高数——大一复习总结

高等数学（本科少学时类型）

第一章 函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）

(){}

,|U a x x a δδ=-<

(){},|0U a x x a δδ=<-<

第二节 数列的极限

○数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞

=

【证明示例】N -ε语言

1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=????

2．即对0>?ε，()N g ε?=????，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞

→lim

第三节 函数的极限

○0x x →时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0

lim

【证明示例】δε-语言

1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =

2．即对0>?ε，()εδg =?，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0

lim

○∞→x 时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞

→lim

【证明示例】X -ε语言

1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =

2．即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞

→lim

第四节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim

○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大 【题型示例】计算：()()0

lim x x f x g x →?????（或∞→x ）

1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U

内是有界的；

（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0

=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小； （()0lim =∞

→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）

3．由定理可知()()0

lim 0x x f x g x →?=????

（()()lim 0x f x g x →∞

?=????）

第五节 极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则

关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算

设：()()?????+?++=+?++=--n

n n m

m m b x b x b x q a x a x a x p 1

101

10 则有()()???????∞=∞→0

lim

b a x q x p x m n m n m n >=< ()()()

()000lim 0

0x x f x g x f x g x →??

??

=∞

?????

()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00

lim 0

x x f x g x →=（不定型）时，通常分

子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值23

3

lim

9

x x x →--

【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原

式()()23333311

lim

lim lim 93336

x x x x x x x x x →→→--====

-+-+ 其中3x =为函数()23

9

x f x x -=-的可去间断点

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

解：()()00

2

33323311

lim lim lim 926

9x L x x x x x x x '→→→'--===-'

- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那

么，()()00lim lim x x x x f x f x ??→→??=????????

【题型示例】求值：9

3

lim

23

--→x x x

【求解示例】3

x →==

第六节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim 0=→x

x

x

∵??

?

??∈?2,

0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim 0=→x x x 0

000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===??

???

（特别地，000

sin()

lim 1x x x x x x →-=-）

○单调有界收敛准则（P57）（★★★）

第二个重要极限：e x x

x =??

?

??+∞

→11lim

（一般地，()()

()()

lim lim lim g x g x f x f x =????????

，其中

()0lim >x f ）

【题型示例】求值：1

1232lim +∞→??

? ??++x x x x

【求解示例】

()()

21

1

1

212

1212

2121

1221

22121lim

212

21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞

+→∞

?++++??+++→∞

+→∞++→∞+++??

??

?

?==+ ? ? ?+++??

??

??

???

???

??=+=+ ? ???

++??

?????

??

???=+

???+????

解：()()12lim 121

21212

121

22lim 121x x x x x x x x x e

e e e

+→∞???+??

+??+→∞+→∞??

?+??

+??

+??

?

+?

?

====

第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）

1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U

U U U U U U e +- 2．U U cos 1~2

1

2

-

（乘除可替，加减不行）

【题型示例】求值：()()x

x x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】

()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+?+=++?+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为

第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★）

()()()00

0lim lim x x x x f x f x f x -

+→→==

○间断点的分类（P67）（★）

??

?∞?

???

?）无穷间断点（极限为

第二类间断点可去间断点（相等）

跳越间断点（不等）

限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

【题型示例】设函数()?

??+=x a e x f x 2 ，00

≥

择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？

【求解示例】

1．∵()()()2010000f e e e f a a f a -

-?++?===?

?=+=??

=??

2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+

-→→0lim lim 0

∴e a =

第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）

【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】

1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ?=--在闭区间[],a b 上连续；

2．∵()()0a b ???<（端点异号）

3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξ?，即()()0f

g C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分

第一节 导数概念

○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）

【题型示例】已知函数()???++=b

ax e x f x 1 ，00

>≤x x 在0

=x 处可导，求a ，b

【求解示例】

1．∵()()0

010f e f a -+'?==??'=??，()()()00001120012f e e f b f e -

-+?=+=+=??=?

?

=+=??

2．由函数可导定义()()()()

()001

0002

f f a f f f b -+-+

''===???====?? ∴1,2a b ==

【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 （或：过()x f y =图像上点(),a f a ????处的切线与法线方程） 【求解示例】

1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()

()1

y f a x a f a -=-

-' 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则

○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+

3．函数商的求导法则（定理三）：2

u u v uv v v '

''

-??= ???

第三节 反函数和复合函数的求导法则

○反函数的求导法则（★）

【题型示例】求函数()x f 1-的导数

【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()

1

1

f

x f x -'

??=

??' ○复合函数的求导法则（★★★）

【题型示例】设(

ln y e =，求y '

【求解示例】

(

22

arcsi y e

x a e e e '

'=

'

?

?

' ?+=

???

? =

??

=

解：? ?

第四节 高阶导数 ○()

()()

()1n n f

x f

x -'??=??（或()()11n n n n d y d y dx dx --'??=????

）（★） 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()1

111y x x

-'=

=++， ()()()12

111y x x --'??''=+=-?+??

， ()()()()()23

11121y x x --'??'''=-?+=-?-?+??

……

()1(1)(1)(1)n n n y n x --=-?-?+！

第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★） 【题型示例】试求：方程y

e x y +=所给定的曲线C ：

()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程

【求解示例】由y

e x y +=两边对x 求导 即()y

y x e '

''=+化简得1y

y e

y ''=+?

∴e

e y -=-=

'11

111 ∴切线方程：()e x e

y +--=

-111

1

法线方程：()()e x e y +---=-111

○参数方程型函数的求导

【题型示例】设参数方程()()

??

?==t y t x γ?，求22

dx y

d

【求解示例】1.()()t t dx dy ?γ''=

2.()22dy d y dx dx

t ?'??

???=' 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 第七节 函数的微分

○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） ()dx x f dy ?'=

第三章 中值定理与导数的应用

第一节 中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★） 【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ?∈， 使得()()cos sin 0f

f ξξξξ'+=成立

【证明示例】

1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ?=

显然函数()x ?在闭区间[]0,π上连续，在开区间

()0,π上可导；

2．又∵()()00sin00f ?==

()()sin 0f ?πππ== 即()()00??π==

3．∴由罗尔定理知

()0,ξπ?∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立

○拉格朗日中值定理（★）

【题型示例】证明不等式：当1x >时，x

e e x >?

【证明示例】

1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ?>，

显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间

()1,x 上可导，并且()x f x e '=；

2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ?∈使得等式

()11x e e x e

ξ

-=-成立， 又∵1

e e ξ>，∴()11

1x e e x e e x e ->-=?-，

化简得x e e x >?，即证得：当1x >时，x

e e x >? 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】

1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对

0x ?>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区

间()0,π上可导，并且()1

1f x x

'=

+； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ?∈使得等式

()()()1

ln 1ln 1001x x ξ

+-+=

-+成立， 化简得()1

ln 11x x ξ

+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()1

11f ξξ

'=

<+，∴()ln 11x x x +时，x

e e x >?

第二节 罗比达法则

○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆

等价无穷小的替换（以简化运算）

2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（

0,0∞

∞

）且满足条件， 则进行运算：()()()

()

lim lim

x a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）

B ．☆

不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0?∞型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：0

lim ln x x x α

→?

【求解示例】 ()10

00

020

1ln ln lim ln lim

lim

lim

111

lim 0

x x L x x x x x

x x x x x

x

x

x a ααα

α

ααα∞∞

-'→→→→→'

?===?'??- ???

=-=解： （一般地，()0

lim ln 0x x x β

α

→?=，其中,R αβ∈）

⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值：01

1lim sin x x x →??-

??

?

【求解示例】 200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--??????-== ? ? ???

?????解：

()()()()00

0002

sin 1cos 1cos sin lim

lim lim lim 022

2L x x L x x x x x x x

x x x ''→→→→'

'---====='

' ⑶0

0型（对数求极限法）

【题型示例】求值：0

lim x

x x →

【求解示例】

()()0000

lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim

111

lim lim 0lim lim 11x x x x x L x y

y x x x x x y x y x x x x

x x

x y x

x x x y e e e x

→∞

∞

'→→→→→→→====

'→=='?? ???

==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞

型（对数求极限法）

【题型示例】求值：()10

lim cos sin x

x x x →+

【求解示例】

()()

()

()()

1

000

000lim ln ln 10

ln cos sin cos sin ,ln ,

ln cos sin ln 0lim ln lim

ln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x x

x x L x x y

y x x x x y x x y x

x x y x y x

x x x x x x x y e e e e

→→→'→→→→+=+=

+→='+??--??====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得

⑸0

∞型（对数求极限法） 【题型示例】求值：tan 01lim x

x x →??

???

【求解示例】

()()tan 00

20002

22

0011,ln tan ln ,

1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln lim lim lim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li x

x x x L x x x L x y y x x x y x y x x x x x x x x x x x x x →→∞

∞

'→→→'→→??

??

==? ?

???

??

??

??→=? ???

????'=-=-=-??'??- ? ?????'==='解：令两边取对数得对求时的极限，0

0lim ln ln 00

2sin cos m 0,1

lim =lim 1

x x y

y x x x x

y e e e →→→→?====从而可得 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）

00001∞??∞-∞??→←???∞←???∞?∞?∞

(1)(2)(3)

⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）

⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）

第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★） 【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间 【求解示例】

1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导

∴()2

61812f x x x '=-+

2．令()()()6

120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==

4．∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞； 单调递减区间为()1,2

【题型示例】证明：当0x >时，1x

e x >+ 【证明示例】

1．（构建辅助函数）设()1x x e x ?=--，（0x >）

2．()10x

x e ?'=->，（0x >）

∴()()00x ??>=

3．既证：当0x >时，1x

e x >+

【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】

1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ?=+-，（0x >）

2．()1

101x x

?'=

-<+，（0x >） ∴()()00x ??<=

3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<

○连续函数凹凸性（★★★）

【题型示例】试讨论函数2

3

13y x x =+-的单调性、极值、

凹凸性及拐点

【证明示例】

1．()()2

36326661y x x x x y x x '?=-+=--?

?''=-+=--??

2．令()()320

610

y x x y x '=--=???''=--=??解得：120,21x x x ==??=?

4．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)

单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；

⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，

为()01f =，

极大值在2x =时取到，为()25f =；

⑶函数23

13y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，

在区间(1,2),(2,)+∞上凸； ⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3

第五节 函数的极值和最大、最小值 ○函数的极值与最值的关系（★★★）

⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ?的某个邻域()M U x D ?，使得对()M x U x ?∈

，都适合不等式()()M f x f x <，

我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ????处有极大值()M f x ；

令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈

则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：

()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；

⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ?的某个邻域

()m U x D ?，使得对()m x U x ?∈

，都适合不等

式

()()m f x f x >，

我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ????处有极小值

()m f x ；

令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈

则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：

()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f

b =；

【题型示例】求函数()3

3f x x x =-在[]1,3-上的最值

【求解示例】

1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+

2．令()()()3110f x x x '=--+=， 解得：121,1x x =-= 4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节 函数图形的描绘（不作要求）

第七节 曲率（不作要求）

第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分

第一节 不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：

假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或

()()dF x f x dx =?成立，则称()F x 为()f x 的一

个原函数

⑵原函数存在定理：（★★）

如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）

在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项

C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，

即表示为：()()f x dx F x C =+?

（

?

称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称

为积分表达式，x 则称为积分变量）

○基本积分表（★★★）

○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）

()()()()1

2

1

2

k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+?

?????? 第二节 换元积分法

○第一类换元法（凑微分）（★★★） （()dx x f dy ?'=的逆向应用）

()()()()f x x dx f x d x ????'?=??

?????????????

【题型示例】求221

dx a x +?

【求解示例】

221

111

1

arctan 11x x dx dx d C

a x a a a

a x x a a ??==

=+ ?+??????++ ? ???

??

??

?

解：

【题型示例】求

【求解示例】

(

)(

)121212x x C

=+=+=

○第二类换元法（去根式）（★★）

（()dx x f dy ?'=的正向应用）

⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：

t =，于是2t b

x a

-=， 则原式可化为t

⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：

tan x a t =（22

t ππ

-<<）

， 于是arctan x

t a

=，则原式可化为sec a t ；

⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：

a

sin x a t =（22

t ππ

-<<），

于是arcsin x

t a

=，则原式可化为cos a t ；

b

sec x a t =（02

t π

<<），

于是arccos a

t x =，则原式可化为tan a t ；

【题型示例】求（一次根式） 【求解示例】

2221t x t dx tdt

tdt dt t C C

t =-=?==+=??

【题型示例】求（三角换元）

【求解示例】

()()2

sin ()

2

2

22arcsin

cos 22cos 1cos 22

1sin 2sin cos 222x a t t x

t a

dx a t

a a tdt t dt

a a t t C t t t C π

π

=-<<==??????→=+??

=++=++ ?????

第三节 分部积分法 ○分部积分法（★★）

⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其

分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-??

⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '?=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-??

⑷展开尾项vdu v u dx '=???

，判断

a ．若v u dx '??

是容易求解的不定积分，则直接计

算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法

与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '??

依旧是相当复杂，无法通过a 中方

法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C

【题型示例】求2

x e x dx ??

【求解示例】

()

()22222

2222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C

?===-=-?=-?=-+=-++???????解：

【题型示例】求sin x

e xdx ??

【求解示例】

()()

()()

sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x x

x x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd e

e x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx

?=-=-+=-+=-+=-+-=-+-???????解：

()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ?=-+-??

即： ∴()1sin sin cos 2

x

x

e xdx e x x C ?=

-+?

第四节 有理函数的不定积分 ○有理函数（★）

设：()()()()1011

01m m m

n n n

P x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++?+==++?+ 对于有理函数

()

()

P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数

()

()

P x Q x 是真分式；当()P x 的次数

大于()Q x 的次数时，有理函数()

()

P x Q x 是假分式

○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）

⑴将有理函数()

()

P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有

公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()k

x a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式(

)

2

l

x px q ++，（240p q -<）； 即：()()()12Q x Q x Q x =?

一般地：n mx n m x m ??

+=+

??

?

，则参数n a m =- 2

2b c ax bx c a x x a a ??++=++ ??

?

则参数,b c

p q a a ==

⑵则设有理函数

()

()

P x Q x 的分拆和式为：

()()()()()()122k l

P x P x P x Q x x a x px q =+-++

其中

()

()()()

112

2...k k

k

P x A A A x a x a x a x a =

+++----

()

()

()()

21122

2

22

22...l

l l

l

P x M x N M x N x px q x px q x px q M x N x px q ++=+

+++++++++

++

参数12

1212,,...,,,,...,l k l

M M M A A A N N N ??????

???由待定系数法（比较法）求出

⑶得到分拆式后分项积分即可求解

【题型示例】求2

1

x dx x +?（构造法） 【求解示例】

()()()2

21111111111

ln 112

x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x C

x +-++??==-+ ?+++?

?=-+=-++++??????

第五节 积分表的使用（不作要求）

第五章 定积分极其应用

第一节 定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★）

()()0

1

lim n

b

i

i

a

i f x dx f x I λ

ξ→==?=∑?

（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x

则称为积分变量，a 称为积分下限，

b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）

○定积分的性质（★★★）

⑴

()()b

b

a

a

f x dx f u du =?

?

⑵()0a

a f x dx =? ⑶()()b

b

a a

kf x dx k f x dx =??????

⑷（线性性质）

()()()()1212b b b

a a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+?

?????? ⑸（积分区间的可加性）

()()()b

c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+?

??

⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则

()0b

a

f x dx >?；

（推论一）

若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满

足()()f x g x ≤，则

()()b

b

a

a

f x dx

g x dx ≤??；

（推论二）()()b

b

a

a

f x dx f x dx ≤??

○积分中值定理（不作要求） 第二节 微积分基本公式

○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）

（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间

[],a b 上的一个原函数，则

()()()b

a

f x dx F b F a =-?

○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）

()()()

()()()()x x d f t dt f x x f x x dx

?ψ??ψψ''=-????????? 【题型示例】求2

1

cos 2

lim

t x

x e dt x -→?

【求解示例】

()

2

2

11

cos cos 2002lim lim 解：t t x x x L x d e dt e dt dx x x

--'→→='??

()

()

()()22

22221

cos cos

000cos 0

cos cos 0

cos 010sin sin lim

lim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim

2

1lim sin cos 2sin cos 21122x

x

x x x

L x x

x

x x x e e

x x e x

x

d

x e dx x x e

x e

x x

e x x x x e e

---→→-'→--→-→-?-?-?==?='

?+??=??=+???=?=

第三节 定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法）

()()()()b b

a

a f x x dx f x d x ????'?=??????????????

?

【题型示例】求201

21

dx x +? 【求解示例】

()[]2

220001111

21ln 212122121ln 5ln 5ln122

解：dx d x x x x =+=?+??

?++=-=?

? ⑵（第二换元法）

设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ?=满足： a ．,αβ?，使得()(),a b ?α?β==；

b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ??'????连续 则：

()()()b

a

f x dx f t t dt β

α

??'=??????

【题型示例】求4

?

【求解示例】

()221

0,43

22

0,1014,3

3

2332311132213111332223522933

解：t t x x t x t t dx t t t dt t dt t x t =-====+??????→+??=??=+=+ ???=-=

???? ⑶（分部积分法）

()()()()()()()()()()()()

b

b

a a

b b

b a

a

a

u x v x dx u x v x v x u x dx

u x dv x u x v x v x du x ''=-=-?

????

???

○偶倍奇零（★★）

设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立： ⑴若()()f x f x -=，则

()()0

2a

a

a

f x dx f x dx -=?

?

⑵若()()f x f x -=-，则

()0a

a

f x dx -=?

第四节 定积分在几何上的应用（暂时不作要求） 第五节 定积分在物理上的应用（暂时不作要求） 第六节 反常积分（不作要求）

如：不定积分公式

21

arctan 1dx x C x =++?的证明。很

多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这样一种证明方法以说明问题：

()tan 22arctan 222

22211tan 11tan 111cos sec cos cos arctan x t t t x dx t dt x t dt t dt dt t t t t C x C

π

π??

=-<< ???='??????→??++=??=??==+=+????? 如此，不定积分公式2

2

11arctan x

dx C a x a a

=++?也就很容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。

最后，限于编者水平的限制，资料中错误和疏漏在所难免，希望同学们积极指出，以便互相学习改进。

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

大一高数总复习资料

第一章 第一节 (),U a δ(),U a δo 第二节 【证明示例】ε1．由n x a -∴N g =??2．即对>?ε有不等式∴{}x n x ∞ →lim 第三节 ○0x x →【证明示例】ε1．由()f x -∴(εδg =2．即对>?ε∴(f x x →0 lim ○∞→x 【证明示例】ε1．由()f x -∴(g X =2．即对>?ε不等式(f ∴(x f x ∞ →lim 第四节 函数(x f 函数(x f ()x g 为无穷小，若()x f 为若()x f 为无 （或∞→x ） 0x =的任一去心D x ∈上有界；） 0x 时的无穷小； ∞时的无穷小；） n m a ()()0000,00f x f x ≠=

式 3 x→= 其中x 解： x→ ∵?x x→lim f )1

第九节 【题型示例】介于a 与b 【证明示例】 1．闭区间[,a 2．∵()a ???3．得()=ξ?4第二章 第一节 【题型示例】处可导，求a ，【求解示例】 1．∵()()00f f -+'?=??'=??2∴1,a b =【题型示例】求（或：过f y =方程） 【求解示例】 1．()x f y '='2第二节 1特别地，当23第三节

【求解示例】第六节 第七节 (x f dy '=第三章 第一节 【题型示例】使得()f ξ【证明示例】 1．()0,π2．又∵(0?(?π即?3()0,ξπ?∈【证明示例】 1．显然函数()1,x 2(1x e e -=又∵e ξ >化简得x e >【证明示例】 1． ， 0sin 02 x =

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

大一下学期表演总结

大一下学期表演总结 我们每个人经过一个阶段，都要总结一下，才能在下一个阶段做得更好，下面是关于大一下学期期末总结。希望对大家有用。 大一下学期期末总结 ————成长就是不断进步 日月如梭，时不我待，转眼大一就这样匆匆而过，在这一学期里我们有成绩也有失意，有开心也有烦恼。 这一年里，离开家乡来到咸阳，我尽力克服了自己在生活上的不便与不习惯——不论是潮湿炎热的气候还是对于一个城市的陌生。下面我将从我这学期的生活、学习、思想等几个方面来进行总结。 生活方面，我的自理能力比起上一学期明显有了很大的提高，而且体现在了生活中大大小小各个方面，由于在上大学之前从来没离开过父母，在家里大部分的日常生活问题都靠父母，但现在，不管吃饭、穿衣、整理内务或是其他的事，我都尽自己最大的努力独立完成并做到最好，而且不比宿舍里其他几个以前住过校的同学差，在放假回家以后，我会在学习的课余时间也帮父母做更多的家务，让他们见证我在生活上的不断成长。我一直自信于自己的交往能力，从小到大，由于性格开朗、幽默，喜欢交朋友，所以人际关系一直很不错。在大学的这一年里，我更是交到了很多朋友，可以十分

自信的说，不论是什么性格的人，用不了多长时间，我都能和他们打成一片，所以在人际关系方面不管是宿舍的小集体，还是班级的大集体中，我自我感觉还是不错的。 接下来，是学习方面。我们都知道在镐京学院里，学习就是重中之重，只要你学习好，什么都可以优先。但是由于大一上学期我对学校各方面的不适应，加上本来基础不太好，甚至出现过两次挂科现象，一学期下来排名也十分靠后，每次看到黑框框里自己的名字都会感觉十分惭愧，觉得对不起父母，所以这学期来了我下定决心要尽自己最大的努力把成绩提上去。我知道高数是我的最弱项，而且也容易提成绩，所以这学期在高数这门学科上我也下了一番功夫，虽然上学期基础没打好，但这学期的每节高数课我都尽自己最大的努力去听，虽然有时候会遇到听不懂的地方，但我仍会做好笔记课后问学习好的同学，每次考高数前我也会突击几天，让学习好的同学帮我划重点，我自己依次看过去，又不会的题再请教他们，所以这学期的三次高数考试我都顺利过关了，说到这里我要特别感谢我们宿舍的陈艳同学和我的“天后”同桌王菲同学了，她们两个在我的高数和线性代数这两门学科上帮了我不少忙，每次考前不仅给我划重点而且每次我遇到不会的题他们都给我耐心的讲解，我发自内心的感谢她们。再说英语方面吧，特别要说的是翻译课，这学期我要比上学期在听课时认真的多，记得上学期还因为上课笔记做的不好

大学高数学习方法总结

2014年大学高数学习方法总结 一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近xx年的数学学习生涯，仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢? 在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 很多同学在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过：“在初学高数时感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃，初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。 所以，在开始学习数学时，可以考虑采取迂回的学习方式。先把那些一时难以想通的问题记下，转而继续学习后续知识，然后不时地回头复习，在复习时由于后面知识的积累就可能会想通以前遗留的问题，进而又能促进后面知识的深刻理解。这种迂回式的学习方法，使得温故不但能知新，而且还能更好地知故。篇二：高等数学学习方法及经验总结高等数学学习方法及经验总结 大学生学习高等数学要掌握合适的学习方法，因人而异，这里我只是结合我自己的一些学习方法和经验供大家参考。 高等数学作为高等教育的一门基础学科，几乎对所有的专业的学习都有帮助，对于我们飞行器动力工程专业，高等数学是联系物理，力学，以及贯穿于专业基础课的一把刃剑和纽带，对于大一这一年的学习尤为重要，只有打下坚实的基础，对于之后学习其他的学科，包括选修课中的工程数学的分支（复变函数，数理方程等），都有很大的帮助。 首先了解高等数学的组织结构，大一上学期主要学习极限，函数，以及微分和积分，（空间几何在下学期学），在期末考试中大多数都集中在积分和微分这部分。极限是积分和微分的基础，重要的概念和思想在学习极限这部分就会体现出来，有些问题运用基本定义就会迎刃而解，在掌握了基本概念和常用的解题方法后，学习起来就会很轻松；下学期比较重要，相对于上学期的内容也较丰富和复杂；对于偏导数和曲线积分、曲面积分，需要扎实的微积分思想，此外就是级数和微分方程；总之，高等数学可以说是积分，微分占据主要地位。 （一）做题的方法和技巧 学习高等数学的过程中必不可少的就是学习方法的及时总结，理想的情况下就是保证每个人手中都有一本课外的教辅书（个人推荐吉米多维奇），在平时做作业和做课外题目的过程中，自己会做的题目也要做到自己的思想和答案的思想进行比较，互相补充，遇到好的解题方法要记下来，要记的内容是题目，方法和自己的感受；遇到不明白的题目时不要浮躁，也不要着急先看答案，首先进行冷静的思考，要知道考的内容是什么，要用到什么知识点，然后一步一步看答案，这里我的意思是先看答案的第一步求解的问题是什么，然后停止看答案，想一想答案的这一步对你是否有启示作用，接下来自己试一试能不能继续独立往下做，如果不行的话继续往下看答案，直到做出来为止，做完后一定做好笔记。 （二）考试后的反思

大一上学期高数知识点电子教案

第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 （1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则 定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v v udv vdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法 （3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法 （5）幂指函数微分法 （6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式

高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式： （2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , （K 为整数）.问： （1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导； （2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续； （3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？ 解 函数)(x f 在x=0点的导数： 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当，，当发散 即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在， 当1>K 时, )(x f 的导函数为： ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K

大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

大一高数(下)期末考试总结-期末考试必备

河北科技大学2003级 高等数学（下）期末考试试题1 一、填空题（共15分） 1. (5分) 微分方程023=+'+''y y y 的通解为 . 2. (5分) 设D 是平面区域,1||,2||≤≤y x 则=+??D y x x σd )( . 3. (5分) 设),(xy e f z =其中f 可微,则=z d . 二、选择题（共15分） 1. (5分) 若∑∞ =1n n n x a 在2-=x 处收敛，则此级数在1=x 处( ). (A)条件收敛; (B)绝对收敛; (C) 发散; (D)收敛性不确定. 2. (5分) 0lim =∞→n n u 是级数∑∞ =1n n u 收敛的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充分必要条件; (D)既不充分也不必要的条件. 3. (5分) 已知y x e x ay x x y d )2(d )sin (2 2++-在xoy 坐标面上是某个二元 函数的全微分,则a = ( ). (A) 0; (B) 2; (C) 1- ; (D) 2-; 三、解答题（共56分） 1.（7分）已知曲线32,,t z t y t x ===上P 点处的切线平行于 平面,42=++z y x 求P 点的坐标. 2.（7分）设, ) , (x y xy f z = f 具有二阶连续的偏导数,求.2y x z ??? 3.（7分）计算曲线积分?-+-=L x x y y e x y y e I d )1cos (d )sin (其中L 为 由点)0 , (a A 至点)0 , 0(O 的上半圆周2x ax y -=)0(>a .

大学数学学习心得体会_0

大学数学学习心得体会 篇一：大学数学选讲学习心得 大学数学选讲学习心得 大学数学选讲课是对高等数学课的提升和深化，老师针对重难知识点，结合考研真题和参考资料精题，细致向我们讲解。在解题的过程中，老师向我们传授了解题的不同思路角度，教会我们要学会举一反三，将知识点融会贯通。点拨启发式的教学激发着同学们学习的兴致，使我们受益匪浅。 大学数学选讲不仅对考研的同学有很大帮助，对像我这样不考研学习一般的学生也有益处。刚上大学时，高等数学我一度跟不上，总是云里雾里，后来抓紧学了一阵才有了些头绪。后来，我们学习的专业课如材料力学，结构力学等都用到了高等数学，才愈发感到它的重要性。现在大学数学选讲课，再一次让我面对高等数学，我的态度更加端正谨严。重温旧的知识点，在老师的点拨下，我能发现新的亮点，加深加固了我对知识点的理解和掌握。一题多解的解题过程，启发了我的解题思路，更是帮助我把许多知识点串联起来，增强了记忆。慢慢地，我从学习中找到了乐趣，对学习高等数学也有了信心，信心又激励着我不断探索，我发现学好一门课程树立信心很重要。 经过一学期的学习，我在高等数学的学习上也逐渐积累了一些经验体会。

我感受到大学数学的学习和中学数学的学习是不样的。在大学之前的学习时，都是老师在黑板上写满各种公式和结论，我便一边在书上勾画，一边在笔记本上记录。然后像背单词一样，把一堆公式与结论死记硬背下来。哪种类型的题目用哪个公式、哪条结论，老师都已 一一总结出来，我只需要将其对号入座，便可将问题解答出来。而现在，我不再有那么多需要识记的结论。唯一需要记住的只是数目不多的一些定义、定理和推论。老师也不会给出固定的解题套路。因为高等数学与中学数学不同，它更要求理解。只要充分理解了各个知识点，遇到题目可以自己分析出正确的解题思路。所以，学习高等数学，记忆的负担轻了，但对思维的要求却提高了。每一次高数课，都是一次大脑的思维训练，都是一次提升理解力的好机会。 高等数学的学习目的不是为了应付考试，因此，我们的学习不能停留在以解出答案为目标。我们必须知道解题过程中每一步的依据。正如我前面所提到的，中学时期学过的许多定理并不特别要求我们理解其结论的推导过程。而高等数学课本中的每一个定理都有详细的证明。最初，我以为只要把定理内容记住，能做题就行了。然而，渐渐地，我发现如果没有真正明白每个定理的来龙去脉，就不能真正掌握它，更谈不上什么运用自如了。于是，我开始认真地学习每一个定理的推导。有时候，某些地方很难理解，我便反复思考，或请教老师、同学。尽管这个过程并不轻松，但我却认为非常值得。因为只有通过自己去探索的知识，才是掌握得最好的。 学习高等数学还要注意一下几点。

大一上学期高数期末考试题0001

大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。).

大一高数知识点总结

大一高数知识点总结 &初等函数 一、函数的概念 1、函数的定义 函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。 设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，记作y=f，其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 2、函数的表示方法解析法 即用解析式表示函数。如y=2x+1, y=︱x︱，y=lg,y=sin3x等。便于对函数进行精确地计算和深入分析。列表法 即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。便于差的某一处的函数值。图像法 即用图像来表示函数关系的方法 非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。 分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如 1??2x?1, x?0?xsin, f?x???y??x

?2x?1,x?0???0 x?0 x?0 隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F=0给出的，如2x+y-3=0，e 可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。 参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程? x?y 而由2x+y-3=0?x?y?0等。 ?x???t?， ?t?T?给出的，??y??t? 这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。 反函数——如果在已给的函数y=f中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=∮叫做y=f的反函数，记作x=fˉ1或y= fˉ1. 二、函数常见的性质 1、单调性 2、奇偶性=f；奇：关于y轴对称，f=-f.） 3、周期性

高数心得体会

高数心得体会 篇一：高数心得 学习高数的心得体会有人戏称高数是一棵高树，很多人就挂在了上面。但是，只要努力，就能爬上那棵高树，凭借它的高度，便能看到更远的风景。 很多人害怕高数，高数学习起来确实是不太轻松。其实，只要有心，高数并不像想象中的那么难。经过将近一年的学习，我们对高数进行了系统性的学习，不仅在知识方面得到了充实，在思想方面也得到了提高，就我个人而言，我认为高等数学有以下几个显著特点：1）识记的知识相对减少，理解的知识点相对增加；2）不仅要求会运用所学的知识解题，还要明白其来龙去脉；3）联系实际多，对专业学习帮助大；4）教师授课速度快，课下复习与预习必不可少。 在大学之前的学习时，都是老师在黑板上写满各种公式和结论，我便一边在书上勾画，一边在笔记本上记录。然后像背单词一样，把一堆公式与结论死记硬背下来。哪种类型的题目用哪个公式、哪条结论，老师都已一一总结出来，我只需要将其对号入座，便可将问题解答出来。而现在，我不再有那么多需要识记的结论。唯一需要记住的只是数目不多的一些定义、定理和推论。老师也不会给出固定的解题套路。因为高等数学与中学数学不同，它更要求理解。只要充分理解了各个知识点，遇到题目可以自己分析出正确的解题思路。所以，学习高等数学，记忆的负担轻了，但对思维的要求却提高了。

每一次高数课，都是一次大脑的思维训练，都是一一次提升理解力的好机会。 首先，不能有畏难情绪。一进大学，就听到很多师兄师姐甚至是老师说高数非常难学，有很多人挂科了，这基本上是事实，但是或多或少有些夸张了吧。让我们知道高数难，虽然会让我们对它更加重视，但是这无疑也增加了大家对它的畏惧感，觉得自己很可能学不好它，从而失去了信心，有些人甚至把难学当做自己不去学好它的借口。事实上，当我们抛掉那些畏难的情绪，心无旁骛地去学习高数时，它并不是那么难，至少不是那种难到学不下去的。所以，我觉得要学好高数，一定不能有畏难的情绪。当我们有信心去学好它时，就走好了第一步。 坚持做好习题。做题是必要的，但像高中那样搞题海战术就不必要了。就我的体会而言，如果只是想考试考好，不想去深入研究它的话，做好教材上的课后题和习题册就足够了，当然，前提是认真地做好了。对于每一道题，有疑问的地方就要解决，不能不求甚解，尽量把每一个细节都理解好，这样的话做好一道题 就能解决很多同类型的题了。同时，做题不能只是自己一个人冥思苦想，有时候自己的思维走进了死胡同是很难走出来的，当自己做不出来的时候，不妨问问老师或者同学，也许就能豁然开朗了。对于做完的题目，觉得很有价值的，最好是把它摘抄到笔记本上，然后记录一下解题的要点，分析一下题目所体现的思维方式等等，平时有时间就翻看一下，加深一下记忆。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳[1]河南理工大学

河北科技大学 高等数学（下）考试试题3 一、 填空题(每题4分,共16分) 1.(4分) 级数1n n u ∞ =∑收敛的必要条件是 . 2. (4分) 交换二次积分的次序100(,)y dy f x y dx ??= . 3. (4分) 微分方程2442x y y y xe '''-+=的一个特解形式可以设为 . 4. (4分) 在极坐标系下的面积元素d σ= . 二、 选择题(每题4分,共16分) 1. (4分) 已知曲面22 4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面 2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ). A. (1,-1,2); B. (-1,1,2); C. (1,1,2); D. (-1,-1,2). 2. (4分) 级数1 312 1(1) n n n ∞ -=-∑为（ ）. A.绝对收敛; B. 条件收敛; C.发散; D. 收敛性不确定. 3. (4分) 若∑是锥面222 x y z +=被平面0z =与1z =所截下的部分,则曲面积分2 2 ()x y dS ∑ +=??( ). A. 1200d r rdr πθ???; B. 21 2 00d r rdr πθ???; C. 1200 d r rdr π θ??; D. 21200 d r rdr π θ??. 4. (4分) 幂级数1(1)n n n n ∞ -=-∑的收敛半径为( ). A. 2;R = B.1;2R = C.3;R = D.1 .3 R = 三、 解答题(每题7分,共63分)

1．(7分) 设sin(),xy z x y e =++求dz . 2． (7分) 计算三重积分,I xdxdydz Ω =???其中Ω为三个坐标面及平面 21x y z ++=所围成的闭区域. 3． (7分) 求(1)I y z dS ∑ =++??,其中∑是平面5y z +=被圆柱面 2225x y +=截出的有限部分. 4． (7分) 求幂级数1 (1)(1)n n n x n ∞ =--∑的收敛域. 5． (7分) 将2 1 ()2f x x x = --展开为麦克劳林级数. 6． (7分) 求曲线积分(sin )(cos 1)x x L I e y y dx e y dy =-+-?,其中L 为 22x y ax +=上从(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周. 7． (7分) 求微分方程24y xy x '+=在初始条件03x y ==下的特解. 8． (7分) 求曲面积分(1)(22)(33)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ =+++++?? , 其中∑为曲面222 4x y z ++=的内侧. 9．(7分) 计算曲线积分()L I x y ds =+?,其中L 是以(0,0)O ,(1,0),(0,1) A B 为顶点的三角形折线. 四、(5分) 试确定参数t 的值,使得在不含直线0y =上点的区域上,曲线积分 222222 ()()t t C x x y x x y I dx dy y y ++=-?与路径无关，其中C 是该区域上一条光滑曲线，并求出当C 从(1,1)A 到(0,2)B 时I 的值.

高数学习心得体会

高数学习心得体会 篇一：学习高等数学体会论文 Hefei University 大一高等数学论文 院系：电子信息与电气自动化学生姓名：孙野学号： 31 专业：自动化 班级：一班 年级：一年级 指导老师:刘国旗 完成时期: 十二月十三号 摘要：高等数学是大学工科里的一门基础学科。在我学的自动化专业中更显得格外重要。经历了快一个学期的高等数学学习对这门课程有一定认识的同时，在学习的过程中遇到了各式各样的难题与困惑，因此，特对在学习中的遇到困难与将来如何更好的努力，不断提高学习这门课的能力进行了总结，希望在以后的时间里可以有所进步。 Abstract:Higher mathematics is an important basic engineering inside the university. The more I learn in automation specialty in very important. Experienced higher mathematics almost a semester has certain

understanding at the same time on the course, in the learning process encountered problems and confusion, so to every kind of, in the study of the difficulties and strive in the future how to better, continuously improve the ability of learning this course are summarized, in the hope that time can make progress. 关键词：高等数学、总结方法、极限 一：对高中数学的回顾 高中学习数学我经历过两个数学老师。先说说第一个数学老师吧，这是一个年轻的小伙老师，他以前是教初中的后来通过考试，升就教了高中，我们是他教的第一届的高中学生。对于这个我第一个高中数学老师我认为他和第二个老师最大的区别就是他上课从来不用ppt，他喜欢写板书，所以每节课后我们都记下满满几页的笔记。这样的教学方式单单就我来说我是不能适应的，因为我喜欢上课跟 着老师教学的思路去学习，但是他要我们上课记下他在黑板上学习的板书，这样就导致我们光顾着去做笔记，却没有跟着他上课的思路去思考问题，不能去理解他讲的是什么，课下对着笔记我们又不记得他上课是怎么讲的。所以高中前部分我的数学一直都不好。后来因为一些原因我们换了一个数学老师，这是一个我估计快要退休的了老师，这个老师因

大一上学期高数复习要点

大一上学期高数复习要点 同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点； 1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数

洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?

5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分

大一下学期学业总结

大一下学期学业总结由于大一上学期我对学校各方面的不适应，加上本来基础不太好，甚至出现过两次挂科现象。以下内容是品才网小编为您精心整理的，欢迎参考！ 大一下学期学业总结一学期的时间如流水逝去，那么的迅捷无情，过去的成绩，过去的遗憾只有在面对未来时才有执着的意义。这个学期我深有体会：班级的荣誉是要靠全体成员共同努力的” ，但我也知道做好一个尽职尽责的班委也是至关重要的；“一个没有领导的集体是散乱的” ，同样，一个好的决策会增强集体的凝聚力，从而使班级有更强的创造力！吸取了教训和经验后我相信下期的工作可以做的更好 回顾大一上学期的班委竞选，自己之所以能当上收发员这个职务，不仅仅是因为班上同学对我的支持，更是对我的信任。因此，从那时起，我的身上就肩负着一个担子，那就是不让支持我的人失望，我应当尽我所能，为这个班、这个集体、这个集体中的每一个人服务，从而不辜负他们对我的信任与期望 一个学期又结束了，作为一名班委来说，有着很多感慨。新的一年，在学习和生活上都有了新的体会和目标，在班级工作和与同学们相处之间，也显得更加成熟，想问题也更加全面。在上一个学期中，我们 08 商英一班的学习和活动都取得了可喜的成绩。每个同学都表现出了积极向上的态度。 班委们对此感到很开心，很快乐。作为其中的一员，我仔细分析和总结了自己这一学期的工作，找出自己的不足和值得发扬的地方。并和其它同学进行了沟通，力争得到更好的改善。

一：在学习上，比起上学期又有了相对的进步，各次测验的成绩也明显比以前有所提高。在做作业上，我每次都是自己的作业就自己做，不抄袭不作弊，至于写论文的作业就借助课外资料，希望以此可以提高自己的写作能力。在课余时间，我还充分利用学校的图书馆资源，抓紧时间阅读各方面的书本知识，以求提高自己的知识面，拓宽自己思考问题的角度，从而多方面的考虑问题，避免片面看问题，养成不好的思考习惯。 二：在生活上，我可以和同学们友好相处，和睦共处，互帮互爱，自己的事情自己做，形成独立自理自立的良好品德。宿舍是一个大集体四人生活在同一个空间里面，但是各自的生活习性都不相，这就需要大家互相理解和迁就，只有这样才能和好相处，为我们的学习创造一个良好的学习和休息环境。我们宿舍的融洽和谐关系还很大归属于我们每一个宿友 三：在工作上，这学期一直秉承着我学校优良的传统，在各位班委和同学的积极配合下有了一定的进步。同时也大力配合个同学的工作，把我们商英一班个方面的成绩都提高! 总之，我要发扬优点，改正缺点，不能再浪费一分一秒，特别是在星期天的时间里，要及时总结归纳一周里学的东西，作好笔记。针对自己的专业，多到图书馆看专业书和案例，拓宽自己的知识面和增加看问题的深度，同时还要多跟任课老师沟通，不懂就问，戒除害羞的习惯。大学生活是很宝贵的，我不愿意平平淡淡地过这几年，我要好好珍惜这难得的读书机会，努力读书，为自己的大学生活增添更多的光辉色彩。 在这个学期的工作中，我也学会了很多。以前的自己，过于理想化，只是知道自己觉得应该的，有时会忽略其他人的想法。而现在的我更懂得换