高中数学法向量
高中数学法向量
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2018年高考数学：法向量是高考中解立体几何的一种重要方法
平面法向量的定义及法向量的具体求法：
平面法向量的概念：如果一个向量与平面垂直，那么这个向量就叫做平面的法向量。显然一个平面的法向量有无数个，但这些法向量都是相互平行的。
求法向量的一种方法：利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，我们设定一个变量的值就能求解！现在我来举一个具体的例子：
当然需要说明的是，我们还有其他的方法来求法向量，在这里就不做延伸了。
高中数学中和法向量有关的三个重要公式：
用法向量求点到平面的距离公式：
用法向量求直线与平面的夹角公式：
用法向量求二面角的夹角公式（记得有两种情况哦）：
建立空间直角坐标系用法向量求解高考中的立体几何题目：
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。
高二数学向量知识点总结
高二数学向量知识点总结 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《高二数学向量知识点总结》的内容，具体内容：数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。以下是我为您整理的关于的相... 数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。以下是我为您整理的关于的相关资料，供您阅读。 (一) 考点一：向量的概念、向量的基本定理 【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。 考点二：向量的运算 【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐
标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。 考点三：定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。 【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。 考点四：向量与三角函数的综合问题 【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。 【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。 考点五：平面向量与函数问题的交汇 【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。 【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。 考点六：平面向量在平面几何中的应用 【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐
高中数学平面向量doc
专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 （一）平面向量知识结构图 （二）重点难点分析
本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用． 课标要求： 平面向量（约12课时） （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积
①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 （5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 （一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系 本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。 比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。 概念辨析：
高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ； ②结合律：()() a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B=-- ． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠ 共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
(完整word)高中数学平面向量基础练习及答案
基础练习 1、若(3,5)AB =u u u r ，(1,7)AC =u u u r , 则BC =u u u r （ ） A ．（－2，－2） B ．（－2，2） C ．（4， 2） D ．（－4,－12） 2、已知平面向量→a ＝(1，1)，→b ＝(1，－1)，则向量12→a －32→b ＝ ( ) A 、(－2，－1) B 、(－2，1) C 、(－1，0) D 、(－1，2) 3、已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r 垂直，则λ是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 4、若平面向量b r 与向量a r =（1，－2）的夹角是180°，且|b r |=，则b r =（ ） A ．（－1，2） B ．（－3，6） C ．（3，－6） D ．（－3，6）或（3，－6） 5、在ABC AB BC AB ABC ?=+??则中，若,02是（ ） A ．锐角三角形 B ． 直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 6、直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则·＝（ ） （A ）20 （B ）21 （C ）22 （D ）23 7.在四边形ABCD 中，AB =a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四 边形ABCD 为（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 8.已知()() 3,4,223,a b a b a b ==++=r r r r r r g 那么a r 与b r 夹角为（ ） A 、60? B 、90? C 、120? D 、150? 9.已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a r ，=b r ，=c r , 则下列各式： ①=21c r －21b r ②=a r +2 1b r ③CF =－21a r +2 1b r ④++CF =0r 其中正确的等式的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知向量a ＝（3，－4），b ＝（2，x ）， c ＝（2，y ）且a ∥b ，a ⊥c ．求|b －c |的值．
高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题)
高中数学向量总结归纳
平面向量的数量积及平面向量的应用 1.定义及运算律. 两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”. 设a 及b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a |·|b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =2121y y x x +. 其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a ·b =b ·a ，(λ·a )·b =λ(a ·b )，(a ±b )·c =a ·c ±b ·c . 2.平面向量数量积的重要性质. ①|a |=a a ?=2||cos ||||a a a =θ?;cos θ=| |||) (b a b a ??;|a ·b |≤|a |·|b |,当且仅当a ,b 共线时取等号. ②设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则:|a |= 21 21y x +;cos θ= 22 22 21 21 2121) (y x y x y y x x + ? + +;|x 1x 2+y 1y 2|≤ 2 2 222121y x y x +?+ 3.两向量垂直的充要条件 若a ,b 均为非零向量,则:a ⊥b ?a ·b =0. 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0. 4.向量的模及三角不等式 |a |2=a ·a 或|a |=a a ?;|a ·b |≤|a |·|b |;|a |2-|b |2=(a +b )·(a -b );|a ±b |=θ??±+cos ||||222b a b a (θ为a ,b 夹角);||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |. 5.三角不等式的推广形式 |a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.
高中数学平面向量公式(精选课件)
高中数学平面向量公式１、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤ ２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。 向量的向量积运算律 a×b=－b×a； （λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)； （a+b)×c=a×ｃ+b×c。 注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣； 高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 专题六 平面向量 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 （1）向量的基本概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 （2）向量的加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r ①a a a 00；②向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”． （3）向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差， ③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） （4）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ； （Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λ a 的方向与a 的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的 （5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a （6）平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【2】平面向量的坐标表示 如何利用向量的几何表示三角形的各种心 向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下： ①1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心， 特别地0PA PB PC P ++=?u u u r u u u r u u u r r 为ABC ?的重心； (),[0,)AB AC λλ+∈+∞u u u r u u u r 是BC 边上的中线AD 上的任意向量，过重心； () 1,2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线. ②PA PB PB PC PC PA P ?=?=??u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 为ABC ?的垂心； ()||cos ||cos AB AC AB B AC C λ+u u u r u u u r u u u r u u u r [0,)λ∈+∞是△ABC 边BC 的高AD 上的任意向量，过垂心. ③ ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ABC ?的内心； 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线). ④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +?=+?=+?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222OA OB OC OA OB OC ?==?==?u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r O 为ABC ?的外心. 4.向量与平行四边形相关的结论 向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形 ABCD 中，设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则有以下的结论： ①,AB AC a b AD +=+=u u u r u u u r r r u u u r 通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若C AB D =u u u r u u u r ,可判断四边形为平行四边形； ②,,a b AD a b CB +=-=r r u u u r r r u u u r 若0a b a b a b +=-??=r r r r r r 对角线相等或邻边垂直，则平行四 边形为矩形；()()0a b a b a b +?-=?=u u r r r r r r 对角线垂直.则平行四边形为菱形； ③222222a b a b a b ++-=+r r r r r r 说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和； ④||||||||||||a b a b a b -≤±≤+r r r r r r ，特别地，当 a b r r 、 同向或有0r 第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时 平面向量知识点总结 第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念： 1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：可表示为 3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。 记作：|| 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 二．向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三．向量的加法： 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： 强调： a b c a + b A A A B B B C C a +b a + b a a b b b a a 1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n 个向量连加 3?a a a =+=+00 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2?向量加法的交换律：+=+ 3?向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。 四．向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法 1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3.向量减法做图：表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数 总结：1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积 实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρ 定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ 1?|λa ρ|=|λ||a ρ | 2?λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ = 2．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ① 第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ ② 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ +λb ρ ③ 3.向量共线充要条件： 高中数学经典解题技巧：平面向量 一、向量的有关概念及运算 解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点： （1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。 （2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻 （3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。 例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)= （，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ） A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0= B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b +?= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】根据所给定义逐个验证. 【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B. 【方法技巧】自定义型信息题 1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型. 2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性 二、与平面向量数量积有关的问题 解题技巧：与平面向量数量积有关的问题 1．解决垂直问题：121200,a b a b x x y y a b ⊥?=?+=其中、均为非零向量。这一条件不能忽视。 2．求长度问题：2||a a a =，特别地1122(,),(,),||(A x y B x y AB x =则 3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据 2 22 222cos(,).||||a b a b a b x x y ==++ 例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在Rt ABC ?中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ?uu u r uuu r 等于（ ） 高中数学的平面向量知识向量的概念表c，.......（物理学中叫做矢量），向量可以用a，b，既有方向又有大小的量叫做向量（物示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。只有大小没有方向的量叫做数量）。在自然界中，有许多量既有大小又有方向，如力、速度等。我们为了研究理学中叫做标量这些量的这个共性，在它们的基础上提取出了向量这个概念。这样，研究清楚了向量的性质，当然用它来研究其它量，就会方便许多。向量的几何表示是印刷体，AB。（AB有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作具有方向的线段叫做也就是粗体字母，书写体是上面加个→） AB|。AB的长度叫做向量的模，记作| 有向线段个因素：起点、方向、长度。有向线段包含3 相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量： 相等向量。长度相等且方向相同的向量叫做共线向量，两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或 ，，零向量与任意向量平行，即0//a、向量ab平行，记作a//b 在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量 共线就是指两条是平行向量）”是有区别。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0零向量，记作 0长度等于0的向量叫做的）的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行，垂直。零向量。1个单位长度的向量叫做单位向量模 等于 平面向量的坐标表示作为基底。任作ji、x 在直角坐标系内，我们分别取与轴、 y轴方向相同的两个单位向量 ，使得、y，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x一个向量a +yj a=xi 的（直角）坐标，记作）叫做向量，ya 我们把（x ），，y（ a=x 向量的坐标表示。在y轴上的坐标，上式叫做叫做在其中 x叫做ax轴上的坐标，ya 在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对 ），）那么该向量上的所有点都可以用（，的。若一向量的起点在原点，例如该向量为（12a2a1 / 5 表示。即，若一向量的起点在原点，那么该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标。关系是的比例的一样 56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一 实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0 平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB , a ；坐标表示法a =xi ? yj (x, y).向量 的大小即向量的模(长度)，记作| A B |即向量的大小，记作I 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a = 0 = I a I = 0"由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与0的区别) ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量二I a0I = 1 ④平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a // b ■由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 亠％ =x2 小相等，方向相同(x「yj = (x2, y2)=」 y2 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法t―4 ―4 设AB 二a, BC =b，贝y a + b =AB BC = AC (1)0 a a，0二a ；( 2)向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： (1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 (2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则?向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ ? QR二AR，但这时必须“首尾相连” ? 3向量的减法 ①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 记作-a,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有：(i) -(-a)=a ； (ii) a+(-a)=( - a)+ a = 0 ； (iii) 若a、b是互为相反向量， 则a=-b,b = -a,a + b=0 ②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差， 记作：a - b二a ? (-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ③作图法：a -b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点) 4实数与向量的积： ①实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下： (I) a a ；高一数学平面向量知识点及典型例题解析
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