-------=-202120
22E A (1)(4)(2)
得矩阵A 的特征值为12 21 34 对于12 解方程(A 2E )x 0 即
0220232024321=???? ?????? ??----x x x 得特征向量(1 2 2)T 单位化得T
)3
2 ,32 ,31(1=p
对于21, 解方程(AE )x 0 即
0120202021321=???
? ?????? ??-----x x x
得特征向量(2 1 2)T 单位化得
T )3
2 ,31 ,32(2-=p
对于34, 解方程(A 4E )x 0 即
0420232022321=???
? ?????? ??-------x x x 得特征向量(2 2 1)T 单位化得T
)3
1 ,3
2 ,32(3-=p
于是有正交阵P (p 1 p 2 p 3) 使P 1AP diag(2 1 4)
(2)???
? ??----542452222 （和书后答案不同，以书后答案为准，解题步骤可以参考）
解 将所给矩阵记为A 由
λ
λλλ-------=-5424522
22E A (1)2(10)
得矩阵A 的特征值为121 310 对于121 解方程(AE )x 0 即
???
? ??=???? ?????? ??----000442442221321x x x 得线性无关特征向量(2 1 0)T 和(2 0 1)T 将它们正交化、单位化得
T 0) 1, ,2(511-=p T 5) ,4 ,2(5
312=p
对于310, 解方程(A 10E )x 0 即
???
?
??=???? ?????? ??-------000542452228321x x x 得特征向量(1 2 2)T 单位化得T
)2 ,2 ,1(3
13--=p
于是有正交阵P (p 1 p 2 p 3) 使P 1AP diag(1 1 10)
17 设矩阵????
??------=12422421x A 与???
? ??-=Λy 45相似 求x y 并求一个正交阵P 使P 1AP
解 已知相似矩阵有相同的特征值 显然5 4 y 是的特征值 故它们也是A 的特征值 因为4是A 的特征值 所以
0)4(95
242424
25|4|=-=---+---=+x x E A
解之得x 4
已知相似矩阵的行列式相同 因为
1001242424
21||-=-------=A y y
2045||-=-=Λ
所以20y 100 y 5
对于5 解方程(A 5E )x 0 得两个线性无关的特征向量(1 0 1)T (1 2 0)T 将它们正交化、单位化得
T )1 ,0 ,1(211-=p T )1 ,4 ,1(2
312-=p
对于4 解方程(A 4E )x 0 得特征向量(2 1 2)T 单位化得T
)2 ,1 ,2(3
13=p
于是有正交矩阵?
?
?????
?
??--=231322
1234310
231322
1P 使P 1AP 18 设3阶方阵A 的特征值为12 22 31 对应的特征向量依次为p 1(0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A .
解 令P (p 1 p 2 p 3) 则P 1AP diag(2 2 1) APP 1 因为
???
?
??---=??
?? ??=--1101110110111111101
1P 所以
???? ??---???? ?
?-???? ??=Λ=-11011101110002
000
20111111101P P A ????
?
??------=244
354332 19 设3阶对称阵A 的特征值为11 21 30 对应1、2的特征向量依次为p 1(1 2 2)T p 2(2 1 2)T
求A
解 设???
?
??=653542321x x x x x x x x x A 则A p 12p 1 A p 22p 2 即 ?????=++=++=++222222122653542321x x x x x x x x x ① ?????=-+-=-+-=-+2
22122222653542321x x x x x x x x x ② 再由特征值的性质 有
x 1x 4x 61230 ③
由①②③解得
612131x x --= 6221x x = 634132x x -=
642131x x -= 654
132x x += 令x 60 得311-=x x 20 323=x 3
14=x 325=x 因此 ???
? ??-=022********A 20 设3阶对称矩阵A 的特征值16 23 33 与特征值16对应的特征向量为p 1(1 1 1)T 求A .
解 设???
? ??=653542321x x x x x x x x x A 因为16对应的特征向量为p 1(1 1 1)T 所以有
???? ??=???? ??1116111A 即???
??=++=++=++6666
53542321x x x x x x x x x ① 233是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R (A 3E )1 利用①可推出
????
??--???? ??---=-331113333653
542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x E A 因为R (A 3E )1 所以x 2x 43x 5且x 3x 5x 63 解之得
x 2x 3x 51 x 1x 4x 64
因此
???
?
??=411141114A
21 设a (a 1? a 2 a n )T a 10? A aa T (1)证明0是A 的n 1重特征值
证明 设是A 的任意一个特征值 x 是A 的对应于的特征向量 则有 A xx
2x A 2xaa T aa T xa T a A xa T ax 于是可得2a T a 从而0或a T a
设1 2 n 是A 的所有特征值 因为A aa T 的主对角线性上的元素为a 12? a 22 a n 2 所以
a 12?a 22 a n 2a T a 12 n
这说明在1 2 n 中有且只有一个等于a T a 而其余n 1个全为0 即0是A 的n 1重特征值 (2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量 解 设1a T a 2 n 0
因为A aaa T a (a T a )a 1a 所以p 1?a 是对应于1a T a 的特征向量
对于2 n 0 解方程A x 0 即aa T x 0 因为a 0 所以a T x 0 即a 1x 1?a 2x 2 a n x n 0 其线性无关解为
p 2(a 2? a 1 0 0)T p 3(a 3 0? a 1 0)T
p n (a n 0 0 a 1)T
因此n 个线性无关特征向量构成的矩阵为
????
? ???
?????????????????-???-=???112
2
12100), , ,(a a a a
a a a n
n n p p p 22 设???
?
??-=340430241A 求A 100
解 由
)5)(5)(1(3404302
41||+---=----=-λλλλ
λλλE A
得A 的特征值为11 25 35
对于11 解方程(AE )x 0 得特征向量p 1(1 0 0)T 对于15 解方程(A 5E )x 0 得特征向量p 2(2 1 2)T 对于15 解方程(A 5E )x 0 得特征向量p 3(1 2 1)T 令P (p 1 p 2 p 3) 则 P 1AP diag(1 5 5) APP 1 A 100P 100P 1 因为
100diag(1 5100 5100)
???
? ??--=???? ??-=--120210505511202101211
1P 所以
???? ??--???? ????
?? ??-=12021050555112021012151100100100
A ???
?
??-=1001001005000501501
23 在某国 每年有比例为p 的农村居民移居城镇 有比例为q 的城镇居民移居农村 假设该国总人口数不变 且上述人口迁移的规律也不变 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n y n 1)
(1)求关系式??
? ??=??
? ??++n n n n y x A y x 11中的矩阵A
解 由题意知
x n 1x n qy n px n (1p )x n qy n y n 1y n px n qy n px n (1q )y n 可用矩阵表示为
?
?? ????? ?
?--=??? ??++n n n n y x q p q p y x 1111
因此
??
?
??--=q p q p A 11
(2)设目前农村人口与城镇人口相等 即??
? ??=??? ??5.05.000y x 求??
? ??n n y x
解 由??? ??=??? ??++n n n n y x A y x 11可知??
? ??=??? ??00y x A y x n n n 由 )1)(1(11||q p q p q
p E A ++--=----=
-λλλ
λλ
得A 的特征值为11 2r 其中r 1pq
对于11 解方程(AE )x 0 得特征向量p 1(q p )T 对于1r 解方程(ArE )x 0 得特征向量p 2(1 1)T 令??
?
??-==11) ,(21p q P p p 则 P 1AP diag(1 r ) APP 1 A n P n P 1
于是 1
1100111-??
? ??-??? ????? ??-=p q r p q A n
n
?
?? ??-??? ?
???? ??-+=q p r p q q p n 11001111
??
? ??+--++=n n n n qr p pr p qr q pr q q p 1
??
? ????? ??+--++=??? ??5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ??? ??-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21
24 (1)设??
? ??--=3223A 求(A )A 105A 9 解 由
)5)(1(3223||--=----=-λλλ
λλE A
得A 的特征值为11 25
对于11 解方程(AE )x 0 得单位特征向量T )1 ,1(2
1 对于15 解方程(A 5E )x 0 得单位特征向量
T )1 ,1(2
1-
于是有正交矩阵?
?
? ??-=111121P 使得P 1AP diag(1 5)
从而APP 1 A k P k P 1 因此 (A )P ()P 1P (1059)P 1
P [diag(1 510)5diag(1 59)]P 1 P diag(4 0)P 1
??
? ??-??? ??-??? ??-=1111210004111121
??
? ??-=??? ??----=111122222 (2)设???
?
??=122221212A , 求(A )A 106A 95A 8
解 求得正交矩阵为
????
? ?
?---=20223123161P 使得P 1AP diag(1 1 5) APP 1 于是 (A )P ()P 1P (106958)P 1 P [8(E )(5E )]P 1
P diag(1 1 58)diag(2 0 4)diag(6 4 0)P 1 P diag(12 0 0)P 1
????
??---???? ??????? ??---=222033211001220223123161 ???
?
??----=4222112112
25 用矩阵记号表示下列二次型: (1) fx 24xy 4y 22xzz 24yz 解
???
? ?????? ??=z y x z y x f 121242121) , ,(
(2) fx 2y 27z 22xy 4xz 4yz 解
????
?????? ??-------=z y x z y x f 722211211) , ,(
(3) fx 12x 22x 32x 422x 1x 24x 1x 32x 1x 46x 2x 34x 2x 4
解
????
? ???????
?
?------=4321432110
2
101322311
1211
) , , ,(x x x x x x x x f 26 写出下列二次型的矩阵 (1)
x x x ??
? ??=13
12)(T f
解 二次型的矩阵为???
?
??=1222A (2)
x x x ???
?
??=987654321)(T f
解 二次型的矩阵为????
?
??=975753531A
27 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f 2x 123x 223x 334x 2x 3
解 二次型的矩阵为????
??=320230002A 由
)1)(5)(2(3202300
02λλλλ
λλλ---=---=-E A
得A 的特征值为12 25 31 当12时, 解方程(A 2E )x 0 由
???
? ?????? ??=-0001002101202100002~E A
得特征向量(1 0 0)T 取p 1(1 0 0)T 当25时 解方程(A 5E )x 0 由
????
??-???? ??---=-0001100012202200035~E A
得特征向量(0 1 1)T 取T )2
1 ,21
,0(2=p
当31时 解方程(AE )x 0 由
???
? ?????? ??=-000110001220220001~E A
得特征向量(0 1 1)T 取T )2
1 ,21 ,0(3-
=p 于是有正交矩阵T (p 1 p 2 p 3)和正交变换x T y 使 f 2y 125y 22y 32
(2) fx 12x 22x 32x 422x 1x 22x 1x 42x 2x 32x 3x 4
解 二次型矩阵为???
?? ??----=1101111001111011A 由
2)1)(3)(1(1101111001111
011--+=--------=-λλλλ
λλλλE A
得A 的特征值为11 23 341
当11时 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(1--=p
当23时 可得单位特征向量T
)2
1 ,21 ,21 ,21(2--=p
当341时 可得线性无关的单位特征向量
T )0 ,21 ,0 ,21(3=p T )2
1 ,0 ,21 ,0(4=p
于是有正交矩阵T ( p 1 p 2 p 3 p 4)和正交变换x T y 使 fy 123y 22y 32y 42
28 求一个正交变换把二次曲面的方程
3x 25y 25z 24xy 4xz 10yz 1
化成标准方程
解 二次型的矩阵为???
?
??----=552552223A
由)11)(2(5525522
23||---=-------=-λλλλ
λλλE A 得A 的特征值为12 211
30
对于12 解方程(A 2E )x 0 得特征向量(4 1 1)T 单位化得)231 ,231 ,234(1-=p 对于211 解方程(A 11E )x 0 得特征向量(1 2 2)T 单位化得)32 ,32 ,31(2-=p 对于30 解方程A x 0 得特征向量(0 1 1)T 单位化得)2
1 ,21
,0(3=p
于是有正交矩阵P (p 1 p 2 p 3) 使P 1AP diag(2 11 0) 从而有正交变换
?
??? ?????????
?
??--=???? ??w v u z y x 21322
312132231
03
1234
使原二次方程变为标准方程2u 211v 21
29 明 二次型f x T A x 在||x ||1时的最大值为矩阵A 的最大特征值. 证明 A 为实对称矩阵 则有一正交矩阵T 使得
TAT 1diag(1 2 n )
成立 其中1 2 n 为A 的特征值 不妨设1最大 作正交变换y T x 即x T T y 注意到T 1T T 有 f x T A xy T TAT T yy T y 1y 122y 22 n y n 2 因为y T x 正交变换 所以当||x ||1时 有
||y ||||x ||1 即y 12y 22 y n 21
因此
f 1y 122y 22 n y n 21
又当y 11 y 2y 3 y n 0时f 1 所以f max 1
30 用配方法化下列二次形成规范形 并写出所用变换的矩阵 (1) f (x 1 x 2 x 3)x 123x 225x 322x 1x 24x 1x 3 解 f (x 1 x 2 x 3)x 123x 225x 322x 1x 24x 1x 3 (x 1x 22x 3)24x 2x 32x 22x 32 (x 1x 22x 3)22x 22(2x 2x 3)2
令
?????+==-+=323
2
23
211222x x y x y x x x y 即???
????+-==+-=323223*********y y x y x y y y x 二次型化为规范形 fy 12y 22y 32
所用的变换矩阵为
??????
?
??--=12002102251C
(2) f (x 1 x 2 x 3)x 122x 322x 1x 32x 2x 3 解 f (x 1 x 2 x 3)x 122x 322x 1x 32x 2x 3 (x 1x 3)2x 322x 2x 3 (x 1x 3)2x 22(x 2x 3)2 令
?????+==+=3232
2311x x y x y x x y 即?????+-==-+=3
23223
211y y x y x y y y x 二次型化为规范形 fy 12y 22y 32
所用的变换矩阵为
???
?
??--=110010111C
(3) f (x 1 x 2 x 3)2x 12x 224x 322x 1x 22x 2x 3 解 f (x 1 x 2 x 3)2x 12x 224x 322x 1x 22x 2x 3
322
322221242
1)21(2x x x x x x -+++=
2
32322212)2(2
1)21(2x x x x x +-++=
令
???????=-=+=333222
112)2(21
)
21(2x y x x y x x y 即???
????=+
=--=333223211212
22212121y x y y x y
y y x 二次型化为规范形
fy 12y 22y 32
所用的变换矩阵为
???
? ??--=10022011121C 31 设
fx 12x 225x 322ax 1x 22x 1x 34x 2x 3
为正定二次型 求a
解 二次型的矩阵为????
??--=5212111a a A 其主子式为
a 111 2111a a a -= )45(5
21211
1+-=--a a a a 因为f 为正主二次型 所以必有1?a 20且a (5a 4)0 解之得05
4<<-a
32 判别下列二次型的正定性 (1) f 2x 126x 224x 322x 1x 22x 1x 3
解 二次型的矩阵为???
?
??---=401061112A 因为
0211<-=a 0116
112>=-- 038||<-=A
线性代数第五章(答案)
第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )
线性代数第二章答案
第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=321332123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z
所以有?????+--=+-=++-=3 21332123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)
(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
线性代数上机作业题答案
线性代数机算与应用作业题 学号： 姓名： 成绩： 一、机算题 1．利用函数rand 和函数round 构造一个5×5的随机正整数矩阵A 和B 。 （1）计算A ＋B ，A －B 和6A （2）计算()T AB ，T T B A 和()100 AB （3）计算行列式A ，B 和AB （4）若矩阵A 和B 可逆，计算1 A -和1 B - （5）计算矩阵A 和矩阵B 的秩。 解 输入： A=round(rand(5)*10) B=round(rand(5)*10) 结果为： A = 2 4 1 6 3 2 2 3 7 4 4 9 4 2 5 3 10 6 1 1 9 4 3 3 3 B = 8 6 5 4 9 0 2 2 4 8 9 5 5 10 1 7 10 6 0 3 5 5 7 9 3 （1）输入： A+B 结果为：
ans= 10 10 6 10 12 2 4 5 11 12 13 14 9 12 6 10 20 12 1 4 14 9 10 12 6 输入： A-B 结果为： ans = -6 -2 -4 2 -6 2 0 1 3 -4 -5 4 -1 -8 4 -4 0 0 1 -2 4 -1 -4 -6 0 输入： 6*A 结果为： ans = 12 24 6 36 18 12 12 18 42 24 24 54 24 12 30 18 60 36 6 6 54 24 18 18 18 （2）输入： (A*B)' 结果为： ans = 82 112 107 90 135 100 121 107 83 122
80 99 105 78 107 61 82 137 121 109 78 70 133 119 134 输入： B'*A' 结果为： ans = 82 112 107 90 135 100 121 107 83 122 80 99 105 78 107 61 82 137 121 109 78 70 133 119 134 输入： (A*B)^100 结果为： ans = 1.0e+270 * 1.6293 1.6526 1.4494 1.5620 1.6399 1.9374 1.9651 1.7234 1.8573 1.9499 2.4156 2.4501 2.1488 2.3158 2.4313 2.0137 2.0425 1.7913 1.9305 2.0268 2.4655 2.5008 2.1932 2.3636 2.4815 （3）输入： D=det(A) 结果为： D = 5121 输入： D=det(B) 结果为：
线性代数第五章 课后习题及解答
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
线性代数第二章矩阵试题及答案
第二章矩阵 一、知识点复习 1、矩阵的定义 由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个45矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。 元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。 两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。 下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。 （1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2 A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ①如果它有零行，则都出现在下面。 ②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严 格单调递增。 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类 计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。 请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零 行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算 （1）加(减)法:两个m n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m n 矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m n的矩阵, 记作c A,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C). ③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ c A=0 c=0 或A=0. 4、矩阵乘法的定义和性质 （1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量 和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.
居于马线性代数第一章答案
1、2222 0a ab a b ab ab ab b =?-?= 2、 22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=?--?=+= 3、 222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b a a bi +=+--=+-=-- 4、3 24 2 123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+--------- 5、123 4 561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++--- 6、2 21 4 1 12*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+---- 7、22 22 343222222 11101(1)(1)(1)01001w w w w w w w w w w w w w w w w w w +?---=-=-++=-?--第2行第1行()第3行第1行() 8、33222321 21*2*3322663 x x x x x x x x x x x x x =++---=-+ 9、 1430004 004 00431(1)04342560432432 4321 +-=-=-按第行展开 10、公式： 解： 10100 00 10 010 02000020 10(1)10 080000 800900009 10 +-?按第行展开
11、 31 111111********* 00311*(2)811110020411 1 1 1 2 ----=-=------第行第行第行第行第行第行 12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即 13、 5 04211111111210 1121112102 1 143247412041200324153 1 1 11 5 42 0153 ----- =- =----=----------第，行交换 14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变） 根据课本20页公式（1.21），原式012 11 2003*41203 022 = -=-=-（） 15、 12 00340012132*160013 345 1 00 5 1-= =---（）（）=32 16、1234512345 123678910678910 21 3567810*220000********* 0100002400024 01011 00013 -=-=-=-第，行对换 17、根据课本20页公式（1.22） 18、100 12 01*2*33!123 A ===， 所以 3*5*(1)||||3!5!0 A A B B =-=- 19、证： 20、111111112111110 031111100 411 1 1 10 0x x x x x y x y y x y ++----= -+-----第行第行左第行第行第行第行
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
线性代数课后习题答案(陈维新)
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。
线性代数机械工业出版社第一章答案
线性代数第一章行列式 一、填空题 1.排列631254的逆序数τ(631254)= 8 . 解: τ(631254)=5+2+1=8 2.行列式2 13132 3 21= -18 . 解:D=1?3?2+2×1×3+2×1×3-3?3?3-1?1?1-2?2?2=-18 3、4阶行列式中含1224a a 且带正号的项为_______ 答案：12243341a a a a 分析：4阶行列式中含1224a a 的项有12243341a a a a 和12243143a a a a 而 12243341a a a a 的系数：() (1234)(2431) 41(1)1ττ+-=-= 1224314 a a a a 的系数：()(1234)(2413) 31(1)1ττ+-=-=- 因此，符合条件的项是12243341a a a a 4、2 2 2 111a a b b c c （,,a b c 互不相等）=_______ 答案：()()()b a c a c b --- 分析：2 22 111a a b b c c =222222 ()()()bc ab a c b c ac ba b a c a c b ++---=--- 5.行列式 1 13 6 104 204 710501 λ --中元素λ的代数余子式的值为 42 解析: 元素λ的代数余子式的值为6 42 071 01-3 41+-?）（=(－1) ×7×6×(－1)=42 6.设3 1-2031 2 22 3=D ,则代数余子式之和232221A A A ++=0
解析：232221A A A ++=1×21A +1×22A +1×23A =3 121112 22 -=0 二、 单项选择题 1、设x x x x x x f 1111231 11 2 12)(-= ，则x 3 的系数为（C ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 解： x 3 的系数为 ） （） （）（1-21341234 +=-1 2、 设333231232221 131211 a a a a a a a a a =m ≠0,则33 3231312322 212113 121111423423423a a a a a a a a a a a a ---=（B ） A.12m B. -12m C.24m D. -24m 解：3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a )4(2-?j →33 32 31 23222113 12114-4-4-a a a a a a a a a =-4m 212j j +?→33 32 3131 23222121 13 1211114-24-24-2a a a a a a a a a a a a =-4m 31?j →33 32 3131 23222121 13 121111 4-234-234-23a a a a a a a a a a a a =-12m 3.行列式 k-12 2k-1 ≠0的充分必要条件是（C ） (A.)k ≠-1 (B)k ≠3 (C)k ≠-1且k ≠3(D)k ≠-1或k ≠3 因为原式=(k-1)(k-1)-4≠0 所以k-1≠2且k-1≠-2 所以k ≠-1且k ≠3 所以答案为C 4.行列式 0000 00 a b c d e f g h 中元素g 的代数余子式的值为（B ） （A ）bcf-bde (B)bde-bcf (C)acf-ade (D)ade-acf
线性代数试题及答案。。
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
线性代数第五章答案
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,
北大版 线性代数第一章部分课后答案详解
习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
线性代数复习题带参考答案(2)
线性代数考试题库及答案 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
线性代数第五章作业参考答案(唐明)
第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-
线性代数第二章答案
第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 21332123 2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??22 1321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 2133 2123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=32 1161109412316z z z
所以有?????+--=+-=++-=3 2133 2123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374?? ? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)
线性代数习题参考答案
第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c