+域和环
第二章 域和环
§1域的例子，二元域，域的特征
教学目的：1、通过域的例子，理解域的基本性质及相关概念，通过二元域，学习一般域上的多项式运算及在纠错中的简单应用.
重点：域的例子，二元域，一般域上多项式运算性质，域的特征 难点：二元域，多项式运算性质，域的特征
教具、教学素材：各类近世代数、抽象代数教材，网上相关资源 教学方法：讲授法、讨论法 教学时数：4 教学过程: 一、域的例子 例1、数域：
C R Q ,,，(){}
Q b a b a Q ∈+=,|22
例2 数域P 上的有理分式域
设P 是数域，x 是一个文字，所有形式为
P b a b x b x b a x a x a i i m m m m n n n n ∈++++++----,,0
1
10
11 且分母不为零多项式的式子，在通常分式运算下成为一个域，记为()x P
例3复数域的构造
(){}R b a b a C ∈=,|,，定义 ()()()d b c a d c b a ++=++,,,: ()()()bc ad bd ac d c b a +-=?,,,:
易验证，C 关于如上定义的加法和乘法构成一个域 C 有如下性质：
（1）加法零元是()0,0，乘法单位元是()0,1
（2）
()
0,a a C R ?→??→?是R 到C 的同态且是单射，故R 可看着是C 的子域
（3）因()()()()1,00,0,,b a b a +=，()()()0,11,01,0-=，若将()()0,,0,b a 写成b a ,，
()1,0写成i ，则C 中元就可写成bi a +
练习170P ?
?????∈???? ??-=R b a a b b a C ,|0
（1）0C 关于矩阵的加法是交换群：易见，0C 关于矩阵的加法封闭、满足交换律、结合
律，有零元????
??0000，0C a b b a ∈???? ??-?有负元???
? ??---a b b a 0C 关于矩阵的乘法封闭，0C 关于矩阵的乘法满足：交换律和结合律，有单位元???
?
??1001，???? ??≠???? ??-∧∈???? ??-?00000a b b a C a b b a 有逆元??
???
?
??+++-+222
2
2222b a a b a b b a b b a a
矩阵的乘法对加法的分配律成立 所以，0C 对矩阵的加法和乘法成为域.
（2）易验证?
??
???∈???? ??=R a a a R |0
00关于矩阵的加法和乘法成为域 作映射
?
??
? ???→??→?a a a R R 000
?
易见，?是R 到0R 的双射.且 ()()()b a b b a a b a b a b a ???+=???
?
??+???? ??=????
??++=+ 即R R ?0，所以0R 是同构于R 的子域. 二、二元域与纠错
1、{}1,0=F ，是一个域，称为二元域， 记为2F .
2、域2F 的矩阵运算和多项式运算 如：???
?
??=???? ??????
??101001111111 (
)(
)
1112
53
2
+++=+++x x x x x x
3、纠错举例
信息传输，常用一组1,0信号来代表一个信息，每一个1,0序列就是2F 上的向量——称为
码字.
一个简单的纠错方案：——有纠一个错的能力 作2F 上154?矩阵
?????
????
???=10
1010101010101
110011001100110111100001111000
111111110000000H ——实际上是将十进制数15,,2,1 变成四位二进制数后，把它们看成2F 上的4元向量，依次排在第1列，第2列，...，第15列，就得到上面的矩阵H
以H 为系数矩阵作2F 上的齐次线性方程组
0115154=??X H （3）
取方程组（3）的解集合，它是2F 上15元向量的一个集合，用以作为承载各个信息的0，1向量的集合，其中的每一个向量都是一个码字.
任一个码字
21521,F a a a a i ∈????
??
? ??= α 是（3）的解，即0=αH .假设它在传输时受到干扰，有一位发生改变，设在第i 位发生改
变，即第i 位由0变1或由1变0.由2F 的运算，这相当于第i 位加上1.令
位第i e i ??????
????
? ??=00100
则接收到的向量为i e +=αβ，用H 乘它，H He He H H i i =+=+=0αβ的第i 列的列向量.因此，对接收到的向量β，若β是H 的第i 列的列向量，则β出错在第i 位，只要将β再加上i e 就恢复了发出和码字.
例如：解方程组0115154=??X H 得一般解
???????++++++=++++++=++++++=++++++=15
14131211109815141312765415
141110763215131197531x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
()T
X 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1=是其中一个解，
若将X 的第6位变为0得()T
Y 1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1=.假设我们并不知道它是由X 改变第
6位而得，但我们只知道它与方程组0115154=??X H 的一个解最多有一位不同，
因????
??
? ??=0110HY 与H 的第6列相同，故Y 与原解在第6位差了1，将Y 在第6位加1就得
原解了.
三、域的特征
域2F 与任意数域P 的区别：在2F 中，011=+，而在P 中，对任意的n Z +∈,
11110n
n =+++≠
1、域的特征的定义
定义1 设F 是一个域，若对任何正整数m ，都有01≠m ，就称F 是特征为0的域；若m 是使01=?m 的最小正整数，则称F 是特征为m 的域.记为chF
2、特征的性质
（1）若域F 的特征0≠=m chF ，则m 是素数.
由0≠=m chF 知，m 是使得01111=+++=?
m
m 的最小正整数，因01≠，故1>m .若2121,,m m m m m =是两个比m 小的正整数，于是()()011121==m m m ，由于域没有零因子，故必有011=m 或012=m ，这都与m 的最小性矛盾，故m 必为素数.
（2）若域F 的特征0≠=m chF ，则对F a ∈?，必有0=ma （3）若F 是有限域，则chF 为素数，且F chF | （4）若p chF =（素数），则()p p p
b a b a +=+
如：4元域F 的特征为2
课练：6（2）求12
++x x 与13
4
6
+++x x x 的最大公因式.——在数域2F 中
解 因为
所以()()
1112342346+++++++=+++x x x x x x x x x x
小结：本讲主要介绍了一些域的例子、二元域在纠错中的应用、域的特征的概念及性质. 作业：70P 2，6（1） 教学后记：
§2域的扩张，扩张次数，单扩张的构造
教学目的：掌握域的扩张、扩张次数、单扩张的构造. 重点：域的扩张、扩张次数、单扩张的构造 难点：单扩张的构造及应用
教具、教学素材：各类近世代数、抽象代数教材，网上相关资源 教学方法：讲授法、讨论法 教学时数：4 教学过程: 一、引例
例1 有理数域上的矩阵???
?
??=1151A ，求()k
A tr 一般求法：由R A I ∈-=+=?=-51,51021λλλ ()()(
)
k
k k k k
A
tr 51512
1
-++=+=?λλ
即()
k
A tr 虽是有理数，但却是用比Q 更大的域R 中的数的公式表出. 例2证明R 上的不可约多项式只有一次和二次多项式.
也是放到更大的域——复数域上去考察的.
二、域的扩张
1、子域与扩域：令E 是域，E F ?，若F 在E 的运算下也成为域，则称F 为E 的子域，而E 称为F 的扩域.
上面两个例子的解决都在其扩域进行的. 2、域的扩张
E 为
F 的扩域，E ∈?α，记()()()()()[]()?
??
??
?≠∈=0,,|22121ααααf x F x f x f f f F ，
则()αF 是用F 的元及α进行所有可能有限次加、减、乘、除运算的集合.
——将一个元α推广到E 的一个子集S ，得
命题1 设E F ?是域扩张，S 是E 有子集，令()S F 是用F 的元和S 中元进行所有可能的有限次加减乘除得到的元素集合，则
()()()()[]()??
?
???????≠=∈?∈?∈?=+0,,,,2,1,,,,,,,,,|,,,,,,212212112122
11k k k i k k k f i x x x F x x x f S Z k f f S F ααααααααααα 且它是E 的子域，是E 中含S 的最小子域.
定义1 E 为F 的扩域，E S ?，称()S F 为F 添加S 而成的扩域. 命题2 E 为F 的扩域，E S S ?21,，则()()()2121S S F S S F ?=
特别，当{}n S ααα,,,21 =时，记()()n F S F ααα,,,21 =——称为有限生成的扩域. ——按n ααα,,,21 的任何次序、从F 起遂个地添加进去成为()n F ααα,,,21
如：(
)()()()()2332
3,2Q Q Q ==
其中(){}
Q b a b a d c Q d c b a d
c b
a Q
∈+=?
???
?
?∧∈++=,|20,,,,|22
2不同时为 (
)()()()
?
????
?∈++== 2,,,|33
323,
2Q d c b a d
c b
a Q Q {}
Q d c b a d c b a ∈+++=,,,|632 3、单扩域、有限域、扩张次数
定义2 E 为F 的扩域，E S ?,α，则称()αF 为F 的单扩域，而当S 为有限集时，称()S F 为F 的有限生成扩域. 如：()i R C =
定义3 E 为F 的扩域，以[]F E :表示E 作为F 上线性空间的维数，称为E 对F 的扩张次数.若[]∞=F E :，则称为无限扩域；若[]n F E =:，则称为有限次扩域.
定理3 设E H F ??是域的扩张，则[][][]F H H E F E :::=
证明 设[][]m F H n H E ==:,:，n e e e ,,,21 是E 作为H 上的线性空间的一组基，
m h h h ,,,21 是H 作为F 上的线性空间的一组基，
故E 的任意元e 可表示为H l e l e n
i i
∈=
∑=1
1
1,，
而i l 可表成F f
n i h f l ij
j
m
j ij
i ∈==
∑=,,,1,1
.
于是∑∑∑∑∑======?
??
?
??==n i i m j j ij n
i i m j j ij n
i i e h f e h f e l e 111111是{}m j n i h e j i ,,1,,,1| ==的线性
组合，系数在F 上.下证{}
m j n i h e j i ,,1,,,1| ==是E 作为F 上的线性空间的一组基：
设
011
=∑∑==j
i
m j n
i ij h
e l ,即0)(1
1
=∑∑==j i m j n i ij h e l 且H h l j n
i ij ∈∑=1
，
所以
n i h l
j n
i ij
,,1,01
==∑=，所以m j n i l ij ,,1,,`,1,0 ===
推论 设E H F ??是域扩张，若都是有限扩域，则[][]F E F H :|:
三、代数扩张
定义4 设E F ?是域的扩张，E ∈α.若α是域F 上某一非零多项式的根，则称α为F 上代数元，而()αF 称为F 上单代数扩张.若α不是F 上代数元，则称为F 上超越元，()αF 称为F 上单超越扩张.若E 中每个元都是F 上代数元，则称E 是F 上代数扩张.
例3 32,2皆为Q 上代数元，则e ,π是Q 上超越元. 单扩域的代数结构：
定理4 设E F ?是域扩张，E ∈α是F 上代数元?()[]x F x f ∈?，()x f 以α为根（()x f 为F 上不可约多项式）；令()x f 是F 上以α为根的最低次多项式，()()n x f =?，则
()[]n F F =:α，且,,1α1,-n α 是()αF 作为上线性空间的基.若E ∈α是F 上超越元，则
()[]∞=F F :α
证明 设E ∈α是F 上代数元，则有()[]x F x p ∈，使()0=αp .将()x p 分解为[]x F 中不可约多项式的乘积，()()()x p x p x p s 1=，则()()()01==αααs p p p .由于E 中无零因子，故必有某i ，()0=αi p ，这个()x p i 为F 上不可约多项式.
反之，若有F 上不可约多项式以α为根，当然α是F 上代数元.
又设()x m 是F 上满足()0=αm 的多项式，()()()()x r x f x q x m +=，其中()x r 或为零
()()()()x f x r ?
若()0≠x r ，()()()()x f x r ?
[]x F ∈使()()()()1=+x r x v x f x u ，即()()()()10=+=ααααr v f u ，矛盾，故()0=x r
利用上面的定理，可简化集合()()()()()[]()?
??
??
?≠∈?=0,,|22121ααααf x F x f x f f f F 的结构：
令()x f 是F 上以α为根的最低次多项式，若()02≠αf ，则()()x f x f 2|/，从而
()()x f x f 2,互素，有()()x v x u ,[]x F ∈使()()()()12=+x f x v x f x u ，将α=x 代入可得 ()()12=ααf v ，但()02≠αf ，故()()
αα21f v =
.于是()αF 的任一元必有形式()()ααv f 1，
它是以F 上的元为系数的α的多项式.
令()()()x v x f x M 1=，且()()()()()()x r x f x q x v x f x M +==1，可知()10a r =α
()F a x a x a a i n n ∈++++--11101 .于是()αM 1110--+++=n n a a a αα ，即()αF 的任一元
是1
,,,1-n α
α 的线性组合.
再由F 上以α为根的最低次多项式的次数是n 可知，1
,,,1-n αα 在F 上线性无关的.
即1
,,,1-n α
α 是()αF 作为F 上线性空间的一组基，当然有()[]n F F =:α
定义5 E F ?是域扩张，E ∈α是F 上代数元，F 上以α为根的次数最低的多项式称
为α的极小多项式.
推论 E F ?是域扩张，E ∈α是F 上代数元，则F 上以α为根的不可约多项式就是α
的极小多项式.
四、应用举例
例 计算(
)[]
Q Q
:3,2
解 ()()()323,2Q Q =
（1）()[]Q Q :2：因为2是Q 上不可约多项式22
-x 的根，所以()[]2:2=Q Q （2）()()[]2:3,2Q Q ：因为3是()[]x Q 2上多项式32
-x 的根，所以()()[]22:3,2≤Q Q ，又()()()232Q Q ≠，所以()()[]22:3,2=Q Q 所以()[]Q Q :3,2=()()[]2:3,2Q Q ()[]Q Q :2=4
例（书例7）设α是392
3
--x x 的一个实根，求()[]Q Q :α
解 由艾森斯坦判别法知392
3
--x x 在Q 上不可约，所以()[]3:=Q Q α
例 E F ?是域扩张，且[]p F E =:（素数），则F E \∈?α，有()αF E = 证明 因为()E F F ??α，所以[]()[]()[]E F F E F E :::αα= 又因 F E \∈α，所以()αF F ≠，所以()[]1:>F F α.
又[]p F E =:，且[]()[]()[]E F F E F E :::αα=，所以()[]1:=αF E ，即()αF E = 小结：本讲主要学习了域的扩张、扩张次数、单扩张的军政府及单扩域的结构，最后介绍了构造定理的应用.
作业：77P 3，8，10，计算()[]Q Q :23，(
)[]
Q Q :32+
教学后记：
§4环的例子，几个基本性质
教学目的：掌握环的一些具体例子，对比群的同态，理解环同态的相关概念. 重点：环例、环同态的相关概念 难点：环同态的相关概念的理解
教具、教学素材：各类近世代数、抽象代数教材，网上相关资源 教学方法：讲授法、讨论法 教学时数：6 教学过程: 一、环例
环的概念：()?+,,R 是环()+?,R 是交换群，()?,R 是幺半群，且加法对乘法的分配律成立.——一般书上的环不要求有乘法单位元1，本书的环要求有乘法单位元.
整数环()?+,,Z ，有理数环()?+,,Q ，实数环()?+,,R ，复数环()?+,,C ——乘法单位元都是数1
对()?+,,2Z ——不是环，因无乘法单位元，但在其它书上它是环，称为偶数环. 域F 上的全体多项式[]x F 关于多项式的加法和乘法是环——乘法单位元是数1 域F 上的全体n n ?矩阵的集合()F M n 是环.——乘法单位元是n 阶单位矩阵 例 模n 的剩余类集{}
1,,1,0-==n nZ
Z Z n ，定义
ab
b a b a b a =?+=++::乘法加法
n Z 关于如上定义的加法和乘法是环，称为模n 的剩余类环，乘法单位元是1.
证明 （1）此处定义的“加法”和“乘法”与代表元有关，需证明它是n Z 上的代数运算(即证明如上定义的运算与代表元的选取无关)，即若b b a a '='=,，则
b a b a ab b a b a b a b a b a ''=''=='+'='+'=+=+,
若b b a a '='=,，则
()
()??
?+++=''+++='+'???
?+='??+=∈'+='??+=∈'nkl bk al n ab b a l k n b a b a nl
b b l nZ b b b nk a a k nZ a a a ,, ?????'
'='
+'=+?b a ab b a b a 所以，如上定义的加法和乘法是n Z 上的代数运算. （2）n Z 关于如上定义的加法和乘法是环：
()+,n Z 是交换群：
加法结合律成立：n Z c b a ∈?,,，()
c b a c b a ++=++
()()c b a c b a ++=++=()
c b a c b a ++=++=
有加法零元0，使得n Z a a a a a a ∈?+=+==+=+,0000 n Z 中每个元都有负元： 对每个n Z a ∈，有n Z a n a ∈--或，使 ()()a a a a a a a a +-=+-==-+=-+0 n Z 的加法满足交换律：a b a b b a b a +=+=+=+ 所以n Z 关于如上定义的加法是交换群.
n Z 关于乘法满足：
乘法结合律成立：n Z c b a ∈?,,，()
c ab c b a ?= ()()bc a c ab ==()
c b a bc a +=?= 有乘法单位元1，使得n Z a a a a a a ∈??=?==?=?,1111 易验证，n Z 中乘法对加法的分配律成立
综上，n Z 关于如上定义的加法和乘法是一个环.
例 证明数集[]{}Z b a bi a i Z ∈+=,|关于数的加法与乘法构成一个交换环-—高斯整环. 高斯整环[]i Z 的可逆元：
设bi a +=α 为[]i Z 的单位, 则存在[]i Z di c ∈+=β, 使得 1=αβ, 于是()()()()()()
2222111d c b a di c bi a di c bi a ++=++++=?=
因为Z d c b a ∈,,,, 所以12
2
=+b a . 从而0,1=±=b a 或 1,0±==b a . 因此可能的单位只有
i i --,,1,1
显然它们都是[]i Z 的单位. 所以[]i Z 恰有四个单位: i i --,,1,1
类似地可证, 如果d 为非平方整数, 则
[]{}[]{}
Q b a d b a d Q Z b a d b a d Z ∈+=∈+=,|,,|
关于数的加法与乘法都构成交换环. 二、环的一些基本概念
定义1 设R 是环，若它的乘法满足交换律，则称为交换环.
定义2 R 是环，S 是R 的子集，它含有R 的乘法单位元1，且对于R 的运算仍成为环，
则称S 为R 的子环.
注：定义要求环R 与其子环有相同的加法、乘法和乘法单位元. 由子环的定义，类比子群的定义可得
子环的判定： R 是环，R S ?≠φ，则
S 为R 的子环()()??
???∈?∈?∈-?∈?∈??????∈+≤+?S ab S b a S b a S b a S S S R S ,,11,,关于乘法封闭
如：整数环()?+,,Z 只有一个子环，就是自身:因为,若S 是其子环,则1S ∈,再由加法封闭性可得Z S ?.乘法单位元是1,只有两个可逆元1±
对于整数环()?+,,Z ,有理数环()?+,,Q ，实数环()?+,,R ，复数环()?+,,C ,前一个都是后一个的子环,除整数环外,它们的每一个非零元都可逆.
???
??
?????????∈??
??
???
??=F a a a a S | 是()F M n 的子环，F 是[]x F 的子环. 结论:任一个环中的可逆元的集合是一个乘法群.
例 域F 是环，若其子环S 是域，则S 是F 的子域. 三、环同态
1、环同态的定义
定义3 设R R ',是两个环，?是R 到R '的映射，如果 （1）?保持加法，即R y x ∈?,，有()()()y x y x ???+=+ （2）?保持乘法，即R y x ∈?,，有()()()y x xy ???= （3）()()R R '=11??
则称?是R 到R '的同态.若?还是双射，则称?是R 到R '的同构
同法可定义域的同态和同构. 2、像与核
定义4 设?是环R 到环R '的同态，则()(){}R x x R ∈=|??称为R 在?下的像，若
()R R '=?，则称为满同态.
(){}R x R x Ker '∈=∈=0|??（即R '中零元的原像的集合）为R 在?下的核. 3、性质
易验证：若?是环R 到环R '的同态，则()R ?是R '的子环，()?Ker 是R 的子环. 命题1 ?是环R 到环R '的同态，则
（1）R r ∈?，有()()????Ker r Ker Ker Ker r ??, （2）?是单射{}0=??Ker
证明 （1）()()()()r x xr x Ker x R r ?????=?=?∈?∈?0, ()()????Ker r Ker Ker xr r ??∈?==00
（2）0,,≠-?≠∈?y x y x R y x ，当{}0=?Ker 时，()0≠-y x ?，即()x ?
()0≠-y ?，亦即?是单射.
反之，当?是单射时，设0≠x ，则()()00=≠??x ，即?Ker x ?，故0=?Ker
4、理想
定义5 R 是环，S 是R 的加法子群，且对R r ∈?有S rS S Sr ??,，则称S 为R 的一个理想.
易见，R 的理想S 不一定包含乘法单位元1.
理想的判定：R 是环，R S ?≠φ，则S 为R 的理想
?
??∈?∈?∈?∈-?∈??S ar ra S a R r S
y x S y x ,,,
由理想的定义，若S 为R 的理想，则()+,S 为()+,R 的正规子群.由此可得商群（对加法）
{}R a S a S
R
∈+=|
其加法为：()()()S b a S b S a ++=+++ 定义乘法为：()()S ab S b S a +=++ 则可验证，S
R
关于如上的加法和乘法成为一个环，称为R 对S 的商环.其加法零元是
S +0，乘法单位元是S +1
5、环同态基本定理
——类比群同态基本定理可得
定理2（环同态基本定理）
（1）若S 为环R 的理想，则R 到商环S
R
有满同态()R a S a a ∈?+=,:ηη，称为R 到
S
R 的自然同态. （2）R R ',是环，?是环R 到环R '的满同态，令?Ker K =，则R S
R '?
四、应用举例——书
例6 任意环R 都有两个平凡理想：零理想{}0和R 例7任何域F 都只有两个理想：零理想{}0和F
若{}0≠S 是域F 的理想，则F S S a F a S s s S s =?∈?∈??∈=?∈≠?-1,101 例8 整数环Z ，若S 是其理想，则S 是整数加群Z 的子群，故Z n ∈?，使得n nZ S ==，反之，显然n nZ S ==是Z 的理想.故整数环Z 的全部理想为：nZ ，
() ,2,1,0=n
例9 若R 是交换环，R a ∈，则aR 是R 的理想，称为R 的主理想.此处，aR 等于R 中由元a 生成的理想，记为()a
例12 ()F M n 只有两个理想：零理想和()F M n 五、除环与极大理想 1、除环
定义7 设R 是环，若{}0\R R =*
是乘法群，则称R 为除环.
易见，域是交换除环. 2、极大理想
定义8 R 是环 ，M 是R 的理想，R M ≠.对R 的任何包含M 的理想N ，若N M ≠，则R N =，则称M 是R 的极大理想.
由定义易知，若M 是R 的极大理想，则除R ，R 中再无真包含M 的理想.
定理3 设R 是交换环，K 是R 的理想，则K
R 是域?K 是R 的极大理想.
证明 见书88P
例 p pZ =（p 是素数）是Z 的极大理想，从而p Z pZ
Z
=是域.
证明 设+∈?=Z n pZ nZ n ,，则Z k n pZ p p ∈???∈?=1使kn p =，因p 是
素数，所以1=k 或1=n .当1=k 时p n =，当1=n 时Z n =，所以 p pZ =（p 是素数）是Z 的极大理想，p Z pZ
Z
=是域
由此例可知，练习3中的（1）（2）都是域
n Z 中有零因子n ?为合数，如：()1>k k 是n Z 的零因子k ?与n 不互素.如8Z 有零因
子6,4,2
n Z 的全部子群：k n k ?|是n Z 的子群
同理，k n k ?|是n Z 的子环；k n k ?|是n Z 的理想 如{}4,3,2,1,055==Z
Z
Z 的加法表和乘法表为：注Z k k 5+=
由上面的乘法表易见，*
5Z 关于乘法成为群，所以5Z 是域，自然也无零因子. 如：找出12Z 的全部理想，哪些是极大理想？对所有极大理想K ，写出
K
Z 12
的全部元.
12Z 的全部理想为：{}{}{}{}{}
12,10,8,6,4,2,0,9,6,3,0,8,4,0,6,0,0Z
其中(){}(){
}(){}
10,8,6,4,2,02,9,6,3,03,8,4,04===是12Z 的极大理想.
()
()()()(){}43,42,41,40412
++++=Z ，
()()()(){}32,31,30312
+++=Z
()()(){}21,20212
++=Z
而在
()()()()()()(){}65,64,63,62,61,60612
++++++=Z 中，
()()()()()()606126463+=+=++，故()()64,63++是()612
Z 的零因子.
例 ()x p （()x p 是不可约多项式）是[]x F 的极大理想，从而[]
()
x p x F 是域.
证明 与上例类似 如：
[]
()
1
3
5++x x
x Z ，5Z 是域（因5是素数），因4,3,2,1,0都不是13
++x x 的根所以
13++x x 是5Z 上的不可约多项式，所以
[]
()1
3
5++x x
x Z 是域，故无零因子.
小结：本讲介绍了环的若干例子，环的一些基本概念，环同态基本定理、理想、极大理
想、商环及相关性质.
作业：9,5,3,2,1
89P ，补充题：求[]{}
Z b a b
a Z ∈+=,|22的可逆元。
教学后记：
§5整数模n 的剩余类环，素数p 个元的域
教学目的：掌握模n 的剩余类环和素数p 个元的域的性质. 重点：模n 的剩余类环和素数p 个元的域的性质
难点：以上知识的证明
教具、教学素材：各类近世代数、抽象代数教材，网上相关资源 教学方法：讲授法、讨论法 教学时数：3 教学过程:
在上一讲中，我们已经证明了nZ
Z Z n =关于剩余类的加法和乘法是一个环.
一、模n 的剩余类环 1、n Z 为域的判定
命题1 Z 的理想()n 为极大理想n ?为素数.
证明 设()n 为极大理想，若n 不是素数，则n n n n n n <<=2121,1,.
考察理想()1n ：因n n |1，故(){}{}()11||n Z k k n Z k nk n ?∈?∈=，又()n n ?1，()11n ∈，所以()()Z n n ≠≠1，这里边与()n 极大理想矛盾，故n 必为素数.
反之，若n 为素数.若有正整数1n 使()()1n n ?，则(){}Z k k n n n ∈=∈|11，即有n n |1.由n 为素数，11=n 或n ，这时()()()()n n Z n ===111或，即()n 是Z 的极大理想.
推论 ()n Z
Z n = 是域n ?为素数.
2、p Z （p 素数）上的多项式
上面的推论告诉了构造素数个元的有限域的方法，在第三章还介绍了构造k
p 个元的有限域的方法.且有限域的元的数目一定是素数的方幂，元的数目相同的域一定是同构的. 命题2 下述映射
[][]
∑∑==→?→?k
i i
i k
i i
i p x
a x
a x Z x Z 0
?
其中p i i Z pZ a a ∈+=是环同态，同态?称为将[]x Z 的元模去数p . 证明 显然?是[]x Z 到[]x Z p 的映射.
（1）?保持加法：由Z b a b a b a ∈?+=+,,可得
()∑∑∑∑∑=====+=??? ??+=+=??? ??+k
i i i i k i i i i k i i i i k i i i k i i i x b a x b a x b a x b x a 0
0000??
??
? ??+??? ??=+=∑∑∑∑====k i i i k i i i k
i i
i k i i
i x b x a x b x a 0000??
（2）?保持乘法：设()()
l l k k x b x b b x a x a a ++++++ 1010 l k l k x c x c c +++++ 10 其中 ∑=+=
i
n m n
m i b a c 且 ∑=+=
i
n m n
m i
b a c
因此 ∑∑∑∑+=+====??? ??=??? ??l k i i i l k i i i l
i i i k i i i x c x c x b x a 0000??
??
? ????? ??=??? ????? ??=∑∑∑∑====l
i i i k i i i l i i i k i i i x b x a x b x a 0000?? （3）?保持单位元是显然的. 所以?是[]x Z 到[]x Z p 的环同态.
应用举例：
例1 证明121133
++x x 在[]x Z 上不可能分解成两个低次多项式的积（即不可约）.
证明 令∑∑==→k
i i i k
i i
i x a x
a 0
:
?是[]x Z 到[]x Z 2的环同态，
则 (
)
111121133
3
+?+?=++x x x x ?
因1,0都不是它的根，即1113
+?+?x x 在[]x Z 2中无一次因式（因[]x Z 2是域，故无零
因子），所以1113
+?+?x x 在[]x Z 2中不可约.
由于环同态保持乘法，若121133
++x x 在[]x Z 中可分解，则1113
+?+?x x 在[]x Z 2中
可约，矛盾.故121133
++x x 不可约.
例2 艾森斯坦判别法的证明
()[]x Z a x a x a x f n n n n ∈+++=--011 ，0210|,|,,,,|a p a p a a a p n n //
证明 （反证法）设()()()()()[]()()()()()()x f x h x g x Z x h x g x h x g x f ?
()()00,c x c x h b x b x g l l m m ++=++= ，其中n l m <≤,1
对()()()x h x g x f =两边模去p ，由假设条件可得
==+++--n n n n n n x a a x a x a 011 ()()
00c x c b x b l l m m ++++ （2） 因n a p |/，有0≠n a ，又l m n c b a =，故0,0≠≠l m c b .再由000c b a =及02|a p /知，p 不能同时除尽0b 和0c .不妨设0|c p /，则00≠c ，于是n n x a 与0c x c l l ++ 互素，这与（2）式矛盾，所以艾森斯坦判别法成立. 3、n Z 的重要性质
由前面知，当p 是素数时，p Z 是域，{}
0\p p Z Z =*是有限乘法群，p Z 的每个非零元都可逆，其逆元如何求？对一般的n Z ，又有何结论？
命题3 设n Z k ∈≠0，k 是n Z 中乘法可逆元()1,=?n k
证明 k 是n Z 中乘法可逆元nZ kl Z l l k Z l n +∈∈??=∈??1,1, ()1,1,=?=+∈??n k nt kl Z t
同理可证：()1>k k 是n Z 的零因子k ?与n 不互素 n Z 中有零因子n ?为合数
如：如8Z 有零因子6,4,2，有乘法可逆元：7,5,3,1
推论 n Z 中所有可逆元组成乘法群，它的阶为()n ?（即1,,2,1-n 中与n 互素的元的数目）
()+,n Z 的全部子群：k n k ?
|是n Z 的子群()n k <≤0
同理，k n k ?|是n Z 的子环；k n k ?|是n Z 的理想 三、数论上的应用
将有限群的阶与元的关系用到n Z 中可逆元的乘法群中，可得到数论上的一些关系式. 定理4 （欧拉—费尔马）设()()n N n a ?==,1,，则 ()n a N mod 1≡
证明 由()1,=n a 知，a 是n Z 中可逆元组成的乘法群中元，又n Z 中可逆元的乘法群的阶是N ，所以()N a | ，即1=N
a
，亦即1=N a ，所以()n a N mod 1≡
推论 当p 是素数且a p |/
时有()p a p mod 11≡- 证明 p Z 中任一非零元a ，有a p |/
.因p 是素数，()1,=a p ，即p Z 中每个非零元都是可逆元.于是*p Z 对乘法成为群，其阶为1-p .
任意a ，a p |/，则a 是*p Z 中元.由第一章知，有限群的每一个元的阶整除群的阶，所以
11=-p a ，即()p a p mod 11≡-
推论 在n Z 中，k 与l 互为可逆元()n kl mod 1≡? 例 求出9Z 中可逆元的乘法群及其乘法表.
解 因为()()()()()()19,89,79,59,49,29,1====== 所以9Z 中可逆元的乘法群为{}
8,7,5,3,2,1 其乘法表为：
由表中易见每一个可逆元的逆元.
9Z 中的零因子为：6,3
例求
[]
()1
2
2++x x
x Z 的全部元，求出1+x 与全部元的乘积以及它的逆元.
解 ()()[]x Z x g x f 2
,∈?，()()()()()12
++∈-?=x x x g x f x g x f
()()()()()
()x g x x x h x f x Z x h +++=∈??1,22 即若
()()()
()x r x x x g x f +++=12，其中()()()20
()1
2
2++x x
x Z 是[]x Z 2
中的零多项式或次数小于2的多项式为代表元的陪集构成
的.
故
[]
(){}1,,1,01
2
2+=++x x x x
x Z
易见：x x x x x x x x =+?+=?++=?+=?+11,11,111,001 ——因为在[]x Z 2中()1112+++=+x x x x ，所以11=?+x x ——因为()()x x x x x +++=++1112，所以x x x =+?+11 且1+x 的逆元为自身1+x
小结：模n 的剩余类环的性质及应用 作业：4192-P 教学后记：
近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域 §1 环的定义 一、主要内容 1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环． 2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件： 二、释疑解难 1．设R是一个关于 代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序． 2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．
1． 2．
3． 4． 5．
6． 7． 8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环． §4．2 环的零因子和特征 一、主要内容 １．环的左、右零因子和特征的定义与例子． 2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数． 这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶． 3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然． 但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素??? ? ??0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵 ),(00Q y x y x ∈???? ? ??
冲突域和广播域区别
冲突域和广播域区别 1、冲突域指的是会产生冲突的最小范围，在计算机和计算机通过设备互联时，会建立一条通道，如果这条通道只允许瞬间一个数据报文通过，那么在同时如果有两个或更多的数据报文想从这里通过时就会出现冲突了。冲突域的大小可以衡量设备的性能，多口hub 的冲突域也只有一个，即所有的端口上的数据报文都要排队等待通过。而交换机就明显的缩小了冲突域的大小，使到每一个端口都是一个冲突域，即一个或多个端口的高速传输不会影响其它端口的传输，因为所有的数据报文不同都按次序排队通过，而只是到同一端口的数据才要排队。我们称连接在总线上的所有主机共同构成了一个冲突域。 2、如果一个数据报文的目标地址是这个网段的广播地址IP 或者目标计算机的MAC 地址是FF-FF-FF-FF-FF-FF ，那么这个数据报文就会被这个网段的所有计算机接收并响应，这就叫做广播。通常广播用来进行ARP 寻址等用途，但是广播域无法控制也会对网络健康带来严重影响，主要是带宽和网络延迟。这种广播所能覆盖的范围就叫做广播域了，二层的交换机是转发广播的，所以不能分割广播域，网桥也不能分割广播域。而路由器一般不转发广播，所以可以分割或定义广播域。 冲突域就是共享总线，而集线器HUB 就是总线型的，所以不能隔绝冲突域，而网桥，交换机，路由器都可以隔绝冲突域。 个人见解广播通常是对IP 地址来讲的，而其中只有三层交换机和路由是有网络层的，所以它们可以隔绝广播域。 3、中继器（Repeater ）作为一个实际产品出现主要有两个原因： 第一，扩展网络距离，将衰减信号经过再生。 第二，实现粗同轴电缆以太网和细同轴电缆以太网的互连。 通过中继器虽然可以延长信号传输的距离、实现两个网段的互连。但并没有增加网络的可用带宽。如图1所示，网段1和网段2经过中继器连接后构成了一个单个的冲突域和广播域。 图1 中继器网络 清风读月
第三章 环与域
第三章 环与域 与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。 §1 加群、环的定义 一、加群 在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。 因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。 由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如： （1）加群G 的单位元用0表示，叫做零元。即a G ?∈，有 00a a a +=+=。 （2）加群G 的元素a 的逆元用a -表示，叫做a 的负元。即有()0a a a a -+=+-=。
利用负元可定义加群的减法运算：() a b a b -+- 。（3）()a a --=。 （4）a c b c b a +=?=-。 （5）(),() a b a b a b a b -+=----=-+ （6） ( 00 ()() a a a n a n na n n a n +++ ? ? == ? ?-- ? 个相加）为正整数 为负整数 ，且有 (),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+ 请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。 加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S ??∈，有, a b a S +-∈,a b S ??∈，有a b S -∈。 加群G的子群H的陪集表示为：a H H a +=+。 二、环的定义 设R是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若 1. R对于“+”作成一个加群。 2. R对于“。”是封闭的。 3. ,, a b c R ?∈，有()() a bc a b c =，即乘法适合结合律。 4. ,, a b c R ?∈，有(),() a b c a b a c b c a b a c a +=++=+，即乘法对加法适合左（右）分配律。 则称R关于“+”与“。”作成一个环。 由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。
图解冲突域、广播域解答
冲突域（物理分段） 连接在同一导线上的所有工作站的集合，或者说是同一物理网段上所有节点的集合或以太网上竞争同一带宽的节点集合。这个域代表了冲突在其中发生并传播的区域，这个区域可以被认为是共享段。在OSI模型中，冲突域被看作是第一层的概念，连接同一冲突域的设备有Hub，Reperter或者其他进行简单复制信号的设备。也就是说，用Hub或者Repeater 连接的所有节点可以被认为是在同一个冲突域内，它不会划分冲突域。而第二层设备（网桥，交换机）第三层设备（路由器）都可以划分冲突域的，当然也可以连接不同的冲突域。简单的说，可以将Repeater等看成是一根电缆，而将网桥等看成是一束电缆。 广播域 接收同样广播消息的节点的集合。如：在该集合中的任何一个节点传输一个广播帧，则所有其他能收到这个帧的节点都被认为是该广播帧的一部分。由于许多设备都极易产生广播，所以如果不维护，就会消耗大量的带宽，降低网络的效率。由于广播域被认为是OSI 中的第二层概念，所以象Hub，交换机等第一，第二层设备连接的节点被认为都是在同一个广播域。而路由器，第三层交换机则可以划分广播域，即可以连接不同的广播域。 注：一个VLAN是一个广播域，VLAN可以隔离广播，划分VLAN的其中的一个目的就是隔离广播。 打个通俗的比喻来帮助理解： 局域网好比一栋大楼，每个人（好比主机）有自己的房间（房间就好比网卡，房号就是物理地址，即MAC地址），里面的人（主机）人手一个对讲机，由于工作在同一频道，所以一个人说话，其他人都能听到，这就是广播（向所有主机发送信息包），只有目标才会回应，其他人虽然听见但是不理（丢弃包），而这些能听到广播的所有对讲机设备就够成了一个广播域。而这些对讲机就是集线器（HUB），每个对讲机都像是集线器上的端口，大家都知道对讲机在说话时是不能收听的，必须松开对讲键才能收听，这种同一时刻只能收或者发的工作模式就是半双工。而且对讲机同一时刻只能有一个人说话才能听清楚，如果两个或者更多的人一起说就会产生冲突，都没法听清楚，所以这就构成了一个冲突域。 广播域（Broadcast domain） 网络中的一组设备的集合。即同一广播包能到达的所有设备成为一个广播域。当这些设备中的一个发出一个广播时，所有其他的设备都能接收到这个广播帧。HUB和SWITCH的所有端口都是在一个广播域里，路由器上的每个端口自成一个广播域。 有一天楼里的人受不了这种低效率的通信了，所以升级了设备，换成每人一个内线电话（交换机SWITCH，每个电话都相当于交换机上的一个端口），每人都有一个内线号码（逻辑地址即IP地址）。（这里要额外说一下IP地址和MAC地址转译的问题，常见的二层交换机只识别MAC地址，它内置一个MAC地址表，并不断维护和更新它，来确定哪个端口对应那台主机的MAC地址，而我们所用的通信软件都是基于IP的，IP地址和MAC地址的转换工作，就由ARP地址解析协议来完成。）在最开始时，没人知道哪个号码对应哪个人，
第三章 环与域
第三章环与域 与群一样,环与域也就是两个重要得代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了,在哪里,我们有数环与数域得概念,它们实际上就就是特殊得环与域。在本章里,我们只就是介绍环与域得最基本得性质及几类最重要得环与域,通过本章得学习,将使得我们一方面对数环与数域有更清楚得了解,另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备得基础。 §1 加群、环得定义 一、加群 在环得概念里要用到加群得概念,因此要先介绍一下什么就是加群,实际上加群也不就是什么新得群,在习惯上,抽象群得代数运算,都就是用乘法得符号来表示得,但我们知道,一个代数运算用什么符号表示就是没有什么关系得,对于一个交换群来说,它得代数运算在某种场合下,用加法得符号来表示更加方便。 因此,我们通常所说得加群,就是指用加法符号表示代数运算得交换群。 由于加法符号与乘法符号有所不同,所以加群得许多运算规则与表示形式就要与乘法表示得群有所不同。如: (1)加群得单位元用0表示,叫做零元。即,有。 (2)加群得元素得逆元用表示,叫做得负元。即有。 利用负元可定义加群得减法运算:。 (3)。
(4)。 (5) (6),且有 请同学们在乘法群中写出以上各结论得相应结论。 加群得一个非空子集作成一个子群,有,有。 加群得子群得陪集表示为:。 二、环得定义 设就是一个非空集合,“+”与“。”就是两个代数运算,分别叫做加法与乘法,若 1、对于“+”作成一个加群。 2、对于“。”就是封闭得。 3、 ,有,即乘法适合结合律。 4、 ,有,即乘法对加法适合左(右)分配律。 则称关于“+”与“。”作成一个环。 由定义可知,环就是一个具有两个代数运算得代数系统,两个代数运算通过分配律联系起来。 例1 整数集合,有理数集合,实数集合,复数集合对于普通数得加法与乘法作成环。分别叫做整数环,有理数环,实数环,复数环。 例2 数域上所有阶方阵作成得集合关于矩阵得加法与乘法作成环。 例3 关于普通数得加法与乘法作成环,叫做偶数环。
冲突域和广播域的区分
深度剖析冲突域和广播域 冲突域（物理分段）：①连接在同一导线上的所有工作站的集合，或者说是② 同一物理网段上所有节点的集合或③以太网上竞争同一带宽的节点集合。这 个域代表了冲突在其中发生并传播的区域，这个区域可以被认为是共享段。在OSI模型中，冲突域被看作是第一层的概念，连接同一冲突域的设备有：Hub，Repeater或者其他进行简单复制信号的设备。也就是说，用Hub 或者Repeater连接的所有节点可以被认为是在同一个冲突域内，它不会划分冲突 域。 而第二层设备（网桥，交换机）第三层设备（路由器）都可以划分冲突域的，当然也可以连接不同的冲突域。简单的说，可以将Repeater等看成是一根电缆，而将 网桥等看成是一束电缆。 广播域：接收同样广播消息的节点的集合。如：在该集合中的任何一个节点传输 一个广播帧，则所有其他能收到这个帧的节点都被认为是该广播帧的一部分。由于许多设备都极易产生广播，所以如果不维护，就会消耗大量的带宽，降低 网络的效率。 由于广播域被认为是OSI中的第二层概念，所以象Hub，交换机等第一、第二层 设备连接的节点被认为都是在同一个广播域。而路由器，第三层交换机则可以划 分广播域，即可以连接不同的广播域。 可以在交换机上设置来避免冲突域. 冲突域（collision domain）：所有直接连接在一起的，而且必须竞争以太网 总线带宽的节点都可以认为是处在同一个冲突域中，说白了就是一次只有一 个设备发送信息，其他的只能等待。 广播域（broadcast domain），广播域是一个逻辑上的计算机组，该组内的所有计 算机都会收到同样的广播信息。 交换机的每一个端口为一个冲突域，每一个端口都连接一个独立网段。交换一词最早出现于电话系统，特指实现两个不同电话机之间话音信号的交换， 完成该工作的设备就是电话交换机。所以从本意上来讲，交换只是一种技术概念，即完成信号由设备入口到出口的转发。因此，只要是和符合该定义的所有设备都 可被称为交换设备。由此可见，“交换”是一个涵义广泛的词语，当它被用来描 述数据网络第二层的设备时，实际指的是一个桥接设备；而当它被用来描述数
冲突域和广播域的区别
以太网中的冲突域和广播域 在以太网中，当两个节点同时经过同一个介质传输数据时，从两个设备发出的帧将会碰撞，在物理介质上相遇，彼此数据都会被破坏。这就是我们所说的冲突，当以太网中接入的终端越多发生的碰撞的机会也就越大。 所以在以太网中我们引入了CSMA/CD（载波侦听多路访问/冲突检测）种机制来避免冲突。我们看看CSMA/CD是如何工作的。 当一个节点想在网络中发送数据时，它首先检查线路上是否有其他主机的信号在传送：如果有，说明其他主机在发送数据，自己则利用退避算法等一会再试图发送；如果线路上没有其他主机的信号，自己就将数据发送出去，同时，不停的监听线路，以确信其他主机没有发送数据，如果检测到有其他信号，这个时候就知道发生了冲突了，自己就发送一个JAM阻塞信号，通知网段上的其他节点停止发送数据，这时，其他节点也必须采用退避算法等一会再试图发送。 那什么是冲突域和广播域了。 冲突域：一个支持共享介质的网段所在的区域都是冲突域。 广播域：一个广播帧能够到达的范围我们都叫做广播域。 我们的集线器是一个工作在物理层的设备，当他收到数据以后就把这个数据复制复制以后就把这个数据象所有的接口发送一次。所以我们说集线器所有的接口是一个冲突域和广播域。 交换机就和集线器不一样了交换机是工作数据链路层的设备，他能够识别数据帧和MAC地址，他工作的方式就和集线器有很大的区别。交换机是依靠MAC 地址表来转发数据。对于MAC地址表里没有的数据就广播。所以我们说交换机的每个接口都是一个冲突域，交换机的所有的接口都属于一个广播域。 路由器是工作在网络层的设备，路由器转发数据是依靠路由表来转发数据。对于广播流量路由器会处理但是不会转发数据。所以我们说路由器的每个接口都属于同一个冲突域和广播域。路由器可以用来隔离广播。 我们可以看下面的图来分析下
计算机网络 04_01_图解冲突域和广播域
图解冲突域、广播域 作者张保通 网络互连设备可以将网络划分为不同的冲突域、广播域。但是，由于不同的网络互连设备可能工作在OSI模型的不同层次上。因此，它们划分冲突域、广播域的效果也就各不相同。如中继器工作在物理层，网桥和交换机工作在数据链路层，路由器工作在网络层，而网关工作在OSI模型的上三层。而每一层的网络互连设备要根据不同层次的特点完成各自不同的任务。 下面我们讨论常见的网络互连设备的工作原理以及它们在划分冲突域、广播域时各自的特点。 1、传统以太网操作 传统共享式以太网的典型代表是总线型以太网。在这种类型的以太网中，通信信道只有一个，采用介质共享（介质争用）的访问方法（第1章中介绍的CSMA/CD介质访问方法）。每个站点在发送数据之前首先要侦听网络是否空闲，如果空闲就发送数据。否则，继续侦听直到网络空闲。如果两个站点同时检测到介质空闲并同时发送出一帧数据，则会导致数据帧的冲突，双方的数据帧均被破坏。这时，两个站点将采用"二进制指数退避"的方法各自等待一段随机的时间再侦听、发送。 在图1中，主机A只是想要发送一个单播数据包给主机B。但由于传统共享式以太网的广播性质，接入到总线上的所有主机都将收到此单播数据包。同时，此时如果任何第二方，包括主机B也要发送数据到总线上都将冲突，导致双方数据发送失败。我们称连接在总线上的所有主机共同构成了一个冲突域。 当主机A发送一个目标是所有主机的广播类型数据包时，总线上的所有主机都要接收该广播数据包，并检查广播数据包的内容，如果需要的话加以进一步的处理。我们称连接在总线上的所有主机共同构成了一个广播域。 图1传统以太网
2、中继器（Repeater） 中继器（Repeater）作为一个实际产品出现主要有两个原因： 第一，扩展网络距离，将衰减信号经过再生。 第二，实现粗同轴电缆以太网和细同轴电缆以太网的互连。 通过中继器虽然可以延长信号传输的距离、实现两个网段的互连。但并没有增加网络的可用带宽。如图2所示，网段1和网段2经过中继器连接后构成了一个单个的冲突域和广播域。 图2中继器连接的网络 3、集线器（HUB） 集线器实际上相当于多端口（在本章，我们常用"端口"一词代替"接口"这个术语）的中继器。集线器通常有8个、16个或24个等数量不等的接口。 集线器同样可以延长网络的通信距离，或连接物理结构不同的网络，但主要还是作为一个主机站点的汇聚点，将连接在集线器上各个接口上的主机联系起来使之可以互相通信。 如图3所示，所有主机都连接到中心节点的集线器上构成一个物理上的星型连接。但实际上，在集线器内部，各接口都是通过背板总线连接在一起的，在逻辑上仍构成一个共享的总线。因此，集线器和其所有接口所接的主机共同构成了一个冲突域和一个广播域。
软考网工_图解冲突域、广播域
软考网工图解冲突域、广播域 软考, 网工, 2009 冲突域（物理分段） 连接在同一导线上的所有工作站的集合，或者说是同一物理网段上所有节点的集合或以太网上竞争同一带宽的节点集合。这个域代表了冲突在其中发生并传播的区域，这个区域可以被认为是共享段。在OSI模型中，冲突域被看作是第一层的概念，连接同一冲突域的设备有Hub，Reperter或者其他进行简单复制信号的设备。也就是说，用Hub或者Repeater连接的所有节点可以被认为是在同一个冲突域内，它不会划分冲突域。而第二层设备（网桥，交换机）第三层设备（路由器）都可以划分冲突域的，当然也可以连接不同的冲突域。简单的说，可以将Repeater等看成是一根电缆，而将网桥等看成是一束电缆。 广播域 接收同样广播消息的节点的集合。如：在该集合中的任何一个节点传输一个广播帧，则所有其他能收到这个帧的节点都被认为是该广播帧的一部分。由于许多设备都极易产生广播，所以如果不维护，就会消耗大量的带宽，降低网络的效率。由于广播域被认为是OSI中的第二层概念，所以象Hub，交换机等第一，第二层设备连接的节点被认为都是在同一个广播域。而路由器，第三层交换机则可以划分广播域，即可以连接不同的广播域。 注：一个VLAN是一个广播域，VLAN可以隔离广播，划分VLAN的其中的一个目的就是隔离广播。 打个通俗的比喻来帮助理解： 局域网好比一栋大楼，每个人（好比主机）有自己的房间（房间就好比网卡，房号就是物理地址，即MAC地址），里面的人（主机）人手一个对讲机，由于工作在同一频道，所以一个人说话，其他人都能听到，这就是广播（向所有主机发送信息包），只有目标才会回应，其他人虽然听见但是不理（丢弃包），而这些能听到广播的所有对讲机设备就够成了一个广播域。而这些对讲机就是集线器（HUB），每个对讲机都像是集线器上的端口，大家都知道对讲机在说话时是不能收听的，必须松开对讲键才能
什么是冲突域,冲突,广播域,广播冲突域(物理分段)
什么是冲突域，冲突，广播域，广播冲突域（物理分段）：连接在同一导线上的所有工作站的集合，或者说是同一物理网段上所有节点的集合或以太网上竞争同一带宽的节点集合。这个域代表了冲突在其中发生并传播的区域，这个区域可以被认为是共享段。在OSI模型中，冲突域被看作是第一层的概念，连接同一冲突域的设备有Hub，Reperter或者其他进行简单复制信号的设备。也就是说，用Hub或者Repeater连接的所有节点可以被认为是在同一个冲突域内，它不会划分冲突域。而第二层设备（网桥，交换机）第三层设备（路由器）都可以划分冲突域的，当然也可以连接不同的冲突域。简单的说，可以将Repeater等看成是一根电缆，而将网桥等看成是一束电缆。 广播域：接收同样广播消息的节点的集合。如：在该集合中的任何一个节点传输一个广播帧，则所有其他能收到这个帧的节点都被认为是该广播帧的一部分。由于许多设备都极易产生广播，所以如果不维护，就会消耗大量的带宽，降低网络的效率。由于广播域被认为是OSI 中的第二层概念，所以象Hub，交换机等第一，第二层设备连接的节点被认为都是在同一个广播域。而路由器，第三层交换机则可以划分广播域，即可以连接不同的广播域。 注：一个VLAN是一个广播域，VLAN可以隔离广播，划分VLAN的其中的一个目的就是隔离广播。 下面我将这三种网络设备打个通俗的比喻来帮助理解： 局域网好比一栋大楼，每个人（好比主机）有自己的房间（房间就好比网卡，房号就是物理地址，即MAC地址），里面的人（主机）人手一个对讲机，由于工作在同一频道，所以一个人说话，其他人都能听到，这就是广播（向所有主机发送信息包），只有目标才会回应，其他人虽然听见但是不理（丢弃包），而这些能听到广播的所有对讲机设备就够成了一个广播域。而这些对讲机就是集线器（HUB），每个对讲机都像是集线器上的端口，大家都知道对讲机在说话时是不能收听的，必须松开对讲键才能收听，这种同一时刻只能收或者发的工作模式就是半双工。而且对讲机同一时刻只能有一个人说话才能听清楚，如果两个或者更多的人一起说就会产生冲突，都没法听清楚，所以这就构成了一个冲突域。 广播域(Broadcast domain)：网络中的一组设备的集合。即同一广播包能到达的所有设备成为一个广播域。当这些设备中的一个发出一个广播时，所有其他的设备都能接收到这个广播帧。HUB和SWITCH的所有端口都是在一个广播域里，路由器上的每个端口自成一个广播域。 有一天楼里的人受不了这种低效率的通信了，所以升级了设备，换成每人一个内线电话（交换机SWITCH，每个电话都相当于交换机上的一个端口），每人都有一个内线号码（逻辑地址即IP地址）。（这里要额外说一下IP地址和MAC地址转译的问题，常见的二层交换机只识别MAC地址，它内置一个MAC地址表，并不断维护和更新它，来确定哪个端口对应那台主机的MAC地址，而我们所用的通信软件都是基于IP的，IP地址和MAC地址的转换工作，就由ARP地址解析协议来完成。）在最开始时，没人知道哪个号码对应哪个人，所以要想打电话给某个人得先广播一下：“xxx，你的号码是多少？”“我的号码是xxxx”。这样你就有了目标的号码，所有的内线号码就是通过这种方式不断加入电话簿中（交换机的MAC 地址表），下次可以直接拨到他的分机号码上去而不用广播了。大家都知道电话是点对点的
冲突域、广播域的角度来比较集线器、交换机(相当于网桥)和路由器的作用。
集线器又称HUB，这个东西基本快被淘汰掉了， 交换机是2层设备 路由器是3层设备 集线器-------集线器也叫Hub，工作在物理层（最底层），没有相匹配的软件系统，是纯硬件设备。集线器主要用来连接计算机等网络终端。 集线器为共享式带宽，连接在集线器上的任何一个设备发送数据时，其他所有设备必须等待，此设备享有全部带宽，通讯完毕，再由其他设备使用带宽。正因此，集线器连接了一个冲突域的网络。所有设备相互交替使用，就好象大家一起过一根独木桥一样。 集线器不能判断数据包的目的地和类型，所以如果是广播数据包也依然转发，而且所有设备发出数据以广播方式发送到每个接口，这样集线器也连接了一个广播域的网络。 交换机-------交换机Switch，工作在数据链路层（第二层），稍微高端一点的交换机都有一个操作系统来支持。和集线器一样主要用于连接计算机等网络终端设备。 交换机比集线器更加先进，允许连接在交换机上的设备并行通讯，好比高速公路上的汽车并行行使一般，设备间通讯不会再发生冲突，因此交换机打破了冲突域，交换机每个接口是一个冲突域，不会与其他接口发生通讯冲突。 并且有系统的交换机可以记录MAC地址表，发送的数据不会再以广播方式发送到每个接口，而是直接到达目的接口，节省了接口带宽。但是交换机和集线器一样不能判断广播数据包，会把广播发送到全部接口，所以交换机和集线器一样连接了一个广播域网络。 高端一点的交换机不仅可以记录MAC地址表，还可以划分VLAN（虚拟局域网）来隔离广播，但是VLAN间也同样不能通讯。要使VLAN间能够通讯，必须有三层设备介入。 路由器-------路由器Router，工作在网络层（第三层），所有的路由器都有自己的操作系统来维持，并且需要人员调试，否则不能工作。路由器没有那么多接口，主要用来进行网络与网络的连接。 简单的说路由器把数据从一个网络发送到另一个网络，这个过程就叫路由。路由器不仅能像交换机一样隔离冲突域，而且还能检测广播数据包，并丢弃广播包来隔离广播域，有效的扩大了网络的规模。
整环和域
1 §3.7 整环和域 3.7.1 定义 零因子 R 是环，a , b ∈R 。 (1) 如果a ≠0, b ≠0且ab = 0，则称a 是b 的左零因子，b 是a 的右零因子。 (2) 如果a 是某个元素的左零因子，即a ≠0且存在b ≠0，使得ab = 0，则称a 是一个左零因子。 (3) 如果b 是某个元素的右零因子，即b ≠0且存在a ≠0，使得ab = 0，则称b 是一个右零因子。 如果a 不是左零因子，则任给b ∈R ，都能从ab = 0得到b = 0。同样，如果a 不是右零因子，则任给b ∈R ，都能从ba = 0得到 b = 0。 左零因子和右零因子都称为零因子。由定义3.7.1可知，如果R 有左零因子，则R 一定有右零因子，同样，如果R 有右零因子，则R 一定有左零因子。所以只说R 有没有零因子就行了。 3.7.2 例 Z 没有零因子，但M 2(Z )有零因子，取A =1000↘→ ← ，B =0001↘→ ← ，则A ≠0, B ≠0且AB = 0。一般的，如果R 不是零环，则R 的n(n ≥2)阶矩阵环M n (R )有零因子。 3.7.3 例 在环
冲突、冲突域、广播、广播域的基本概念
冲突、冲突域、广播、广播域、洪泛的基本概念 冲突是指在同一个网段上，同一个时刻只能有一个信号在发送，否则两个信号相互干扰，即发生冲突。冲突会阻止正常帧的发送。冲突域是指能够发生冲突的网段。冲突域大了，有可能导致一连串的冲突，最终导致信号传送失败。 单播和广播是两种主要的信息传送方式，广播方式是指一台主机同时向网段中所有的其他计算机发送信息，广播方式会占用大量的资源。广播域是指广播能够到达的网段范围。因此，广播域的大小要有一定的限制。 不同的网络设备对降低冲突域和广播域所起的作用不同。 例如中继器和集线器可以放大信号，但是它不区分有效信号与无效信号，因此会扩大冲突域。网桥和交换机、路由器不会传递干扰和无效帧，因此可以降低冲突域。路由器和三层交换机不传递广播数据包，所以可以降低广播域；其他设备传递广播数据包，所以扩展了广播域。注：一个VLAN是一个广播域，VLAN可以隔离广播，划分VLAN的其中的一个目的就是隔离广播。 网络设备通俗的比喻来帮助理解： 局域网好比一栋大楼，每个人（好比主机）有自己的房间（房间就好比网卡，房号就是物理地址，即MAC地址），里面的人（主机）人手一个对讲机，由于工作在同一频道，所以一个人说话，其他人都能听到，这就是广播（向所有主机发送信息包），只有目标才会回应，其他人虽然听见但是不理（丢弃包），而这些能听到广播的所有对讲机设备就够成了一个广播域。而这些对讲机就是集线器（HUB），每个对讲机都像是集线器上的端口，大家都知道对讲机在说话时是不能收听的，必须松开对讲键才能收听，这种同一时刻只能收或者发的工作模式就是半双工。而且对讲机同一时刻只能有一个人说话才能听清楚，如果两个或者更多的人一起说就会产生冲突，都没法听清楚，所以这就构成了一个冲突域。 广播域(Broadcast domain)：网络中的一组设备的集合。即同一广播包能到达的所有设备成为一个广播域。当这些设备中的一个发出一个广播时，所有其他的设备都能接收到这个广播帧。HUB和SWITCH的所有端口都是在一个广播域里，路由器上的每个端口自成一个广播域。 有一天楼里的人受不了这种低效率的通信了，所以升级了设备，换成每人一个内线电话（交换机SWITCH，每个电话都相当于交换机上的一个端口），每人都有一个内线号码（逻辑地址即IP地址）。（这里要额外说一下IP地址和MAC地址转译的问题，常见的二层交换机只识别MAC地址，它内置一个MAC地址表，并不断维护和更新它，来确定哪个端口对应那台主机的MAC地址，而我们所用的通信软件都是基于IP的，IP地址和MAC地址的转换工作，就由ARP地址解析协议来完成。）在最开始时，没人知道哪个号码对应哪个人，所以要想打电话给某个人得先广播一下：“xxx，你的号码是多少？”“我的号码是xxxx”。这样你就有了目标的号码，所有的内线号码就是通过这种方式不断加入电话簿中（交换机的MAC地址表），下次可以直接拨到他的分机号码上去而不用广播了。大家都知道电话是点对点的通信设备，不会影响到其他人，起冲突的只会限制在本地，一个电话号码的线路相当于一个冲突域，只有再串连分机时，分机和主机之间才会有冲突的发生，这个冲突不会影响到外面其他的电话。而电话号码就像是交换机上的端口号，也就是说交换机上每个端口自成一个冲突域，
计算冲突域和广播域-图解分析
分类： 网络工程 如何计算冲突域和广播域-图解分析 2010-05-23 18:14 2403人阅读 评论(0) 收藏 举报 路由器网络如何理解冲突域和广播域？ 冲突域：【定义】在同一个冲突域中的每一个节点都能收到所有被发送的帧。简单的说就是同一时间内只能有一台设备发送信息的范围。 【分层】基于O S I 的第一层(数据链路层) 【设备】第二层设备能隔离冲突域，比如S w i t c h 。交换机能缩小冲突域的范围，交换接的每一个端口就是一个冲突域。 广播域：【定义】网络中能接收任一设备发出的广播帧的所有设备的集合。简单的说如果站点发出一个广播信号，所有能接收收到这个信号的设备范围称为一个广播域。 【分层】基于O S I 的第二层(物理层) 【设备】第三层设备才能隔离广播域，比如R o u t e r 。路由器能隔离广播域，其每一个端口就是一个广播域。 下面通过三个例子来说明： 例子一，一个S w i t c h 直连三台P C 和一台h u b ，而h u b 下直连有2台P C 。 图中已经给出了答案，可是，这个4个冲突域1个广播域是怎么算出来呢？ 根据前面介绍的关于广播域的定义中我们知道 ，只有第三层设备才能隔离广播域。上图中并没有r o u t e r 等第三层设备，所以，这里的广播域没有被隔离。 也就是说上图中的网络只有一个广播域。 冲突域的计算，前面有说S w i t c h 能缩小冲突域，一个S w i t c h 端口其实就是一个冲突域，上图中有3台p c 和1台h u b 直连到S w i t c h 上，所以，这里的冲突域为4个。
第一个例子比较简单，下面我们在网络中有r o u t e r第三层设备的例子 一台r o u t e r下直一台S w i t c h和一台h u b，S w i t c h和h u b下都各自连有三台p c： 第三层设备r o u t e r能隔离广播域，上图中r o u t e r的三个端口分别直连了三个h u b，因此得出有三个广播域。但是，那3个冲突域是怎么来的呢？ 其实，r o u t e r他不但能隔离广播域，默认也是可以缩小冲突域的。所以上图中的r o u t e r用3个端口将网络既分开成了3个广播域，又缩小成了3个冲突域。 第二个例子给了我们一个提醒，那就是路由器默认也是可以隔离冲突域的。 好了，下面我再看最后一个例子，这里都用上了常用的网络设备h u b、S w i t c h和r o u t e r。 一台r o u t e r下连两台交换机和一台h u b，两台交换机下分辨连有三台 P C，而h u b下连有4台P C： 上图所示网络，算出3个广播域不难，因为r o u t e r有3个端口直连了2台交换机和1台集线器嘛。 可是，冲突域不是7个吗？怎么是9个呢？两台交换机共使用了6个端口，外加路由器下还直连了一个集线器，这也是一个冲突域。 于是，我可以得出6+1=7，7个冲突域啊。究竟是哪里算少了？ 对了，就是路由器到两台交换机之间也还是存在冲突域的。这一点也特别需要注意。 最后记录一下例子中提到的需要注意的地方了： 1、第二层设备只能隔离冲突域，第三层设备才能隔离广播域；
+域和环
第二章 域和环 §1域的例子，二元域，域的特征 教学目的：1、通过域的例子，理解域的基本性质及相关概念，通过二元域，学习一般域上的多项式运算及在纠错中的简单应用. 重点：域的例子，二元域，一般域上多项式运算性质，域的特征 难点：二元域，多项式运算性质，域的特征 教具、教学素材：各类近世代数、抽象代数教材，网上相关资源 教学方法：讲授法、讨论法 教学时数：4 教学过程: 一、域的例子 例1、数域： C R Q ,,，(){} Q b a b a Q ∈+=,|22 例2 数域P 上的有理分式域 设P 是数域，x 是一个文字，所有形式为 P b a b x b x b a x a x a i i m m m m n n n n ∈++++++----,,0 1 10 11 且分母不为零多项式的式子，在通常分式运算下成为一个域，记为()x P 例3复数域的构造 (){}R b a b a C ∈=,|,，定义 ()()()d b c a d c b a ++=++,,,: ()()()bc ad bd ac d c b a +-=?,,,: 易验证，C 关于如上定义的加法和乘法构成一个域 C 有如下性质： （1）加法零元是()0,0，乘法单位元是()0,1 （2） () 0,a a C R ?→??→?是R 到C 的同态且是单射，故R 可看着是C 的子域 （3）因()()()()1,00,0,,b a b a +=，()()()0,11,01,0-=，若将()()0,,0,b a 写成b a ,， ()1,0写成i ，则C 中元就可写成bi a + 练习170P ? ?????∈???? ??-=R b a a b b a C ,|0 （1）0C 关于矩阵的加法是交换群：易见，0C 关于矩阵的加法封闭、满足交换律、结合
如何计算冲突域和广播域
1.冲突域 【定义】在同一个冲突域中的每一个节点都能收到所有被发送的帧。简单的说就是同一时间内只能有一台设备发送信息的范围。 【分层】基于OSI的第一层(物理层)。 【设备】第二层设备能隔离冲突域，比如Switch。交换机能缩小冲突域的范围，交换机的每一个端口就是一个冲突域。 2.广播域 【定义】网络中能接收任何一台设备发出的广播帧的所有设备的集合。简单的说如果站点发出一个广播信号，所有能接收到这个信号的设备范围称为一个广播域。 【分层】基于OSI的第二层(数据链路层) 【设备】第三层设备才能隔离广播域，比如Router。路由器能隔离广播域，其每一个端口就是一个广播域。 3.举例说明 例一，一个Switch直连三台PC和一台hub，而hub下直连有2台PC。图中已经给出了答案，可是，这个4个冲突域1个广播域是怎么算出来呢 根据前面介绍的关于广播域的定义中我们知道，只有第三层设备才能隔离广播域。上图中并没有router等第三层设备，所以，这里的广播域没有被隔离。也就是说上图中的网络只有一个广播域。
冲突域的计算，前面有说Switch能缩小冲突域，一个Switch端口其实就是一个冲突域，上图中有3台pc和1台hub直连到Switch上，所以，这里的冲突域为4个。 例一比较简单，下面我们看在网络中有router等三层设备的例子。例二，一台router下直连三台hub，三台hub下都各自连有三台pc。 第三层设备router能隔离广播域，上图中router的三个端口分别直连了三个hub，因此得出有三个广播域。但是，那三个冲突域是怎么来的呢其实，router不但能隔离广播域，默认也是可以缩小冲突域的。所以上图中的router用3个端口将网络既分开成了3个广播域，又缩小成了3个冲突域。 例二给了我们一个提醒，那就是路由器默认也是可以隔离冲突域的。好了，下面我们再看最后一个例子，这里面用上了常用的网络设备hub、switch和router。 例三，一台router下连接两台交换机和一台hub，两台交换机下分别连有三台 PC，而hub下连有4台PC。 上图所示网络，算出3个广播域不难，因为router有3个端口直连了2台交换机和1台集线器。可是，冲突域不是7个吗怎么是9个呢两台交换机共使用了6个端口，外加路由器下还直连了一个集线器，这也是一个冲突域。于是，我可以得出6+1=7，7个冲突域啊。究竟
冲突域和广播域
如何理解冲突域和广播域？ 冲突域： 【定义】在同一个冲突域中的每一个节点都能收到所有被发送的帧。简单的说就是同一时间内只能有一台设备发送信息的范围。 【分层】基于OSI的第一层()物理层 【设备】第二层设备能隔离冲突域，比如Switch。交换机能缩小冲突域的范围，交换接的每一个端口就是一个冲突域。 广播域： 【定义】网络中能接收任一设备发出的广播帧的所有设备的集合。简单的说如果站点发出一个广播信号，所有能接收收到这个信号的设备范围称为一个广播域。【分层】基于OSI的第二层() 数据链路层 【设备】第三层设备才能隔离广播域，比如Router。路由器能隔离广播域，其每一个端口就是一个广播域。 下面通过三个例子来说明： 例子一，一个Switch直连三台PC和一台hub，而hub下直连有2台PC。 图中已经给出了答案，可是，这个4个冲突域1个广播域是怎么算出来呢？ 根据前面介绍的关于广播域的定义中我们知道，只有第三层设备才能隔离广播域。上图中并没有router等第三层设备，所以，这里的广播域没有被隔离。 也就是说上图中的网络只有一个广播域。
冲突域的计算，前面有说Switch能缩小冲突域，一个Switch端口其实就是一个冲突域，上图中有3台pc和1台hub直连到Switch上，所以，这里的冲突域为4个。 第一个例子比较简单，下面我们在网络中有router第三层设备的例子 一台router下直一台Switch和一台hub，Switch和hub下都各自连有三台pc： 第三层设备router能隔离广播域，上图中router的三个端口分别直连了三个hub，因此得出有三个广播域。 但是，那3个冲突域是怎么来的呢？ 其实，router他不但能隔离广播域，默认也是可以缩小冲突域的。所以上图中的router用3个端口将网络既分开成了3个广播域，又缩小成了3个冲突域。 第二个例子给了我们一个提醒，那就是路由器默认也是可以隔离冲突域的。 好了，下面我再看最后一个例子，这里都用上了常用的网络设备hub、Switch 和router。 一台router下连两台交换机和一台hub，两台交换机下分辨连有三台 PC，而hub 下连有4台PC：
高考地理一轮复习第12章地理环境与区域发展第25讲模拟精选演练提升新人教版
【优化方案】2017高考地理一轮复习第12章地理环境与区域发展 第25讲模拟精选演练提升 [学生用书P188] (2016·安阳段考)2014年11月26日上午，中国3艘海警船进入钓鱼岛12海里巡航。读钓 鱼岛三维效果图和航空遥感影像图，回答1～2题。 1．钓鱼岛三维效果图的获得和制作主要利用的地理信息技术是( ) B．GIS和GPS A．RS和GIS D．数字地球 C．GPS和GIS 2．如果利用航空遥感技术对不同时期的钓鱼岛进行监测，通过分析多幅钓鱼岛图片，可以获 得( ) ①钓鱼岛面积的变化 ②钓鱼岛上植被的变化 ③钓鱼岛的地理坐标 ④钓鱼岛地形的变化 B．②③④ A．①②③ D．①②④ C．①③④ 解析：第1题，钓鱼岛三维效果图的获得和制作主要是利用了RS和GIS技术。第2题，钓鱼 岛地理坐标的获得应用GPS技术，排除③。 答案：1.A 2.D 下图为卫星拍摄的冰山照片。图片中显示R冰山(69°24′S,100°12′E)已经从南极大陆边缘厚冰层中解体出来。目前，R冰山正在向该地区的东部海域缓缓移动。据此并读图完成3～ 4 题。 3．监测R冰山移动方向和速度最好采用( ) B．地理信息系统 A．飞机跟踪 D．全球定位系统 C．遥感技术4．对冰山产生的原因进行分析、对移动的方向进行预测主要是应用( ) A．GIS B．GPS D．电子地图 C．RS 解析：第3题，冰山与周围海水相比，温度和性质差异大，利用遥感技术所获得的影像可以迅速获知冰山的移动方向和速度，所以适合采用遥感技术进行跟踪研究。第4题，对地理信 息进行分析、评估和预测主要应用的是地理信息系统(GIS)。 答案：3.C 4.A (2016·江苏盐城调研)下图为某区域的地理信息空间数据图，每个小方格表示实际长宽各100米，图中r表示河流，t表示林地，h表示住宅，f表示水田。方格中数字2表示相同的 海拔。读图，完成5～6题。
MAC地址学习、冲突域和广播域区别
MAC地址学习、冲突域和广播域区别 一、MAC地址学习 交换机技术在网络技术中占有非常重要的地位，其主要的功能就是构建Mac地址表，在这之前它必须知道每一个端口所连接的主机的Mac地址，交换机技术是网络技术的重点，我们网络频道已经为读者进行了多次报道。因为其重要，故我们再次进行系统的整理，以供初学者参阅。 构建Mac地址表 交换机技术在转发数据前必须知道它的每一个端口所连接的主机的Mac地址，构建出一个Mac地址表。当交换机从某个端口收到数据帧后，读取数据帧中封装的目的地Mac地址信息，然后查阅事先构建的Mac地址表，找出和目的地地址相对应的端口，从该端口把数据转发出去，其他端口则不受影响，这样避免了与其它端口上的数据发生碰撞。因此构建Mac地址表是交换机的首要工作。下面举例说明交换机建立地址表的过程。 假设主机A向主机C发送一个数据帧（每一个数据帧中都包含有源Mac地址和目的Mac地址），当该数据帧从E0端口进入交换机后，交换机通过检查数据帧中的源Mac地址字段，将该字段的值（主机A的Mac地址）放入Mac地址表中，并把它与E0端口对应起来，表示E0端口所连接的主机是A（如图11-5所示）。此时，由于在Mac地址表中没有关于目的地Mac地址（主机C的Mac地址）的条目。交换机技术将此帧向除了E0端口以外的所有端口转发，从而保证主机C能收到该帧（这种操作叫flooding）。 交换机根据地址表转发数据
同理，当交换机收到主机B、C、D的数据后也会把他们的地址学习到，写入地址表中，并将相应的端口和Mac地址对应起来。最终会把所有的主机地址都学习到，构建出完整的地址表。此时，若主机A再向主机C发送一个数据帧，应用交换机技术则根据它的Mac地址表中的地址对应关系，将此数据帧仅从它的E2端口转发出去。从而仅使主机C接收到主机A发送给它的数据帧，不再影响其他端口。那么在主机A和主机C通信的同时其他主机（比如主机B和主机D）之间也可以通信。 当交换机建立起完整的Mac地址表之后，对数据帧的转发是通过查找Mac地址表得到对应的端口，从而将数据帧通过特定的端口发送出去的。但是，对于从一个端口进入的广播数据及在地址表中找不到地址条目的数据，交换机会把该数据帧从除了进入端口之外的所有端口转发出去。从这个角度来说，交换机互连的设备处于同一个广播域内，但它们处于不同的碰撞域内。 提示这里为了解释交换机如何建立Mac地址表，假设A向C发了一个数据帧。实际情况并非如此，并不是主机间必须进行通信交换机才能学习到Mac地址。实际上是当网卡驱动加载之后交换机就学习到了主机的Mac地址。仔细观察就会发现，Windows系统启动过程还没完成，交换机技术就学习到了主机的Mac地址。 二、冲突域、广播域 冲突域（物理分段）：连接在同一导线上的所有工作站的集合，或者说是同一物理网段上所有节点的集合或以太网上竞争同一带宽的节点集合。这个域代表了冲突在其中发生并传播的区域，这个区域可以被认为是共享段。在OSI模型中，冲突域被看作是第一层的概念，连接同一冲突域的设备有Hub，Reperter或者其他进行简单复制信号的设备。也就是说，用Hub或者Repeater连接的所有节点可以被认为是在同一个冲突域内，它不会划分冲突域。而第二层设备（网桥，交换机）第三层设备（路由器）都可以划分冲突域的，当然也可以连接