高中数学解三角形最值
三角形中的最值（或范围）问题
解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。
类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决
例1．在△ABC 中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且2asinA =（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC . (1) 求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.
变式1：已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m n ?=，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边.
(1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值.
解：由m n ?=()a c +()()0a c b b a -+-=，得a 2+b 2—c 2
=ab=2abcosC
所以cosC=
2
1，从而C=60
故sin sin sin sin(120)O
A B A A +=+-sin(60 +A)
所以当A=30
时，sin sin A B +
变式2．已知半径为R 的圆O 的内接⊿ABC 中，若有2R （sin 2A —sin 2
C ）=（2a —b ）sinB 成立，试求⊿ABC 的面积S 的最大值。 解：根据题意得：
2R(224R a —2
24R c )=(2a —b)*R
b
2 化简可得 c 2=a 2+b 2
—2ab, 由余弦定理可得：
C=45
, A+B=135
S=
21absinC=2
1
2RsinA*2RsinB*sinC =2sinAsin(135 —A) =2
2R (2sin(2A+45 )+1 ∵0 2 2 12R ＋。 类型二：利用重要不等式来解决 例2（13年重庆中学）在ABC ?中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且4,4 1 cos == a A . （1）若6=+c b ，且b < c ，求c b ,的值．（2）求ABC ?的面积的最大值。 解 （1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc bc c b 2 1 2)(162--+= ∴8=bc ， 又∵,6=+c b b 解方程组???==+8 6 bc c b 得4,2==c b 或2,4==c b (舍)． ∴4,2==c b （2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc c b 2 1 1622-+= ∵bc c b 222≥+ ∴3 32 ≤bc ，又415sin =A ∴3 15 4sin 33221sin 21=??≤=?A A bc S ABC 即c b =时三角形最大面积为3 15 4 变式3．在⊿ABC 中，角A,B,C 的对边是a,b,c, ⊿ABC 的外接圆半径R=3,且 B C cos cos ＝B C A sin sin sin 2— （1）求B 和b 的值； （2）求⊿ABC 面积的最大值 解：由已知 B C cos cos ＝B C A sin sin sin 2—，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB 即sin(B+C)= 2sinAcosB ∵A+B+C=π ∴sinA =2sinAcosB ∵sinA ≠0 ∴cosB=2 1 ∴B=60 。 ∵R=3, ∴b=2RsinB=23sin60 =3, 故角B=60 ,边b=3 由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2accosB 即9＝a 2+c 2-2accos 60 ∴9＋ac= a 2+c 2≥2ac(当且仅当a=b 时取等号) 即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号) ∴三角形得面积s= 21acsin B ≤2 1 *9*sin60 =349 ∴三角形得面积的最大值是34 9 变式4：⊿ABC 中，若AB=1,BC=2,则角C 的取值范围是 答案：解法1.由a=2,c=1, ∴a=2c ∴2sinA=4sinC ∴sinC = 21sinA ≤2 1 ∵0 解法2.cosC=ab c b a 2222－＋=b b 4142－＋=4 1(b+b 3 )≥23,故0 练习： 1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3＜C ＜π2且b a －b ＝sin2C sin A －sin2C 。 （1）判断△ABC 的性状； (2)若|BA ＋BC |＝2，求BA · BC 的取值范围． 解：(1)由 b a －b ＝sin2C sin A －sin2C 及正弦定理得sin B ＝sin2C ，∴B ＝2C ，且B ＋2C ＝π， 若B ＝2C ，π3＜C ＜π2，∴2 3π＜B ＜π，B ＋C ＞π(舍)；∴B ＋2C ＝π，则A ＝C ，∴△ABC 为等腰三 角形． (2)∵|BA ＋BC |＝2，∴a 2 ＋c 2 ＋2ac ·cos B ＝4，∴cos B ＝2－a 2a 2(∵a ＝c )，而cos B ＝－cos2C ，π 3 ＜ C ＜π2，∴12＜cos B ＜1，∴1＜a 2＜43，又BA ·BC ＝ac cos B ＝2－a 2，∴BA ·BC ∈(2 3 ，1)． 2、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c ，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角 三角形 解析：∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，∴cos B ＝a c ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ， ∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形． 答 案：B 3、在?ABC 中，sin(C-A)=1, sinB= 1 3 。 （I ）求sinA 的值； (II)设?ABC 的面积。 解：（I ）由sin()1,,C A C A ππ-=-<-<知2 C A π =+。 又,A B C π++=所以2,2 A B π += 即2,0.2 4 A B A π π = -<< 故2 1cos 2sin ,12sin ,sin 33 A B A A =-= = (II)由（I ）得：cos A = 又由正弦定理，得：sin ,sin sin sin BC AC A BC AC A B B ==?= 所以11 sin cos 22 ABC S AC BC C AC BC A ?= ??=??= 4. 在ABC ?中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ， 且2 74s i n c o s 22 2 A B C +-= ． （Ⅰ）求角C （Ⅱ）求sin sin A B +5. 在ABC ?中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且 2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A . （Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ?的形状. 等腰三角形 6．（2012陕西）在ABC ?中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2 2 2 2 a b c +=，则c o s C 的 最小值为（ C ） A. 2 B.2 C.12 D.12- 7.(2014新标1) 已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 . 【解析】由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即 ()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-∴2 2 2 b c a bc +-=，故2221 cos 22 b c a A bc +-= =，∴060A ∠=，∴224b c bc +-= 224b c bc bc =+-≥，∴1 sin 2 ABC S bc A ?=≤ 8.（2012 安徽文）设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，且有 2s i n c o s s i n c o s B A A C A C =+ （Ⅰ）求角A 的大小；（II ） 若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长。 【答案】（Ⅰ） 3π；（II ）2 9.(2014新标2文) 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ； （2）求四边形ABCD 的面积. 【答案】（I ）0 60C =，BD = （Ⅱ）10.（2013湖北）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值. 【简解】（Ⅰ）由c o s 23c o s ()1A B C -+= ，得2 2 c o s 3c o s 20A A +-=，解得1 cos 2 A = 或cos 2A =-（舍去）. 因为0πA <<，所以π 3 A = . （Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ===得20bc =. 又5b =，知4c =. 由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a . 又由正弦定理得222035 sin sin sin sin sin 2147 b c bc B C A A A a a a =?==?=. 11．(2013江西) 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小； (2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围． 【简解】(1)由已知sin A sin B －3sin A cos B ＝0，sin B －3cos B ＝0，tan B ＝3， B ＝π 3. (2) b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3????a ＋c 22＝14 (a ＋c )2＝1 4，等号可以成立 ∴b ≥12. 又a ＋c >b ，∴b <1，∴1 2 ≤b <1. 12.（2013四川）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35. (1)求cos A 的值； (2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC → 方向 上的投影． 【简解】(1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－3 5 ，得 [cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－3 5. 则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－3 5 .
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