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高等数学综合练习题

第七章向量空间及解析几何

一、填空

1、向量2a =，3b =，cos 3

θ=

，则.a b = 。

2、如果1(1,2,3)M 与2(2,1,1)M -是空间两个点，则向量12M M 的坐标式是，分解式是。

3、如果()2,1,3a =，()1,0,1b =，则.a b = ，a b ?= 。

4、()123,,a a a a =与()123,,b b b b =平行的充要条件是，垂直的充要条件是。

5、()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，()123,,c c c c =共面的充要条件是。

6、如果向量a 与三个坐标轴之间的夾角分别为,,αβγ，则a 的单位向量表示式为。

7、()123,,a a a a =与()123,,b b b b =之间夹角的余弦等于。

8、经过0(1,2,1)M -点且法向量为(2,3,4)n =的点法式平面方程是，一般式是，截距式是。

9、已知直线经过1(1,2,3)M 与2(2,1,1)M -两点，则该直线的两点式方程是，该直线方向是。

10 已知直线的方向是()2,1,3l =，经过0(3,1,2)M -，则该直线的对称式方程是。

参数式是，一般式是。

11、空间曲面的一般式方程是，其法向量是，经过其上一点0000(,,)M x y z 的切平面方程是，法线方程是。 12、空间曲面的显函数式是，其法向量是，经过其上一点0000(,,)M x y z 的切平面方程是，法线方是。 12、空间曲线的一般方程是，空间曲线的参数方程

是。

13、参数方程形式下空间曲线的切线方向向量是。二、单项选择

1、分别指出下列方程所代表的曲面名称，下列方程哪一个表示旋转抛物面（）（A ）22z x y =+ （B ）22z x y =+ （C ）22x y z +-= （D ）221x y +=

2、分别指出下列方程所代表的曲面名称，下列方程哪一个表示直线（）

（A ）22222

1z x y x y z ?=+?++=? （B ）22

1z x y z ??=+?=??

（C ）223x y z x y +-=??+=? （D ）2211x y x y z ?+=?++=? 3、上半球面2223x y z ++=上侧在(1,1,1)点的单位法向量是（）（A ）(2,2,2)n = （B ） (1,1,1)n =

（C ） (1,1,1)n =--- （D ）1

(1,1,1)3

n =

4、曲面22z x y =+外侧的法向量与z 轴的夹角满足（）

（A ）cos 0θ> （B ）cos 0θ< （C ） cos 0θ≤ （D ）cos 0θ≥

三、计算题

1.已知直线1111

:231x y z l --+==，与221:22x y z l x y z ++=??-+=?在平面π内，求该平面方程。 2.将直线1

:0x y z l x y ++=??-=?转化为标准式，对称式、参数式。

3.已知平面经过(1,1,1),(213,(40,1A B C -，），）三点，求该平面方程。

4.求直线1111:

231

x y z l --+==与平面1x y z ++=之间的夹角。 5.求点(1,2,3)A 到平面1x y z ++=之间的距离

第八章多元函数微分学及其应用

一、填空

1. 二元函数的定义域是平面，其图形是。

2. 已知00

lim (,)x y f x y A →→= ，则 0

lim (,0)x f x →= ，0

lim (0,)x f y →= 。

3. 如果2

2z xy x y ?=??，则

2z y x ?=?? 。 4. 如果(,)z f x y =的全微分dz ydx xdy =+，则

z x ?=? ，z y

?=? 。 5. 0

lim sin

x y xy xy

→→= 。 6. 00

ln(1)

lim

x y xy xy →→+= 。

7. 00

lim

x y xy xy

→→+-= 。

二、单项选择

1、如果00

lim (,0)x y f x A →→=，且00

lim (0,)x y f y A →→=，00

lim (,)x y f x y →→则（）

（A ）等于A （B ）不存在 (C) 不一定存在（D ）前三项都不对 2、如果(,)f x y 在00(,)x y 点有偏导，则(,)f x y 在00(,)x y 点（）（A ）有极限（B ）连续（C) 可微（D ）前三项都不对 3、(,)f x y 在00(,)x y 点连续是(,)f x y 在00(,)x y 点可微的（）条件

（A ）必要条件（B ）充分条件 (C) 充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件 4、如果

(,)x z

f x y x

?'=?与(,)y z f x y y ?'=?在00(,)x y 点不连续，则(,)f x y 在00(,)x y 点（）

（A ）可微（B ）不可微（C) 不一定可微（D ）前三项都不对

5、如果

2z xy x ?=?与2z

x y

?=?，则(,)f x y 在全平面（）（A ）可微（B ）不可微（C) 不一定可微（D ）前三项都不对 6、如果(,)z f x y =在区域D 内有二阶偏导数连续，则在D 内（）

（A ）xy

yx f f ''''= （B ）xy yx f f ''''≠ （C ）xy yx f f ''''< （D ）xy yx f f ''''> 7、记()00'

',y x f A xx =，()00'',y x f B xy

=，()00'',y x f C yy =，则当20AC B ->时00(,)f x y 是（）

（A ）极值（B ）极大值（C ）极小值（D ）不是极值三．计算 1. arctan

x z y =，求,z z x y

???? 2.已知sin()xy z e x y =+，求

,z z

x y

???? 3.已知()xy x z y =，求,z z

x y

????

4.讨论 22

(,)(0.0)(,)0(,)(0.0)

x y x y f x y x y ?≠?

+=??≠?

在(0,0)点

（1）是否有极限（2）是否连续（3）是否有偏导（4）是否可微

5. 讨论 22

(,)(0.0)(,)0(,)(0.0)

xy x y f x y x y x y ?≠?

=+??≠?

在(0,0)点

（1））是否有极限（2）是否连续（3）是否有偏导（4）是否可微 6．已知 (,)z f x y =由2224x y z z ++=确定，用三种方法求

z x ??，z

??。 7.设f 具有一阶连续的偏导数，(,,)x

z f x y xy y

=+ ，求

z x ??，z y

??。 8．

已知(,)w f x y z xyz =++具有二阶连续的偏导数，求w x ??，2w

x z

???

9.求2(,)(4)z f x y x y x y ==--在直线6x y +=，x 轴和y 轴所围成的闭区域上的最大和最小值．

10.求函数22u x y z =+-沿着23l i j k =++的方向导数(1,1,1)

u l

第九章多元函数积分学

二重积分部分

一、填空 1.如果

()2,()3,b

f x dx

g y dy ==?

?则()()b d

a c dx f x g y dy =?? 。

2.交换积分次序 1

(,)x

dx f x y dy =?? 。

3.如果二重积分区域为:11,01D x y -≤≤≤≤，则(sin )D

xy x d σ+=?? 。

4.如果22:1+4D x y ≤≤，则1D

d σ=?? 。

二、单项选择

1.下列说法正确的是（）

(A) 二重积分是平面区域面积 (B) 二重积分是立体的体积 (C) 二重积分是平面薄片的质量 (D) 以上说法都不对 2. 下列说法不正确的是（）

(A)

d σ??等于平面区域D 的面积

(B)

(,)D

f x y d σ??等于以(,)0f x y >为曲顶柱体的体积

（C ）

(,)D

f x y d σ??等于密度为(,)f x y 的平面薄片的质量

(D)

(,)D

f x y d σ??等于平面区域D 的面积

3.设区域22:1D x y r +<<下列正确的是（）

(A)

22222

sin()sin()D

x y d x y d σσ+<+???? (B)

22222cos()cos()D

x y d x y d σσ+<+???? (C)

222

()x y x y D

d e

d σσ++

(D)

22222

ln(1)ln (1)D

x y d x y d σσ++<++???? 4.有一块平面型白面饼子，上面粘满了不均匀的蜜糖，蜜糖密度为(,)f x y ，求蜜糖总量

这个问题可归结为（）

(A) 定积分 (B) 二重积分 (C) 三重积分 (D) 曲面积分

三、计算题

1、计算二重积分D

xyd σ??，其中2:D y x =与y x =所围成。

2、计算二重积分22

1+D

y x y d σ-??，其中:D y x =与1,1x y =-=所围成。

3、求二重积分2

y d x

σ??

，其中D 是22(1)1x y -+≤所围成的区域。 4、求二重积分2D

xy d σ??，其中D 是单位圆的第一象限部分。

空间曲面面积的计算

1、空间曲面(,)z f x y =的微分元与其在xoy 面上的投影d σ之间的关系是（）（A ）221x y ds f f d σ''=++ （B ）221x y d f f ds σ''=++ (C)ds d σ= (D)22x y ds f f d σ''=

3、计算曲面221

:(),012

z x y z ∑=+≤≤的面积 .

三重积分问题

一、填空

1.设立体所占有的空间区域是Ω，其密度为(,,)f x y z ，则

(,,)f x y z dv Ω

???的意义是

2．设空间区域Ω是2221x y z ++≤，则

1dv Ω

=??? 。

3.设Ω是222z x y =+，11Z -<<则

22)x y dv Ω

+=???（。 4.三重积分的计算方法有，，，

请简述每一种计算方法的具体步骤

5．三重积分在球坐标下的体积微分元是。二、单项选择

1.下列说法正确的是（）

（A ）三重积分是立体的体积（B ）三重积分是立体的质量（C ）三重积分是立体的表面积（D ）以上三项都不对 2.已知一个金属球的电荷密度，计算球所带有的总电量是（）

(A) 定积分 (B) 二重积分 (C) 三重积分 (D) 曲面积分

3.下列说法正确的是（）

（A ）定积分是长度（B ）二重积分是面积（C ）三重积分是体积 (D)以上三项都不对三、计算

1.计算xdv Ω

???，其中Ω是三个坐标平面与1x y z ++=所围成。

2.计算xdv Ω

???其中Ω是由2222x y z R ++=所围成的区域在第一卦限部分

3.计算zdv Ω

???，其中Ω是2221x y z ++=在第一卦限部分。

4.计算22

z x y dv Ω

+???，其中Ω是由22z x y =

+与1z =所围。

5.计算 2

z dv Ω

???，其中Ω是由222

2221x y z a b c ++=所围成。

第一型曲线积分部分一、填空 1．

如果(,)f x y 是曲线l 的线密度，则第一型线积分

(,)l

f x y dl ?

的意义

是。

2．曲线在直接坐标下的弧长微分公式是，在参数方程下的弧长微分公式

是

。 3. 曲线:(),(),(),L x x t y y t z z t t αβ===≤≤的弧长是。 4.在积分路径为参数方程时，计算第一线积分的方法是。 5.设曲线l 是上半单位圆，则沿着l 的第一型线积分1=l

dl ?

。

二、单项选择

1.第一型线积分是（）

（A ）曲线的弧长 (B)曲线的质量（C ）曲线所带有的总电量（D ）前三都不对 2．第一型线积分（）

（A ）涉及一个被积函数，对坐标积分（B ）涉及两个函数，对坐标积分（C ）涉及一个函数，对弧长积分 (D) 涉及两个函数，对弧长积分 3.第一型线积分与积分路径的方向（）

（A ）无关（B ）有关（C ）不一定无关（D ）取决于被积函数三、计算题

1.有一支被折成半径为a 的半圆形的筷子，上面粘满了蜜糖，其密度为(,)x y xy ρ=，计算

这支筷子上所带蜜糖总量. 2.计算曲线积分

ydl ?

，其中l 是抛物线214

y x =

从00（，）到21（，）的一段。 3.计算曲线积分222

x y z

++?

，其中l 是 cos ,sin ,x a t y a t z bt ===，t 从0到2π的一段。

第二型线积分一、填空

1. 如果质点受变量(,)(,)(,)F x y p x y i q x y j =+沿着曲线l 从A 点运动到B 点，则第二线分

pdx qdy +?

的物理意义是。

2.如果积分路径是直线段:1,01l y x =≤≤，则1)()l x y dx x y dy +-+-=?

（。

3.如果积分路径是x 轴上一段，则(,)l

ydx p x y dy +=? 。

4.格林公式是

(,)(,)l

p x y dx q x y dy +=? ，其本质是将转换为

，条件是

p y ??及其q x

??在l 所围城的闭区域上。 5.用格林公式可以求平面图形的面积，其方法是或。

6 第一型线积分与第二型线积分之间的关系是。 7.一般封闭曲线的正向是单连通区域的边界线方向是 8 有界复连通区域总边界线的方向是。二、单项选择

1.第二型线积分是（）

（A ）曲线的弧长 (B)曲线的质量（C ）变力曲线功（D ）前三都不对 2．第二型线积分（）

（A ）涉及一个被积函数，对坐标积分（B ）涉及两个函数，对坐标积分（C ）涉及一个函数，对弧长积分 (D) 涉及两个函数，对弧长积分 3.第二型线积分与积分路径的方向（）

（A ）无关（B ）有关（C ）不一定无关（D ）取决于被积函数

4.设积分路径是:11,1L x y -≤≤=，则下列结论不正确的是（）

（A ）1L

xyds =? （B ）1L

xydx =? （C ）1L

xydy =? (C)1

10L

xydy xdy -==??

5. 不能用下列积分求平面图形的面积的是（）

（A ）定积分（B ）二重积分（C ）三重积分（D ）第二线积分三、计算题

1计算l xydx ?

，其中积分路径为

（1）2y x =从(1,1)A -到(1,1)B 的一段（2）2y x =从(1,1)A -到(1,1)B 的一段.

2.计算2223+)l

x dx zy dy x y dz +?

（-，其中l 是从(0,00)o ，

到(3,21)A ，的直线段。 3.用格林计算

yx dx xy dy +?，其中l 是上半单位圆逆时针方向。

4.用格林公式计算

xdy ydx

x y -?

，其中l 是上椭22194x y +=的圆逆时针方向。 5．计算221+)l

xy dx x ydy +?

（

，其中l 是抛物线21y x =-从(1,0)A -到(1,0)B 的逆时针方向。

6．求

22223)(3)0x xy dx y x y dy -+-=（的通解。第一面积分部分一、填空

1.如果曲面∑的面密度为(,,)f x y z ，则第一面积分

(,,)f x y z ds ∑

??的意义是。

2.如果(,,)=1f x y z ，则

(,,)=f x y z ds ∑

?? 。

3．计算第一型面积分的方法是，将

(,,)f x y z ds ∑

??转化为∑在投影区域xoy

上的

积分，其中曲面∑的微分元ds 与其在xoy 平面上的投影d σ之间的关系是，当曲面(,)z z x y ∑=：时，计算第一型面积分的

(,,)f x y z ds ∑

??的公

式是

。

5. 如果曲面∑是平面0x =上的单位圆所围城的部分，则

222()=x y z ds ∑

++?? 。二、单项选择

1.下列说法正确的是（）

（A ）第一面积分曲面的面积（B ）第一面积分曲面的质量（C ）第一面积分曲面所带有的电量（D ）前面三项都不对 2.有一块弯曲的白面饼上粘满了蜜糖，求蜜糖总量，可归结为（A ）二重积分（B ）第一面积分（C ）三重积分（D ）线积分

3．第一面积分实际上是对（）的积分

（A ）坐标（B ）弧长（B ）面积 (D)体积 4.求密度为均匀的上半球面对中轴线上某点的总引力，可归结为（A ）定积分（B ）线积分（C ）第一面积分（D ）三重积分三、计算题 1.计算

()x y z ds ∑

++??，其中∑是1x y z ++=与三个坐标平面所围城的四面体的表面。

2.计算

22()x y ds ∑

+??，其中∑是22z x y =+及1z =所围城的区域整个边界面。 3．计算曲面积分2z ds ∑

??，其中∑是2

21()2

z x y =

+，被1z =所截下得部分。

第二面积分一、填空

1. 如果(,,)(,,)(,,)(,,)u x y z p x y z i Q x y z j R x y z k =++是通过曲面∑的流速，则第二面积分

(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dxdz R x y z dxdy ∑

++??的意义是。

2. 设s ?是有向曲面∑的一块小曲面，s ?在xoy 面上的投影为xy s ?（）， xy s ?（）的面积为 xy σ?（），则当s ?的法向量为z 轴的夹角γ满足

γπ≤≤时， xy s ?（）与

xy σ?（）的关系是

。

3. 如果∑是由平面1z =上的圆周221x y +≤部分的上侧，

则

()1=z y dydz xzdxdz dxdy ∑

+++??

4. 设∑是由正方体Ω：01,01,01x y z ≤≤≤≤≤≤的外表面，则

=xydxdy ∑

5. 设∑是2221x y z ++=的外侧，用高斯公式得

=xdydz ydxdz zdxdy ∑

++?? 。

6. 设封闭曲线l 是=1x y +与1z =的交线的逆时针方向，由斯托克斯公式得

ydx xdy xdz -++=? 。

7.两类面积分之间的关系是。二、单项选择

1.第二面积分是（）

（A ）对弧长的积分（B ）对曲面面积的积分

（C ）曲面的面积（D ）对坐标的积分 2.如果曲面为平面22:1,1z x y ∑=+≤的上侧，则下列不正确的是（）（A ）zds π∑

=?? （B ）zdxdy π∑

=?? (C) 0zdydz ∑

=?? (D)zdxdy π∑

=-??

3.如果曲面为平面:1,01x y z ∑+=≤≤的前侧，则下列不正确的是（）（A ）22zds ∑

?? （B ）0zdxdy ∑=?? (C) 22zdxdz ∑=?? (D)0zdydz ∑

=?? 4.下列说法不正确的是（）

（A ）格林公式是将曲线积分转化为二重积分问题（B ）高斯公式是将第一面积分转化为三重积分问题（C ）高斯公式是将第二面积分转化为三重积分问题

（D ）斯托克斯公式是将空间封闭曲线积分转化为空间曲积分问题。

5. 除了下面哪一种积分之外，它们的计算都要归结到二重积分的计算上去（）（A ）三重积分（B ）第一面积分（C ）第二面积分（D ）第一线积分三、计算

1.计算第二面积分 xdydz ydzdx zdxdy ∑

++??，其中:1x y z ∑++=在第一卦限部分的上侧。

2.计算第二面积分 zdxdy ∑

??，其中22:z x y ∑=+，01z ≤≤的外侧

3.用高斯公式计算(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑

+++??，其中222:1x y z ∑++=，0z ≥的外侧。

4.利用斯托克斯公式计算

zdx xdy ydz ++?，其中l 是:1x y z ∑++=被三个坐标平面所截

成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧法向量之间构成右手规则。

级数部分

一、单项选择 1. 级数

i u

+∞

=∑收敛，1

n i

i s u

∑，则下列结论正确的是（）

（A ）lim 0n n u →∞

=，lim n n s s →∞

= (B) lim 0n n u u →∞

=≠，lim n n s s →∞

（C ）lim 0n n u →∞

≠, lim 0n n s →∞

= (D) lim 0n n u →∞

=, lim 0n n s →∞

2.下列级数收敛的是（）

（A ） 2212321n n n n +∞

=++-∑ （B ）111()3n n n +∞=-∑ （C ） 1121n n +∞=+∑ （D ）2

21n n +∞

=+∑ 3.下列级数发散的是（）

（A ） 11(-1)n n n -+∞

=∑ （B ） 2

1sin n nx n +∞=∑ （C ） 1

1ln(1)n n +∞=+∑n-1

（-1) （D ）1n +∞=∑n 1+(-1)2 二、填空

1．幂级数1(1)2-1

n n

i x n +∞

=-∑的收敛半径是 2．幂级数

1(2)+3

n n n

i n

x +∞

=-∑的收敛半径是 3. 幂级数1

()

i x +∞

=-∑的和函数是

计算题

1.求幂级数1

(1)n n

i x n +∞

=-∑的收敛区域 2. 求幂级数1

(1)n n

i x n +∞

=-∑的和函数 3.将函数()arctan f x x =展为关于x 的幂级数。

常微分方程部分

一、单项选择

1．常微分方程320y y y '''-+=的通解是（）（A ）212x

y c e

c e

--=+

（B ）212x

y c e

c e

-=+

(C)

212x x

y c e c e -=+

(D)

212x x

y c e c e =+

2. 常微分方程232x

y y y xe '''-+=的特解是（）

（A ）201()x Y xe a a x =+ （B ） 201()x Y e a a x =+ （C ）20x Y a xe = （D ）01()x

Y xe a a x =+

3.常微分方程0y py qy '''++=的通解是2312x

x Y c e

c e =+，则该微分方程是（）

（A ）320y y y '''++= （B ） 560y y y '''-+= (C) 320y y y '''-+= (D) 560y y y '''++= 4.微分方程321y y y '''-+=的通解为（）

（A ）212x

x Y c e

c e =+ （B ）2121x x Y c e c e =++ （C ）2121

x x Y c e c e =++

(D) 2121

x x Y c e c e --=++

二、填空

1．微分方程0y y y '''++=的通解是。

2.微分方程dy x

dx y =的通解是。

3．微分方程2dy

x y dx =在0

1x y

==的特解是。

三、计算题

1．求方程ln 0xy y y '-=的通解。

2.求方程32

2(1)1dy y x dx x -=++的通解

3.求方程sin dy y y dx x x =+的通解。

4.求方程56y y y x '''-+=的通解

6.求56x

y y y e '''-+=的通解

7.求+sin y y y x '''+=的通解。