中考数学总复习模拟卷

2017山西中考模拟卷

(满分：120分 时间：120分钟) 第Ⅰ卷 选择题(共30分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．－3

2

的倒数是( B )

A ．－32

B ．－23 C.32 D.23

2．由2016年8月25日上午召开的教育部新闻发布会上获悉，去年我国学生资助资金继续保持增长势头，首次突破1500亿元，增长近10%，将“1500亿”用科学记数法表示为( C )

A ．1.5×1010

B ．15.0×109

C ．1.5×1011

D ．15.0×1011

3．下列运算正确的是( D )

A ．(ab )2＝ab 2

B ．3a ＋2a 2＝5a 2

C ．2(a ＋b )＝2a ＋b

D ．a ·a ＝a 2

4．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是( C )

5.下列说法正确的是( C )

A ．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查

B ．为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查

C ．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件

D ．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件

6．甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为15，乙所得环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是( A ) A ．甲 B ．乙 C ．都一样 D ．无法确定

7．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”、“无字证明”可用于验证数与代数、

图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，体现了数形结合的思想方法，展现了数学美，上面图形验证的内容是( B ) A ．乘法公式 B ．勾股定理

C ．直角三角形中的三角函数

D ．中位线定理 8．按照山西省“改薄工程”规划，我省5年投入85亿元用于改造农村县(市、区)薄弱学校，促进义务教育均衡发展，其中某项“改薄工程”建设，甲队单独完成需要20天，若由甲队先做13天，则剩下的工程由甲、乙两队合作3天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x 天，根据题意可列方程为( B )

A ．13＋3＋x ＝20 B.1320＋3(120＋1x )＝1 C.1320＋3x ＝1 D ．(1－13

20)＋x ＝3

9．关于抛物线y ＝x 2

－(a ＋1)x ＋a －2，下列说法错误的是( C )

A ．开口向上

B ．当a ＝2时，经过坐标原点O

C ．a ＞0时，对称轴在y 轴左侧

D ．不论a 为何值，都经过定点(1，－2)

10．如图，平行四边形ABCD 的顶点C 在y 轴正半轴上，CD 平行于x 轴，直线AC 交x 轴于点E ，BC ⊥AC ，连接BE ，反比例函数y ＝k x

(x ＞0)的图象经过点D .已知S △BCE ＝2，则k 的值是( D )

A ．2

B ．－2

C ．3

D ．4

第Ⅱ卷 非选择题(共90分)

二、填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分)

11．已知点P (2－a ，2a －7)(其中a 为整数)位于第三象限，则点P 坐标为__(－1，－1)__． 12．某地体育测试用抽签的方式决定考试分组和考试项目，具体操作流程是：①每位考生从写有A 、B 、C 的三张纸片中随机抽取一张确定考试分组；②再从写有“引体向上”、“立定跳远”、“800米”的三张纸片中随机抽取一张确定考试项目，则考生小明抽到A 组“引体向上”的概率等于__1

9

__．

13．如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)，以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是2，则点B 的横坐标是__－2.5__．

,第13题图) ,第14

题图)

,第15题图)

解析：如图，过点B 、B ′分别作BD ⊥x 轴于D ，B ′E ⊥x 轴于E ，∴∠BDC ＝∠B ′EC ＝90°.∵△ABC 的位似图形是△A ′B ′C ，∴点B 、C 、B ′在一条直线上，∴∠BCD ＝∠B ′CE ，∴△

BCD ∽△B ′CE .∴CD EC ＝BC B ′C ，设点B 的横坐标为x ，则DC ＝－1－x ，EC ＝2＋1＝3，又∵

BC

B ′C

＝12，∴CD CE ＝1

2

，∴2(－1－x )＝3，∴x ＝－2.5，∴点B 的横坐标为－2.5. 14．如图，小宇用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第10个图案中共有__121__个黑子．

解析：第1、2图案中黑子有1个，第3、4图案中黑子有1＋2×6＝13个，第5、6图案中黑子有1＋2×6＋4×6＝37个，第7、8图案中黑子有1＋2×6＋4×6＋6×6＝73个，第9、10图案中黑子有1＋2×6＋4×6＋6×6＋8×6＝121个 15．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，点P 是对角线AC 上的一个动点，过点P 作EF ⊥AC 分别交AD 、AB 于点E 、F ，将△AEF 沿EF 折叠，点A 落在点A ′处，当△A ′BC 是等腰三角形时，AP 的长为__32或39

16

__．

解析：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝5，∠DAC ＝∠BAC ，∵EF ⊥AA ′，∴∠EPA ＝∠FPA ＝90°，∴∠EAP ＋∠AEP ＝90°，∠FAP ＋∠AFP ＝90°，∴∠AEP ＝∠AFP ，∴AE ＝AF ，∵△A ′EF 是由△AEF 翻折，∴AE ＝EA ′，AF ＝FA ′，∴AE ＝EA ′＝A ′F ＝FA ，∴四边形AEA ′F 是菱形，∴AP ＝PA ′.①当CB ＝CA ′时，∵AA ′＝AC －CA ′＝3，∴AP ＝12AA ′＝3

2.②

当A ′C ＝A ′B 时，∵∠A ′CB ＝∠A ′BC ＝∠BAC ，∴△A ′CB ∽△BAC ，∴A 'C AB ＝BC

AC

，∴A ′C ＝258，∴AA ′＝8－258＝398，∴AP ＝12AA ′＝39

16

三、解答题(本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本题共2小题，每小题5分，共10分) (1)计算：(－14

)－1－|－3|－(3－π)0

＋2cos45°.

解：原式＝－4－3－1＋2＝－8＋ 2.

(2)分解因式：(x 2－x )2－12(x 2

－x )＋36.

解：原式＝(x 2－x －6)2＝[(x ＋2)(x －3)]2＝(x ＋2)2(x －3)2

17．(本题7分)解分式方程：32－2x 3x －1＝7

6x －2

.

解：原方程可化为3(3x －1)－4x ＝7， 整理得：5x ＝10， 解得：x ＝2，

经检验x ＝2是原方程的解， 则原分式方程的解为x ＝2

18．(本题7分)近几年来，国家对购买新能源汽车实行补助政策，2016年某省对新能源汽车中的“插电式混合动力汽车”实行每辆3万元的补助，小刘对该省2016年“纯电动乘用车”和“插电式混合动力车”的销售计划进行了研究，绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．

(1)补全条形统计图；

(2)求出“D ”所在扇形的圆心角的度数； (3)为进一步落实该政策，该省计划再补助4.5千万元用于推广上述两大类产品，请你预测，

该省2016年计划大约共销售“插电式混合动力汽车”多少辆？ 注：R 为纯电动续航行驶里程，图中A 表示“纯电动乘用车”(100km ≤R ＜150km)，B 表示“纯电动乘用车”(150km ≤R ＜250km)，C 表示“纯电动乘用车”(R ≥250km)，D 为“插电式混合动力汽车”．

解：(1)补贴总金额为：4÷20%＝20(千万元)，

则D 类产品补贴金额为：20－4－4.5－5.5＝6(千万元)，补全条形统计图如图：

(2)360°×6

20

＝108°，

答：“D ”所在扇形的圆心角的度数为108°；

(3)根据题意，2016年补贴D 类“插电式混合动力汽车”金额为：6＋4.5×6

20＝7.35(千万

元)，

∴7350÷3＝2450(辆)，

答：预测该省2016年计划大约共销售“插电式混合动力汽车”2450辆

19．(本题7分)请阅读以下材料，并完成相应的任务． 传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagonas ，约公元570年－约公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10、…，由于这些数可以用如图所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数，第n 个三角形数可以用

n （n ＋1）

2

(n ≥1)表示．

任务：请根据上面材料，证明以下结论．

(1)任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数； (2)连续两个三角形数的和是一个完全平方数． 证明：(1)∵

n （n ＋1）

2

×8＋1＝4n 2＋4n ＋1＝(2n ＋1)2

，∴任意一个三角形数乘8再加1是

一个完全平方数； (2)∵第n 个三角形数为

n （n ＋1）

2

，第n ＋1个三角形数为（n ＋1）（n ＋2）

2

，

∴这两个三角形数的和为：

n （n ＋1）2

＋

（n ＋1）（n ＋2）2

＝

（n ＋1）（n ＋n ＋2）

2

＝(n ＋

1)2

，

即连续两个三角形数的和是一个完全平方数

20．(本题8分)某校准备组织学生及家长代表到桂林进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如表所示，二等座学生票可打7.5折，已知所有人员都买一等座单程火车票需6175元，都买二等座单程火车票需3150元；如果家长代表与教师的人数之比为2∶1.

(1)参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？ (2)由于各种原因，二等座单程火车票只能买x 张(x ＜参加社会实践的总人数)，其余的须买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买单程火车票的总费用y 与x 之间的函数关系式；

(3)在(2)的方案下，请求出当x ＝30时，购买单程火车票的总费用．

解：(1)设参加社会实践的老师有m 人，学生有n 人，则学生家长有2m 人，

根据题意得：?????95（3m ＋n ）＝6175

60（m ＋2m ）＋60×0.75n ＝3150，

解得：?

????m ＝5

n ＝50，则2m ＝10.

答：参加社会实践的老师、家长与学生各有5、10与50人； (2)由(1)知所有参与人员总共有65人，其中学生有50人， ①当50≤x ＜65时，最经济的购票方案为：

学生都买学生票共50张，(x －50)名成年人买二等座火车票，(65－x )名成年人买一等座火车票．

∴火车票的总费用(单程)y 与x 之间的函数关系式为：y ＝60×0.75×50＋60(x －50)＋95(65－x )，

即y ＝－35x ＋5425(50≤x ＜65)；

②当0＜x ＜50时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x 张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共(65－x )张．

∴火车票的总费用(单程)y 与x 之间的函数关系式为：y ＝60×0.75x ＋95(65－x )，

即y ＝－50x ＋6175(0＜x ＜50)，

∴购买单程火车票的总费用y 与x 之间的函数关系式为：y ＝?

????－50x ＋6175（0

－35x ＋5425（50≤x ≤65）；

(3)∵x ＝30＜50，

∴y ＝－50x ＋6175＝－50×30＋6185＝4675，

答：当x ＝30时，购买单程火车票的总费用为4675元

21．(本题10分)放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A 处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D 处，此时风筝AD 与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A 处10米的B 处，此时风筝线BD 与水平线的夹角为45°.已知点A ，B ，C 在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？(风筝线AD ，BD 均为线段，2≈1.414，3≈1.732，最后结果精确到1米)．

解：如图，作DH ⊥BC 于H ，设DH ＝x 米．

∵∠AHD ＝90°，

∴在Rt △ADH 中，∠DAH ＝30°，AD ＝2DH ＝2x ，AH ＝

DH

tan30°

＝3x ，

在Rt △BDH 中，∠DBH ＝45°，BH ＝DH ＝x ，BD ＝2x ， ∵AH －BH ＝AB ＝10，

即3x －x ＝10， ∴x ＝5(3＋1)，

则小明此时所收回的风筝的长度为：

AD －BD ＝2x －2x ＝(2－2)×5(3＋1)≈(2－1.414)×5×(1.732＋1)≈8米．

答：小明此时所收回的风筝线的长度约是8米

22．(本题12分)△ABC 和△DBE 是绕点B 旋转的两个相似三角形，其中∠ABC 与∠DBE 、∠A 与∠D 为对应角．

(1)如图①，若△ABC 和△DBE 分别是以∠ABC 与∠DBE 为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点B 、C 、D 在同一条直线上的位置时，请直接写出线段AD 与线段EC 的关系； (2)若△ABC 和△DBE 为含有30°角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图②的位置时，试确定线段AD 与线段EC 的关系，并说明理由；

(3)若△ABC 和△DBE 为如图③的两个三角形，且∠ACB ＝α，∠BDE ＝β，在绕点B 旋转的过

程中，直线AD 与EC 夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含α、β的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由．

解：(1)线段AD 与线段CE 的关系是AD ⊥EC ，AD ＝EC ；

(2)如图②，连接AD 、EC 并延长，设交点为点F ，∵△ABC ∽△DBE ，∴AB BD ＝BC

BE ，∴AB BC ＝BD BE

.∵∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2，∴△ABD ∽△CBE .∴AD CE

＝AB BC .在Rt △ACB 中，∠ACB ＝30°，tan ∠ACB ＝AB BC ，∵tan30°＝

33，∴AD CE ＝3

3

.又∵∠DBE ＝90°，∠DEB ＝30°，∴∠4＝60°，∴∠5＋∠6＝120°.∵△ABD ∽△CBE ，∴∠5＝∠CEB

＝30°＋∠7，∴∠7＝∠5－30°，∠6＝120°－∠5，∴∠7＋∠6＝90°，∴∠DFE ＝90°即AD ⊥CE ；(3)在绕点B 旋转的过程中，直线AD 与EC 夹角的度数不改变，且夹角度数为(180－α－β)度

23．(本题14分)如图，抛物线y ＝ax 2

＋bx 过A (4，0)，B (1，3)两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H . (1)求抛物线的表达式，并求出△ABC 的面积；

(2)点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP 的面积为6时，求出点P 的坐标； (3)若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当以点C 、M 、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积．

解：(1)把点A (4，0)，B (1，3)代入y ＝ax 2

＋bx ，得?????0＝16a ＋4b 3＝a ＋b ，解得?

????a ＝－1b ＝4；∴该抛物线的表达式为y ＝－x 2

＋4x ；∴对称轴为x ＝2，∴点C 的坐标为(3，3)，又∵点B 的坐标为(1，3)，∴BC ＝2，∴S △ABC ＝1

2

×2×3＝3；(2)如图①，过P 点作PD ⊥BH 交BH 于点D ，设点

P (m ，－m 2＋4m )，根据题意，得BH ＝AH ＝3，HD ＝m 2－4m ，PD ＝m －1，∴S △ABP ＝S △ABH ＋S

四边形

HAPD

－S △BPD ，即6＝12×3×3＋12(3＋m －1)(m 2－4m )－12

(m －1)(3＋m 2－4m )，∴3m 2

－15m ＝0，m 1

＝0(舍去)，m 2＝5，∴点P 坐标为(5，－5)；

(3)以点C 、M 、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M 为直角顶点且M 在x 轴上方时，如图②，CM ＝MN ，∠CMN ＝90°，

则△CBM ≌△MHN ，∴BC ＝MH ＝2，BM ＝HN ＝3－2＝1，∴M (1，2)，N (2，0)，由勾股定理得：

MC ＝22＋12＝5，∴S △CMN ＝12×5×5＝52

；②以点M 为直角顶点且M 在x 轴下方时，如图

③，作辅助线，构建如图③的两直角三角形：Rt △NEM 和Rt △MDC ，得Rt △NEM ≌Rt △MDC ，∴EM ＝CD ＝5，MD ＝ME ＝2，由勾股定理得：CM ＝22＋52＝29，∴S △CMN ＝12×29×29＝29

2；

③以点N 为直角顶点且N 在y 轴左侧时，如图④，CN ＝MN ，∠MNC ＝90°，作辅助线，同理得：CN ＝32＋52

＝34，∴S △CMN ＝12×34×34＝17；④以点N 为直角顶点且N 在y 轴右侧

时，作辅助线，如图⑤，同理得：CN ＝32

＋12

＝10＝10，此时点N 与点A 重合，∴S △CMN

＝1

2×10×10＝5；⑤以C 为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上所述：△CMN 的面积为：5

2

或17或5