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北师版高数必修五第5讲:等比数列的前n项和公式

等比数列的前n 项和公式

北师版高数必修五第5讲:等比数列的前n项和公式

北师版高数必修五第5讲:等比数列的前n项和公式

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北师版高数必修五第5讲:等比数列的前n项和公式

教学重点: 掌握等比数列前n 项和通项公式及性质,理解等比数列前n 项和公式与函数的关系 教学难点: 等比数列前n 项和通项公式的性质的应用

北师版高数必修五第5讲:等比数列的前n项和公式

北师版高数必修五第5讲:等比数列的前n项和公式

1. 等比数列前n 项和通项公式

设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则12...n n S a a a =+++ (1) 当1q =时,1n S na = (2) 当1q ≠时,()11111n n n a q a a q

S q

q

--=

=

--

2. 等比数列前n 项和公式的性质

(1) 等比数列中,连续m 项的和(如232,,,...m m m m m S S S S S --)仍组成等比数列(注意:

公比1q ≠-)

(2)

{}n a 是公比不为1的等比数列()0n n S Aq B A B ?=++=

(3) m

n m m n S S q S +=+(q 为公比)

(4) 若等比数列的项数为()2k k N +∈,则

S

S

偶/奇

q = ;

若等比数列的项数为()21k k N ++∈ ,则

S a

S

- 奇/偶q =

3. 等比数列前n 项和公式与函数的关系

(1) 当 1q =时,1n S na =是关于n 的正比例函数(常数项为0的一次函数);当1q ≠时,

()0n n S Aq A A =-+≠是n 的一个指数式与一个常数的和,其中指数式的系数和常数项互为相反数,且1

1a A q

=

- (2) 当1q =时,数列123,,,...,,...n S S S S 的图像是正比例函数1y a x =的图像上的一群孤立的

点;当1q ≠时,数列123,,,...,,...n S S S S 的图像是函数()0x y Aq A A =-+≠的图像上的一群孤立的点。

(3) 若n S 表示数列{}n a 的前n 项和,且()0,1n n S Aq A Aq q =-≠≠则数列{}n a 是等比

数列。

北师版高数必修五第5讲:等比数列的前n项和公式

类型一:等比数列前n 项和通项公式

例1. 在等比数列{}n a 中,若189,2,96,n n S q a ===求1,a n 解析:由()1111,1n n n n a q S a a q q

--=

=?-以及已知条件得

()()111121891

121111962962192,189211923232,63n n a n n n a a a a a n --=--=??∴?=∴=-=-∴===∴=???

Q 答案:13,6a n ==

练习1. 在等比数列{}n a 中,若13465

10,4

a a a a +=+=

,求4a 和5S 答案:45311,2

a S ==

练习2. 在等比数列{}n a 中,若42,1,q S ==求8S 答案:817S =

例2.等比数列{}n a 中,已知333,9,a S ==求1a 和公比q

解析:当1q =时,13313,39a a S a ====符合题意;当1q ≠时,由已知得

()2311332

191210,a a q a q S q

q q ==-==-??∴--=??? 解得12q =-或1q =(舍)1111121,3;,122a q a q a ∴=∴===-= 答案:111

1,3;,122

q a q a ===-=

练习3.已知数列{}n a 满足124

30,,3

n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于 答案:()

10313--

练习 4.设公比为()0q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 若224432,32,S a S a =+=+则q 为____ 答案:

32

类型二: 等比数列前n 项和公式的性质

例3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若102010,30S S ==则30S = ___________ 解析:{}n a 是等比数列,1020103020,,S S S S S ∴--仍成等比数列,又

()2

102030

30301010,30,30,7010

S S S S -==∴-=

∴=

答案:70

练习5. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知368,7,S S ==则789a a a ++= () A.

18 B.18- C.578 D.55

8

答案:A

练习6.已知等比数列的前n 项和1

3,,n n S a n N ++=+∈则实数a 的值是()

A.-3

B.3

C.-1

D. 1 答案:A

类型三: 等比数列前n 项和公式与函数关系

例4.若等比数列{}n a 中,前 n 项和2n

n S a =+,则a =()

A.-2

B.2

C.1

D.-1

解析:由题意知,{}n a 为公比不为1的等比数列,因为2n

n S a =+故101a a +=∴=-故选D

答案:D

练习7.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知481,17,S S ==求n S 答案:当2q =时,()12115

n

n S =

- 当2q =-时,()12115n

n S ??=

--?

? 练习8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为1

1

3

,6

n n S x -=?-则x 的值为_______ 答案:

12

例5.数列2

2

1

1,12,122,...,122...2n -+++++++的前 n 项和等于()

A.1

2

n n +- B.2n C.2n n - D.122n n +--

解析:不妨设该数列为{}n a ,其前n 项和为n S ,则

()()()()2112121

2

3

1

122...221...2121...21222 (22)

2n n n n n n n

n a S a a a n n

-+=++++=-∴=+++=-+-++-=++++-=--

答案:D

练习9.已知数列{}n a 满足12...21,n n a a a +++=-则222

12...n a a a +++= ____________

答案:413

n -

练习10.1

22133434...344n

n n n n ---+?+?++?+= ________________

答案:114

3n n ++-

北师版高数必修五第5讲:等比数列的前n项和公式

1. 已知等比数列{a n }中,公比q 是整数,a 1+a 4=18,a 2+a 3=12,则此数列的前8项和为( ) A .514 B .513 C .512 D .510 答案:

D

2. 等比数列{a n}中,a4=2,a5=5,则数列{lg a n}的前8项和等于()

A.6B.5 C.4 D.3

答案:C

3. 已知等比数列的前n项和S n=4n+a,则a的值等于()

A.-4B.-1 C.0 D.1

答案:B

4.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则a+b+c的值为()

北师版高数必修五第5讲:等比数列的前n项和公式

A.1

答案:A

5. 若S n是数列{a n}的前n项和,且S n=n2,则{a n}是()

A.等比数列,但不是等差数列

B.等差数列,但不是等比数列

C.等差数列,但也是等比数列

D.既不是等差数列,又不是等比数列

答案:B

6. 设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1=-11,a4+a6=-6,则当S n取最小值时,n等于() A.6B.7 C.8 D.9

答案:A

7. 等比数列{a n}的前n项和为S n,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4=()

A.7B.8 C.15 D.16

答案:C

8. 设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()

A.13B.35 C.49 D.63

答案:C

北师版高数必修五第5讲:等比数列的前n项和公式

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北师版高数必修五第5讲:等比数列的前n项和公式

基础巩固

1. 在数列{a n }中,a 1,a 2,a 3成等差数列,a 2,a 3,a 4成等比数列,a 3,a 4,a 5的倒数成等差数列,则a 1,a 3,a 5( )

A .成等差数列

B .成等比数列

C .倒数成等差数列

D .不确定 答案:B

2. 等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为( )

A .81

B .120

C .168

D .192 答案:B

3. 已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列{1

a n }的前5项和为( )

A .158或5

B .3116或5

C .3116

D .158

答案:C

4. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=27,则S 9=( ) A .81 B .72 C .63 D .54 答案:C

5. 设等比数列{a n }的公比q =12,前n 项和为S n ,则S 4

a 4=________.

答案:15

6. 若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q =______,前n 项和S n =______. 答案:2, 2n +

1-2

7. 设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和,若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为________. 答案:-1

2

8. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 9=72,则a 2+a 4+a 9=________. 答案:24

9. 已知等差数列{a n }的公差不为0,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列. (1)求{a n }的通项公式;

(2)求a 1+a 4+a 7+a 10+…+a 3n -2. 答案:(1)设公差为d ,由题意,得

a 211=a 1·

a 13,即(a 1+10d )2=a 1(a 1+12d ), 又a 1=25,解得d =-2或d =0(舍去).

∴a n =a 1+(n -1)d =25+(-2)×(n -1)=27-2n . (2)由(1)知a 3n -2=31-6n ,

∴数列a 1,a 4,a 7,a 10,…,是首项为25,公差为-6的等差数列. 令S n =a 1+a 4+a 7+…+a 3n -2 =

n (25+31-6n )

2

=-3n 2

+28n .

10. 在等比数列{a n }中,已知a 6-a 4=24,a 3·a 5=64,求数列{a n }的前8项和. 答案:解法一:设数列{a n }的公比为q ,根据通项公式a n =a 1q n -

1,由已知条件得

a 6-a 4=a 1q 3(q 2-1)=24,

a 3·a 5=(a 1q 3)2=64, ∴a 1q 3=±8.

将a 1q 3=-8代入①式,得q 2=-2,没有实数q 满足此式,故舍去. 将a 1q 3=8代入①式,得q 2=4,∴q =±2. 当q =2时,得a 1=1,所以S 8=a 1(1-q 8)

1-q =255;

当q =-2时,得a 1=-1,所以S 8=a 1(1-q 8)

1-q =85.

解法二:因为{a n }是等比数列,所以依题意得 a 24=a 3·

a 5=64, ∴a 4=±8,a 6=24+a 4=24±8. 因为{a n }是实数列,所以a 6

a 4

>0,

故舍去a 4=-8,而a 4=8,a 6=32,从而a 5=±a 4·a 6=±16. 公比q 的值为q =a 5

a 4

=±2,

当q =2时,a 1=1,a 9=a 6q 3=256, ∴S 8=a 1-a 9

1-q

=255;

当q =-2时,a 1=-1,a 9=a 6q 3=-256, ∴S 8=a 1-a 9

1-q =85.

能力提升

11. 根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满

足S n =n

90·(21n -n 2-5)(n =1,2,…,12).按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是( )

A .5月、6月

B .6月、7月

C .7月、8月

D .8月、9月

答案:C

12. 已知等比数列{a n }满足a n >0,n =1,2,…,且a 5·a 2n -5=22n (n ≥3),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n -1=( )

A .n (2n -1)

B .(n +1)2

C .n 2

D .(n -1)2 答案:C

13. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=3,则S 9

S 6

=( )

A .2

B .73

C .8

3 D .3

答案:B

14. 等比数列{a n }中,a 3=7,前三项之和S 3=21,则公比q 的值为( )

A .1

B .-12

C .1或-12

D .-1或1

2

答案: C

15. 已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是( )

A .7

B .9

C .63

D .7或63 答案:D

16. 已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=1

4

,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=( )

A .16(1-4-n )

B .16(1-2-n )

C .323(1-4-n )

D .323(1-2-

n )

答案:C

17. 等比数列{a n }中,若前n 项的和为S n =2n -1,则a 21+a 22+…+a 2n

=________. 答案:1

3

(4n -1)

18. 已知数列{a n }的前n 项和S n =1-5+9-13+17-21+…+(-1)n -

1(4n -3),则S 22-S 11=________. 答案:-65

19. 等比数列{a n }共有2n +1项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则a n +1等于( ) A .65 B .5

6 C .20 D .110

答案:B

20. 已知数列{a n }的首项a 1=2,且a n =4a n -1+1(n ≥2),则a 4为( ) A .148 B .149 C .150 D .151 答案:B

21.已知a ,b ,c 成等比数列,a ,x ,b 成等差数列,b ,y ,c 也成等差数列,则a x +c

y 的值__________.

答案:2

22. 将全体正整数排成一个三角形数阵:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

……

按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________.

答案:n 2-n +62

23. 设{a n }是公比为正数的等比数列,a 1=2,a 3=a 2+4.

(1)求{a n }的通项公式;

(2)设{b n }是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n +b n }的前n 项和S n . 答案:(1)设公比为q (q >0),

∵a 1=2,a 3=a 2+4, ∴a 1q 2-a 1q -4=0, 即q 2-q -2=0,解得q =2, ∴a n =2n .

(2)由已知得b n =2n -1, ∴a n +b n =2n +(2n -1),

∴S n =(2+22+23+…+2n )+(1+3+5+…+2n -1) =2(1-2n )1-2+[1+(2n -1)]n 2

=2n +

1-2+n 2.

24. 在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=2a n +2n .

(1)设b n =a n

2n -1.证明:数列{b n }是等差数列.

(2)求数列{a n }的前n 项和. 答案:(1)∵a n +1=2a n +2n ,

∴a n +12n =a n

2n -1+1,即b n +1=b n +1, ∴b n +1-b n =1.

故数列{b n }是首项为1,公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ,∴a n =n ·2n -

1. S n =1×20+2×21+3×22+…+n ·2n -

1, 2S n =1×21+2×22+…+(n -1)·2n -1+n ·2n , 两式相减得-S n =1+21+22+…+2n -1-n ·2n =1-2n 1-2-n ·2n =2n -1-n ·2n , ∴S n =(n -1)2n +1.

25. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,S 3,S 2成等差数列.

(1)求{a n }的公比q ; (2)若a 1-a 3=3,求S n .

答案:(1)∵S 1,S 3,S 2成等差数列,2S 3=S 1+S 2,

∴q =1不满足题意. ∴2a 1(1-q 3)1-q =a 1+a 1(1-q 2)1-q ,

解得q =-12.

(2)由(1)知q =-1

2

又a 1-a 3=a 1-a 1q 2=3

4a 1=3,

∴a 1=4.

∴S n =4[1-(-1

2

)n ]

1+12

=83[1-(-1

2

)n ]. 26. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,S 3=72,S 6=632

.

(1)求数列{a n }的通项公式a n ;

(2)令b n =6n -61+log 2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n . 答案:(1)∵S 6≠2S 3,∴q ≠1.

∴????

?

a 1(1-q 3)1-q

=7

2a 1

(1-q 6

)1-q =632

解得q =2,a 1=1

2

.

∴a n =a 1q n -1=2n -

2. (2)b n =6n -61+log 22n -

2 =6n -61+n -2=7n -63.

b n -b n -1=7n -63-7n +7+63=7, ∴数列{b n }是等差数列.

又b 1=-56,∴T n =nb 1+1

2n (n -1)×7

=-56n +1

2n (n -1)×7

=72n 2-1192

n . 27. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知S 4=1,S 8=17,求S n . 答案:设{a n }公比为q ,由S 4=1,S 8=17,知q ≠1,

∴?????

a 1(1-q 4)

1-q

=1a 1

(1-q 8

)1-q =17

两式相除并化简,得q 4+1=17,即q 4=16. ∴q =±2.

∴当q =2时,a 1=115,S n =1

15(1-2n )1-2=1

15(2n -1);

当q =-2时,a 1=-1

5,S n =-1

5[1-(-2)n ]1+2

=1

15

[(-2)n -1]. 28. 已知数列{a n }的首项a 1=23,a n +1=2a n

a n +1

,n =1,2,….

(1)证明:数列?

???

??

1a n

-1是等比数列;

(2)求数列????

??

n a n 的前n 项和S n .

答案:(1)∵a n +1=2a n

a n +1

∴1a n +1=a n +12a n =12+12·1a n ,

1

a n +1

-1=12????1

a n -1, 又a 1=23,∴1a 1-1=1

2

∴数列????

??1a n -1是以12为首项,1

2为公比的等比数列.

(2)由(1)知1a n -1=12·12n -1=1

2n ,

即1a n =12n +1,∴n a n =n

2n +n . 设T n =12+222+323+…+n 2n ,

① 则12T n =122+223+…+n -12n +n

2n +1,

①-②得12T n =12+122+…+12n -n 2n +1

=12??

??1-12n 1-12

-n 2n +1=1-12n -n 2n +1,

∴T n =2-12

n -1-n

2n .又1+2+3+…+n =n (n +1)2.

∴数列????

??

n a n 的前n 项和

S n =2-2+n 2n +n (n +1)2=n 2+n +42-n +2

2

n .

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