圆锥曲线的几何性质
一、椭圆的几何性质
(以22a x +22
b
y =1(a ﹥b ﹥0)为例)
1、⊿ABF 2的周长为4a(定值)
证明:由椭圆的定义
12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=??
?+++=?+=??
即2
4ABF C a =
2、焦点⊿PF 1F 2中: (1)S ⊿PF1F2=2
tan
2θ
?b
(2)(S ⊿PF1F2)max = bc
(3)当P 在短轴上时,∠F 1PF 2最大 证明:(1)在
12AF F 中
∵ 2
2
2
1212
4cos 2PF PF c PF PF θ+-=
?
∴ ()
2
1212
122cos 2PF PF PF PF PF PF θ?=+-?∴ 21221cos b PF PF θ
?=+
∴ 12
22112sin cos tan 21cos 2
PF F b S b θθθθ-=??=?+ (2)(S ⊿PF1F2)max =
max 1
22
c h bc ??= (3 ()()()
2
2
22
2
2
22
12002
222
22212
0004444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---=
=
=-?-+ 当0x =0时 cos θ有最小值22
2
2a c a
- 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线,垂足为M , 则M 的轨迹是x 2
+y 2
=a 2
证明:延长1F M 交2F P 于F ,连接OM
x
x
x
由已知有 1PF FP = M 为1F F 中点 ∴ 212OM FF =
=()121
2
PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 2
2
2
x y a +=
4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆x 2
+y 2
=a 2
内切
证明:取1PF 的中点M ,连接OM 。令圆M 的直径1PF ,半径为
∵ OM =(
)211111
2222
PF a PF a PF a r =-=-=-
∴ 圆M 与圆O 内切
∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆x 2
+y 2
=a 2
内切
5、任一焦点⊿PF 1F 2的内切圆圆心为I ,连结PI 延长交长轴于则 ∣IR ∣:∣IP ∣=e
证明:证明:连接12,F I F I 由三角形内角角平分线性质有 ∵
1212121222F R F R F R F R IR c e PI PF PF PF PF a
+=====+ ∴ IR
PI
= e
6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。 证明:令()()1122,,,A x y B x y 到准线的距离为1,d d 以为直径的圆的圆心为M 到准线的距离为d 。
∵ ()21221222AF ed AF BF e d d BF ed =??+=+??=?
()()12121
22
AB R e d d R e d d ==+?=+
∵ ()121
2
d d d =+
∵ 0
1e
x
x
x
∴ R d
∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离
7、A 为椭圆内一定点,P 在椭圆上,则: (∣PA ∣+∣PF 2∣)max =2a+∣AF 1∣ (∣PA ∣+∣PF 2∣)min =2a-∣AF 1∣ 证明:连接11,,AP AF PF
∵ ()
21122AP PF AP a PF a AP PF +=+-=+-
∵ 111AF AP PF AF -≤-≤
∴ 12122a AF AP PF a AF -≤+≤+ ∴ (∣PA ∣+∣PF 2∣)max =2a+∣AF 1∣ (∣PA ∣+∣PF 2∣)min =2a-∣AF 1∣
8、A 为椭圆内一定点,P 是椭圆上的动点,则
(∣PA ∣+
e
PF 2)min = A 到右准线的距离
证明:设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有
PF PF
e d d e
=?= ∴(∣PA ∣+
e
PF 2)min =()
min
PA d
+ = A 到右准线的距离.
9、焦点⊿PF 1F 2的旁心在直线 x=±a 上。 证明:令
☉I 与⊿PF 1F 2
三边所在的直线相切于M 、N 、A
∵ PM PN = 22F N F A =
∴
111221PF PN F M F F F N F A
+=+=
x
x
∵ 1
1FM F A = ∴ 1122PF PN F F F N +=+
∵ 22F N F A =
∴ 121222PF PN F N F F F N F A ++=++ ∵ 22F N F A = ∴ 2222a c F A =+
∴ 2a c F A =+ 即为椭圆顶点。 ∴ 焦点⊿PF 1F 2
的旁心在直线 x=±a 上
10、P 是椭圆上任意一点,PF 2的延长线交右准线于E ,K 是准线 上另一任意点,连结PK 交椭圆于Q ,则KF 2平分∠EF 2Q 证明:令P,Q 到准线的距离为12,d d
2122
212122222212PF e d PF QF PF d QF d d QF d PF PK
e d QF QK d PK
d QK ??
=?????
=?=???=?=????
?=??
由三角形外角平分线性质定理有KF 2平分∠EF 2Q
11、
)(2112定值b
a BF AF =+ 证明:令()()1122,,,A x y B x y
当AB 的斜率存在时,设直线AB 方程为(
y k x c =-∵()
2222222222
2222
(2)0y k x c b x a k x k cx c k a b x y a
b =-???+-+-=?+??
x E
x
22222222222
()20b a k x a k cx a k c a b ?+-+-=
∴ 22122222a k c x x b a k +=+ 22222
12222a k c a b x x b a k
-=+
∴
12121111AF a ex BF a ex AF BF a ex a ex =-??
?+=+?=---??
()()1222
1212
2a e x x a ae x x e x x -+=-++ =22222222
22
22222222222222
2222
222222222
222
222222()a k c c a k c
a e a
b a k a b a k a k
c a k c a b a k c c a k c a b
a ae e a ae
b a k b a k b a k a b a k --?++=---+-+++++ 32222422222242222222a k ab ak
c a k a b a k c c k b c +-=+-+- ()
2222224222222
22
2222ak a c ab ak a
k b a b b c k b a c
-++==+-+- ()()
22
222121a k a
b b k +=
=+ 当AB 的斜率存在时,
222112a a a AF BF b b b
+=+= ∴
)(2112定值b
a
BF AF =+
12、AB 是椭圆的任意一弦,P 是AB 中点, 则22
a
b K K OP
AB -=?(定值)
证明:令()()1122,,,A x y B x y ,()00,P x y
则
()1202
x x x +=
()120
2
y y y
+=
∵ ()()()()22
1122
121212122222
22221..01
x y x x x x y y y y a b a b x y a b ?+=?+-+-??+=??+=??
()()()()
2121221212y y b x x x x a y y -+?=--+
∵ ()()1212AB y y k x x -=
-,0
OP
y k x = x
∴ 221AB
OP
b k k a ??=?- ???
∴ 22AB OP
b k k a
?=-
13、椭圆的短轴端点为B 1、B 2,P 是椭圆上任一点,连结B 1P 、B 2P 分别 交长轴于N 、M 两点,则有∣OM ∣*∣ON ∣ =a 2
证明:()()()()()1210020,,0,,0,,,0B b B b N x P x y M x - ∴
()()()()
2002210011,,,,,,B P x y b B M x b B P x y b B N x b =-=-=+=
∵ 由于2B 、P 、M 共线
∴ 000
220x y b bx x x b y b
--=?=--
∵ 由于()()100200,,,PF c x y PF c x y =---=--、P
∴
000
110x y b bx x x b y b
+=?=+ ∴
2222
0022
2200x b x b OM ON AB y b y b
-?==-- ∵ 22222222
0000022222
2
01x y x b y b x a a b a b b y -+=?=?=- ∴ 2
OM ON a ?=
14、椭圆的长轴端点为A 1、A 2,P 是椭圆上任一点,
连结A 1P 、A 2P 并延长,交一准线于N 、M 两点, 则M 、N 与对应准线的焦点张角为900
证明:令()221200,,,,,a a M y N y P x y c c ????
? ?????
, ()1,0A a - ()2,0A a
∴
()()100200221122,,,,
,,,A P x a y A P x a y a a A M a y A N a y c c =+=-????=+=- ? ?
????
∵ 由于1A 、P 、M 共线
x
∴ 2
0001210()
a y a x a y c y a y x a a c
?++=?=++ ∵ 由于2,,A P N 共线
∴ 2
0002220()
a y a x a y c y a y x a a c
?--=?=-- ∴ 22
242200012222
000()()
a a y a y a y a a c c c y y x a x a x a c ?-?+-==?-+-
∵ 2222
0002222201x y y b a b x a a
+=?=--
∴ 24221222b a a c y y a c -=-?
4
2b c
=- ∵ 21412222,,a FM c y c b FM FN y y c a FN c y c ?
??=-?
????
??=+????
=- ??
???
∴ 0FM FN ?=
∴ M 、N 与对应准线的焦点张角为900
15、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线,切点弦AB
该准线对应的焦点。
证明:设20,a M y c ??
??? 则AB 的方程为2
0221a x
y y
c a b
+=
即 021y y
x c b
+=必过点(),0c
16、椭圆的光学性质:过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。 证明:设()00,P x y ,则过P 点的切线l :
00221x x y y
a b
+=,直线l 的法线x 交轴于Q x
直线l 的法向量为:0022,x y n a b ??
=
??
? ∵()()100200,,,PF c x y PF c x y =---=-- ∴2
2222
0002PF c x y cx =++-
22
2
2
2
00022b x c x cx b a
=+-++
422200
22a c x a cx a +-=()
202
2a cx a -=
同理 2
1
PF ()2
02
2a cx a
+=
∵ 22000122cx x y n PF a b --?=-2222
00022cx x b x b a a --=-+202
a cx a --= 同理20
22
a cx n PF a -+?=
∴ 20
2222
022cos a cx n PF a F PQ a cx PF n
n a -+?∠==-??
1n = 20
2222
022
cos a cx n PF a F PQ a cx PF n
n a -+?∠==?-??
1n = ∴ 12F PQ F PQ ∠=∠
即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。
二、双曲线的几何性质(均以
(1)焦点三角形面积:2
cot 2
?
*=?b S
(,122
22>=-b a b
y a x
(2)、过作∠F 1PF 2的内角平行线的重线垂足M 的轨迹是2
2
2
a y x =+
(3)、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与2
2
2
a y x =+内切,小的圆与2
2
2
a y x =+外切。
(4)、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交
(5)、焦点⊿PF 1F 2的内切圆心横生标为±a 即与实轴的切点一定是实轴端点
x
(
2)
x
(4)
x
(5)
x
(3)
(6)焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值∠MCN =2arccos e
1
(7)、A 为双曲线内一定点P 为双曲线上动点=(
PA +2PF )m in =
(8)、如图:A 为双曲线内一定点,P 是双曲线上的动点,(
PA +e
1
2PF )m in 等于A 到右准线的距离
(9)、焦点到渐近线的距离等于b
x
(7)
A
x
(8)
A
x
(10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值22
2c
b
a
(11)、P 是弦AB 中点K AB .K op =22
a
b 定值
(12)、P 为双线上任一点过P 点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值2
1ab
(13)、过P 的切线平分∠F 1PF 2(光学性质)即经过一焦点的光线被双曲线反射,反射光线的下长线过另一焦点
x
x
x
(14)双曲线与渐近线把平面分成5部分
双曲线上的点12222=-b y a x 渐近线上的点
22
22=-b
y a x 区域①的点12222 b y a x - 区域②的点122
22
b y a x -区域③的点1022
22 b
y a x -
过渐近线上的点(除中心)只能作一条切线,过中心无切线,没有与两支都相切的切线过区域①的点作切线分别在两支上,过区域③的点作切线切点在同一支上,过区域②的点没切线,双曲线的切线斜率a
b
k
,区域①、②的点可作弦的中点,中心是任意过中心的弦的中点,渐近线上(除中心),双曲线上,区域③的点不可能是弦中点
(15)直线L 与双曲线的渐近线122
22=-b
y a x 交于A 、B 两点,与双曲线交于C 、D 两点,则AC=BD
三、抛物线的几何性质
均以抛物线()为例022
p px y =
(1) 如图:A 为抛物线内一定点,P 是抛物线上的动点,(
PA +PF )m in 等于A 到准线的距离
(2) 过抛物线()022
p px y =焦点F 作弦AB ,其中A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)则有: ① 2
21p y y -=
② 2
214
p
x x =
③ p x x AB ++=21
④ p AB 2min = ⑤
p F
B F A 211=+
⑥以AB 为直径的圆与准线2
:p
x l -=相切
(3)过抛物线()022
p px y =顶点作任意互相垂直的弦OA 、OB ,则弦AB 必过定点(2p,0);反之亦成立,即
过定点(2p,0)作直线交抛物线于A 、B 两点,则有OA 垂直OB
(4)过抛物线()022
p px y =焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点,弦PQ 的垂直平分线交抛物线的对称轴于
R ,则2
Q P FR =
(5)过抛物线()022
p px y =H 上任一点P (X 0,Y 0)的切线方程为()00x x p yy +=
圆锥曲线的几何性质及其解题应用 一、正确掌握圆锥曲线的几何性质,提高解题效率 1、椭圆中一些线段的长度及其关系如: ①椭圆上的点到焦点最近的距离为AF a c =-,最近的距离为BF a c =+; ②Rt OFC ?中,2 2 2 a b c =+; ④△F PQ '的周长与菱形F CFD '的周长相等,为4a . 例题1、如下图,椭圆中心为O ,F 是焦点,A 、C ,P Q 在椭圆上且PD l ⊥于D ,QF OA ⊥于F ① PF PD ② QF BF ③ AO BO ④ AF BA ⑤ FO AO ⑥ OF FC 能作为椭圆的离心率的是 (填正确的序号)2① 12OB OB b ==;12OA OA a ==. ② 焦点F 向渐近线引垂线,垂足为P ,则 bc PF b c = = =, 又因为OF c =,故有OP a = ③ 由②可知2Rt OA Q Rt OPF ???. ⑥ A A B B ③当PQ x ⊥轴时,2 2b PQ a =?,叫椭圆的通径.
例题2.已知双曲线22 214x y b -=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合,则该双曲线的 焦点到其渐近线的距离等于 . 【解析】双曲线的焦点到其渐近线的距离等于b ,由抛物线方程x y 122 =易知其焦点坐标 为)0,3(,又根据双曲线的几何性质可知2234=+b ,所以5= b . 【点评】平时如果能理解并记住一些有用的结论,可以在考试中节省许多宝贵的时间. 3、抛物线中一些线段的长度及其关系如: ① 通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相交于两点,连接这两点的线段AB 叫做抛物线的通径,且2AB p =. ② 2DF p =,几何意义知道吗? ③ 由①②易知Rt ADF ? ④ 题目中涉及到焦点F 虑定义PF PQ =这个性质.
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义: ⑴第一定义:平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义:动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
回顾复习五:圆锥曲线及其几何性质 ☆考点梳理 1.圆锥曲线的轨迹定义与统一定义. 2.圆锥曲线的标准方程及其推导. 3.圆锥曲线的几何性质:范围、对称性、焦点、离心率、准线、渐近线.☆基础演练 1.如图,椭圆中心为O,A、B为左右顶点,F为左焦点, 左准线l交x轴于C,点P、Q在椭圆上,PD⊥l于D, QF⊥OA于F.给出下列比值: 其中为离心率的有_________________. 2.若 12 ,F F为椭圆 22 1 25 x y m +=的焦点,且 12 8 F F=,则m的 值为. 3.过抛物线的焦点F作直线交其于A、B两点,A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、 B1,则 11 A FB ∠=____________. 4.经过两点() 143 ,, ?? - ? ? ?? 的圆锥曲线的标准方程是________________. 5.过双曲线 22 22 1 x y a b -=的右焦点F作一条渐近线的垂线分别交于A、B两点,O为坐标 原点,若OA、AB、OB成等差数列,且BF,FA u u u r u u u r 同向,则离心率e=_________. 6.椭圆 22 1 2516 x y +=的两个焦点为F1、F2,弦AB过F1,若 2 ABF ?的内切圆周长为π, ()() 1122 A x,y, B x,y,则 12 y y -=____________. ☆典型例题 1.椭圆的定义 例1.如图,已知E,F为平面上的两个定点,G为动点, 610 EF,FG, ==点P为线段EG的中垂线与GF的交点. ⑴建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程; ⑵若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B,且线段AB 的中垂线与EF(或EF的延长线)相交于一点C,线段EF 的中点为O,证明: 9 5 OC<. 2.中点弦问题 例3.直线l交椭圆 22 1 2016 x y +=于M,N两点,点() 04 B,,若⊿BMN的重心恰为椭圆 右焦点,则直线l的方程是_________________. 3.椭圆的几何性质 例2.已知 1 F、 2 F分别是椭圆() 22 22 10 x y a b a b +=>>的左右焦点,右准线l,离心率e. ⑴若P为椭圆上的一点,且 12 F PF ∠=θ,则 12 PF F S ? =_____________. ⑵若椭圆上存在一点P,使得 12 PF PF ⊥,则e的范围是_____________. ⑶若椭圆上存在一点P,使得 12 PF ePF =,则e的范围是_____________. ⑷若在l上存在一点P,使得线段 1 PF的中垂线经过 2 F,则e的范围是___________. ⑸若P为椭圆上的一点,线段 2 PF与圆222 x y b +=相切于中点Q,则e=________. ⑹过F且斜率为k的直线交椭圆于A、B两点,且3 AF FB = u u u r u u u r ,若 2 e=,则k=___. 4.最值问题 例4.已知动点P在椭圆 22 1 1612 x y +=上,(,(2,0) A B. ⑴若2 PA PB +取最小值,则点P的坐标为____________; ⑵若动点M满足||1 BM= u u u u r ,且0 PM BM= u u u u r u u u u r g,则| |的最小值是; ⑶PA PB +的取值范围是________________________. 例5.椭圆W的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为 3 两条准线间的距离为6.椭 圆W的左焦点为F,过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W 交于不同的两点A、B,点A关于x轴的对称点为C. ⑴求椭圆W的方程;⑵求证:CF FB λ = u u u r u u u r ;⑶求MBC ?面积S的最大值. ☆方法提炼 1.椭圆的标准方程有两种形式,有时需要就焦点位置进行讨论. 2.椭圆有两种定义方式,解题时要学会“回到定义去”. 3.椭圆有两个焦点、两条准线,解题时建议联系起来考虑. 4.解解析几何问题,“画个图”是个好建议;中点弦问题利用“点差法”可简化运算. 5.在处理直线与椭圆相结合的问题时,要学会利用韦达定理整体处理. P H E F G 第 1 页
圆锥 曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a (大于21||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点,则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为: 22 221x y a b +=(0a b >>)(焦点在x 轴上)或 122 22=+b x a y (0a b >>)(焦点在y 轴上)。 注:①以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中222b a c =-; ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的位 置,只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n +=(0m >,0n >,m n ≠)当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆;当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤,||y b ≤,说明椭圆位于直线x a =±,y b =±所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以y -代替y 方程不变,所以若点(,)x y 在曲线上时,点(,)x y -也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称,同理,以x -代替x 方程不变,则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ,y -代替y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原
点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令0x =,得y b =±,则1(0,)B b -,2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±,即1(,0)A a -,2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ;在22Rt OB F ?中, 2||OB b =,2||OF c =,22||B F a =,且2222222||||||OF B F OB =-,即222c a b =-; ④离心率:椭圆的焦距与长轴的比c e a =叫椭圆的离心率。∵0a c >>,∴ 01e <<,且e 越接近1,c 就越接近a ,从而b 就越小,对应的椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近于0,从而b 越接近于a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时,0c =,两焦点重合,图形变为圆,方程为222x y a +=。 2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(12||||||2PF PF a -=)。 注意:①式中是差的绝对值,在1202||a F F <<条件下;12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支; 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支(含1F 的一支);②当122||a F F =时,12||||||2PF PF a -=表示两条射线; ③当122||a F F >时,12||||||2PF PF a -=不表示任何图形;④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点,12||F F 叫做焦距。 (2)双曲线的性质
圆锥曲线的几何性质 一、选择题(' ' 6636?=) 1. .设22221(0)x y a b a b +=>>为 黄金椭圆,F 、A 分别是它的左焦点和右端点,B 是它的短轴的一个端点,则ABF ∠=( ) A ,60 B ,75 C ,90 D ,120 2.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>右焦点为F ,右准线为l ,一直线交双曲线于P ,Q 两点,交l 于R 点,则( ) A ,PFR QFR ∠>∠ B ,PFR QFR ∠=∠ C ,PFR QFR ∠<∠ D ,PFR ∠与QFR ∠的大小不确定 3.已知点A(0,2)和抛物线24y x =+上两点B 、C ,使得AB BC ⊥,当点B 在抛物线上移动时,点C 的纵坐标的取值范围是 ( ) A ,(,0][4,)-∞+∞ B ,(,0]-∞ C ,[4,)+∞ D ,[0,4,] 4.设椭圆方程2 213 x y +=,(0,1)A -为短轴的一个端点,M ,N 为椭圆上相异两点。若总存在以MN 为底边的等腰AMN ?,则直线MN 的斜率k 的取值范围是 ( ) A ,(1,1)- B ,[1,1]- C ,(1,0]- D ,[0,1] 5.已知12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任 意一点,若 2 12 PF PF 的最小值为8a ,则双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A ,(1,)+∞ B ,(1,2] C , D ,(1,3] 6.已知P 为抛物线2 4y x =上一点,记P 到此抛物线的准线的距离为1d ,P 到直线 2120x y +-=的距离为2d ,则12d d +的最小值为 ( )
§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义:为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程:i. 中心在原点,焦点在x 轴上:)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点,焦点在y 轴上:)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程:)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程:122 2 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x (一象限θ应是属于20π θ ). ⑵①顶点:),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. > ②轴:对称轴:x 轴,y 轴;长轴长a 2,短轴长b 2. ③焦点:)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距:2221,2b a c c F F -==. ⑤准线:c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率:)10( e a c e =. ⑦焦点半径: i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12222 b a b y a x =+ 上的一点,21,F F 为左、右焦点,则 》 ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点,21,F F 为上、下焦点,则 由椭圆第二定义可知:)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ,方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数,)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆: 12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b (用 ? -=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF
第十六单元圆锥曲线的概念与几何性质 考点一椭圆的标准方程和几何性质 1.(2017年全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是(). A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,∪[4,+∞) 【解析】当0
【解析】(法一)由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,故离心率e=====. (法二)由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得 |F1F2|=|PF2|,故2c=·,变形可得(a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得(1-e2)=2e,解得e=或e=-(舍去). 【答案】D 4.(2017年全国Ⅲ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(). A.B.C.D. 【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为a. ∵直线bx-ay+2ab=0与圆相切, ∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b, ∴=, ∴e==- =-= -=.故选A. 【答案】A 考点二双曲线的标准方程和几何性质 5.(2016年全国Ⅰ卷)已知方程- - =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(). A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,) 【解析】若已知方程表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2
圆锥曲线的几何性质 一、椭圆的几何性质 (以22a x +22 b y =1(a ﹥b ﹥0)为例) 1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明:由椭圆的定义 12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=?? ?+++=?+=?? 即2 4ABF C a = 2、焦点⊿PF 1F 2中: (1)S ⊿PF1F2=2 tan 2θ?b (2)(S ⊿PF1F2)max = bc (3)当P 在短轴上时,∠F 1PF 2最大 证明:(1)在 12AF F 中 ∵ 2 2 21212 4cos 2PF PF c PF PF θ+-=? ∴ () 2 1212 122cos 2PF PF PF PF PF PF θ?=+-?∴ 2 1221cos b PF PF θ ?=+ ∴ 12 22112sin cos tan 21cos 2 PF F b S b θθθθ-=??=?+ (2)(S ⊿PF1F2)max = max 1 22 c h bc ??= (3 ()()() 2 2 22 2 2 22 12002 2222 2 212 00 4444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---= = =-?-+ 当0x =0时 cos θ有最小值22 2 2a c a - 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线,垂足为M 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明:延长1F M 交2F P 于F ,连接OM x x x
圆锥曲线的概念及性 质
第二讲 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1.(2010·安徽)双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为 ( ) A.?? ??22,0 B.????52,0 C.??? ?62,0 D .(3,0) 解析:∵原方程可化为x 21-y 2 1 2=1,a 2=1, b 2=12, c 2=a 2+b 2=32, ∴右焦点为??? ? 62,0. 答案:C 2.(2010·天津)已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一 个 焦点在抛物线y 2=24x 的准线上,则双曲线的方程为 ( ) A.x 236-y 2108=1 B.x 29-y 2 27=1 C.x 2108-y 236=1 D.x 227-y 2 9 =1 解析:∵渐近线方程是y =3x ,∴ b a = 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2=24x 的准线上, ∴c =6.② 又c 2=a 2+b 2,③ 由①②③知,a 2=9,b 2=27, 此双曲线方程为x 29-y 2 27=1. 答案:B
4.(2010·辽宁)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,P A⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|= () A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 解析:解法一:AF直线方程为: y=-3(x-2), 当x=-2时,y=43,∴A(-2,43). 当y=43时代入y2=8x中,x=6, ∴P(6,43), ∴|PF|=|P A|=6-(-2)=8.故选B. 解法二:∵P A⊥l,∴P A∥x轴. 又∵∠AFO=60°,∴∠F AP=60°, 又由抛物线定义知P A=PF, ∴△P AF为等边三角形. 又在Rt△AFF′中,FF′=4,
解析几何专题03圆锥曲线的定义、方程及几何性质 学习目标 (1)理解圆锥曲线的定义,并能正确运用圆锥曲线的定义解决一些简单的问题; (2)掌握圆锥曲线的标准方程,并能熟练运用“待定系数法”求圆锥曲线的方程; (3)能根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的一些几何性质(尤其是焦点、离心率以及双曲线的渐近线等)。 知识回顾及应用 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆 (2)双曲线 (3)抛物线 2.圆锥曲线的方程 (1)椭圆的标准方程 (2)双曲线的标准方程 (3)抛物线的标准方程 3.圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆的几何性质 (2)双曲线的几何性质 (3)抛物线的几何性质 4.应用所学知识解决问题: 【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点53 (,)22 -, 求椭圆的方程。 答案:22 1106 x y + = 【变式1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)离心率14 e b = =,焦点在x 轴上; (2)4,a c ==焦点在y 轴上; (3)10,a b c +== 答案:(1)22116x y +=;(2)22 116y x +=;(3)2213616x y + =或2213616 y x +=。 【变式2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)3a b =,且经过点(3,0)P ; (2)经过两点3(2-。 答案:(1)22 19x y +=或221819y x +=;(2)2214 x y +=。
问题探究(请先阅读课本,再完成下面例题) 【类型一】圆锥曲线的方程 例1.已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ,它们在x 轴上有共同焦点,椭圆 和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.求这三条曲线的方程。 解:设抛物线方程为()220y px p =>,将()1,2M 代入方程得2p = 24y x ∴= 抛物线方程为: 由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1 对于椭圆,1222a MF MF =++(2 2 2222211321 a a b a c ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为: 对于双曲线,1222a MF MF '=-= 2222221321 a a b c a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为: 练习:1.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点12,F F 在x 轴上,离心率为 2 。过1F 的直线L 交C 于,A B 两点,且2ABF 的周长为16,那么C 的方程为 。 答案:22 1168 x y + =求圆锥曲线的方程主要采用“待定系数法” 。需要注意的是在求解此类问题时应遵循“先定位,再定量”的原则。注意:当“焦点所在轴不定”时,要有“分类讨论”意识,
圆锥曲线的定义及几何性质 1. 椭圆 222 2 1x y a b + =和 222 2 x y k a b + =(0)k >一定具有( ) A .相同的离心率 B .相同的焦点 C .相同的顶点 D .相同的长轴长 2. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若2 ABF ?是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ) A . 2 B . 3 C 2 D 3 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120M F M F ?= 的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的 取值范围是( )A .(01), B .1(0]2 , C .(02 D .1)2 4. 过椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若 1260F PF ∠=°,则椭圆的离心率为( ) A . 2 B . 3 C .12 D .1 3 5. 已知椭圆 2222 1x y a b +=的左、 右焦点分别为1F 、2F ,且12||2F F c =,点A 在椭圆上,1120AF F F ?= ,2 12AF AF c ?= ,则椭圆的离心率e = ( ) A . 3 B . 2 C 2 D 2 6. 已知P 是以12F F ,为焦点的椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>上的一点,若 120 PF PF ?= , 121tan 2 PF F ∠= ,则此椭圆的的离心率为( ) A . 12 B . 23 C .1 3 D 3 7. 已知椭圆 2 2 15 x y m + = 的离心率e 5 =m 的值为( ) A .3 B . 253 或3 C . D 8. 椭圆的长轴为12A A ,B 为短轴的一个端点,若∠012120A BA =,则椭圆的离心率为( ) A . 12 B 3 C 3 D 2 9. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的四个顶点为A 、B 、C 、D ,若四边形ABC D 的内切圆恰好过椭 圆的焦点,则椭圆的离心率是( ) A . 2 B . 4 C 2 D 4 10. 设12F F ,分别是椭圆 222 2 1x y a b + =(0a b >>)的左、右焦点,若在直线2 :a l x c = 上存在P (其 中c =),使线段1PF 的中垂线过点2F ,则椭圆离心率的取值范围是( ) A .0, 2? ?? B .0, 3? ? ? C .,12????? D .,13? ???? 11. 椭圆上一点A 看两焦点的视角为直角,设1AF 的延长线交椭圆于B ,又2||||AB AF =,则椭圆的 离心率e =( ) A .2-+ B . C 1- D 12. 椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>的右焦点F ,其右准线与x 轴的交点为A ,在椭圆上存在点满足线 段AP 的垂直平分线过点F ,则椭圆离心率的取值范围是( ) 13. A .02? ? ? B .102? ? ?? ?, C .)11 , D .112 ???? ??, 14. 已知椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>,A 是椭圆长轴的一个端点,B 是椭圆短轴的一个端点,F 为 椭圆的一个焦点. 若AB BF ⊥,则该椭圆的离心率为 ( ) 224416. 在ABC △中,A B B C =,7cos 18 B =- .若以A B ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离 心率e = . 17. 在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆 222 2 1(0) x y a b a b +=>>的焦距为2c ,以点O 为圆心,a 为 半径作圆M .若过点20a P c ?? ? ?? ,作圆M 的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率为 . 18. 直线:220l x y -+=过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ,该椭圆的离心率为_________. 19. 设12(0)(0)F c F c -,,,是椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的两个焦点,P 是以12F F 为直径的圆与椭 圆的一个交点,若12 21 2PF F PF F ∠=∠,则椭圆的离心率等于________. 20. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的半焦距为c ,若直线2y x =与椭圆一个交点的横坐标恰为c ,椭圆 的离心率为_________ 21. 已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A B ,两点,若 2ABF △是正三角形,则这个椭圆的离心率是_________.
,. 圆锥曲线的几何性质 一、椭圆的几何性质 (以22a x +22 b y =1(a ﹥b ﹥0)为例) 1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明:由椭圆的定义 12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=?? ?+++=?+=?? 即24ABF C a =< 2、焦点⊿PF 1F 2中: (1)S ⊿PF1F2=2 tan 2θ?b (2)(S ⊿PF1F2)max = bc (3)当P 在短轴上时,∠F 1PF 2最大 证明:(1)在12AF F <中 ∵ 2 2 2 1212 4cos 2PF PF c PF PF θ+-= ? ∴ () 2 1212 122cos 2PF PF PF PF PF PF θ?=+-?- ∴ 21221cos b PF PF θ ?=+ ∴ 12 22112sin cos tan 21cos 2 PF F b S b θθθθ-=??=?+ (2)(S ⊿PF1F2)max = max 1 22 c h bc ??= ()()2 2 2 2 2222 12004444PF PF c a ex a ex c a c +-++---x x
,. 当0x =0时 cos θ有最小值22 2 2a c a - 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线,垂足为M 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明:延长1F M 交2F P 于F ,连接OM 由已知有 1PF FP = M 为1 F F 中点 ∴ 212OM FF = =()121 2 PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 2 2 2 x y a += 4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆x 2+y 2=a 2内切 证明:取1PF 的中点M ,连接OM 。令圆M 的直径1PF ,半径为∵ OM =()211111 2222 PF a PF a PF a r =-=-=- ∴ 圆M 与圆O 内切 ∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆x 2+y 2=a 2内切 5、任一焦点⊿PF 1F 2的内切圆圆心为I ,连结PI 延长交长轴于则 ∣IR ∣:∣IP ∣=e 证明:证明:连接12,F I F I 由三角形内角角平分线性质有 ∵ 1212121222F R F R F R F R IR c e PI PF PF PF PF a +=====+ x x y x
圆锥曲线定义、标准方程及性质 一.椭圆 定义Ⅰ:若F 1,F 2是两定点,P 为动点,且21212F F a PF PF >=+ (a 为常数)则P 点的轨迹是椭圆。 定义Ⅱ:若F 1为定点,l 为定直线,动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e (0
4.2解析几何--圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1.(2010·安徽双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为 ( A. B. C. D.(,0 解析:∵原方程可化为-=1,a2=1, b2=,c2=a2+b2=, ∴右焦点为. 答案:C 2.(2010·天津已知双曲线-=1(a>0,b>0的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为 ( A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:∵渐近线方程是y=x,∴=.① ∵双曲线的一个焦点在y2=24x的准线上, ∴c=6.② 又c2=a2+b2,③ 由①②③知,a2=9,b2=27, 此双曲线方程为-=1. 答案:B
4.(2010·辽宁设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|= ( A.4 B.8 C.8 D.16 解析:解法一:AF直线方程为: y=-(x-2, 当x=-2时,y=4,4A(-2,4. 当y=4时代入y2=8x中,x=6, 4P(6,4, 4|PF|=|PA|=6-(-2=8.故选B. 解法二:5PA∞l,4PA%x轴.
又5 AFO=60°,4 FAP=60°, 又由抛物线定义知PA=PF, 4≥PAF为等边三角形. 又在Rt≥AFF′中,FF′=4, 4FA=8,4PA=8.故选B. 答案:B 5.高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上,且相距10 m,则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 ( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:如图1,假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆,P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点,由于∠BPA=∠DPC,则Rt△ABP∽Rt△CDP,=,从而 PC=2PA.在平面APC上,以AC为x轴,AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2,则A(-5,0,C(5,0,设P(x,y,得=2 化简得x2+y2+x+25=0,显然,P点的轨迹为圆. 答案:A 二、填空题 解析:由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则c圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的几何性质 西安 刘康宁 一、选择题(' ' 6636?=) 1. 的椭圆称之为“黄金椭圆”.设22 221(0)x y a b a b +=>>为 黄金椭圆,F 、A 分别是它的左焦点和右端点,B 是它的短轴的一个端点,则ABF ∠=( ) A ,60 B ,75 C ,90 D , 120 2.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>右焦点为F ,右准线为l ,一直线交双曲线于P ,Q 两点,交l 于R 点,则( ) A ,PFR QFR ∠>∠ B ,PFR QFR ∠=∠ C ,PFR QFR ∠<∠ D ,PFR ∠与QFR ∠的大小不确定 3.已知点A(0,2)和抛物线2 4y x =+上两点B 、C ,使得AB BC ⊥,当点B 在抛物线上移动时,点C 的纵坐标的取值范围是 ( ) A ,(,0][4,)-∞+∞ B ,(,0]-∞ C ,[4,)+∞ D ,[0,4,] 4.设椭圆方程2 213 x y +=,(0,1)A -为短轴的一个端点,M ,N 为椭圆上相异两点。若总存在以MN 为底边的等腰AMN ?,则直线MN 的斜率k 的取值范围是 ( ) A ,(1,1)- B ,[1,1]- C ,(1,0]- D ,[0,1] 5.已知12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任 意一点,若 2 12 PF PF 的最小值为8a ,则双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A ,(1,)+∞ B ,(1,2] C , D ,(1,3] 6.已知P 为抛物线2 4y x =上一点,记P 到此抛物线的准线的距离为1d ,P 到直线 2120x y +-=的距离为2d ,则12d d +的最小值为 ( )
高考专题训练 培优点十七 圆锥曲线的几何性质 1.椭圆的几何性质 例1:如图,椭圆()22 22+10x y a b a b =>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ,中 心为O ,则:ABF BFO S S =△△( ) A .(2:3 B .() 3:3 C .(2:2 D .() 3:2 【答案】B 【解析】由ABF ABO BFO S S S =-△△△,得()():::ABF BFO ABO BFO BFO S S S S S ab bc bc =-=-△△△△△ 而c a = () :3:3ABF BFO S S =△△,故选B . 2.抛物线的几何性质 例2:已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,准线:1l x =-,点M 在抛物线C 上,点M 在直线:1l x =-上的射影为A ,且直线AF 的斜率为MAF △的面积为( ) A B .C .D .【答案】C 【解析】 设准线l 与x 轴交于点N ,所以2FN =,因为直线AF 的斜率为60AFN ∠=?,
所以4AF =, 由抛物线定义知,MA MF =,且60MAF AFN ∠=∠=?,所以MAF △是以4为边长的正三 2 4=.故选C . 3.双曲线的几何性质 例3:已知点P 是双曲线2213664 x y -=的右支上一点,M ,N 分别是圆()2 2104x y ++=和 () 2 2101x y -+=上的点,则PM PN -的最大值为_________. 【答案】15 【解析】在双曲线22 13664x y -=中,6a =,8b =,10c =, ()110,0F ∴-,()210,0F ,12212PF PF a -==, 11MP PF MF ≤+,22PN PF NF ≥-,112215PM PN PF MF PF NF ∴-≤+-+=. 一、单选题 1.抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1,则p =( ) A .12 B .1 C .2 D .4 【答案】C 【解析】抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值, 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点,据此可知: 12 p =,2p ∴=.本题选择C 选项. 2.设点1F ,2F 是双曲线2 2 13y x -=的两个焦点,点P 是双曲线上一点,若1234PF PF =, 则12PF F △的面积等于( ) A . B . C . D .对点增分集训
. . . . 圆锥曲线的几何性质 一、椭圆的几何性质(以22a x +22 b y =1(a ﹥b ﹥0 1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明:由椭圆的定义 12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=?? ?+++=?+=?? 即 2 ABF C 2、焦点⊿PF 1F 2中: (1)S ⊿PF1F2=2 tan 2θ ?b (2)(S ⊿PF1F2)max = bc (3)当P 证明:(1)在 12AF F 中 ∵ 22 2 1212 4cos 2PF PF c PF PF θ+-= ? ∴ () 2 2 1212 122cos 24PF PF PF PF PF PF c θ?=+-?- ∴ 2 1221cos b PF PF θ ?=+ ∴ 122 12sin 21cos PF F b S b θθ=??=+(2)(S ⊿PF1F2)max =max 122 c h bc ??= (3 ()()() 22 22 2 2 22 12002 22212 44cos 22PF PF c a ex a ex c PF PF a e x θ+-++--= = =?+当0x =0时 cos θ有最小值22 2 2a c a - 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线,垂足为M , 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明:延长1F M 交2F P 于F ,连接OM 由已知有 1PF FP =∴ 212OM FF ==()1212 PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆x 2+y 2=a 2 切 证明:取1PF 的中点M ,连接OM 。令圆M 的直径1PF ,半径为r ∵ OM = ()211111 2222 PF a PF a PF a r =-=-=- ∴ 圆M ∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆x 2 +y 2 =a 2 切 5、任一焦点⊿PF 1F 2的切圆圆心为I ,连结PI 延长交长轴于R , x x x x