数学分析定义、定理、推理一览表
定义1 给定两个非负实数 012
..,n x a a a a = 012
..,
n
y b b b b = 其中00,a b 为非负整数，(),1,2,k k a b k =为整数，若有
09,09.k k a b ≤≤≤≤ 则称x 与y 相等，记为x y =.
()0011,0,1,2,
,
,.
k k l l a b l a b k l a b x y y x x y y x ++>==>><若或存在非负实数使得而则称大于或小于分别记为或
定义2
012012
..1
10
0,1,2,.n
n
n n n
x a a a a x a a a a x n x x x n n ===+=设为非负实数.称有理数
为实数的位不足近似，而有理数
称为的位过剩近似，
1.R 00.
2.b b,b, b.
3.b,b c, c.
4.b R,b>>0,n n >b.
5.a a a a a a a a a R >=<>>>∈实数的一些主要性质
实数集对加、减、乘、除（除数不为）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为）仍然是实数实数集是有序的，即任意两个实数、必满足下述三个关系之一：实数的大小关系具有传递性，即若则有实数具有阿基米德性，即对任何、若则存在正整数，使得实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数也有无理数.
6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点o 作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系.
定义3
,0,
,0.
a a a a a a a a a ≥?=?
-
绝对值得一些性质
1.0;=00.
2..
3.;(0).
4..
5..
6.
(0).a a a a a a a a h h a h a h h a h h a b R a b a b a b ab a b a a
b b b
=-≥=-≤≤∈∈-≤±≤+==≠当且仅当时有对于任何、有如下三角形不等式：
定义4
区间和邻域
(){}[]{}[){}{}{}{}{}(),,,
,,
,,.,],
(,),(,),(,),,0.;,(),(a b x a x b a b x a x b a b x a x b a b R a x x a a x x a a x x a x x R a R x a x a U a U a U δδδδ??=<
=≤≤????
=≤
+∞=>??
??-∞=
??-∞+∞=-∞<<+∞=??∈>-<开区间:，有限区间闭区间：半开半闭区间:区间（无限区间邻域：满足的全体实数的集合称为点的邻域，记作或即有;){|||}(,).(;){|0||}.(;)[,);(;),];
(;)(,);(;)(,);
(){|||}(){|a x x a a a a U a x x a a U a a a a U a a a a U a a a a U a a a U X x M M U X δδδδδδδδδδδδδδδδδδ+-+-=-<=-+=<-<=+=-=+=-∞∞=>+∞+∞=。。
。点的空心邻域：点的右邻域：点的左邻域：（点的空心右邻域：点的空心左邻域：邻域，其中为充分大正数；邻域}(){|}x M M U X x M M >-∞-∞=<-，其中为充分大正数；邻域，其中为充分大正数；
定义5 有界的定义
(),(),(),0,,S R M L x S x M x L S M L S S R M x S x M S S S S ∈≤≥??>?∈?≤设为中的一个数集.若存在,使得对一切都有则称为有上界（下界）的数集，数称为的一个上界（下界）.
简记：称有界.若数集既有上界又有下界，则称为有界集.若不是有界集，
则称为无界集.
定义6 确界的定义
()()()()00001..,,,,,=sup ..,,,,,S R i x S x S ii x S x S S S S R i x S x S ii x S x S S ηηηαηαηηηξξξβξβξξ??∈≤???∈≥?>?∈<设若数满足：
有即是的上界；
使得即又是的最小上界，
则称为数集的上确界，记作
2.设若数满足：
有即是的下界；
使得即又是的最大下界，
则称为数集的下确界，记作
=S
ξ inf
定理1
min .
S S S S S S S ηηξξ∈?∈?=设数集有上确界.
i)=sup =max .ii)=inf 定理一 确界原理
.S S S S 设为非空数集若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界.
定理2
.sup inf .
A B x A y B x y A B A B ∈∈≤≤设、为非空数集，满足：对一切和有数集有上确界，数集有下确界，且
推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）.
函数的概念 定义1
{}:,
.
().()|(),().
D M f D x y M f D f D M x
y D f x y f x f x f D y y f x x D M f ∈→==∈?给定两个实数集和，若有对应法则，使对内每一个,都有唯一的一个数与它相对应，则称是定义在数集上的函数，记作数集称为函数的定义域，所对应的数，称为在点的函数值，常记为全体函数值的集合称为函数的值域
函数的四则运算
{}1212*1
2*,,,=,.
()()(),,()()(),,()()(),.
()0|()0,,
()()/(),.
f x D
g x D D D D D f g D F x f x g x x D G x f x g x x D H x f x g x x D D g x x D D x g x x D L x f x g x x D ∈∈≠?=+∈=-∈=∈==≠∈≠?=∈给定两个函数和记并设定义与在上的和、差、积运算如下：若在中剔除的值，即令则除法如下
初等函数
()()(0,1);log (0,1);
sin ,cos ,tan ,cot ;arcsin ,arccos ,arctan ,cot .
x a y c c y x y a a a y x a a y x y x y x y x y x y x y x y arc x αα===>≠=>≠========常量函数为常数；幂函数为实数；指数函数对数函数三角函数反三角函数
定义2
0, 1.{|}1{|}01.sup inf r x r x
r
r x
a a x a r a a a r a <<>≠?>?
=?<
为有理数，当时
几个重要的等式（不等式）
222122
11
12311121
1121111.sin 1sin 2122.414221
11113.(1)14.5.6.1111
7.1n
n
i n
n
n i n
i n i n i
n
n
n
i n n i i i i
x x x
n n
n n n n n n n n n a a a a n n
a a a a a n n
a a a a a n
a a a a n a ======≤≤--
= ???=
++??
≤≤==
= ???∑
∏∑∑∏∑和由算术平均数几何平均数调和平均数，当=时，“”成立.
数列极限 定义1
{}{}{}{}{}{},,lim ,().
n n n n n n n n n n a a n N a a a a a a a a a a n a a a εε→∞
>-<=→→∞设为数列，为定数.若对任给的正数，总存在正整数N,使得当时有则称数列收敛于定数称为数列的极限，并记作或若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列.
(){}{}{}{}{}'10;.
2lim 0,.
2.1.
n n n n n n n U a a a a a a a a a a εε→∞
>=-定义任给，若在之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限定义若则称为无穷小数列定理数列收敛于的充要条件是：为无穷小数列
收敛数列的性质
{}{}{}()()(){}{}''''002.2.2.3.
lim 0(0),0,(,0)2.4.,2.5,n n n n n n n n n n n n a a a M n a M a a a a a a N n N a a a a a b N n N a b →∞
≤=><∈∈>><>≤定理（唯一性）若数列收敛，则它只有一个极限若数列收敛，则为有界数列，即存在定理（有界性）
正数，使得对一切正整数有若或则对任何或，
定理（保号性）存在正数，使得当时有或设与均为收敛数列.若存在正数使得
定理（保不等式性）
当时有则(){}{}{}{}()()00lim lim .
2.601,2,
.lim ,lim .
,
2.7lim .
lim lim lim ,
lim lim lim 2.8n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a n a a a a a b a c N n N a c b c c a a b a b a b a →∞
→∞
→∞→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→≤≥===>≤≤=±=±?=?定理设若则设，都以为极限，数列满足：
存在正数，当时有定理（迫敛性）则数列收敛，且定理（四则运算）
(),
lim lim ,lim lim ,lim lim ,0lim 0.lim n n n n n n n n n n
n n n n n n n n
n b a c a c ca c a a a b b b b ∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞→∞→∞→∞
+=+==≠≠及
定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且12k n n n <<<<
，
则数列12,,
,,
k n n n a a a 称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}
k n a .
平凡子列：数列{}n a 本身以及去掉有限项后得到的子列. 非平凡子列：不是平凡子列的子列.
数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限. 定理2.9 数列{}n a 收敛的充要条件是：{}n a 的任何非平凡子列都收敛.
定理二 （单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.
{}cauchy 0,,.n n m a N n m N a a εε>>-<定理三（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是：对任给的存在正整数，使得当时有
函函数数极极限限 定定义义
[)()()()()()()()0
'00'001.,0,,lim .
2.;.0,0,lim x x x f a A M a x M f x A f x A f x A f x A x f x U x A x x f x A f x x A f x εεδεδδδε→+∞
→+∞>≥>-<+∞=→→+∞><-<-<。设为定义在上的函数，为定数.若对人给的存在正数（）,使得当时有则称函数当趋于时以为极限，记作或设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数若对任给的存在正数（<），使得当时有则称函数当趋于时以为极限，记作
()()()()()
()()()()()()()()()()
000''00'000000000.
3.;;0,lim lim .
x x x x A f x A x x f U x U x A x x x x x x f x A A f x x x f x A f x A f x A x x f x A x x f x δδεδδδ
δε+-+-+-→→+-=→→><<+-<<-
→→→→。。或设函数在或内有定义，为定数.
若对任给的，存在正数（<），使得当或时有则称数为函数当趋于
或的右（左）极限，记作或右极限与左极限统称为单侧极限.
在点的右（左()()()()()()()000
000lim 0lim .3.1lim lim lim .
x x x x x x x x x x f x f x f x f x f x A f x f x A +-+-→→→→→??+=-= ???=?==）极限记为定理
函数极限的性质
()()()()()()()()()()0
00003.2lim lim .
lim =00,3.4,00.lim lim 3.5x x x x x x x x x x f x f x f x U x f x A or r Aorr A U x x U x f x r orf x r f x g x →→→→→><<<-∈>><-<。。。定理（唯一性）若极限存在，则此极限是唯一的.
若存在，则在的某空心定理3.3（局部有界性）邻域内有界若则对任何正数
定理（局部保号性）存在，使得对一
切有设与都存在，且在某
定理（报不等式性）邻()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0
000
000',
lim lim .
lim =lim ='3.6,lim .
1lim lim lim ;
3.82)lim lim lim ;
lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x U x f x g x f x g x f x g x A U x f x h x g x h x A f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x δδ→→→→→→→→→→→→≤≤≤≤=±=±=?? ?。。域；内有则设，且在某；
定理（迫敛性）
内有则）定理（四则运算）3）()()()000
lim ,lim 0.lim x x x x x x f x g x g x →→→?=≠? ??
无穷小量阶的比较（定义见下页末）
()()()()()()()()
()
()()()
()
()()()000
0000001.lim 0,.
2.,lim 0.
3.lim
=1~.
x x o x x x x f x x x f g g x f x o g x x x f x K L U x K L g x f g x x f x c f g g x f x f g x x g x f x g x x x →→→=→=→≤
≤→=≠→→若则称当时为的高阶无穷小量
记作若存在正数和，使得在某上有则称与为当时的同阶无穷小量.特别的当时，与必为同阶无穷小量若，则称与为当时的等价无穷小量.记作
函数极限存在的条件
()()(){}()()()()(){}0
o 0o 000o
0003.8or ;'.lim ;',lim lim =()lim .
.lim =3.9x x n n x n n x x x x x x n f U x f x U x x x f x f x A x x n f x A f x U x f x A x x δδ+→→∞
→→+→?→→∞=?定理（归结原则海涅定理）
设在内有定义存在的充要条件是：对任何含
于且以为极限的数列极限都存在且相等.
简述：对任何有设函数在点的某空心右邻域有定义的
定理充要条件是：对任何以为极限的递减数列()()()()()()()()()()()()0
o
0o 0o 0''''o '''0o 0,
lim .
3.10lim .3.11cauchy ;'.lim 0,
,,;.;'.lim n x x x x x x x U x f x A f U x f x f U x f x x x U x f x f x f U x f x δεδδδεδε++→∞
+→→→=><∈-<有定理设为定义在上的单调有界函数，则右极限存在定理（柯西准则）
设函数在内有定义存在的充要条件是：任给存在正数使得对任何有"设函数在内有定义不存在的充要条件是：存在()()()()0''''o '''000,
,,;."
x x U x f x f x δδδε><∈->对任意正数总可找到使得
两个重要极限
0sin lim 11lim 1x x
x x x e x →→∞
=??
+= ???
()()()0
0000lim 0,
.
o x x o f U x f x f x x g U x g x x →=→→设在某内有定义，若无穷小量：
则称为当时的无穷小量有界量：若函数在某内有界，则称为当时的有界量.无穷小量的和、差、积仍为无穷小量.无穷小量与有界量的积为无穷小量.
常见的几个等价无穷小量
()()()()
()()()
()()()()()
()()()()()()()
2
000 1.1~02.11~03.1cos 02
~~~~~~x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x μ
μαααββααββγαγ-→+-→-→→?→?→自赖性：对称性：传递性：，()()()()()()()()()()()()
()
00003.12,,~.
()lim ,lim ;
lim
lim .o x x x x x x x x f g h U x f x g x x x i f x h x A g x h x A f x g x ii B B h x h x →→→→→====定理（等价无穷小量在极限问题中的作用）设函数在内有定义，且有若则若，则
()()()()()()()()0
000000
0.0,0,;,lim .
1
.o o o x x o f U x G x U x U x f x G f x x f x x n f U x f x x x x f
δδ→>>∈?>→∞=∞→∞∞∞∞→→无穷大量
设函数在某内有定义若对任给的存在使得当时有则称函数当时有非常极限，记作对于自变量趋于某种趋向或时，所有以，+或-为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量.定理3.13
（i ）设在内有定义且不等于0.若为 时的无穷小量，则
为时的无穷大量001
ii .
g x x x x g →→（）若为时的无穷大量，则为时的无穷小量
函数的连续
()()()()()()()()()()()()0
000000000000000lim ,
0,0,,.
2.lim lim .4.1
o x x o
o x x x x f U x f x f x f x x x f x f x f x f U x U x f x f x f x f x f x f x f x εδδε+-→+-→→=>>-<-
1.设函数在某内有定义.若则称在点连续；也可表述为：若对任给的存在使得当时有则称在点连续设函数在某内有定义.若
，则称在点右（左）连续函数在点连续的充要条件是：定理在点即()()()()()0
000000000.
.lim ,4.,.5.lim lim .
6.o
x x x x x x f U x f x f x x f f x A f x f x A x f f x f x f x x f +-→→→=≠≠是右连续，又是左连续间断点及其分类3.设函数在某内有定义.若在点无定义，
或在点有定义不连续，则称为函数的间断点
或不连续点若在点无定义，或有定义
可去间断点
但则称为函数的可去间断点若函数在点的左右极限都存在，但
跳跃间断点，则称为函数的
跳跃间断点以上两种间断点统称为第一类间断点，其他所有形式的间断点统称为第二类间断点.
区间上的连续函数
[][],,f I f I f a b f a b 若函数在区间上的每一点都连续，则称为上的连续函数。对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上的连续是指左连续或右连续.若函数在区间上仅有有限个第一类间断点，则称在上分段连续.
连续函数的性质
()()()()()()()()()()()()00000000000004.2.
00,4.3,.4.4,.
f x f U x f x f x r f x r f x U x x U x f x r f x r f x
g u u f x g f x ><<<-∈><-=。定理（局部有界性）若函数在点连续，则在某内有界若函数在点连续，且或则
定理（局部保号性）对任何正数或，存在某
使得对一切有定理（四则运算）两个函数连续，则他们加减乘除之后依旧连续.定理4.5若函数在点连续，在点连续,则复合函数在点连续
()()()()()()()()()[][]()
[][]()
[]()()()()0000.,1.,,.,4.6,.
,,.
,,4.7f D x D x D f x f x f x f x f D f x f D f a b f a b f a b f a b f a b f a f b f a f b μ∈∈≥≤≠设为定义在数集上的函数若存在使得对一定义切有则称在上
有最大最小值，并称为在上有最大最小值若函数在闭区间上连续，则定理最大、最小值定理称在上有最大值与最小值若函数在闭区间上连续，则推论有界性定理在上有界设函数在闭区间上连续，且若为介于与之间定理介值性定理()()()()()()()()[]()()()()()()0000,,.
,,
,,00,.
f a f b f a f b x a b f x f a b f a f b x a b f x f x a b μμμ<<>>∈=∈==的任何实数
或，则至少
存在一点使得设函数在闭区间上连续，且与异号推论根的存在定理则至少存在一点使得，即方程
在内至少有一个根
[]()()()()()
()()()()
[][]1''''''''',4.8,,.2.0,
=0,,,.,,f a b f f a f b f b f a f I x x I x x f x f x f I f a b f a b εδδεδε-????????>>∈-<-<若函数在闭区间上严格单调并连续，
定理则反函数在其定义域或
上连续定义一致连续设函数为定义在上的函数.若对任给的存在使得对任何，只要就有，则称函数在区间上一致连续若函数在闭区间上连续，定理三一致连续性定理则在上一致连续.
()()4.100,,,.4.1104.12.4.13.
x a a a a a a a a R β
αβαβααβαβ+>?==>初等函数的连续性
定理设为任意实数，则有定理指数函数在上是连续的.
定理一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数定理任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数
导数和微分
()()()
()()()()()()0
0000
'00'00'000=1lim
.
=
0==..
x x y f x x f x f x f x x x f x f x y
f x x f x x
x x o x y f x x o x f x f x εε→--?-??→?????+?设函数在点的某邻域内有定义，若极限
定义导数：存在，则称函数在点处可导，
并称该极限为函数在点处的导数，记作设在点可导，那么是当有限增量公式：时的无穷小量，于是，即
该式即为有限增量公式.
定理5.1 若函数在点可导，则在点连续
定义2单侧导数
()[)()()()()()()()()()0000000'0000000'0=,lim =lim 0.lim =lim 0.
=x x x x y f x x x x f x x f x y
x x x
f x f x f x x f x y
x x x
y f x x f x δδδ+
+-
-?→?→+?→?→++?-?
，则称该极限值为在点的右导数，记作类似的可定义左导数
左导数和右导数统称为单侧导数.若函数在点的某右邻域上有定义，则
定理5.2存在的充要条()()()()''00''00=.
f x f x f x f x +-+-件是和都存在，
且
导函数
()()()()()''
'
0,..,,=lim ,.
x I f I x I f f x f I f x x f x dy dy
f y x I dx dx x
?→∈+?-∈?若函数在区间上每一点都可导对区间端点，仅考虑单侧极限，则称为上的可导函数。此时对每一个都有的一个导数或单侧导数与之对应称在上的导函数，也简称为导数记作或，即
导数的几何意义
()()()
()()
()()()()()()()()()()()()()()0
000'0
'00000'0000000000,lim
.=,,.=,.
3
x x f x x x k x x f x f x k k f x y f x x x x y y y f x x x f x f x y f x x y f x U x x U x f x f x f x f x f x x →=→-==--=-∈≥≤在点的切线斜率正是割线斜率在时的极限，即由导数的定义，所以曲线在点的切线方程是这就是说：函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率若函数在点的某邻域内对一切有，则称函数在点取得极大小定义值，称点()0为极大小值点.极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.
()
()()()()
[]()()()()()()00'00'0'''''.5.30.
0..
,,5.4,,..
f x x x f f x f x f a b f a f b k f a f b Darboux a b f k ξξ+-+-==≠∈=设函数在点的某邻域内定义，且在点可导定理费马定理若点为的极值点，则必有满足方程的稳定点驻点取得极值的点是驻点或不可导点，但驻点不一定是极值点若函数在上可导，且为
介于，之间任一实数，则至少存在定理达布一点使得又称导函数的介值定理
求导法则
(){}()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
()
()00'''00000'''000000'
'00005.5.
5.6.
.
05.7u x x x f x u x x x f x u x x u x x x f x u x x x f x u x x u x x u x x c cu x cu x u x x x x u x f x x x υυυυυυυυυυ???????
???
=±=±==+=≠=
四则运算若函数和在点可导，则函数
定理在点也可导，且
若函数和在点可导，则函数
定理在点也可导，且
若函数在点可导，为常数,
推理
若函数和在点可导，且，
定理则函数在点()()()()()
()()
''0000'02
.
u x x u x x f x x υυυ-=
也可导，且
反函数的导数
()()()()()()()()()
0'00
'000'
05.80,1
.y f x x y y y y f x x x y f x y ?????==≠==
设为的反函数，若在点的某
定理邻域内连续，严格单调且则在点可导，且
复合函数的导数
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0000'00000000'''''00000=,.==5.8.f x x x U x x H x f x f x H x x x f x H x u x x y f u u x f x f x f u x f x x ?????????????
??--=????=??
??
??==????
在点可导的充要条件是：在的某邻域内，引理存在一个在点连续的函数使得从而设在点可导，在点可导，定理则复合函数在点可导，且
基本求导法则
()()()'
''
'
'
'''
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''
'22
1.2.,13.,1
4.=.
5.=.
u v u v uv u v uv cu cu u u v uv v v v v v dy dx dx
dy
dy dy du
dx du dx
+=+=+=-????
==- ? ??????反函数导数复合函数导数
基本初等函数导数公式
()()()()()()()()()()()()()()()'
'
1''
''
22''
'
'
'
'
'''
21.0 2.3.sin cos ,cos sin ,
tan sec ,cot csc ,
sec sec tan ,csc csc cot .
115.ln ,,log ,ln ,ln 1
,01ln .1
,0116.arcsin ,arccos 1x x x x a c x x x x x x x x x x x x x x x x a a a e e x x x a x
x x
x x x x
x x x ααα-=---=---
==-==-==-===
=?>??==??
''
22
,
111arctan ,cot .11x x arc x x x --==++
参变量函数的导数
()()
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()00'00000000
0,.=.0.=lim
tan lim t t C x t t y t t t C P P t x t t t C Q PQ t t t y C P x t t t t t y
x
?αβψ?ψψψ??ψα?→?→=??≤≤?=??≠+?+?-??+?-+??==
?平面曲线一般的表达形式是参变量方程表示设对应曲线上的点如果在点有切线，那么切线的斜率可由割线的斜率取极限而得，为此设，在点可导，
且若对应上的点（右图），割线的斜率
，于是曲线在点的切线斜率是()
()()()()[]0'
0'0000'2'2.
lim 0,t t t t t t t t t
C ψψ????ψαβ?ψ?→-?=+?-?≠若，在，上都存在连续的导函数，且这时称为光滑曲线.
定义略 微分 定义1
()()()()()()()
000000000=.=,=.
x x x x y f x x U x x x x x U x y f x x f x A y y A x o x f x A x f x dy
A x df x A x ==?+?∈?=+?-???+??=??设函数定义在点的邻域内.当给一个增量，时，相应地得到函数的增量为
如果存在常数，使得能表示成则称函数在点可微，并称为在点的微分，记作或
定理5.10
()()00'
0=.
f x f x y A x o x A f x ??+?函数在点可微的充要条件是函数在点可导，而且式中的等于
可微函数
若函数在定义区间上每一点都可微，则称函
数为可微函数. 微分的运算法则
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2''
1.2.3.4.,.
d u x v x du x dv x d u x v y v x du x u x dv x u x v x du x u x dv x d v x v x d f g x f x g x dx u g x ±=±????=+??????-= ? ???
==
()()()()()()()
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1
1
.
,.n n
n
n n n
n n n
d y d d y d f x dx f x dx d y f x dx
---====高阶导数
微分中值定理
()()[]()()()()()()()()()[]()()()()()()
()'''i ,6.1ii ,iii ,
,0.
i ,6.2ii ,,.
0,,1.
f f a b f a b f a f b a b f f f a b f a b f b f a a b f b a
f I f x x I f I ξξξξ==-=
-≡∈罗尔中值定理若函数满足如下条件：在闭区间上连续；
定理在开区间内可导；
则在内至少存在一点，使得拉格朗日中值定理若函数满足如下条件：
在闭区间上连续；
定理在开区间内可导；
则在内至少存在一点，使得若函数在区间上可导，且推论则为上的一个常量函数推()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0
''0
'00''0',,
=.
3lim lim .
6.3
00.
,,6.4
x x
x x f g I f x g x x I I f x g x f x g x c f x U x U
x f x f x f x f x f x I f x I f x f a b f a b →→≡∈+=≥≤若函数和在区间上可导，且论2
则在区间上与只相差某一常数，即导数极限定理设函数在点的某邻域内连续，
推论在内可导，且极限存在，则在点可导，且设在区间上可导，则在上递增减的定理充要条件是若函数在内可导，则在内严定理()()()()()()()()()()()()()()''''':
i ,,00ii ,0.
,00.
x a b f x f x a b f x f a b f x f x f I ∈≥≤≠≥≤格递增递减的充要条件是对一切有；在内的任何子区间上设函数在内可微，若，则在上推论
严格递增严格递减
离散数学结构 第3章 命题逻辑的推理理论复习
第3章命题逻辑的推理理论 主要内容 1. 推理的形式结构： ①推理的前提 ②推理的结论 ③推理正确 ④有效结论 2. 判断推理是否正确的方法： ①真值表法 ②等值演算法 ③主析取范式法 3. 对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明 4. ①自然推理系统P的定义 ②自然推理系统P的推理规则： 前提引入规则、结论引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段式规则、构造性二难规则、合取引入规则。 ③附加前提证明法 ④归谬法 学习要求 1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即 ①{A1,A2,…,A k}├B ②A1∧A2∧…∧A k→B ③前提与结论分开写： 前提：A1,A2,…,A k 结论：B 在判断推理是否正确时，用②；在P系统中构造证明时用③。 2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。 3. 牢记P系统中的各条推理规则。 4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。 5. 会用附加前提证明法和归谬法。 3.1 推理的形式结构 定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
二、有效推理的等价定理 定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当 (A1∧A2∧…∧A k )→B 为重言式。 A k为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。 由此定理知，推理形式： 前提：A1,A2,…,A k 结论：B 是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式。(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。于是，推理正确 {A1,A2,…,A k} B 可记为 A1∧A2∧…∧A k B 其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。 而判断命题公式永真性有三个方法： 1．真值表法 2．等值演算法 3．主析取范式法 三、重言蕴涵式 由上一个小节可以看出：形如A→B的重言式在推理中十分重要。
数值分析公式、定理等
第一章 绪论 1. *x ＝ n 21k a a a .010?±，如果｜*x －x|≤0.5n k 10-?（这里n 是使此式成立的最大正整数），则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值。 2．定理：设x 的近似值*x 有（1-1）的表示式： （１）如果*x 有n 位有效数字，则 n 11 10a 21|x ||x x |-**?≤ - （２）如果n 1110) 1a (21 | x ||x x |-* *?+≤ -，则*x 至少有n 位有效数字。 第二章 非线性方程根求解 1. （零点存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，使f(a)?f(b)<0，则必存在α∈(a,b)，使f(α)=0。 2.二分法的误差： |1 k 1k k k 2a b |x x ||x x +-*-=-≤- 3. 局部收敛性：设α是f(x)=0的根，若存在α的一个邻域?，当迭代初值属于?时，迭代法得到的序列{k x }收敛到α，则称该迭代法关于根α具有局部收敛性。 4. 收敛速度：设i x 为第i 次迭代值，α是f(x)=0的根，令α-=εi i x ，且假设迭代收敛，即α=∞ →i i x lim 。若存在实数P ≥1，使 c | |||lim p i 1i i =εε+∞ →≠0 ，则称此方法关于根α具有P 阶收敛速度。C 称为渐近误差常数，渐近误差常数C 与f(x)有关。C ≠0保证了P 的唯一性。对于特殊的函数，C 可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。一般情况下，P 越大，收敛就越快。当P=1时，我们称为线性收敛。P>1，称为超线性收敛。P=2，称为平方收敛。 5.牛顿迭代法：) x (f ) x (f x x k k k 1k '- =+ 定理3：如果方程f(x)=0的根α是单根，且在α的某领域内f(x)具有二阶的连续导数,则Newton 迭代法必是局部收敛的 且 ) (f 2)(f lim 2i 1 i i α'α''- =εε+∞ →（即具有二阶收敛速度） 定理4：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r 阶连续导数，则Newton 法具有局部收敛性，且具有线性收敛速度。 定理5：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r+2阶连续导数，则修正Newton 迭代公式：)x ()x (f r x x i i i 1i '?-=+，具有局部收敛性，且具有二阶收敛速度。
高中的数学公式定理大全
高中的数学公式定理大集中 三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”） 诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。） sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα
cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinα
cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式
高级中学数学公式定理汇总
高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若，则； ，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为 或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是 。
(3) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是 。 (4) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是 。 对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则 ；若 有解，则 ；若 有解，则 . 若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有 个 对所有，成立 存在某，不成立 或 且 对任何，不成立 存在某，成立 且 或 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假
数学分析·下定义及定理
第十二章 数项级数 1、级数的收敛性 定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 ???++???++n u u u 21 （1） 称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中n u 称为数项级数（1）的通项. 数项级数（1）也常写作: ∑∞ =1 n n u 或简单写作 ∑n u . 数项级数（1）的前n 项之和，记为 n n k k n u u u u S +???++==∑=211 ， （2） 称它为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称部分和. 定义 2 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项级 数（1）收敛，称S 为数项级数（1）的和，记作 ???++???++=n u u u S 21或∑=n u S . 若{}n S 是发散数列，则称数项级数（1）发散. 定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m >N 以及对任意的正整数，都有 p m m m u u u ++++???++21<ε. （6） 定理12.2 若级数∑n u 与 ∑n υ 都收敛，则对任意常数,,d c 级数 ()∑+n n d cu υ亦收 敛，且 ()∑∑∑+=+. n n n n d u c d cu υυ 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性.
定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。 正向级数 定理12.5 正项级数 ∑n u 收敛的充要条件：部分和数列{}n S 有界，即存在某个正数M ， 对一切正整数n 有n S 高中数学《立体几何》重要公式、定理 1．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 2．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 3．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 4．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 5．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ． (2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ． 8.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线. 9.共面向量定理 向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++. 10.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角 线所表示的向量. 11.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1 k ≠ 【关键字】大全 中考数学常用公式定理 1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14． 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． 4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－ 4.07×105，0.＝4.3×10－5． 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 6、幂的运算性质：①am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑤()n＝n． ⑥a－n＝，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3)3＝9，(－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)o＝1，(－)0＝1． 7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如：①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x＝，其中△＝b2－叫做根的判别式． 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根． ②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0． 9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比率函数(y与x成正比率)，图象必过原点． 10、反比率函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数． （2）公式：设有n个数x1，x2，…，xn，那么： ①平均数为：； ②极差： 用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即： 求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限 解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →. 数学必修二 公式定理 陈校长金句: 走马观花, 稳操胜券 一 空间几何体的表面积和体积 (1)圆柱 S=2πr 2+2πr l=2πr (r + l) 柱体 V=Sh (2)圆锥 S= πr 2+πr l =πr (r + l) 椎体 V=31 Sh (3)圆台 S=π( r 12+r 22+r 1l+r 2l) 台体V=31 (S 上底下底下底S S ?+S 下底)h (4)球 S=4πR 2 V=3 4 πR 3 二 线线,线面,面面之间的定理 (1)空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. (2)平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则此直线与此平面平行. (3)一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则这两个平面平行. (4)一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. (5)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. (6)一条直线与一个平面内的两条相交的直线垂直,则该直线与此平面垂直. (7)一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面垂直. (8)垂直于同一平面的两条直线平行. (9)两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 三 直线与方程 (1) 21 21 y y k x x -= -当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. (2) 12//l l 12k k = 12l l ⊥121k k ?=- (3)点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=- (4)斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+ (5)两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为 11 2121 y y x x y y x x --= -- 数学分析学习方法 数学分析是基础课、基础课学不好，不可能学好其他专业课。工欲善其事，必先利其器。这门课就是器。学好它对计算科学专业的学生都是极为重要的。这里，就学好这门课的学习方法提一点建议供同学们参考。 1.提高学习数学的兴趣 首先要有学习数学的兴趣。两千多年前的孔子就说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”这里的“好”与“乐”就是愿意学、喜欢学，就是学习兴趣，世界知名的伟大科学家、相对论学说的创立者爱因斯坦也说过：“在学校里和生活中，工作的最重要动机是工作中的乐趣。”学习的乐趣是学习的主动性和积极性，我们经常看到一些同学，为了弄清一个数学概念长时间埋头阅读和思考；为了解答一道数学习题而废寝忘食。这首先是因为他们对数学学习和研究感兴趣，很难想象，对数学毫无兴趣，见了数学题就头痛的人能够学好数学，要培养学习数学的兴趣首先要认识学习数学的重要性，数学被称为科学的皇后，它是学习科学知识和应用科学知识必须的工具。可以说，没有数学，也就不可能学好其他学科；其次必须有钻研的精神，有非学好不可的韧劲，在深入钻研的过程中，就可以领略到数学的奥妙，体会到学习数学获取成功的喜悦。长久下去，自然会对数学产生浓厚的兴趣，并激发出学好数学的高度自觉性和积极性。用兴趣推动学习，而不是用任务观点强迫自己被动地学习数学。 2.知难而进，迂回式学习 首先要培养学习数学分析的兴趣和积极性，还要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，这一点在刚开始进入大学学习数学分析时尤为重要。 中学数学和大学数学，由于理论体系的截然不同，使得同学们会在学习该课程开始阶段遇到不小的麻烦，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 实 数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正整数 整数 零 有理数 负整数 正实数 实数 分数 实数 零 负实数 无理数（无限不循环小数） 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个正数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 代 数 式 考点一、整式的有关概念 1、代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的运算式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2、单项式 只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 2313 -。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做 这个单项式的次数。如c b a 235-是6次单项式。 考点二、多项式 1、多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式和多项式统称整式。 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 2、同类项 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3、添(去)括号法则 （1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。 （2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。 4、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=? ),(都是正整数） （n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 0()1(0)a a =≠ 11 ()(0)a a a -= ≠ 整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数 注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 （2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相 同。 （3）计算时要注意符号，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单 项式的符号。 （4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。 （6）),0(1 );0(10为正整数p a a a a a p p ≠=≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的 商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。 考点三、因式分解 1、因式分解 一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据 高等数学公式定理整理 1.01版 本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。 蓝色为定理红色为公式 三角函数恒等公式： 两角和差 tan αanα·ta +tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta -(1tan βa +(tan α= β)+tan(αcos αosα·s ±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(?-?=+ 和差化积 ] 2 β) -(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α]2β) -(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α] 2β) -(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α] 2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α 积化和差 β)] -cos(α-β)+[cos(α2 1 -=sin αinα·s β)]-cos(α+β)+[cos(α21 =cos αosα·c β)] -sin(α-β)+[sin(α21 =cos αosα·s β)] -sin(α+β)+[sin(α21 =sin αinα·c 倍角公式（部分）：很重要！ α tan -1α tan 2= tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α2 = 2sin αsinα·=sin2α22222 一、函数 函数的特性： 1.有界性： 假设函数在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满足|f(x)|≤M 。则称f （x ）是D 的有界函数。 如果正数M 不存在，则称这个函数是D 上的无界函数。 2.单调性 设f （x ）的定义域为D ，区间I D 。X1，x2∈I ，那么，如果x1 定义1 给定两个非负实数 其中00,a b 为非负整数，(),1,2,k k a b k =L 为整数，若有 则称x 与y 相等，记为x y =. 定义2 定义3 绝对值得一些性质 定义4 区间和邻域 定义5 有界的定义 定义6 确界的定义 定理1 定理一 确界原理 定理2 推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）. 函数的概念 定义1 函数的四则运算 初等函数 定义2 几个重要的等式（不等式） 数列极限 定义1 收敛数列的性质 定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且12k n n n <<< 无穷小量阶的比较（定义见下页末） 函数极限存在的条件 两个重要极限 常见的几个等价无穷小量 函数的连续 区间上的连续函数 连续函数的性质 导数和微分 定义2单侧导数 导函数 导数的几何意义 求导法则 反函数的导数 复合函数的导数 基本求导法则 基本初等函数导数公式 参变量函数的导数 高阶导数 定义略 微分 定义1 定理5.10 可微函数 若函数在定义区间上每一点都可微，则称函 数为可微函数. 微分的运算法则 高阶微分 初中数学定理、公式汇编 第一篇数与代数 第一节数与式 一、实数 1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:－3,,0.231,0.737373…,,等；无限不环循小数叫做无理数. 如:π,,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)等.有理数和无理数统称为实数. 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数 和数轴上的点一一对应。 3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值， 记作∣a∣。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。如:丨－_丨=；丨3.14－π丨=π－ 3.1 4. 4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。 a的相反数是-a，0的相反数是0。 5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末 一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字. 如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 6.科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整 数),这种记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07× 105,0.000043=4.3×10－5. 7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的 反而小。 8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果 叫幂。 9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这 个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根． 10．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 11．算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12．立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0． 13．开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方． 14．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64的平方根为士8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根；（2）4的平方根是士2，误认为4平方根为士 2，知道4=2． 15.二次根式： (1)定义:形如a(a≥0)的式子叫做二次根式. 16．二次根式的化简： 17．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． 18．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota 高中数学常用公式及定理 1．熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数 学成绩将会起到很大的作用。 2．所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。 1.元素与集合的关系：U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=Φ()U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n －1个；非空子集有2n －1个；非 空的真子集有2n －2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠； (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式：()N f x M < 第一章 变量与函数 §1 函数的概念 一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示 二 函数 １．定义１ 设,X Y R ?，如果存在对应法则f ，使对x X ?∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量， y 为因变量。函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X . {}()|(),f X y y f x x X ==∈。 ２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。 例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ= ∈（相同，对应法则的表达形式不同） 。 （2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函 数()y f x =”或“函数f ”。 （3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的 象。a 称为()f a 的原象。 3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >?? ==??-，则称f 为X 上的严格减函数。高中数学《立体几何》重要公式、定理
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